7.2 认识证明 讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

认识证明 学习目标 1. 了解证明的必要性，知道要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须进行有根有据的证明。 2. 理解证明的定义，明白证明是由题设（已知条件）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程。 3. 掌握证明的基本步骤和书写格式，能够规范地书写简单命题的证明过程。 知识点讲解 （一）证明的必要性 1. 观察、实验、归纳得到的结论不一定正确 在数学学习中，我们常常通过观察、实验、归纳等方法来获取一些数学结论。例如，我们观察到一些三角形的内角和似乎都是，但是仅通过有限个三角形的测量（实验），并不能确凿地得出所有三角形内角和都是的结论。再如，我们计算（(n)为正整数），当时，是质数；当时，是质数；当时，是质数。由此归纳出对于任意正整数(n)，都是质数。然而，当时，，不是质数。所以，通过观察、实验、归纳得到的结论不一定正确，需要进一步的证明。 （二）证明的定义 1. 从命题角度理解 命题由题设（已知条件）和结论两部分组成。证明就是从题设出发，依据已有的定义、基本事实、定理等，通过一系列的推理，最后推导出结论正确的过程。例如，对于命题“如果两直线平行，那么同位角相等”，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”。我们要证明这个命题，就要从“两直线平行”这个已知条件出发，利用平行线的相关性质和几何基本事实，一步步推导出“同位角相等”。 （三）证明的步骤和书写格式 1. 步骤 · 分析命题：明确命题的题设和结论。 · 根据题意画出图形：如果命题中涉及图形（本题要求不涉及图形题目，此步骤在后续解题中暂不体现）。 · 结合图形，写出已知、求证：已知就是命题中的题设条件，求证就是命题中的结论。 · 进行证明：从已知条件出发，运用定义、基本事实、定理等进行推理，直到得出求证的结论。 2. 书写格式 以证明“对顶角相等”为例： 已知：与是对顶角。 求证：。 证明： 与是对顶角（已知） （平角定义） （平角定义） （同角的补角相等） 例题解析 （一）选择题 1. 下列说法正确的是（ ） A. 实验、观察或归纳完全可以判断一个数学结论的正确与否 B. 证明是科学家的事，与我们没多大的关系 C. 对于自然数(n)，一定是质数 D. 有(10)个苹果，将它们放进(9)个筐中，则至少有一个筐中的苹果数不少于(2)个 2. 甲、乙、丙、丁四人在公园的湖边植树，甲种了(1)棵，乙种了(2)棵，丙种了(3)棵，丁种了(4)棵，他们一共种了(10)棵树。如果四人种的树的总数是偶数，且甲种的树的数量是奇数，那么乙种的树的数量是（ ） A. 奇数 B. 偶数 C. 可能是奇数也可能是偶数 D. 无法确定 （二）填空题 1. 要判断“同位角相等”这个结论是否正确，仅依靠观察和测量是不够的，需要进行______。 已知一个命题的题设是“(a)、(b)、(c)是三角形的三边，且”，结论是“这个三 （三）解答题 1. 证明：若，，则。 2. 已知，，求的值。 3. 证明：若(m)是整数，是偶数，则(m)也是偶数。 4. 已知(a)、(b)、(c)是的三边，且满足，试判断的形状。 巩固练习 （一）选择题 1. 下列结论你能肯定的是（ ） A. 今天是晴天，明天必然还是晴天 B. 三个连续整数的积一定能被(6)整除 C. 小明在数学竞赛中一定能获奖 D. 两张照片看起来很像，则肯定照的是同一个人 2. 当(n)为正整数时，的值一定是质数吗？（ ） A. 一定是 B. 一定不是 C. 不一定是 D. 无法确定 3. 已知(a)、(b)、(c)是的三边，且，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 （二）填空题 1. 命题“直角三角形的两个锐角互余”的题设是______，结论是______。 2. 要证明“三角形内角和为”，我们通常将三角形的三个内角转化为一个______。 （三）解答题 1. 证明：若(a)、(b)为有理数，且，则，。 2. 已知，，求的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 认识证明 学习目标 1. 了解证明的必要性，知道要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须进行有根有据的证明。 2. 理解证明的定义，明白证明是由题设（已知条件）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程。 3. 掌握证明的基本步骤和书写格式，能够规范地书写简单命题的证明过程。 知识点讲解 （一）证明的必要性 1. 观察、实验、归纳得到的结论不一定正确 在数学学习中，我们常常通过观察、实验、归纳等方法来获取一些数学结论。例如，我们观察到一些三角形的内角和似乎都是，但是仅通过有限个三角形的测量（实验），并不能确凿地得出所有三角形内角和都是的结论。再如，我们计算（(n)为正整数），当时，是质数；当时，是质数；当时，是质数。由此归纳出对于任意正整数(n)，都是质数。然而，当时，，不是质数。所以，通过观察、实验、归纳得到的结论不一定正确，需要进一步的证明。 （二）证明的定义 1. 从命题角度理解 命题由题设（已知条件）和结论两部分组成。证明就是从题设出发，依据已有的定义、基本事实、定理等，通过一系列的推理，最后推导出结论正确的过程。例如，对于命题“如果两直线平行，那么同位角相等”，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”。我们要证明这个命题，就要从“两直线平行”这个已知条件出发，利用平行线的相关性质和几何基本事实，一步步推导出“同位角相等”。 （三）证明的步骤和书写格式 1. 步骤 · 分析命题：明确命题的题设和结论。 · 根据题意画出图形：如果命题中涉及图形（本题要求不涉及图形题目，此步骤在后续解题中暂不体现）。 · 结合图形，写出已知、求证：已知就是命题中的题设条件，求证就是命题中的结论。 · 进行证明：从已知条件出发，运用定义、基本事实、定理等进行推理，直到得出求证的结论。 2. 书写格式 以证明“对顶角相等”为例： 已知：与是对顶角。 求证：。 证明： 与是对顶角（已知） （平角定义） （平角定义） （同角的补角相等） 例题解析 （一）选择题 1. 下列说法正确的是（ ） A. 实验、观察或归纳完全可以判断一个数学结论的正确与否 B. 证明是科学家的事，与我们没多大的关系 C. 对于自然数(n)，一定是质数 D. 有(10)个苹果，将它们放进(9)个筐中，则至少有一个筐中的苹果数不少于(2)个 答案：D 解析：选项A，通过前面知识点讲解可知，实验、观察或归纳得到的结论不一定正确，所以A错误；选项B，证明在数学学习和生活中的很多方面都有应用，并非只是科学家的事，所以B错误；选项C，前面已举例当时，不是质数，所以C错误；选项D，把(10)个苹果放进(9)个筐中，，即平均每个筐放(1)个后，还余(1)个苹果，所以至少有一个筐中的苹果数不少于(2)个，D正确。 2. 甲、乙、丙、丁四人在公园的湖边植树，甲种了(1)棵，乙种了(2)棵，丙种了(3)棵，丁种了(4)棵，他们一共种了(10)棵树。如果四人种的树的总数是偶数，且甲种的树的数量是奇数，那么乙种的树的数量是（ ） A. 奇数 B. 偶数 C. 可能是奇数也可能是偶数 D. 无法确定 答案：B 解析：因为四人种的树的总数是偶数，甲种的树的数量是奇数，丙种了(3)棵（奇数），丁种了(4)棵（偶数）。根据奇数 + 奇数 + 偶数 + 偶数 = 偶数，设乙种的树的数量为(x)。则(1 + 3 + x + 4)是偶数，(8 + x)是偶数，因为(8)是偶数，根据偶数 + 偶数 = 偶数，所以(x)是偶数，即乙种的树的数量是偶数，B正确。 （二）填空题 1. 要判断“同位角相等”这个结论是否正确，仅依靠观察和测量是不够的，需要进行______。 答案：证明 解析：观察和测量得到的结论不一定准确，对于数学结论，要确定其正确性，通常需要进行有根有据的证明。 2. 已知一个命题的题设是“(a)、(b)、(c)是三角形的三边，且”，结论是“这个三角形是直角三角形”，则这个命题的证明需要用到的定理是______。 答案：勾股定理的逆定理 解析：勾股定理的逆定理为：如果三角形的三边长(a)、(b)、(c)满足，那么这个三角形是直角三角形。所以根据已知的题设和结论，证明该命题需用到勾股定理的逆定理。 （三）解答题 1. 证明：若，，则。 已知：，。 求证：。 证明： （已知） （已知） （等量代换） 2. 已知，，求的值。 解： 根据完全平方公式，可得。 把，代入上式： 3. 证明：若(m)是整数，是偶数，则(m)也是偶数。 证明：假设(m)是奇数，设（(k)为整数）。 那么 因为(k)和(k + 1)是相邻的整数，所以(k(k + 1))一定是偶数，(4k(k + 1))是偶数，(4k(k + 1) + 1)是奇数，这与是偶数矛盾。 所以假设不成立，即(m)是偶数。 4. 已知(a)、(b)、(c)是的三边，且满足，试判断的形状。 解： 因为一个数的平方是非负数，要使三个非负数的和为(0)，则每一项都为(0)。 所以，， 即 所以是等边三角形。 巩固练习 （一）选择题 1. 下列结论你能肯定的是（ ） A. 今天是晴天，明天必然还是晴天 B. 三个连续整数的积一定能被(6)整除 C. 小明在数学竞赛中一定能获奖 D. 两张照片看起来很像，则肯定照的是同一个人 2. 当(n)为正整数时，的值一定是质数吗？（ ） A. 一定是 B. 一定不是 C. 不一定是 D. 无法确定 3. 已知(a)、(b)、(c)是的三边，且，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 （二）填空题 1. 命题“直角三角形的两个锐角互余”的题设是______，结论是______。 2. 要证明“三角形内角和为”，我们通常将三角形的三个内角转化为一个______。 （三）解答题 1. 证明：若(a)、(b)为有理数，且，则，。 2. 已知，，求的值。 巩固练习答案 （一）选择题 1. 答案：B 解析：选项A，今天晴天明天不一定晴天，天气具有不确定性，A错误；选项B，设三个连续整数分别为(n - 1)，(n)，(n + 1)，则它们的积为((n - 1)n(n + 1))。因为(n)和(n - 1)、(n + 1)中必有一个是偶数，能被(2)整除，且三个连续整数中必有一个能被(3)整除，所以((n - 1)n(n + 1))一定能被(6)整除，B正确；选项C，小明在数学竞赛中获奖具有不确定性，C错误；选项D，两张照片看起来像不一定照的是同一个人，D错误。 2. 答案：C 解析：当时，是质数；当时，是质数；当时，是质数，但当时，不是质数，所以不一定是质数，C正确。 3. 答案：B 解析：已知，移项可得，根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足，则这个三角形是直角三角形，所以是直角三角形，B正确。 （二）填空题 1. 答案：一个三角形是直角三角形；这个三角形的两个锐角互余 解析：命题“直角三角形的两个锐角互余”，按照命题的组成，题设是已知条件，即一个三角形是直角三角形；结论是由题设推出的结果，即这个三角形的两个锐角互余。 2. 答案：平角 解析：在证明“三角形内角和为”时，通常通过作辅助线等方法将三角形的三个内角转化为一个平角，因为平角是，从而证明三角形内角和为。 （三）解答题 1. 证明： 已知。 因为(a)、(b)为有理数，等式右边(5)是有理数，是无理数。 所以，。 2. 解： 根据完全平方公式，可得。 把，代入上式： 学科网（北京）股份有限公司 $