2.5 实验：用单摆测量重力加速度 讲义 -2025-2026学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

2.5 实验：用单摆测量重力加速度 重难分析 1. 实验原理（重点） 2. 实验操作（难点） 3. 注意事项（易错点） 知识点梳理 知识点梳理1：用单摆测量重力加速度 一、实验思路 1．实验原理 单摆在摆角较小时，单摆做简谐运动，根据其周期公式T＝2π，可推导得g＝。据此，通过实验测出摆长l和周期T，可计算得到当地的重力加速度值。 2．物理量的测量 摆长l ：摆长等于摆线长度和小球半径之和。可用刻度尺直接测量小球球心与悬点之间的距离作为摆长的测量值，也可用游标卡尺测量小球的直径，算出它的半径，再测量悬点与小球上端之间的距离，以两者之和作为摆长的测量值。 周期T：用停表测量单摆做多次全振动(例如几十次)的时间，然后通过计算求出它的周期的测量值。 二、实验装置 实验装置如图所示 实验器材 铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、停表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺。 三、进行实验 1．让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个比孔径稍大一些的线结，制成一个单摆。 2．将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆线自由下垂。在单摆平衡位置处做上标记。 3．用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l＝l′＋。 4．把单摆拉开一个角度，角度小于5°，释放摆球。摆球经过最低位置(平衡位置)时，用停表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。 5．改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。 四、数据分析 1．公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g的值，最后求出g的平均值。设计如表所示实验表格 实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s－2) 重力加速度g的平均值/(m·s－2) 1 g＝ 2 3 2.图像法：由T＝2π得T2＝l，以T2为纵轴，以l为横轴作出T2－l图像(如图所示)。其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g。 五、误差分析 由周期公式T＝2π，可推导得g＝，摆长、周期的测量不准确会导致误差。 1．测量摆长时引起的误差 (1)摆长测量值偏小，则g的测量值偏小。如在未悬挂摆球前测量了摆长；仅测量了摆线长漏加摆球半径等； (2)摆长测量值偏大，则g的测量值偏大。如测量摆长时摆线拉得过紧或以摆线长和小球的直径之和作为摆长(多加了半径)。悬点未固定好，摆球摆动过程中出现松动，使实际的摆长变长等。 2．测量周期时引起的误差 (1)周期测量值偏大，则g的测量值偏小。如把(n＋1)次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时停表过早按下或停止计时时停表过迟按下等。 (2)周期测量值偏小，则g的测量值偏大。如把(n－1)次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时，停表过迟按下或停止计时时停表过早按下等。 (3)计量单摆的全振动次数时，不从摆球通过最低点(平衡位置)时开始计时，容易产生较大的计时误差。 一些技巧 注意事项 1．选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。 2．摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小。 3．摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。 4．计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置(平衡位置)时开始计时，要测n次全振动的时间t。 例题精讲： 【例1】（2025春•吉林期末）在“用单摆测量重力加速度”实验中，某同学通过测量30次全振动的时间来测定单摆的周期T，他在单摆经过平衡位置时按下秒表记为“1”，若同方向再次经过平衡位置时记为“2”，在数到“30”时停止秒表，读出这段时间t，算出周期T。其他操作步骤均正确。多次改变摆长时，他均按此方法记录多组数据，并绘制了T2﹣L图像，则他绘制的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025春•通州区期末）如图所示，某同学利用单摆装置来测定当地的重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．小球应该选用质量小体积小的塑料球 B．应在小球摆到最高点时开始计时 C．在小偏角下，不同高度释放，小球的摆动周期不同 D．若将n次全振动误记为n﹣1次，重力加速度的测量值将偏小 【例3】（2025•湖南模拟）在物理实验课上，物理兴趣小组的同学想利用单摆测量当地重力加速度，在测量好相关数据后，没有控制好小球的摆动，使得小球做的是圆锥摆运动。甲同学提出继续用悬点到球心的距离作为摆长，并利用单摆的周期公式来计算重力加速度；乙同学提出可以用悬点到球心的竖直高度作为摆长，并利用单摆的周期公式来计算重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．甲同学正确，乙同学的方法会导致重力加速度测量值偏大 B．甲同学正确，乙同学的方法会导致重力加速度测量值偏小 C．乙同学正确，甲同学的方法会导致重力加速度测量值偏大 D．乙同学正确，甲同学的方法会导致重力加速度测量值偏小 【例4】（2025•襄城区校级模拟）高三年级某学生用以下器材测量了大成广场附近的重力加速度。为了便于携带，该组同学将一单摆固定于某一深度为h（未测量）且开口向下的透明塑料杯顶端（单摆的下半部分露于筒外），如图甲所示。每次实验前，组内同学利用钢板尺测出杯子的下端口到小球悬点的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T。实验开始时，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，且单摆在摆动过程中悬线不会碰到杯壁，最后利用测得的数据，以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像求出小筒的深度h和当地的重力加速度g。 （1）实验时用10分度的游标卡尺测量摆球直径，示数如图所示，该摆球的直径d＝ 　　 mm。 （2）测量单摆的周期时，某同学在摆球某次通过最低点时按下停表开始计时，同时数0，当摆球下一次通过最低点时数1，依此法往下数，当他数到60时，按下停表停止计时，读出这段时间t，则该单摆的周期为 　　 。 A． B． C． D． （3）实验中所得到的T2﹣L关系图线应该是图乙所示中的　　 （选填a，b，c），利用图线中的数据可得到当地的重力加速度g＝ 　　 m/s2（π取3.14，结果保留小数点后两位）。 （4）根据以上数据，结合得到的T2﹣L关系图线，可以求出透明塑料杯的深度h＝ 　　 cm。 【例5】（2025•邢台模拟）某实验小组用频率为50Hz的电磁打点计时器做了“测当地重力加速度”的实验（图1），得到一条点迹清晰的纸带（图2）。 （1）其中甲同学将计时点直接取作计数点，用刻度尺进行正确测量后，得到相邻计数点间的距离记录如下：x1＝1.01cm、x2＝1.40cm、x3＝1.80cm、x4＝2.19cm、x5＝2.57cm、x6＝2.97cm，根据记录数据计算的当地的重力加速度为＿＿　　 m/s2（计算结果精确到小数点后两位）； （2）乙同学选取了从A点到E点过程验证机械能守恒定律，实验中所用重物质量m＝0.2kg，先计算得到重物动能增加量为　　 J（结果均保留2位有效数字），再利用甲同学测得的重力加速度计算得到重力势能的减少量，通过比较两结果得到验证； （3）丙同学用如图3所示的实验装置验证机械能守恒定律。电磁铁固定在铁架台的顶一端，光电门固定在电磁铁的正下方。多次改变光电门位置，测得多组小铁球被电磁铁吸住时离光电门的高度h及对应的小球释放后通过光电门的时间t，小球直径为d，重力加速度g，该同学想用图像处理数据。为了能直观地反映t随h的变化，应该作　　 （选填“t﹣h”“t2﹣h”“h”“h”）图像，若图像是过原点的一条倾斜直线，且直线的斜率k＝　　 （用给定字母表示），则机械能守恒定律得到验证； （4）分析乙和丙的实验方案，对能够完成验证机械能守恒定律这一实验目的，更为合理的方案是　　 （选填“乙”“丙”）同学的方案。 课后提优练习 一．选择题（共1小题） 1．（2024秋•南京期末）某同学用单摆测重力加速度大小，在实验过程中有如下说法，其中正确的是（　　） A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球到最低点时开始计时 B．实验中选用密度较大的小钢球作为摆球，测得的重力加速度值误差较小 C．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为 D．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏小 二．多选题（共2小题） （多选）2．（2025•河南模拟）如图所示为某同学用单摆测量重力加速度的实验，他测得的重力加速度数值小于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是（　　） A．开始摆动时振幅较小 B．开始计时时，过早按下秒表 C．在测量完摆长之后悬挂点细线松动 D．测量周期时，误将摆球29次全振动的时间记为30次 （多选）3．（2024秋•重庆期末）如图甲所示：用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量，与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F﹣t图像如图乙，其中F的最大值Fmax＝1.05N，已知摆球质量m＝100g，重力加速度g取10m/s2，π2取10，不计摆线质量及空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．单摆周期为1.0s B．单摆摆长为1m C．F的最小值Fmin＝0.975N D．若仅将摆球质量变为200g，单摆周期减小 三．填空题（共2小题） 4．（2025•福建模拟）团队成功与否很大程度取决于各部门合作。A小组做“利用单摆测g”实验，B小组做“验证机械能守恒”实验，于是两个小组合作共同完成实验。装置如甲图，首先用游标卡尺测量小球直径，乙图为所测直径的示数d＝　 　 cm，悬挂单摆于P点，测出摆线长为l0＝98.90cm，让单摆在同一竖直面内摆动，测得50次全振动的时间如丙图，则单摆周期T＝　 　 s（保留2位有效数字），由此A小组利用公式得到g＝　 　 m/s2（保留3位有效数字）；接着，把摆球拉开至A点测出A到竖直线OP的垂直距离x、悬点P至球心的距离l、小球经过最低点O处光电门的时间t，若机械能守恒则应满足关系式：　 　 。（用已测得量l、x、d、t表示，π2≈9.86） 5．（2025春•泉州期末）甲、乙同学利用假期分别去参观哈尔滨工业大学和中山大学的物理实验室，并各自在那里利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长l的关系”，他们通过校园网交换实验数据，并由计算机绘制了T2﹣l图像，如图甲所示，去中大的同学所测实验结果对应的图线是 　 　 （填“A”或“B”）。另外，在中大做探究的同学还利用计算机绘制了两种单摆的振动图像（如图乙），由图可知，两单摆摆长之比lb：la＝ 　 　 。 四．实验题（共5小题） 6．（2024秋•滨江区校级期末）某实验小组用如图甲所示的单摆装置测量当地的重力加速度，进行了如下操作： ①测出悬点O到水平地面的距离H＝124.00cm； ②打开光源，测出小球静止时在竖直墙面上的投影中心到地面的高度h0＝25.80cm； ③将细线从竖直方向拉开较小角度后释放，打开手机的连拍功能，将连拍间隔设为0.1s，记录小球在不同时刻投影中心的位置并测出其离地面的高度h； ④将测出的高度和对应的时刻输入计算机，得到小球球心的离地高度h随时间t变化的图像如图乙所示。 请回答下列问题： （1）单摆的摆长l＝ 　 　 cm； （2）单摆的周期T＝ 　 　 s； （3）当地的重力加速度大小g＝ 　 　 m/s2（取π2＝10，结果保留3位有效数字）。 7．（2025•广安区校级模拟）在用单摆测量重力加速度时，小明将小锁头拴接在不易形变的细丝线一端，另一端固定在O点，并在细线上标记一点A，如图所示。 将小锁头拉到某一高度（细线与竖直方向夹角很小）由静止释放，当锁头第一次向右到达最低点D时开始计时并计数为1，以后锁头每向右到达D点一次，计数增加1，计数为N时，秒表测出单摆运动时间为t，则该单摆的周期T＝　 　 。 （2）他保持A点以下的细线长度不变，通过改变OA间细线长度L以改变摆长，并测出单摆运动对应的周期T，测量多组数据后，作出T2﹣L图像如图乙所示。已知图像的斜率为k，可求得当地的重力加速度g＝　 　 。 （3）图线乙明显不过原点，其图像与横轴交点的意义是　 　 。 （4）与重力加速度真实值相比，发现用以上方法的测量结果偏大，分析原因可能是　 　 。 A.锁头重心未知，无法准确测量摆长 B.OA间长度测量偏小 C.OA间长度测量偏大 D.误将N次向右经过D点记成N+1次 8．（2025•宜秀区校级模拟）某实验小组用如图甲所示的装置测量重力加速度g。细线上端固定在铁架台上的O点，下端悬挂一小球（不可视为质点），在铁架台的O点正下方固定了一个光电门。小球静止时，光电门发出的激光刚好射到小球的中心。首先测得O点到小球间悬线的长度为L和小球的直径为d，再将小球拉到不同位置由静止释放，测得不同释放点细线与竖直方向夹角θ和光电门记录的对应遮光时间t。 （1）小球通过光电门时的速度为v＝ 　 　 （用测得的物理量符号表示）； （2）“图像思想”是处理物理实验数据常用的思想方法之一，它在处理物理实验数据中具有独特的作用。将测得的实验数据转化为以cosθ为纵坐标，为横坐标的图像，如图乙所示，已知图像斜率的绝对值为k，则图像的纵截距为a＝ 　 　 ，重力加速度为g＝ 　 　 （用已知量和测得的物理量符号表示）； （3）若上述物理量间满足关系式：　 　 ，则表明小球摆动过程中机械能守恒。（用题干中的物理量符号表示） 9．（2025•湛江一模）实验小组进行“单摆性质及其应用”的实验探究，装置如图1所示。 【实验操作】 ①选用　 　 （填字母）。目的是　 　 ，接着测得摆线长度；如图2，用螺旋测微器测量该小球直径d＝　 　 ； A．钢球 B．木球 ②按要求安装好装置，使得单摆能　 　 ； ③将单摆拉至与竖直面成5°处静止释放，通过感光器的感光次数N和完成相应的全变化过程用时t，并改变摆线长度L，得到多组不同摆长下单摆周期T； ④已知当地重力加速度大小为g，请定量作出T2﹣L的图像，进一步研究实验数据。 【实践思考】 ⑤实验过程中发现小球摆角从5°逐渐减小，测得的周期将　 　 （选填“偏大”、“偏小”或“不变”）； ⑥根据以上性质，实验小组将该单摆作为计时工具，为了尽可能提高该计时工具的精准度，可采取的措施是　 　 （任写一条即可）。 10．（2025•新城区一模）A同学用手机phyphox软件测当地重力加速度，如图是他的实验装置，B同学则用秒表计时和测摆线长度的方法来验证测量值与手机测量结果是否一致。忽略线的质量和伸缩，以下问题中，取π2＝9.86，结果保留三位有效数字。 （1）如图甲所示，用两根竖直平行线固定手机，线上端固定在铁架台铁杆下端，手机应该在　 　 （选填“垂直、平行”）于纸面的平面内摆动，手机静止在平衡位置时手机保持水平，摆长应该是铁杆下端到手机的　 　 （选填“重心”“上表面”或“下表面”）的距离。 （2）B同学不能确定手机的重心在哪里，就只测了手机上表面到铁杆下端的距离L，然后每次减小这个距离ΔL＝10cm，他记录了两次周期的平方分别为3.904s2，3.500s2，则可得出当地重力加速度为　 　 m/s2。A同学手机测出的重力加速度值与B同学测量值相同，某次手机显示单摆振动图像如图乙，则这次测量对应的摆长为　 　 m。 （3）若B同学测出多组手机上表面到铁杆下端距离L与周期T的数据，图　 　 （选填“丙”或“丁”）是B同学画出的T2﹣L图，根据正确的图算出重力加速度值为　 　 m/s2，考虑他不知道手机重心的位置导致他测得的重力加速度g　 　 （选填“大于”“等于”或“小于”）真实值。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5 实验：用单摆测量重力加速度 重难分析 1. 实验原理（重点） 2. 实验操作（难点） 3. 注意事项（易错点） 知识点梳理 知识点梳理1：用单摆测量重力加速度 一、实验思路 1．实验原理 单摆在摆角较小时，单摆做简谐运动，根据其周期公式T＝2π，可推导得g＝。据此，通过实验测出摆长l和周期T，可计算得到当地的重力加速度值。 2．物理量的测量 摆长l ：摆长等于摆线长度和小球半径之和。可用刻度尺直接测量小球球心与悬点之间的距离作为摆长的测量值，也可用游标卡尺测量小球的直径，算出它的半径，再测量悬点与小球上端之间的距离，以两者之和作为摆长的测量值。 周期T：用停表测量单摆做多次全振动(例如几十次)的时间，然后通过计算求出它的周期的测量值。 二、实验装置 实验装置如图所示 实验器材 铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、停表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺。 三、进行实验 1．让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个比孔径稍大一些的线结，制成一个单摆。 2．将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆线自由下垂。在单摆平衡位置处做上标记。 3．用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l＝l′＋。 4．把单摆拉开一个角度，角度小于5°，释放摆球。摆球经过最低位置(平衡位置)时，用停表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。 5．改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。 四、数据分析 1．公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g的值，最后求出g的平均值。设计如表所示实验表格 实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s－2) 重力加速度g的平均值/(m·s－2) 1 g＝ 2 3 2.图像法：由T＝2π得T2＝l，以T2为纵轴，以l为横轴作出T2－l图像(如图所示)。其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g。 五、误差分析 由周期公式T＝2π，可推导得g＝，摆长、周期的测量不准确会导致误差。 1．测量摆长时引起的误差 (1)摆长测量值偏小，则g的测量值偏小。如在未悬挂摆球前测量了摆长；仅测量了摆线长漏加摆球半径等； (2)摆长测量值偏大，则g的测量值偏大。如测量摆长时摆线拉得过紧或以摆线长和小球的直径之和作为摆长(多加了半径)。悬点未固定好，摆球摆动过程中出现松动，使实际的摆长变长等。 2．测量周期时引起的误差 (1)周期测量值偏大，则g的测量值偏小。如把(n＋1)次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时停表过早按下或停止计时时停表过迟按下等。 (2)周期测量值偏小，则g的测量值偏大。如把(n－1)次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时，停表过迟按下或停止计时时停表过早按下等。 (3)计量单摆的全振动次数时，不从摆球通过最低点(平衡位置)时开始计时，容易产生较大的计时误差。 一些技巧 注意事项 1．选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。 2．摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小。 3．摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。 4．计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置(平衡位置)时开始计时，要测n次全振动的时间t。 例题精讲： 【例1】（2025春•吉林期末）在“用单摆测量重力加速度”实验中，某同学通过测量30次全振动的时间来测定单摆的周期T，他在单摆经过平衡位置时按下秒表记为“1”，若同方向再次经过平衡位置时记为“2”，在数到“30”时停止秒表，读出这段时间t，算出周期T。其他操作步骤均正确。多次改变摆长时，他均按此方法记录多组数据，并绘制了T2﹣L图像，则他绘制的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据单摆周期公式 可得 可知T2﹣L图像为过原点的倾斜直线，故ABC错误，D正确。 故选：D。 【例2】（2025春•通州区期末）如图所示，某同学利用单摆装置来测定当地的重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．小球应该选用质量小体积小的塑料球 B．应在小球摆到最高点时开始计时 C．在小偏角下，不同高度释放，小球的摆动周期不同 D．若将n次全振动误记为n﹣1次，重力加速度的测量值将偏小 【解答】解：A、为减小空气阻力对实验的影响，应选择质量大而体积小的小球做摆球，故A错误； B、为减小实验误差应在摆球摆到最低点时开始计时，故B错误； C、在小摆角，即摆角小于5°时的运动为简谐运动，单摆做简谐运动时的周期与单摆摆角无关，在小偏角下，不同高度释放，小球的摆动周期相等，故C错误； D、由单摆周期公式T＝2π，解得g，若将n次全振动误记为n﹣1次，所测周期T偏大，重力加速度的测量值将偏小，故D正确。 故选：D。 【例3】（2025•湖南模拟）在物理实验课上，物理兴趣小组的同学想利用单摆测量当地重力加速度，在测量好相关数据后，没有控制好小球的摆动，使得小球做的是圆锥摆运动。甲同学提出继续用悬点到球心的距离作为摆长，并利用单摆的周期公式来计算重力加速度；乙同学提出可以用悬点到球心的竖直高度作为摆长，并利用单摆的周期公式来计算重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．甲同学正确，乙同学的方法会导致重力加速度测量值偏大 B．甲同学正确，乙同学的方法会导致重力加速度测量值偏小 C．乙同学正确，甲同学的方法会导致重力加速度测量值偏大 D．乙同学正确，甲同学的方法会导致重力加速度测量值偏小 【解答】解：对圆锥摆进行受力分析，有 而h＝Lcosθ 解得圆锥摆的周期 所以用悬点到球心的竖直高度来计算重力加速度； 甲同学用单摆周期公式来计算，由于L＞h，则g测＞g真 故C正确，ABD错误。 故选：C。 【例4】（2025•襄城区校级模拟）高三年级某学生用以下器材测量了大成广场附近的重力加速度。为了便于携带，该组同学将一单摆固定于某一深度为h（未测量）且开口向下的透明塑料杯顶端（单摆的下半部分露于筒外），如图甲所示。每次实验前，组内同学利用钢板尺测出杯子的下端口到小球悬点的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T。实验开始时，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，且单摆在摆动过程中悬线不会碰到杯壁，最后利用测得的数据，以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像求出小筒的深度h和当地的重力加速度g。 （1）实验时用10分度的游标卡尺测量摆球直径，示数如图所示，该摆球的直径d＝ 　12.0　 mm。 （2）测量单摆的周期时，某同学在摆球某次通过最低点时按下停表开始计时，同时数0，当摆球下一次通过最低点时数1，依此法往下数，当他数到60时，按下停表停止计时，读出这段时间t，则该单摆的周期为 　C　 。 A． B． C． D． （3）实验中所得到的T2﹣L关系图线应该是图乙所示中的　a　 （选填a，b，c），利用图线中的数据可得到当地的重力加速度g＝ 　9.86　 m/s2（π取3.14，结果保留小数点后两位）。 （4）根据以上数据，结合得到的T2﹣L关系图线，可以求出透明塑料杯的深度h＝ 　29.4　 cm。 【解答】解：（1）10分度游标卡尺的精确度为0.1mm，摆球直径d＝12mm+0×0.1mm＝12.0mm； （2）单摆的周期 故ABD错误，C正确。 故选：C。 （3）单摆的摆长 根据单摆周期公式 代入数据解得 图像的纵截距为正，因此所得到的T2﹣L关系图线应该是图乙所示中的a； 图像的斜率 结合T2﹣L函数，图像斜率 代入数据解得g≈9.86m/s2 （4）图像的纵截距 代入数据解得h＝29.4cm。 故答案为：（1）12.0；（2）C；（3）a；9.86；（4）29.4。 【例5】（2025•邢台模拟）某实验小组用频率为50Hz的电磁打点计时器做了“测当地重力加速度”的实验（图1），得到一条点迹清晰的纸带（图2）。 （1）其中甲同学将计时点直接取作计数点，用刻度尺进行正确测量后，得到相邻计数点间的距离记录如下：x1＝1.01cm、x2＝1.40cm、x3＝1.80cm、x4＝2.19cm、x5＝2.57cm、x6＝2.97cm，根据记录数据计算的当地的重力加速度为　9.78　 m/s2（计算结果精确到小数点后两位）； （2）乙同学选取了从A点到E点过程验证机械能守恒定律，实验中所用重物质量m＝0.2kg，先计算得到重物动能增加量为　0.16　 J（结果均保留2位有效数字），再利用甲同学测得的重力加速度计算得到重力势能的减少量，通过比较两结果得到验证； （3）丙同学用如图3所示的实验装置验证机械能守恒定律。电磁铁固定在铁架台的顶一端，光电门固定在电磁铁的正下方。多次改变光电门位置，测得多组小铁球被电磁铁吸住时离光电门的高度h及对应的小球释放后通过光电门的时间t，小球直径为d，重力加速度g，该同学想用图像处理数据。为了能直观地反映t随h的变化，应该作　　 （选填“t﹣h”“t2﹣h”“h”“h”）图像，若图像是过原点的一条倾斜直线，且直线的斜率k＝　　 （用给定字母表示），则机械能守恒定律得到验证； （4）分析乙和丙的实验方案，对能够完成验证机械能守恒定律这一实验目的，更为合理的方案是　丙　 （选填“乙”“丙”）同学的方案。 【解答】解：（1）相邻计数点的时间间隔 根据逐差法，加速度 代入数据解得a≈9.78m/s2 （2）根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，打下A点的瞬时速度 打下E点的瞬时速度 动能的增加量 代入数据解得ΔEk≈0.16J （3）根据光电门的测速原理，小球的直径为d，小球通过光电门的速度 根据机械能守恒定律 联立解得 因此应该作图像； 结合函数斜率的含义，图像斜率 （4）在乙同学的方案中，重物在下落过程中要受到空气阻力和纸带与打点计时器之间的摩擦力作用，阻力的影响较大；丙同学的方案中，小球在下落过程中要受到空气阻力的作用，阻力的影响较小，因此能够完成验证机械能守恒定律这一实验目的，更为合理的方案是丙同学的方案。 故答案为：（1）9.78；（2）0，16；（3）；；（4）丙。 课后提优练习 一．选择题（共1小题） 1．（2024秋•南京期末）某同学用单摆测重力加速度大小，在实验过程中有如下说法，其中正确的是（　　） A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球到最低点时开始计时 B．实验中选用密度较大的小钢球作为摆球，测得的重力加速度值误差较小 C．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为 D．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏小 【解答】解：A、单摆在小摆角情况下的运动是简谐运动，单摆的最大摆角应小于5°，故A错误； B、为减小实验误差因，应选择密度较大的摆球，故B正确； C、一个周期的时间内，摆球通过最低点2次，所以测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为T，故C错误； D、由单摆的周期公式：T＝2π可得：g，用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，摆长偏大，则代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大，故D错误。 故选：B。 二．多选题（共2小题） （多选）2．（2025•河南模拟）如图所示为某同学用单摆测量重力加速度的实验，他测得的重力加速度数值小于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是（　　） A．开始摆动时振幅较小 B．开始计时时，过早按下秒表 C．在测量完摆长之后悬挂点细线松动 D．测量周期时，误将摆球29次全振动的时间记为30次 【解答】解：由单摆周期公式T＝2π得g A、重力加速度的测量值与振幅无关，振幅大小不会影响g的测量值，故A错误； B、开始计时时，过早按下秒表，所测周期T偏大，重力加速度g的测量值偏小，故B正确； C、在测量完摆长之后悬挂点细线松动，所测摆长L偏小，导致g的测量值偏小，故C正确； D、测量周期时，误将摆球29次全振动的时间记为30次，所测周期T偏小，导致g的测量值偏大，故D错误。 故选：BC。 （多选）3．（2024秋•重庆期末）如图甲所示：用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量，与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F﹣t图像如图乙，其中F的最大值Fmax＝1.05N，已知摆球质量m＝100g，重力加速度g取10m/s2，π2取10，不计摆线质量及空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．单摆周期为1.0s B．单摆摆长为1m C．F的最小值Fmin＝0.975N D．若仅将摆球质量变为200g，单摆周期减小 【解答】解：A.根据题意，悬线拉力变化的周期的2倍即为单摆的振动周期，则单摆周期为T＝2.3s﹣0.3s＝2.0s，故A错误； B.根据T＝2π，解得L＝1m，故B正确； C.摆球运动到最低点时，根据牛顿第二定律有Fmax﹣mg＝m，摆球上升的最高点与最低点的高度差为h，与竖直方向的夹角为θ，从最低点到最高点，根据机械能守恒有mghmv2，由几何关系有cosθ，则F的最小值Fmin＝mgcosθ，联立解得Fmin＝0.975N，故C正确； D.单摆的周期根摆球的质量无关，故D错误。 故选：BC。 三．填空题（共2小题） 4．（2025•福建模拟）团队成功与否很大程度取决于各部门合作。A小组做“利用单摆测g”实验，B小组做“验证机械能守恒”实验，于是两个小组合作共同完成实验。装置如甲图，首先用游标卡尺测量小球直径，乙图为所测直径的示数d＝　1.17　 cm，悬挂单摆于P点，测出摆线长为l0＝98.90cm，让单摆在同一竖直面内摆动，测得50次全振动的时间如丙图，则单摆周期T＝　2.0　 s（保留2位有效数字），由此A小组利用公式得到g＝　9.81　 m/s2（保留3位有效数字）；接着，把摆球拉开至A点测出A到竖直线OP的垂直距离x、悬点P至球心的距离l、小球经过最低点O处光电门的时间t，若机械能守恒则应满足关系式：　　 。（用已测得量l、x、d、t表示，π2≈9.86） 【解答】解：直径的示数d＝11mm+7×0.1mm＝11.7mm＝1.17cm，秒表的读数为90s+10.2s＝100.2s，所以单摆的周期为T，根据单摆周期公式T＝2可得g，代入数据解得g＝9.81m/s2；球经过最低点O处光电门的速度为v，小球从A到O的高度差为h＝l，重力势能的减少量为mgh，代入mgh，整理可得。 故答案为：1.17，2.0，9.81，。 5．（2025春•泉州期末）甲、乙同学利用假期分别去参观哈尔滨工业大学和中山大学的物理实验室，并各自在那里利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长l的关系”，他们通过校园网交换实验数据，并由计算机绘制了T2﹣l图像，如图甲所示，去中大的同学所测实验结果对应的图线是 　B　 （填“A”或“B”）。另外，在中大做探究的同学还利用计算机绘制了两种单摆的振动图像（如图乙），由图可知，两单摆摆长之比lb：la＝ 　　 。 【解答】解：哈尔滨工业大学处于北方，重力加速度g值较大，由单摆周期公式可得T＝2π⇒lT2﹣l图像直线的斜率表示，由图像知B的斜率小，重力加速度g值大，说明直线B为哈尔滨工业大学测得的； 根据图乙可看出周期之比为，则摆长之比为 故答案为：B；。 四．实验题（共5小题） 6．（2024秋•滨江区校级期末）某实验小组用如图甲所示的单摆装置测量当地的重力加速度，进行了如下操作： ①测出悬点O到水平地面的距离H＝124.00cm； ②打开光源，测出小球静止时在竖直墙面上的投影中心到地面的高度h0＝25.80cm； ③将细线从竖直方向拉开较小角度后释放，打开手机的连拍功能，将连拍间隔设为0.1s，记录小球在不同时刻投影中心的位置并测出其离地面的高度h； ④将测出的高度和对应的时刻输入计算机，得到小球球心的离地高度h随时间t变化的图像如图乙所示。 请回答下列问题： （1）单摆的摆长l＝ 　98.20　 cm； （2）单摆的周期T＝ 　2.0　 s； （3）当地的重力加速度大小g＝ 　9.82　 m/s2（取π2＝10，结果保留3位有效数字）。 【解答】解：（1）单摆的摆长为悬点到小球中心的距离，则该单摆的摆长为 l＝H﹣h0＝124.00cm﹣25.80cm＝98.20cm （2）由图乙可知，单摆的周期为 T＝2.0s （3）由单摆的周期公式，得 故答案为：（1）98.20；（2）2.0；（3）9.82。 7．（2025•广安区校级模拟）在用单摆测量重力加速度时，小明将小锁头拴接在不易形变的细丝线一端，另一端固定在O点，并在细线上标记一点A，如图所示。 将小锁头拉到某一高度（细线与竖直方向夹角很小）由静止释放，当锁头第一次向右到达最低点D时开始计时并计数为1，以后锁头每向右到达D点一次，计数增加1，计数为N时，秒表测出单摆运动时间为t，则该单摆的周期T＝　　 。 （2）他保持A点以下的细线长度不变，通过改变OA间细线长度L以改变摆长，并测出单摆运动对应的周期T，测量多组数据后，作出T2﹣L图像如图乙所示。已知图像的斜率为k，可求得当地的重力加速度g＝　　 。 （3）图线乙明显不过原点，其图像与横轴交点的意义是　A点距重心距离的负值　 。 （4）与重力加速度真实值相比，发现用以上方法的测量结果偏大，分析原因可能是　D　 。 A.锁头重心未知，无法准确测量摆长 B.OA间长度测量偏小 C.OA间长度测量偏大 D.误将N次向右经过D点记成N+1次 【解答】解：（1）单摆周期 （2）设A点到重心的距离为L0，根据单摆周期公式 变形得 T2﹣L图像的斜率 重力加速度 （3）当T2＝0时，则有L＝L0，因此图线乙不过原点，其图像与横轴交点的意义是A点距小锁头重心距离的负值； （4）A.由上述（2）可知，重力加速度只与图像的斜率有关，与摆长测量是否准确无关，故A错误； BC.设长度的测量误差为ΔL，根据单摆周期公式可得 T2﹣L图像的斜率，图像斜率不变，重力加速度的测量值不变，故BC错误； D.根据单摆周期公式 重力加速度 误将N次向右经过D点记成N+1次，导致周期的测量值偏小，因此重力加速度的测量值比真实值偏大，故D正确。 故选：D。 故答案为：（1）；（2）；（3）A点距重心距离的负值；（4）D。 8．（2025•宜秀区校级模拟）某实验小组用如图甲所示的装置测量重力加速度g。细线上端固定在铁架台上的O点，下端悬挂一小球（不可视为质点），在铁架台的O点正下方固定了一个光电门。小球静止时，光电门发出的激光刚好射到小球的中心。首先测得O点到小球间悬线的长度为L和小球的直径为d，再将小球拉到不同位置由静止释放，测得不同释放点细线与竖直方向夹角θ和光电门记录的对应遮光时间t。 （1）小球通过光电门时的速度为v＝ 　　 （用测得的物理量符号表示）； （2）“图像思想”是处理物理实验数据常用的思想方法之一，它在处理物理实验数据中具有独特的作用。将测得的实验数据转化为以cosθ为纵坐标，为横坐标的图像，如图乙所示，已知图像斜率的绝对值为k，则图像的纵截距为a＝ 　1　 ，重力加速度为g＝ 　　 （用已知量和测得的物理量符号表示）； （3）若上述物理量间满足关系式：　　 ，则表明小球摆动过程中机械能守恒。（用题干中的物理量符号表示） 【解答】解：（1）小球通过光电门时的速度为 （2）小球下降的高度 若小球的机械能守恒，满足 代入数据解得1 结合函数，图像的纵截距a＝1 图像的斜率 解得重力加速度 （3）若上述物理量间满足关系式，表明小球摆动过程中机械能守恒。 故答案为：（1）；（2）1；；（3）。 9．（2025•湛江一模）实验小组进行“单摆性质及其应用”的实验探究，装置如图1所示。 【实验操作】 ①选用　A　 （填字母）。目的是　减小空气阻力的影响　 ，接着测得摆线长度；如图2，用螺旋测微器测量该小球直径d＝　5.700　 ； A．钢球 B．木球 ②按要求安装好装置，使得单摆能　始终在一个竖直平面内运动　 ； ③将单摆拉至与竖直面成5°处静止释放，通过感光器的感光次数N和完成相应的全变化过程用时t，并改变摆线长度L，得到多组不同摆长下单摆周期T； ④已知当地重力加速度大小为g，请定量作出T2﹣L的图像，进一步研究实验数据。 【实践思考】 ⑤实验过程中发现小球摆角从5°逐渐减小，测得的周期将　不变　 （选填“偏大”、“偏小”或“不变”）； ⑥根据以上性质，实验小组将该单摆作为计时工具，为了尽可能提高该计时工具的精准度，可采取的措施是　适当增大摆长　 （任写一条即可）。 【解答】解：①实验中要选用钢球作为摆球，目的是为了减小空气阻力的影响； 螺旋测微器的精确度为0.01mm，小球直径的测量值d＝5.5mm+20.0×0.01mm＝5.700mm； ②按要求安装好装置，使得单摆能始终在一个竖直平面内运动； ④根据单摆周期公式 变形得 所作图像如图所示： ⑤根据单摆周期公式可知，在摆角不大于5°的前提下，单摆的周期与摆角大小无关，因此实验过程中发现小球摆角从5°逐渐减小，测得的周期将不变； ⑥为了尽可能提高该计时工具的精准度，可采取的措施是适当增大摆长。 故答案为：①减小空气阻力的影响；5.700；②始终在一个竖直平面内运动； ④； ⑤不变；⑥适当增大摆长。 10．（2025•新城区一模）A同学用手机phyphox软件测当地重力加速度，如图是他的实验装置，B同学则用秒表计时和测摆线长度的方法来验证测量值与手机测量结果是否一致。忽略线的质量和伸缩，以下问题中，取π2＝9.86，结果保留三位有效数字。 （1）如图甲所示，用两根竖直平行线固定手机，线上端固定在铁架台铁杆下端，手机应该在　垂直　 （选填“垂直、平行”）于纸面的平面内摆动，手机静止在平衡位置时手机保持水平，摆长应该是铁杆下端到手机的　重心　 （选填“重心”“上表面”或“下表面”）的距离。 （2）B同学不能确定手机的重心在哪里，就只测了手机上表面到铁杆下端的距离L，然后每次减小这个距离ΔL＝10cm，他记录了两次周期的平方分别为3.904s2，3.500s2，则可得出当地重力加速度为　9.76　 m/s2。A同学手机测出的重力加速度值与B同学测量值相同，某次手机显示单摆振动图像如图乙，则这次测量对应的摆长为　0.368　 m。 （3）若B同学测出多组手机上表面到铁杆下端距离L与周期T的数据，图　丙　 （选填“丙”或“丁”）是B同学画出的T2﹣L图，根据正确的图算出重力加速度值为　9.76　 m/s2，考虑他不知道手机重心的位置导致他测得的重力加速度g　等于　 （选填“大于”“等于”或“小于”）真实值。 【解答】解： （1）只有垂直于纸面摆动，摆长才作恒定的简谐运动；摆长为悬点到重心的距离。 （2）由单摆周期公式得g，ΔL＝L1﹣L2＝0.10m，代入数据得g＝9.76m/s2，由乙图可知单摆的周期为1.22s，据单摆周期公式可得摆长为0.368m。 （3）由单摆周期公式得，所以图像丙是B同学画出的T2﹣L图，图像斜率k，解得g＝9.76m/s2，无论图像是否经过坐标原点，图像的斜率都不变，所以g不变，没有系统误差，则他求得的加速度g等于真实值。 故答案为：（1）垂直，重心；（2）9.76，0.368；（3）丙，9.76，等于。 2 学科网（北京）股份有限公司 $