2.5二次函数与一元二次方程（第1课时）教学设计 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

该初中数学教学设计聚焦二次函数与一元二次方程的联系，通过复习一元二次方程判别式和二次函数图像，衔接旧知，搭建学习支架，为探究图像与x轴交点和方程根的关系奠定基础。 亮点在于运用几何画板动态演示增强直观性，结合小球飞行实例引导学生从实际情境发现数学关系，小组合作探究归纳规律，培养几何直观与推理意识，帮助学生建立数形结合思维，为教师提供清晰教学流程，提升课堂效率。

2.5二次函数与一元二次方程（第1课时） 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是北师大版初中数学九年级（下册）第2章“二次函数”的第5节。内容包括次函数 y = ax² + bx + c 的图像与 x 轴交点的个数。交点的横坐标与一元二次方程 ax² + bx + c = 0 根的关系。用判别式 Δ = b² - 4ac 判断图像与 x 轴的交点情况。 （二）教学内容解析 地位与作用：本课时是二次函数图像性质的重要应用，搭建了函数与方程之间的桥梁。为后续用二次函数解决实际问题和学习高中函数知识奠定基础。 核心思想：通过图像直观理解代数问题，体现“数形结合”的数学思想。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】二次函数的图象和一元二次方程的联系。 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1.掌握二次函数与一元二次方程的联系。 2.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。 3.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，提高学生的分析能力与在探索过程中抽象概括能力。 4.培养学生团结合作学习的良好意识和积极进取的精神。 5.培养学生用联系的观点看问题。 （二）教学目标解析 1.理解二次函数图像与 x 轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根。掌握用判别式判断二次函数图像与 x 轴交点个数的方法。 2.经历“观察图像—发现关系—归纳总结”的过程，提升观察和归纳能力。 3. 通过小组讨论，培养合作交流和分析问题的能力。感受数学的严谨性和逻辑性，体验“数形结合”的奇妙。 三、学生学情分析 已有基础：学生已经学习了二次函数的图像和性质，知道如何画抛物线。学生已经掌握了一元二次方程的解法和判别式的应用。 可能遇到的困难：理解“函数图像与 x 轴交点的横坐标是对应方程的根”这一抽象关系可能存在困难。灵活运用三者关系解决综合性问题时，可能会思路不清。 应对策略：通过描点画图和动态课件演示，增强直观性，帮助学生理解抽象关系。设计由浅入深的练习题，引导学生逐步掌握知识，突破难点。基于以上分析，确定教学难点如下： 【教学难点】培养学生的数形结合的意识和学会用数形结合的方法解决问题。 四、教学策略分析 1. 教学方法：启发式教学：通过设问引导学生思考，主动构建知识体系。直观演示法：利用几何画板等工具动态展示抛物线与 x 轴的位置关系。合作探究法：组织小组讨论，共同发现和归纳规律。 2. 教学手段：多媒体课件、几何画板软件、投影仪。学生自备坐标纸、铅笔、直尺。 五、教学过程分析 （一）复习引入 1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ =______. 当△﹥0时，方程根的情况是______________； 当△=0时，方程根的情况是______________； 当△﹤0时，方程根的情况是______________。 2、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条_____，它与x轴的交点有几种可能的情况？ 设计意图：回顾相关知识，唤起先前记忆，为本节的学习奠定基础和创造条件. （二）主动参与、感悟新知 问题如图（见教材图22.2-1），以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系 h＝20t－5t2。 考虑以下问题： 1、小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？ 2、小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？ 3、小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？ 4、小球从飞出到落地要用多少时间？ 教师引导学生阅读例题，请大家先发表自己的看法，然后解答．师生互动，完成上面4个问题。 1.当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m。 2.当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m。 3.方程无实数根．这就是说，小球的飞行高度达不到20.5 m。 4.当小球飞行0 s和4s时，它的高度为0 m。这表明小球从飞行到落地要用4 s，0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面。 从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切。一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0。 探究： 二次函数的图象如图所示. (1) 观察每个图象与x 轴有几个交点？交点坐标是什么？ (2) 一元二次方程 x²+2x=0, x2-2x+1=0有几个实数根?一元二次方程 x²-2x+2=0 有实数根吗?请分别求出它们的根； 二次函数图象 图象与x轴的交点 一元二次方程 方程的根 与x轴有两个交点： （-2,0）、（0,0） 与x轴有一个交点：(1,0) 与x轴没有交点 方程无 实数根 思考： (3)通过（1）（2）的探索过程，你有什么发现吗？ (4)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？ 归纳总结： 从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以得出如下结论： 1. 如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根。 2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。 3. 利用函数图象求一元二次方程的根步骤： （1）作函数图象； （2）确定根所在的范围； （3）通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，直至符合题目要求。 （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1.若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是________. 2.抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ ） A 两个交点 B 一个交点 C 没有交点 D 画出图象后才能说明 3.抛物线y=x2-4x+4与x轴有___个交点，坐标是______. 4.不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标. 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $