拓展专题08 解析几何中的四大非常规题型——阿氏圆、蒙日圆、阿基米德三角形、光学性质4大考向24题（高效培优期中专项训练）高二数学上学期北师大版

拓展专题08 解析几何中的四大非常规题型 ——阿氏圆、蒙日圆、阿基米德三角形、光学性质 考点01 阿氏圆（共5小题） 5 考点02 蒙日圆（共5小题） 6 考点03 阿基米德三角形（共6小题） 7 考点04 光学性质（共8小题） 9 【重要方法与结论】 一、阿氏圆 1．阿波罗尼斯圆的定义 在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（时点的轨迹是线段的中垂线） 2.阿波罗尼斯圆的证明 【定理1】设．若（且），则点的轨迹方程是，其轨迹是以为圆心，半径为的圆． 证明：由及两点间距离公式，可得， 化简可得①， （1）当时，得，此时动点的轨迹是线段的垂直平分线； （2）当时，方程①两边都除以得，化为标准形式即为： ，∴点的轨迹方程是以为圆心，半径为的圆． 图① 图② 图③ 当题目给了阿氏圆和一个定点，我们可以通过下述方法快速找到另一个定点，便于计算，令圆O与直线OA相交于M，N两点设点E为OA上一点，且满足，由阿氏圆定理，，则，∴① 同理，∴② 由①②消OA得：，即，即，由①②消R得：， 因此，满足条件的点E在阿氏圆的圆心和定点A的连线上，且或． 二、蒙日圆 1.蒙日圆的定义 在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1． 2.蒙日圆方程的证明 如图1，设椭圆的方程为，则椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：． 证明：证法一（解析法+韦达定理）：①当题设中的两条互相垂直的切线斜率均存在且不为时，可设（且），过的椭圆的切线方程为，由得， 由其判别式值为，得， 是这个关于的一元二次方程的两个根，， 由已知点的坐标满足方程． ②当题设中的两条互相垂直的切线有斜率不存在或斜率为时，可得点的坐标为或，此时点也在圆上． 综上所述：椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：． 证法二（椭圆的切线方程+切点弦方程+点在公共曲线上）： ①当题设中的两条互相垂直的切线斜率均存在且不为时，设（且），切点，则切线． 在切线上，，由两点确定一条直线得直线的方程为． ， 即在圆的方程为，又在直线：上，，可得， ， 又， 由已知点的坐标满足方程． ②当题设中的两条互相垂直的切线有斜率不存在或斜率为时，可得点的坐标为或，此时点也在圆上． 综上所述：椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：． 三、阿基米德三角形 1.阿基米德三角形的定义: 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形. 2.过焦点的阿基米德三角形的常见性质: 如图所示,是抛物线的过焦点的一条弦（焦点弦）,分别过,作抛物线的切线,交于点,连接,则有以下结论: （1）点的轨迹是一条直线,即抛物线的准线 （2）两切线互相垂直,即; （3）; （4）点的坐标为. （5）的最小值为. 四、圆锥曲线的光学性质 1.椭圆的光学性质 如图所示,从椭圆的一个焦点发出的光线,被椭圆反射后,必定经过另一个焦点; 如图所示,椭圆在点P处的切线为l,直线交直线于点Q,则PQ平分由角平分线性质定理可得 2.双曲线的光学性质 如图所示,从双曲线一个焦点发出的光线,被双曲线反射后,反射光线的反向延长线交于另一个焦点,如图所示,双曲线在点处的切线l与直线相交于点Q,则PQ平分,由角平分线性质定理,可得 3.抛物线的光学性质 如图所示,从抛物线的焦点F发出的光线,被抛物线反射后,得到的是一系列的与抛物线对称轴平行(或重合)的光线;如图所示,设抛物线在P处的切线l交对称轴于点切线l交对称轴于点M,则焦点F是的中点. 考点01 阿氏圆（共5小题） 1．（24-25高二上·湖南株洲·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点分别是抛物线和上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D．5 3．（2024·全国·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：在平面上，若动点到相异两点和距离比值为不等于1的定值，则动点的轨迹是圆心在直线上的圆，该圆被称为点和相关的阿氏圆．已知在点和相关的阿氏圆上，其中点，点在圆上，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 4．（多选）（24-25高二上·江苏镇江·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（   ） A．曲线C与圆有且仅有三条公切线 B．曲线C关于直线对称的曲线方程为 C．若点在曲线C上，则的取值范围是 D．在x轴上存在异于A，B的两点E，F，使得 5．（多选）（24-25高二上·福建福州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（    ） A．直线过定点 B．动点的轨迹方程为 C．动点到直线的距离的最大值为 D．若点的坐标为，则的最小值为 考点02 蒙日圆（共5小题） 6．（24-25高三上·安徽黄山·期末）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·湖北·期中）19世纪法国著名数学家加斯帕尔蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（2023·海南·模拟预测）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆为圆，若圆不透明，则一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最大路程是（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 9．（多选）（24-25高二上·江西·期中）已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（    ） A．的最大值为 B．若为的中点，则的离心率的最大值为 C．过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D．若点在上，则的蒙日圆面积最小为 10．（25-26高二上·全国·单元测试）加斯帕尔•蒙日是18～19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知椭圆的蒙日圆方程为，则 ；若为椭圆的一个焦点，点P，Q是上关于原点对称的两点，则的最小值为 ． 考点03 阿基米德三角形（共6小题） 11．（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，如在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆倠曲线中，称圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与抛物线交于两点，若为阿基米德三角形，则（    ） A． B． C． D． 12．（多选）（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形．已知三角形为抛物线的“阿基米德三角形”，线段为抛物线的弦，设线段中点为，下列命题正确的是（    ） A．轴 B．若过点，则点S在直线上 C．若，则面积的最大值为4 D．若过点，则 14．（多选）（23-24高二下·广东·期中）圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”，如图是抛物线（）的阿基米德三角形，弦经过焦点，（其中点在点上方），，均垂直于准线，且，为垂足，则下列说法正确的有（    ） A．以为直径的圆必与准线相切 B．为定值4 C．设点，则周长的最小值为 D．若弦的倾斜角为锐角，则的最小值为 15．（2025·宁夏银川·三模）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线C：的焦点为F，直线l：过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线，，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N. (1)若为阿基米德三角形，求； (2)证明：切线三角形的外接圆过定点. 16．（23-24高二下·重庆·阶段练习）过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点是圆上的动点，是抛物线的阿基米德三角形，是抛物线的焦点，且．    (1)求抛物线的方程； (2)利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围； (3)设是“圆边形”的抛物线弧上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明：． 考点04 光学性质（共8小题） 17．（25-26高二上·全国·单元测试）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 18．（24-25高三下·河南信阳·开学考试）古希腊数学家阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中，还进一步研究了圆锥曲线的光学性质，例如抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图所示，两条平行于轴的入射光线，分别经抛物线上的A，B两点反射后，两条反射光线，又沿平行于轴的方向射出，则两条反射光线，之间的距离为（   ）    A． B．1 C． D．2 19．（2025高三·北京·专题练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线为坐标原点，一条平行于轴的光线从抛物线内的点（不在轴上）射入，经过上的点反射，再经上另一点反射后，沿直线射出并经过点，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则平分 C．若，延长交直线于点，则三点共线 D．若，过作轴的平行线交抛物线的准线于点，则直线的斜率 20．(多选)（24-25高二上·陕西咸阳·期末）双曲线具有如下光学性质：如图，分别为双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点．若双曲线的方程为，则（   ） A． B．双曲线的右焦点到渐近线的距离为21 C．当反射光线过点时，光线由所经过的路程为6 D．设反射光线所在直线的斜率为，则 21．（2025·辽宁·二模）“双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点发出的互为反向的光线，经双曲线上的点P，Q反射，反射光线的反向延长线交于点M，且，．制作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为 ． 22．（24-25高一上·江苏无锡·期末）椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则 ，动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为 . 23．（2024·江西新余·模拟预测）椭圆的光学性质在物理学中有主要应用：如图1，在椭圆上有一点，分别为其左、右焦点，过作直线与切于，则直线与的夹角大小相等. (1)求证：的方程为：； (2)如图2：在（1）的基础上，双曲线的虚轴长为2且与有相同焦点，不与、的交点重合，与交于两点，过分别作的切线交于.求证：（ⅰ）  （ⅱ） 24．（2024·辽宁丹东·一模）我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都有令人惊奇的光学性质，且这些光学性质都与它们的焦点有关．如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点（如图所示，其中是反射镜面也是过点处的切线）．已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处（点P在第一象限），经双曲线反射后过点．    (1)请根据双曲线的光学性质，解决下列问题： 当，，且直线的倾斜角为时，求反射光线所在的直线方程； (2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点处，且三点共线，经双曲线反射后过点，，，延长，分别交两条渐近线于，点是的中点，求证：为定值． (3)在（2）的条件下，延长交y轴于点，当四边形的面积为8时，求的方程． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题08 解析几何中的四大非常规题型 ——阿氏圆、蒙日圆、阿基米德三角形、光学性质 考点01 阿氏圆（共5小题） 5 考点02 蒙日圆（共5小题） 10 考点03 阿基米德三角形（共6小题） 14 考点04 光学性质（共8小题） 23 【重要方法与结论】 一、阿氏圆 1．阿波罗尼斯圆的定义 在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（时点的轨迹是线段的中垂线） 2.阿波罗尼斯圆的证明 【定理1】设．若（且），则点的轨迹方程是，其轨迹是以为圆心，半径为的圆． 证明：由及两点间距离公式，可得， 化简可得①， （1）当时，得，此时动点的轨迹是线段的垂直平分线； （2）当时，方程①两边都除以得，化为标准形式即为： ，∴点的轨迹方程是以为圆心，半径为的圆． 图① 图② 图③ 当题目给了阿氏圆和一个定点，我们可以通过下述方法快速找到另一个定点，便于计算，令圆O与直线OA相交于M，N两点设点E为OA上一点，且满足，由阿氏圆定理，，则，∴① 同理，∴② 由①②消OA得：，即，即，由①②消R得：， 因此，满足条件的点E在阿氏圆的圆心和定点A的连线上，且或． 二、蒙日圆 1.蒙日圆的定义 在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1． 2.蒙日圆方程的证明 如图1，设椭圆的方程为，则椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：． 证明：证法一（解析法+韦达定理）：①当题设中的两条互相垂直的切线斜率均存在且不为时，可设（且），过的椭圆的切线方程为，由得， 由其判别式值为，得， 是这个关于的一元二次方程的两个根，， 由已知点的坐标满足方程． ②当题设中的两条互相垂直的切线有斜率不存在或斜率为时，可得点的坐标为或，此时点也在圆上． 综上所述：椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：． 证法二（椭圆的切线方程+切点弦方程+点在公共曲线上）： ①当题设中的两条互相垂直的切线斜率均存在且不为时，设（且），切点，则切线． 在切线上，，由两点确定一条直线得直线的方程为． ， 即在圆的方程为，又在直线：上，，可得， ， 又， 由已知点的坐标满足方程． ②当题设中的两条互相垂直的切线有斜率不存在或斜率为时，可得点的坐标为或，此时点也在圆上． 综上所述：椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：． 三、阿基米德三角形 1.阿基米德三角形的定义: 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形. 2.过焦点的阿基米德三角形的常见性质: 如图所示,是抛物线的过焦点的一条弦（焦点弦）,分别过,作抛物线的切线,交于点,连接,则有以下结论: （1）点的轨迹是一条直线,即抛物线的准线 （2）两切线互相垂直,即; （3）; （4）点的坐标为. （5）的最小值为. 四、圆锥曲线的光学性质 1.椭圆的光学性质 如图所示,从椭圆的一个焦点发出的光线,被椭圆反射后,必定经过另一个焦点; 如图所示,椭圆在点P处的切线为l,直线交直线于点Q,则PQ平分由角平分线性质定理可得 2.双曲线的光学性质 如图所示,从双曲线一个焦点发出的光线,被双曲线反射后,反射光线的反向延长线交于另一个焦点,如图所示,双曲线在点处的切线l与直线相交于点Q,则PQ平分,由角平分线性质定理,可得 3.抛物线的光学性质 如图所示,从抛物线的焦点F发出的光线,被抛物线反射后,得到的是一系列的与抛物线对称轴平行(或重合)的光线;如图所示,设抛物线在P处的切线l交对称轴于点切线l交对称轴于点M,则焦点F是的中点. 考点01 阿氏圆（共5小题） 1．（24-25高二上·湖南株洲·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，则点的轨迹是以为直径的圆，除去点，得到的轨迹方程为， 由阿氏圆性质找到点，将转化为，问题转化为求解到两定点距离之和最小即可. 【详解】当时，：，：，此时交点为； 当时，由直线：，斜率为， 由直线：，斜率为，， 又：，直线恒过， ：，直线恒过， 若为，的交点，则， 所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点、点； 综合以上两种情况，点的轨迹是以为直径的圆，除去点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故的轨迹方程为，即， 又，，易知，在该圆内， 又由题意可知圆上一点满足，取， 则，满足. 下面证明任意一点都满足，即， ， 又， ， ， 又， ， 如图，当且仅当，，三点共线，且位于，之间时，等号成立， 即的最小值为. 故选： 2．（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点分别是抛物线和上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D．5 【答案】B 【分析】将圆用阿氏圆表示，得到，将问题转化为求最小值问题，利用二次函数求最值即可得到． 【详解】易知抛物线的焦点， 不在圆E上， 将圆变形为： 即， ，当且仅当三点共线时取等号； 设，则，当且仅当时取等号； 所以，故 所以的最小值为， 故选：B． 3．（2024·全国·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：在平面上，若动点到相异两点和距离比值为不等于1的定值，则动点的轨迹是圆心在直线上的圆，该圆被称为点和相关的阿氏圆．已知在点和相关的阿氏圆上，其中点，点在圆上，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】借助阿氏圆定义计算可得点坐标，进而可得，结合两点之间距离最短计算即可得. 【详解】方法一：因为圆的圆心为，点， 由阿氏圆定义知，点在轴上，设， 圆与轴的交点，， 则由阿氏圆定义知，即， 解得或（舍），故， 且，即， 故， 当且仅当，，，四点共线时，取最小值4，故选：C． 方法二：设，则，故， 故 ，即，则， 故， 当且仅当，，，四点共线时，取最小值4. 故选：C．    4．（多选）（24-25高二上·江苏镇江·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（   ） A．曲线C与圆有且仅有三条公切线 B．曲线C关于直线对称的曲线方程为 C．若点在曲线C上，则的取值范围是 D．在x轴上存在异于A，B的两点E，F，使得 【答案】ACD 【分析】设点，由，得，即曲线为圆心为，半径为2的圆，再结合选项依次判断即可． 【详解】设点，因为，所以， 整理得，， 即曲线为圆心为，半径为2的圆， 对于A，圆，即， 该圆的圆心为，半径为3， 两圆的圆心距为：， 所以两圆外切，故两圆有且仅有三条公切线，故A正确； 对于B，曲线C的圆心关于直线对称的点为， 所以曲线C关于直线对称的曲线方程为：，故B错误； 对于C，设，即， 由图知当直线与圆相切时，t取得最大值或最小值， 此时圆心到直线的距离为2， 由，解得或， 所以的取值范围是：，故C正确； 对于D，设， 则， 化简得，， 依题意，需使， 解得，或（因点E，F异于A，B，应舍去） 所在存在满足题意，故D正确． 故选：ACD. 5．（多选）（24-25高二上·福建福州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（    ） A．直线过定点 B．动点的轨迹方程为 C．动点到直线的距离的最大值为 D．若点的坐标为，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】选项A：利用直线过定点求解即可，选项B：设动点，然后根据条件列出，然后整理得到阿氏圆的方程， 选项C:易知最大值为.选项D：分析可知当且仅当为线段与圆的交点时取最小值. 【详解】对A,直线，，所以直线过定点，A正确； 对B，设，因为动点满足 ，所以 ， 整理可得， 即，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 动点的轨迹方程为圆，B正确； 对于 C，当直线与垂直时, 动点到直线的距离最大， 且最大值为，C错误； 对于D，由，得，所以， 又因为点在圆内，点在圆外， 所以， 当且仅当为线段与圆的交点时取等号. 故选：ABD 考点02 蒙日圆（共4小题） 6．（24-25高三上·安徽黄山·期末）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据蒙日圆定义求得椭圆的蒙日圆方程，根据为锐角可知直线与蒙日圆相离，根据直线与圆位置关系可求得范围，进而得到离心率的取值范围. 【详解】椭圆的焦点在轴上，， 直线，与椭圆都相切， ，所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆， 为椭圆上任意两个动点，动点满足为锐角， 点在圆外，又动点在直线上，直线与圆相离，，解得：， 又，； 椭圆离心率，，. 故选：B. 7．（24-25高二上·湖北·期中）19世纪法国著名数学家加斯帕尔蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先明确蒙日圆的方程是根据椭圆方程得出，对于椭圆，其蒙日圆方程为.本题中先求出椭圆的蒙日圆方程，再根据圆与圆的位置关系，即两圆有且仅有一个公共点时的情况来求解的值. 【详解】对于椭圆，其中，，根据蒙日圆方程， 可得蒙日圆方程为，其圆心坐标为，半径. 圆，其圆心坐标为，半径. 因为两圆有且仅有一个公共点，所以两圆内切或外切. 当两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和. 两圆的圆心距，由，即，，两边平方得，解得，. 当两圆内切时，两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值. 由，即，两边平方得，（无解）.   所以的值为. 故选：B. 8．（2023·海南·模拟预测）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆为圆，若圆不透明，则一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最大路程是（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】由特殊切线求得蒙日圆方程，求出点关于轴对称点坐标，求出过点的圆的切线长即可得． 【详解】由题意直线和是椭圆的两条相互垂直的切线，因此它们的交点在蒙日圆上，从而，即蒙日圆方程为， 设从点出发的光线在轴上反向点为，如图，反射光线是圆的切线（在蒙日圆上此时为切点）时，路程为最大， 关于轴的对称点为，由对称性知在直线上，因此是圆的切线，， ． 故选：B．    9．（多选）（24-25高二上·江西·期中）已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（    ） A．的最大值为 B．若为的中点，则的离心率的最大值为 C．过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D．若点在上，则的蒙日圆面积最小为 【答案】AD 【分析】根据圆及椭圆的几何性质判断A，根据为的中点建立关于的齐次不等式，从而得到离心率的最值可判断B，举反例排除C，利用点在椭圆上与基本不等式“1”的妙用可判断D. 【详解】对于A，因为圆的圆心为，半径为， 又椭圆，所以， 所以，故A正确； 对于B，若为的中点，则， 则，故，B错误； 对于C，取，则直线，互相垂直，且都与相切，C错误； 对于D，因为点在上，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的蒙日圆面积最小为，D正确. 故选：ABD. 10．（25-26高二上·全国·单元测试）加斯帕尔•蒙日是18～19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知椭圆的蒙日圆方程为，则 ；若为椭圆的一个焦点，点P，Q是上关于原点对称的两点，则的最小值为 ． 【答案】2, 8 【分析】（1）由题中定义即可得； （2）根据题意画图，利用椭圆的对称性将所求问题转化为二次函数的最值问题，即可解出. 【详解】由椭圆的蒙日圆方程为，可得，于是． 椭圆的方程为，令为椭圆的左焦点，取椭圆的另一个焦点为，连接PE，EQ，如图所示， 由题意可知四边形EPFQ为平行四边形．设， 由椭圆的对称性得， 其中，即， 所以， 令，， 所以当时，． 考点03 阿基米德三角形（共5小题） 11．（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，如在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆倠曲线中，称圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与抛物线交于两点，若为阿基米德三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的方程，联立抛物线方程，得到两点坐标，求出过点的切线方程，联立后得到，得到答案. 【详解】依题意，，设直线，联立， 则，解得或，不妨设， 设直线方程为，联立得， ，， ， 解得， 故直线的斜率，故直线， 同理可得直线的斜率，故直线， 联立，解得， 即，则. 故选：C. 12．（多选）（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形．已知三角形为抛物线的“阿基米德三角形”，线段为抛物线的弦，设线段中点为，下列命题正确的是（    ） A．轴 B．若过点，则点S在直线上 C．若，则面积的最大值为4 D．若过点，则 【答案】BD 【分析】对于A，设，得出过点的切线方程为，同理过点的切线方程为，从而表示出的坐标，由此即可判断；对于B，设，联立抛物线，结合韦达定理以及即可判断；对于C，写出面积表达式，，故只需先求的最大值；对于D，设，结合韦达定理、向量数量积的坐标表示即可验算. 【详解】对于A，设，过点的切线方程为（切线斜率不为0），联立抛物线方程， 化简并整理得，，注意到， 所以方程可变形为， 而，所以， 所以过点的切线方程为，结合，可得 过点的切线方程为，同理可得过点的切线方程为， 联立，结合，解得， 而的中点的坐标为，这表明的纵坐标相等，所以轴或与x轴重合，故A错误； 对于B，若过点，可设，联立， 化简并整理得，显然， 由A选项分析可知点的横坐标，故B正确； 对于C，设，则， 所以， 联立，化简并整理得，， 由A选项分析可知，轴，的坐标为，， 面积， 而，当且仅当等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，设，联立，化简并整理得， ， ， 由A选项分析可知，， 从而， 所以，这表明，故D正确. 故选：BD. 14．（23-24高二下·广东·期中）圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”，如图是抛物线（）的阿基米德三角形，弦经过焦点，（其中点在点上方），，均垂直于准线，且，为垂足，则下列说法正确的有（    ） A．以为直径的圆必与准线相切 B．为定值4 C．设点，则周长的最小值为 D．若弦的倾斜角为锐角，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据抛物线的切线方程，相似关系，联立直线与抛物线方程后根与系数的关系，两角和的正切公式代入即可求解. 【详解】先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为 证明如下： 由于点在抛物线上， 则， 联立 即，， 所以抛物线在其上一点处的切线方程为 设，，设直线的方程为， 联立消去得，显然， 根据根与系数的关系可得， 所以，， 所以以AB为直径的圆的圆心到准线的距离为， 即以AB为直径的圆必与准线l相切于点，故A正确； 又抛物线在点A处的切线方程为，即 同理可知，抛物线在点B处的切线方程为， 由题意知，， 直线MA的斜率为，直线MB的斜率为， ， 所以，即点M在以AB为直径的圆上， 联立，解得， 所以点的横坐标为， 所以点在抛物线的准线上， 当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点 为抛物线的准线与x轴的交点， 此时，则，， 又此时，则为定值4， 当AB不与x轴垂直时，直线AB的斜率为， 直线的斜率为， ， 则，在中，， 又以AB为直径的圆与准线l相切于M点， 设以AB为直径的圆的圆心为，即得， 则点坐标为， 则，故B正确； 对于C： 抛物线的焦点为，准线为，所以， 由抛物线的定义可知， 则的周长为， 当且仅当、、三点共线时取等号，故C错误； 对于D：直线的倾斜角为锐角，则且， 由题意知， ，，，， 则 ， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 15．（2025·宁夏银川·三模）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线C：的焦点为F，直线l：过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线，，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N. (1)若为阿基米德三角形，求； (2)证明：切线三角形的外接圆过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先由条件求得，即可得到抛物线的方程，通过求出抛物线方程和切线斜率，利用斜率乘积判断两切线垂直得出角度； （2）先求出切线方程，进而得到、坐标，再根据外接圆性质证明过定点. 【详解】（1）由题意得，则， 所以抛物线的方程为， 因为为阿基米德三角形， 所以分别与抛物线切于点， 不妨设点在轴左侧，则. 由，得，则， 所以的斜率为的斜率为1，则， 所以. （2）由（1）可知抛物线， 设分别与抛物线切于点，， 由（1）可知直线的斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 所以. 设外接圆的圆心为， 则圆心在线段的垂直平分线上，所以， 则圆的半径为， 所以圆的方程为， 又点在圆上，所以， 即，所以， 所以， 整理得， 即， 令，得， 所以的外接圆过定点. 16．（23-24高二下·重庆·阶段练习）过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点是圆上的动点，是抛物线的阿基米德三角形，是抛物线的焦点，且．    (1)求抛物线的方程； (2)利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围； (3)设是“圆边形”的抛物线弧上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据圆的几何性质可知，据此求出可得解； （2）求出弦长及点到直线的距离，可得出面积，由点在圆上，可得面积取值范围，再由“囧边形”面积与面积关系得解； （3）求出过点切线方程，联立可得横坐标，据此利用横坐标可得，即可得证. 【详解】（1）由题意得，， 由， 所以 （2）设， 联立，， 设方程的两根为，则， 由，所以， 联立直线可得， 代入方程中，得，即， 故的面积. 因为在圆上，所以且， 于是， 显然此式在上单调递增，故， 也即，因此， 由题干知“囧边形”面积，所以“囧边形”面积的取值范围为. （3）由（2）知，, 设，过的切线，即， 过点切线交得，同理， 因为， . 所以，即. 【点睛】联立直线与抛物线，根据韦达定理及弦长公式得出，再由切线相交得出点坐标，求出三角形面积，再由点在圆上得出面积的范围是求解“囧边形”面积范围的关键，第三问中利用直线上线段长度之比可化为横坐标（或纵坐标）之比是解题的关键. 考点04 光学性质（共8小题） 17．（25-26高二上·全国·单元测试）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先根据题意求出的关系，然后根据几何关系列出等式，求出，进而求出的周长. 【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是， 而点在圆上，则的周长等于．    故选：D. 18．（24-25高三下·河南信阳·开学考试）古希腊数学家阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中，还进一步研究了圆锥曲线的光学性质，例如抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图所示，两条平行于轴的入射光线，分别经抛物线上的A，B两点反射后，两条反射光线，又沿平行于轴的方向射出，则两条反射光线，之间的距离为（   ）    A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先设点的坐标，再联立抛物线计算求解点，最后应用平行线距离计算求解. 【详解】由题意得，，，， 设点D，E的坐标分别为，， 直线AD：，联立抛物线方程得， 得，解得，，所以， 同理直线BD：，联立抛物线方程得， 得，解得，，可得， 所以两条反射光线，之间的距离． 故选：B. 19．（2025高三·北京·专题练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线为坐标原点，一条平行于轴的光线从抛物线内的点（不在轴上）射入，经过上的点反射，再经上另一点反射后，沿直线射出并经过点，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则平分 C．若，延长交直线于点，则三点共线 D．若，过作轴的平行线交抛物线的准线于点，则直线的斜率 【答案】D 【分析】作出图象，A选项，求出，所以⊥轴，则，求出；B选项，求出，得到直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，进而由焦点弦公式得到，结合，故，又，得到答案；C选项，作出辅助线，则，结合得到，直线，联立得到两根之积，得到，所以，则三点共线；D选项，由C知，三点共线，设，直线，联立，由韦达定理得到．因为，所以，从而求出，则，求出斜率. 【详解】作出示意图，如图所示： 对A，若，则， 又点，中，令得，所以． 易知的焦点，所以⊥轴， 则，所以，故A正确． 对B，若，则，，又点，所以， ，故直线， 联立与得， 易知，， 其中． 所以，又，所以， 即平分，B正确． 对C，若，则，，故， 延长交直线于点，则， 即，所以， 又，则， 直线，联立得， 则，则， 所以，则三点共线，故C正确； 对D，，，易知焦点， 由C知，三点共线，设， 直线，联立得， 则． 因为，所以，所以． 由，得，则， 所以，故D不正确． 故选：D． 20．(多选)（24-25高二上·陕西咸阳·期末）双曲线具有如下光学性质：如图，分别为双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点．若双曲线的方程为，则（   ） A． B．双曲线的右焦点到渐近线的距离为21 C．当反射光线过点时，光线由所经过的路程为6 D．设反射光线所在直线的斜率为，则 【答案】ACD 【分析】依据双曲线的定义判断选项A；利用点到直线的距离公式求右焦点到渐近线的距离判断选项B；结合双曲线定义求光线经过的路程判断选项C；通过分析渐近线斜率与反射光线斜率的关系判断选项D. 【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（，），其中为双曲线的实半轴长，为双曲线的虚半轴长.可得，则. 由双曲线的定义：对于双曲线右支上的点，有，所以，选项A正确. 由双曲线可得，，则，右焦点. 双曲线的渐近线方程为，即. 右焦点到渐近线的距离，选项B错误. 由双曲线定义知，即. 光线由所经过的路程为. 当，，三点共线时，取得最小值，，， 根据两点间距离公式，可得. 所以光线由所经过的路程为，选项C正确. 设左、右顶点分别为A、B.如图示： 双曲线的渐近线斜率为. 当与同向共线时，的方向为，此时，最小. 因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为. 则斜率满足，选项D正确. 故选：ACD. 21．（2025·辽宁·二模）“双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点发出的互为反向的光线，经双曲线上的点P，Q反射，反射光线的反向延长线交于点M，且，．制作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】结合双曲线的光学性质可知，为双曲线的左焦点，进而结合正弦定理可设，，，，再根据双曲线的定义可得，进而得到，再结合勾股定理可得，进而求解即可. 【详解】由双曲线的光学性质可知，直线，的交点为双曲线的左焦点， 在中，由正弦定理得， 则，设，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 两式作商得， 设，， 由双曲线的定义可知，， ， 解得，则，，，， 所以，则，即， 在中，， 则，则，即， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 22．（24-25高一上·江苏无锡·期末）椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则 ，动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据椭圆定义可得出，可得出，当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立，可求出的值，进而可得出，根据椭圆的光学性质可得出点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】根据椭圆定义得， 所以，， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立， 因为的最大值为6，且，则，解得， 则. 设切椭圆于点， 由椭圆的光学性质可得、、三点共线，， 则点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆， 所以，到直线的距离为， 由圆的几何性质可知，点到直线的距离最小值，最大值，即. 23．（2024·江西新余·模拟预测）椭圆的光学性质在物理学中有主要应用：如图1，在椭圆上有一点，分别为其左、右焦点，过作直线与切于，则直线与的夹角大小相等. (1)求证：的方程为：； (2)如图2：在（1）的基础上，双曲线的虚轴长为2且与有相同焦点，不与、的交点重合，与交于两点，过分别作的切线交于.求证：（ⅰ）  （ⅱ） 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析； 【分析】（1）利用联立方程组应用判别式计算得出椭圆上在点处的切线方程得证； （2）（ⅰ）先联立方程组得出得出韦达定理再结合即可证明；（ⅱ）先联立方程求出，进而得出，最后结合光学性质得出，再根据相似证明结论即可. 【详解】（1）当切线斜率存在时，设直线与相切于点， 联立直线和椭圆方程可得， 所以，整理可得； 易知，即，所以可得； 整理可得； 又因为切点在椭圆上，即，整理可得 联立①②可得，即，得； 所以切线方程为，化简可得； 经检验，切线斜率不存在时也符合上式， 即椭圆上在点处的切线方程为. （2）（ⅰ）由，得， 所以的方程为：，由， 消去，得， 设，则， 所以 ， 同（1）写出的方程，得 则其斜率之积为，所以. （ⅱ）联立联立， 得到：，即：， 于是，即， 又，，， 得，又由于椭圆的光学性质：， 又，所以，即. 【点睛】关键点点睛：解题第二问的关键点是对（1）的结论即椭圆上在点处的切线方程为的应用求解. 24．（2024·辽宁丹东·一模）我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都有令人惊奇的光学性质，且这些光学性质都与它们的焦点有关．如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点（如图所示，其中是反射镜面也是过点处的切线）．已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处（点P在第一象限），经双曲线反射后过点．    (1)请根据双曲线的光学性质，解决下列问题： 当，，且直线的倾斜角为时，求反射光线所在的直线方程； (2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点处，且三点共线，经双曲线反射后过点，，，延长，分别交两条渐近线于，点是的中点，求证：为定值． (3)在（2）的条件下，延长交y轴于点，当四边形的面积为8时，求的方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求出双曲线的方程及直线的方程，联立方程求出点的坐标，进而可得出答案； （2）易得，可令，则，根据双曲线的定义求出，即可求得，再在直角中，求出，即可得直线的方程，再利用勾股定理求出的关系，进而可得渐近线方程，再联立直线和渐近线方程，设，利用韦达定理求得，即可得点的坐标，进而可得出结论； （3）先利用角平分线定理可得，即可得点的坐标，再求出，即可得直线的方程，进而可得点的坐标，再根据四边形的面积求出，即可得解. 【详解】（1）因为，，所以，， 故双曲线方程为，直线的方程为， 由，解得，即， 所以， 所以反射光线所在的直线方程为，即； （2）因为为直角三角形，， 可令，则， 由双曲线的定义可得， 即，所以， 所以， 所以， 在直角中，， 所以直线的方程为， 由， 得，所以，所以， 所以两条渐近线得方程为， 联立，得， 设， 则， 故， 所以， 所以， 所以， 所以为定值； （3）由双曲线得光学性质可得，直线平分， 所以， 在中，由正弦定理得，则， 在中，由正弦定理得，则， 因为，所以， 所以，所以， 所以，故， 而， 所以， 所以直线的方程为，故点的坐标为， 设四边形的面积为， 则， 所以，故， 所以求的方程为．    【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $