专题04 数列（5知识&12题型&2方法清单）（期中知识清单）高二数学上学期沪教版

专题04 数列（5知识&12题型&2方法清单） 知识点01基本概念 1、数列：按照一定次序排列的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列． 无穷数列：项数无限的数列． 递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 常数列：各项相等的数列． 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 4、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式． 5、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式． 知识点02与等差数列相关的结论 设为等差数列的前项和. (1); (2) (3); (4)构成等差数列. (5)是关于的一次函数或常数函数，数列也是等差数列. (6) (7)若等差数列的项数为偶数,公差为,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为,则所有项之和,,. (8)若等差数列的项数为奇数,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为,则所有项之和,,,,. (9)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则. 知识点03与等比数列相关的结论 已知等比数列,公比为,前项和为. (1)(). (2)若,则();反之,不一定成立. (3),,,成等比数列(). (4)公比时,,,,成等比数列(). (5)若等比数列的项数为(),公比为,奇数项之和为,偶数项之和为,则. (6),是等比数列,则,,,也是等比数列(,). (7)通项公式.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点. (8)只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数. (9)三个数成等比数列,通常设为,,;四个数成等比数列,通常设为,,,. 知识点04数列的通项公式的求法 1.累加法 形如 (n=2、3、4…...) 且可求，则用累加法求.有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解. 2.累乘法 形如 (n=2、3、4……)，且可求，则用累乘法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解. 3.构造等比数列法 原数列{}既不等差，也不等比。若把{}中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出。该法适用于递推式形如=或=或= 其中b、c为不相等的常数，为一次式。 4.构造等差数列法 数列{}既不等差，也不等比，递推关系式形如，那么把两边同除以后，想法构造一个等差数列，从而间接求出. 5.取倒数法 有些关于通项的递推关系式变形后含有项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出. 6.利用公式求通项 有些数列给出{}的前n项和与的关系式=，利用该式写出，两式做差，再利用导出与的递推式，从而求出. 7.重新构造新方程组求通项法 有时数列{}和{}的通项以方程组的形式给出，要想求出与必须得重新构造关于和的方程组，然后解新方程组求得和. 知识点05数列求和的方法 1.公式法：直接用等差、等比数列的求和公式求解. 2.分组求和法：根据数列或数列通项公式的特征，将其分解为一些可以直接求和的数列（如等差数列、等比数列、常数列等），再分组求和. 3.错位相减法：在数列中，是等差数列，是等比数列，可用错位相减法求此数列的前n项和. 4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和，分式型数列的求和多用此法. 常见的裂项方法： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）若为等差数列，公差为，则. 5.倒序相加法 已知数列的特征是“与首末两端等距离的两项之和等于首末两项之和”.先把求和的式子倒过来写，然后对两个求和的式子进行相加，即可求出该数列的前n项和. 6.并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称为并项求和.形如，可采用并项求和法. 【题型一】等差数列的通项公式及基本量的计算 【例1-1】（22-23高二下·上海青浦·期中）等差数列首项为2，公差为2，则等差数列的通项公式为 【答案】 【详解】设等差数列的公差为，由题意，. 故答案为： 【例1-2】（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项，公差，求第项的值为 . 【答案】 【详解】因为等差数列的首项，公差，所以通项公式为： ，当时，即. 故答案为：. 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）满足条件的等差数列共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】由，得. 设等差数列的公差为，由题意知①， 当时，由①，得或2，此时或； 当时，由①，得，此时； 当时，由①，得或1，此时或. 所以满足题意的等差数列共有5个. 故选：D 【变式1-2】（23-24高二上·上海静安·期中）已知数列满足，（，），则 ． 【答案】 【详解】因为（，），故为等差数列，公差为1， 所以. 故答案为： 【题型二】利用等差数列的性质计算 【例2】（23-24高二上·上海静安·期中）在等差数列中，，，，则 ． 【答案】10 【详解】因为为等差数列，所以由等差数列的性质的：， 即：，解得：. 故答案为：10 【变式2-1】（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知等差数列，若，则 ． 【答案】 【详解】已知等差数列，所以 则，所以 故. 故答案为：. 【变式2-2】（22-23高二上·上海松江·期中）已知数列为等差数列，，则数列的公差为 ． 【答案】 【详解】因为数列为等差数列，， 所以公差， 故答案为：. 【题型三】等差中项的应用 【例3】（23-24高二上·上海·期中）已知2，a，成等差数列，则a的值为 ． 【答案】3 【详解】因为2，a，成等差数列， 所以， 故答案为：3 【变式3-1】（23-24高二上·上海闵行·期中）已知，，是和的等差中项，则的值等于 . 【答案】 【详解】因为是和的等差中项， 故 则， 故答案为： 【变式3-2】（24-25高二上·上海·期中）设实数，，，是公差为的等差数列，其中且.若，，三数依序也成等差数列，其中为，，，，其中一数，则 .（化为最简分数） 【答案】 【详解】由等差数列可知， 又为，，，，其中一数， 不妨设，， 又，，三数依序也成等差数列， 即，即， 所以， 化简可得，则，， 又，所以，即或， 当时，，， 当时，，，与题干矛盾， 综上所述，则. 故答案为：. 【题型四】等差数列前n项和及基本计算 【例4-1】（23-24高二上·上海闵行·期中）在和之间插入个数，组成首项为，末项为的等差数列，若这个数列的前项的和，后项的和之比为，则插入数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】设插入的这个数分别记为、、、， 由等差数列的性质可得， 这个数列的公差为，这个数列所有项的和为， 这个数列的前项的和为， 因为这个数列的前项的和与后项的和之比为， 则，即，解得， 所有，插入数的个数是个. 故选：B. 【例4-2】（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 【例4-3】（24-25高二上·上海·期中）记等差数列的前项和分别为. 若，则 . 【答案】 【详解】设，，， 则，. 故，则，，且. 故，，. 则，，故. 故答案为：. 【变式4-1】（23-24高二上·上海闵行·期中）已知等差数列中，，，则 【答案】 【详解】因为为等差数列，所以，， 两式相加得： ， 故答案为：. 【变式4-2】（24-25高二上·上海·期中）记为等差数列的前项和.若，则 . 【答案】4 【详解】设等差数列的公差为，则由可得，， 故答案为:4. 【变式4-3】（24-25高二上·上海松江·期中）北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有，个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有n层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为 . 【答案】2 【详解】设各层的小球个数为数列， 由题意得，，，， 因为，可得， ， ， ， 则， 因为前层小球总个数为，所以，即， 解得或（舍去）， 所以，可得，即该垛积的第一层的小球个数为个. 故答案为：2 【题型五】等差数列综合题 【例5-1】（22-23高二上·上海·期中）等差数列的前项和．求数列的前项的和． 【详解】∵等差数列的前项和． 当时，， 当时，，满足， 因为当时，，则， 当时，，则， 所以. 【例5-2】（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知数列是等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)若数列的前n项和为，求及其最小值. 【详解】（1）设的公差为d，则，解得， 所以. （2）由（1）可得， 当或时，取得最小值，最小值为. 【变式5-1】（23-24高二下·上海·期中）已知数列是首项为23，公差为-4的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，求的最大值. 【详解】（1）因为数列是首项为23，公差为-4的等差数列， 所以数列的通项公式为； （2）令，可得，所以数列的前6项为正， 所以数列的前6项和为的最大值，最大值=. 【变式5-2】（23-24高二上·上海·期末）设为等差数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)当为何值时，最大，并求出的最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以数列的通项公式为， 即； （2）由（1）得， 由二次函数的性质可得， 当时，最大，且最大值为. 【变式5-3】（24-25高二上·上海·期中）在等差数列中，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最小值. 【详解】（1）因为，即， 又因为，可得，即， 则，可得， 所以数列的通项公式. （2）令，解得， 可知当时，；当时，； 所以数列的前项和的最小值为. 【题型六】等比数列通项公式及基本量计算 【例6-1】（24-25高二上·上海·期中）已知数列为等比数列，、，则 【答案】 【详解】因为数列为等比数列，、， 所以，所以， 又，所以，即， 所以. 故答案为： 【例6-2】（23-24高二上·上海闵行·期中）在等比数列中，若，则公比 ． 【答案】 【详解】，， ， 得. 故答案为：. 【例6-3】（24-25高二上·上海·期中）在等比数列中，，且，则的值为 . 【答案】 【详解】由已知数列为等比数列， 则， 即， 所以， 又，所以， 故答案为：. 【例6-4】（23-24高二上·上海闵行·期中）在共有2023项的等比数列中，有等式成立，类比上述性质，在共有2023项的等差数列中，相应的有等式 成立． 【答案】 【详解】相应的有等式为： ， 证明：设等差数列的公差为， 则 . 故答案为： 【变式6-1】（24-25高二上·上海松江·期中）已知数列满足，且，则 . 【答案】128 【详解】∵， ∴数列是首项为1，公比为2的等比数列， ∴. 故答案为：128. 【变式6-2】（23-24高二上·上海·期中）在等比数列中，若，，则 ． 【答案】8 【详解】在等比数列中，，，也成等比数列， 因为，， 所以， 故答案为： 【变式6-3】（23-24高二上·上海静安·期中）等比数列的前3项分别为x，，，则 ． 【答案】 【详解】由，，，所以公比为2， 进而，所以， 故， 故答案为： 【变式6-4】（23-24高二上·上海·期中）等比数列的n前项和为，若，，则 ． 【答案】3 【详解】设等比数列的公比为，首项为，且， 若，则，与题设矛盾，所以. ，解得， 又因为，所以， 所以. 故答案为： 【变式6-5】（24-25高二上·上海·期中）若是以为首项，为公差的等差数列；是以为首项，为公比的等比数列.则下列说法正确的是 ①存在实数，使得不存在实数，满足数列是常数列； ②存在实数，使得对任意实数，满足数列都是常数列： ③存在实数，使得不存在实数，满足数列是常数列： ④存在实数，使得有无穷多个实数，满足数列是常数列； 【答案】②③④ 【详解】对于①②，取，则， 所以对任意实数，数列都是常数列，故①错误②正确； 对于③④， 对于④，令，假设数列是常数列，则， 由可得或， 则或，无法满足， 故假设不成立，即存在实数，使得不存在实数，满足数列是常数列，故③正确； 且实数， 此时，满足数列是常数列，故④正确. 故答案为：②③④ 【题型七】等比中项及其应用 【例7-1】（23-24高二上·上海宝山·期中）实数和的等比中项为 【答案】 【详解】设和的等比中项为，则，解得. 故答案为： 【例7-2】（23-24高二上·上海·期中）设、、…、是各项不为零的等差数列，，且公差，若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则满足题意的所有数对为 ． 【答案】，/， 【详解】设数列的公差为, 则各项分别为：，，，，且， 假设去掉第一项，则有，解得，不合题意； 去掉第二项，有，化简得：即，解得， 因为数列的各项不为零，所以数列不会出现第五项，所以数对； 去掉第三项，有，化简得：即，解得则此数列为：，此数列仍然不会出现第五项，因为出现第五项，数列不为等比数列，所以数对 去掉第四项时，有，化简得：，不合题意； 当去掉第五项或更远的项时，必然出现上述去掉第一项和第四项时的情况，即，不合题意. 所以满足题意的数对有两个为；. 故答案为：； 【变式7-1】（23-24高二上·上海闵行·期中）已知等比数列，是方程的两个实数根，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，，且数列为等比数列，设其公比为， 则，，. 故选：B. 【变式7-2】（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式： (2)求其前n项和取最大值时n的值． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可知，∴， ∴，∴. （2）由（1）得. 由二次函数的性质可得：当时，最大. 【题型八】判断等差等比数列 【例8-1】（23-24高二上·上海长宁·期中）已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则为常数， 所以数列为等差数列，首项为. 由已知对任意的恒成立， 可知有，即，解得. 故选：A. 【例8-2】（22-23高二上·上海浦东新·期中）若数列对任意满足：，下面关于数列的命题正确命题的序号是 . ①可以是等差数列 ②可以是等比数列 ③可以既是等差又是等比数列 ④可以既不是等差又不是等比数列 【答案】①②④ 【详解】因为， 所以或， 即：或， 当，时，是等差数列或是等比数列， 当或时，可以既不是等差又不是等比数列， 故答案为：①②④. 【变式8-1】（21-22高二上·上海普陀·期中）“数列为等差数列”是“数列为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】充分条件:若“数列为等差数列” 成立，则有（常数）， 所以(常数)，所以数列为等比数列. 必要条件:若“数列为等比数列”，所以为常数， 所以为常数，所以数列为等差数列， 所以数列为等差数列是数列为等比数列的充要条件. 故选:. 【变式8-2】（22-23高二上·上海·期中）已知数列的前n项和为，求数列的通项公式，并判断是不是等差数列. 【详解】当时，， 当时，，不满足， ， 因为，，，， ∴不是等差数列. 【题型九】等差与等比数列综合题 【例9-1】（24-25高二上·上海宝山·期末）已知是公差为2的等差数列，其前5项和为是公比为实数的等比数列，. (1)求和的通项公式； (2)设，计算. 【详解】（1）∵，且，∴， ∴． 设等比数列的公比为 ∵，且，∴，∴， ∴． （2）由题可知，， 为等比数列求和，首项为，公比为4， ∴． 【例9-2】（24-25高二上·上海·期中）已知数列满足，对任意正整数、都有. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和； (3)在（2）中的，设，求数列中最小项的值. 【详解】（1）对任意正整数、都有成立，， 所以令，得，， ∴数列（）是首项和公比都为2的等比数列. ∴（）. （2）由，得 ， 故， 所以， 当时，，， 于是，， 当时，； 当时， 又时，， 综上，有，. （3）因为，， 所以， 所以， 数列是单调递增数列，即数列中数值最小的项是，其值为. 【变式9-1】（24-25高二上·上海·期中）若项数为的有穷数列满足且，我们称这样的数列为数列: (1)若数列是数列，且为等比数列，项数为2024，求该数列的通项； (2)若数列是数列，且为等差数列，项数为且，求该数列的通项用k,n表示； (3)若数列是数列，项数为，记的前项和为，若存在，使，试问：数列能否是数列，若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 若，则由题意得，得， 由得或， 若，由题意得，，得，不可能， 综上所述，， 或 （2）设等差数列的公差为， ， ，， 即，当时，与数列的条件矛盾; 当时，据数列的条件得，， ，即，由得， 即， ； 当时，同理可得，即， 由得，即，， 综上所述，当时，， 当时，. （3）记中非负项和为，负项和为，则， 得，即， 若存在，使，由前面的证明过程知： ， 且， 若数列为数列，记数列的前项和为， 则，， 又， ，， 又，， ， 又与不能同时成立， 数列不为数列. 【变式9-2】（24-25高二上·上海·期中）设且，数列的各项均为整数，其前n项和为、定义：若满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第项起往后依次成公比为2的等比数列，则称为“r关联数列”； (1)若为“3关联数列”，求； (2)若为“6关联数列”，证明：对任意正整数n，都有； (3)设k、m为正整数且．若为“r关联数列”，且，是否存在k、m，使得?若存在，求出所有满足条件的k、m；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为数列为“3关联数列”，所以前3项依次成公差为1的等差数列，从第2项起往后依次成公比为2的等比数列， 则而且，解得 （2）因为数列为“6关联数列”，所以前6项依次成公差为1的等差数列，从第5项起往后依次成公比为2的等比数列， 则而且，解得， 根据等差，等比数列通项公式可得：， 所以数列前十项列举为：， 则数列前十项列举为： 所以数列前十项列举为： 通过上述列举可猜想对任意正整数n，都有， 证明：当时，由数列列举可得， 当时，， 所以 当时，，所以，而， 所以仍然满足， 综上可得：对任意正整数n，都有； （3）由数列为“r关联数列”，且，则有 且，解得，所以数列通项公式为：， 而当时，， 当时， ， 所以， 当时，由二次函数对称性计算可得： 当时，是一个递增数列，所以要使得，， 则有，即满足， 变形得：， 当，； 当，； 当，； 而当时，， 而当时，，所以，不可能满足， 综合上述使得的k、m为，，， 【题型十】数列与函数的关系 【例10】（24-25高二上·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】D 【详解】当时，取，则，显然不是严格增数列， 所以“”不能推出“数列是严格增数列”； 当数列是严格增数列时，设， 当时，是摆动数列，不符合要求，所以， 若，则， 若，则， 所以“数列是严格增数列”不能推出“”； 综上所述，“”是“数列是严格增数列”的既非充分也非必要条件， 故选：D. 【变式10-1】（24-25高二上·上海·期中）当均为正数时，称为的“均倒数”．若数列的各项均为正数，且其前项的“均倒数”为． (1)试求数列的通项公式； (2)设，试判断并说明的符号（为正整数）； (3)设，是否存在实数，使得当时，对于一切正整数，都有恒成立，并说明理由． 【详解】（1）依题意，，当时，， 两式相减得，而当时，，解得，满足上式， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，，， 因此 所以的符号为正. （3）由（2）知数列是单调递增数列，是其最小项，即， 假设存在实数，使得当时，对于一切正整数，都有恒成立， 于是恒成立，则，即， 解得或，取，当时，对于一切正整数，都有恒成立， 所以存在，使得当时，对于一切正整数，都有恒成立. 【变式10-2】（24-25高二上·上海·期中）在章节“用迭代序列求的近似值”中，将方程等价变形为，构造递推数列来形成一个迭代序列，当n趋于正无穷大时，趋近于.选取初始值，并令，，，2，3，… (1)完成以下表格，并在图中画出线段，，，，；（精确到0.001） n 1 2 3 n 4 5 6 (2)证明：是严格减数列； (3)设，证明是等比数列，并求出的通项公式及的值. 【详解】（1）根据递推数列，，可依次求得： ，，，， 完成以下表格 n 1 2 3 8 4.125 2.305 n 4 5 6 1.586 1.424 1.414 如图画出线段，，，， （2）证明：由，，可得， 再结合均值不等式得：，当且仅当时取等号， 也就是说只要前一项不等于，后一项就不可能取到， 而首项，所以等号一定不成立，即， 再由， 从而有，所以是严格减数列； （3）由两边加得： ，-------① 由两边减得： --------② 由①除以②得：， 上式两边取常用对数得：， 再由，代入得：， 所以是等比数列，首项， 即， 所以， 解得通项公式为， . 【题型十一】与数列有关不等式恒成立问题 【例11-1】（23-24高二上·上海闵行·期中）设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，若不等式恒成立，求的最小值. 【详解】（1）设公比为，且， 由可得，解得， 所以，， （2）由于，所以，故，因此为等差数列，且公差为1，故， 由得， 进而可得对任意的恒成立， 令,则， 记，当且仅当时等号成立，但由于，，而，，， 所以，故， ，则 因此，故, 即的最小值为， 【例11-2】（24-25高二上·上海嘉定·期中）设数列的前n项和为.若（），则称是“紧密数列”. (1)已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为1，，，x，，求x的取值范围； (2)若数列的前n项和为（），判断是否是“紧密数列”，并说明理由； (3)设数列是公比为q的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求q的取值范围. 【详解】（1）由题意得：，所以. （2）由数列的前n项和（），得 时，， 时，， 验证，当时，，成立， 所以 所以，， 因为对任意，，即， 所以，，即是“紧密数列”. （3）由数列是公比为q的等比数列，得， 因为是“紧密数列”，所以. ①当时，，， 因为， 所以时，数列为“紧密数列”，故满足题意. ②当时，，则. 因为数列为“紧密数列”， 所以，对任意恒成立. （i）当时，， 即，对任意恒成立. 因为，，， 所以，， 所以，当时，，对任意恒成立. （ii）当时，， 即，对任意恒成立. 因为，，. 所以，解得， 又，此时q不存在. 综上所述，q的取值范围是. 【变式11-1】（22-23高二上·上海浦东新·期中）数列满足：，； (1)求证：； (2)求证：对任意正数，都存在正整数使得成立； (3)求证： 【详解】（1）由已知得：， 所以 因为， 易知，，， 所以有 （2）由（1）可知，所以有：，， 所以，显然对任意的正数，在正整数，使得， 此时成立； （3）当时，由已知得：成立， 假设当时，成立， 则， 又，即， 所以，综上所述：当时，. 因为成立，若成立，则 故成立 得成立 得成立. 【变式11-2】（22-23高三上·上海浦东新·期中）已知数列的前项和为，满足：. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，数列满足，记为的前项和，求证：； (3)在（2）的前提下，记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，， 两式相减可得，即 由可得， 两式相减可得 化简可得，所以， 所以数列为等差数列； （2）由可得，可得， 因为，所以， 因为数列满足， 所以，所以， 所以数列为等比数列， 因为，所以，， 所以， 所以，即， （3）由（2）可得； 由已知 可得 设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为， 所以， 当为奇数时，， 所以 当为偶数时，， 所以 由， 得， 即， 当为偶数时，对一切偶数成立，所以， 当为奇数时，对一切奇数成立，所以此时， 故对一切恒成立，则. 【题型十二】数学归纳法 【例12-1】（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 【例12-2】（23-24高二上·上海静安·期中）用数学归纳法证明（，）的过程中，当时，左端应在时的左端上加上 【答案】 【详解】由题意，当时，所得等式左端为； 当时，所得等式左端为； 所以当时，左端应在时的左端上加上. 故答案为：. 【例12-3】（24-25高二上·上海·期中）对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 【详解】（1）由题意，，，，；以； （2）当，时，猜想，数学归纳法证明如下 （ⅰ）当时，，命题成立； （ⅱ）假设当时，命题成立，即， 则当时， （*） ，，即命题也成立 由（ⅰ）（ⅱ）可知，当，时，成立. （3），则，， 设，即，则， 函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等， 又单调递增，所以新， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到， 当时，为偶数，等式不成立；所以等式无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列. 【变式12-1】（24-25高二上·上海嘉定·期中）利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 . 【答案】 【详解】由题意，时，左边为； 时，左边为； 从而增加两项为，且减少一项为， 故左边应增乘的因式为. 故答案为： 【变式12-2】（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【详解】等差数列中，，， 当时，，，原等式成立； 假设当时，原等式成立，即，， 则 ， 即当时，原等式成立， 所以对一切，等式成立. 【变式12-3】（24-25高二上·上海松江·期中）在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列，其各项与公差d均不为零. (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为.当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”. 【详解】（1）由题设， 时，等比子列可能为；；， 经验证： 等比子列为时无解； 等比子列为时，前4项为：，故通项为； 等比子列为时，前4项为：，故通项为； （2）由题设，而，则为递增的等差数列，且, ，则，中不包含，不合题意； ，则，中不包含，不合题意； ，则数列公比为2，此时， ，符合题意； 要使公比最小，则，， 此时. （3）由，有，即， 由，，， 所以，即，可得或， 由，则， 要证数列为数列的“等比子列”，即证数列中每一项都是数列中的项， 数学归纳法证明如下： 由上推理及题设知，前3项满足，即时结论成立； 假设时结论成立，即使， 当时，， 所以是的第项，故结论也成立， 综上，，总有的任意一项都是中的某一项， 综上，数列为数列的“等比子列”，得证. 【题型一】求数列通项方法 1．（24-25高二上·上海徐汇·期中）在数列中，，对任意，有，则 ． 【答案】 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推数列研究数列的有关性质 【详解】若，则，因为，所以都大于0， 从而， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为：. 2.（24-25高二上·上海·期中）若数列满足，且（其中，），则的通项公式是 ． 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和、累加法求数列通项 【详解】在数列中，，当时，， 则 ，满足上式， 所以的通项公式是. 故答案为： 3．（23-24高二上·上海闵行·期中）已知数列，对任意正整数，，，成等差数列，公差为，则 ． 【答案】 【知识点】累加法求数列通项 【详解】因为，对任意正整数，，，成等差数列，公差为， 所以 当时，可得， 当时， 所以当时， 故答案为： 【题型二】数列求和方法 4．（24-25高二上·上海嘉定·期中）若数列满足，（），则其前2023项和为（    ） A．1360 B．1358 C．1350 D．1348 【答案】C 【知识点】分组（并项）法求和 【详解】数列中，，，而， 所以. 故选：C 5．（23-24高二上·上海闵行·期中）数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】裂项相消法求和、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列 【详解】由已知，， 可知数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， ， 所以， 故选：A. 6．（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【知识点】求等比数列前n项和、写出等比数列的通项公式、由递推关系式求通项公式、分组（并项）法求和 【详解】（1）因为， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； （2）因为， 所以. 7．（23-24高二上·上海闵行·期中）去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中8万吨垃圾以填埋方式处理，12万吨垃圾以环保方式处理，为了确定处理生活垃圾的预算，预计从今年起，每年生活垃圾的总量递增，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加5万吨． (1)请写出今年起第n年用填埋方式处理的垃圾量的表达式； (2)求从今年起n年内用填埋方式处理的垃圾量的总和； (3)预计今年起9年内，哪些年不需要用填埋方式处理生活垃圾． 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、等比数列的简单应用、分组（并项）法求和 【详解】（1）由题意可知 （2）由（1）可知 化简可得 （3）当时， 当时， 当时， 当时， 所以第到第年不需要. 8．（22-23高二上·上海·期中）已知点在直线上，为直线l与y轴的交点，等差数列的公差为1（）． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求的值； (3)若，且，求证：数列为等比数列，并求的通项公式． 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、由定义判定等比数列、裂项相消法求和、数列的极限 【详解】（1）∵点在直线上，为直线l与y轴的交点， ，， ∵等差数列的公差为1（）， ，. （2）由（1）可得，， ， ， ， . （3）证明：时，， ， ∴数列为等比数列，首项为，公比为2， ，∴． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列（5知识&12题型&2方法清单） 知识点01基本概念 1、数列：按照一定次序排列的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列． 无穷数列：项数无限的数列． 递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 常数列：各项相等的数列． 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 4、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式． 5、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式． 知识点02与等差数列相关的结论 设为等差数列的前项和. (1); (2) (3); (4)构成等差数列. (5)是关于的一次函数或常数函数，数列也是等差数列. (6) (7)若等差数列的项数为偶数,公差为,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为,则所有项之和,,. (8)若等差数列的项数为奇数,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为,则所有项之和,,,,. (9)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则. 知识点03与等比数列相关的结论 已知等比数列,公比为,前项和为. (1)(). (2)若,则();反之,不一定成立. (3),,,成等比数列(). (4)公比时,,,,成等比数列(). (5)若等比数列的项数为(),公比为,奇数项之和为,偶数项之和为,则. (6),是等比数列,则,,,也是等比数列(,). (7)通项公式.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点. (8)只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数. (9)三个数成等比数列,通常设为,,;四个数成等比数列,通常设为,,,. 知识点04数列的通项公式的求法 1.累加法 形如 (n=2、3、4…...) 且可求，则用累加法求.有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解. 2.累乘法 形如 (n=2、3、4……)，且可求，则用累乘法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解. 3.构造等比数列法 原数列{}既不等差，也不等比。若把{}中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出。该法适用于递推式形如=或=或= 其中b、c为不相等的常数，为一次式。 4.构造等差数列法 数列{}既不等差，也不等比，递推关系式形如，那么把两边同除以后，想法构造一个等差数列，从而间接求出. 5.取倒数法 有些关于通项的递推关系式变形后含有项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出. 6.利用公式求通项 有些数列给出{}的前n项和与的关系式=，利用该式写出，两式做差，再利用导出与的递推式，从而求出. 7.重新构造新方程组求通项法 有时数列{}和{}的通项以方程组的形式给出，要想求出与必须得重新构造关于和的方程组，然后解新方程组求得和. 知识点05数列求和的方法 1.公式法：直接用等差、等比数列的求和公式求解. 2.分组求和法：根据数列或数列通项公式的特征，将其分解为一些可以直接求和的数列（如等差数列、等比数列、常数列等），再分组求和. 3.错位相减法：在数列中，是等差数列，是等比数列，可用错位相减法求此数列的前n项和. 4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和，分式型数列的求和多用此法. 常见的裂项方法： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）若为等差数列，公差为，则. 5.倒序相加法 已知数列的特征是“与首末两端等距离的两项之和等于首末两项之和”.先把求和的式子倒过来写，然后对两个求和的式子进行相加，即可求出该数列的前n项和. 6.并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称为并项求和.形如，可采用并项求和法. 【题型一】等差数列的通项公式及基本量的计算 【例1-1】（22-23高二下·上海青浦·期中）等差数列首项为2，公差为2，则等差数列的通项公式为 【例1-2】（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项，公差，求第项的值为 . 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）满足条件的等差数列共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】（23-24高二上·上海静安·期中）已知数列满足，（，），则 ． 【题型二】利用等差数列的性质计算 【例2】（23-24高二上·上海静安·期中）在等差数列中，，，，则 ． 【变式2-1】（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知等差数列，若，则 ． 【变式2-2】（22-23高二上·上海松江·期中）已知数列为等差数列，，则数列的公差为 ． 【题型三】等差中项的应用 【例3】（23-24高二上·上海·期中）已知2，a，成等差数列，则a的值为 ． 【变式3-1】（23-24高二上·上海闵行·期中）已知，，是和的等差中项，则的值等于 . 【变式3-2】（24-25高二上·上海·期中）设实数，，，是公差为的等差数列，其中且.若，，三数依序也成等差数列，其中为，，，，其中一数，则 .（化为最简分数） 【题型四】等差数列前n项和及基本计算 【例4-1】（23-24高二上·上海闵行·期中）在和之间插入个数，组成首项为，末项为的等差数列，若这个数列的前项的和，后项的和之比为，则插入数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例4-2】（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的前n项和为，若，则 ． 【例4-3】（24-25高二上·上海·期中）记等差数列的前项和分别为. 若，则 . 【变式4-1】（23-24高二上·上海闵行·期中）已知等差数列中，，，则 【变式4-2】（24-25高二上·上海·期中）记为等差数列的前项和.若，则 . 【变式4-3】（24-25高二上·上海松江·期中）北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有，个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有n层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为 . 【题型五】等差数列综合题 【例5-1】（22-23高二上·上海·期中）等差数列的前项和．求数列的前项的和． 【例5-2】（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知数列是等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)若数列的前n项和为，求及其最小值. 【变式5-1】（23-24高二下·上海·期中）已知数列是首项为23，公差为-4的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，求的最大值. 【变式5-2】（23-24高二上·上海·期末）设为等差数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)当为何值时，最大，并求出的最大值. 【变式5-3】（24-25高二上·上海·期中）在等差数列中，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最小值. 【题型六】等比数列通项公式及基本量计算 【例6-1】（24-25高二上·上海·期中）已知数列为等比数列，、，则 【例6-2】（23-24高二上·上海闵行·期中）在等比数列中，若，则公比 ． 【例6-3】（24-25高二上·上海·期中）在等比数列中，，且，则的值为 . 【例6-4】（23-24高二上·上海闵行·期中）在共有2023项的等比数列中，有等式成立，类比上述性质，在共有2023项的等差数列中，相应的有等式 成立． 【变式6-1】（24-25高二上·上海松江·期中）已知数列满足，且，则 . 【变式6-2】（23-24高二上·上海·期中）在等比数列中，若，，则 ． 【变式6-3】（23-24高二上·上海静安·期中）等比数列的前3项分别为x，，，则 ． 【变式6-4】（23-24高二上·上海·期中）等比数列的n前项和为，若，，则 ． 【变式6-5】（24-25高二上·上海·期中）若是以为首项，为公差的等差数列；是以为首项，为公比的等比数列.则下列说法正确的是 ①存在实数，使得不存在实数，满足数列是常数列； ②存在实数，使得对任意实数，满足数列都是常数列： ③存在实数，使得不存在实数，满足数列是常数列： ④存在实数，使得有无穷多个实数，满足数列是常数列； 【题型七】等比中项及其应用 【例7-1】（23-24高二上·上海宝山·期中）实数和的等比中项为 【例7-2】（23-24高二上·上海·期中）设、、…、是各项不为零的等差数列，，且公差，若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则满足题意的所有数对为 ． 【变式7-1】（23-24高二上·上海闵行·期中）已知等比数列，是方程的两个实数根，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式： (2)求其前n项和取最大值时n的值． 【题型八】判断等差等比数列 【例8-1】（23-24高二上·上海长宁·期中）已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例8-2】（22-23高二上·上海浦东新·期中）若数列对任意满足：，下面关于数列的命题正确命题的序号是 . ①可以是等差数列 ②可以是等比数列 ③可以既是等差又是等比数列 ④可以既不是等差又不是等比数列 【变式8-1】（21-22高二上·上海普陀·期中）“数列为等差数列”是“数列为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8-2】（22-23高二上·上海·期中）已知数列的前n项和为，求数列的通项公式，并判断是不是等差数列. 【题型九】等差与等比数列综合题 【例9-1】（24-25高二上·上海宝山·期末）已知是公差为2的等差数列，其前5项和为是公比为实数的等比数列，. (1)求和的通项公式； (2)设，计算. 【例9-2】（24-25高二上·上海·期中）已知数列满足，对任意正整数、都有. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和； (3)在（2）中的，设，求数列中最小项的值. 【变式9-1】（24-25高二上·上海·期中）若项数为的有穷数列满足且，我们称这样的数列为数列: (1)若数列是数列，且为等比数列，项数为2024，求该数列的通项； (2)若数列是数列，且为等差数列，项数为且，求该数列的通项用k,n表示； (3)若数列是数列，项数为，记的前项和为，若存在，使，试问：数列能否是数列，若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由. 【变式9-2】（24-25高二上·上海·期中）设且，数列的各项均为整数，其前n项和为、定义：若满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第项起往后依次成公比为2的等比数列，则称为“r关联数列”； (1)若为“3关联数列”，求； (2)若为“6关联数列”，证明：对任意正整数n，都有； (3)设k、m为正整数且．若为“r关联数列”，且，是否存在k、m，使得?若存在，求出所有满足条件的k、m；若不存在，请说明理由． 【题型十】数列与函数的关系 【例10】（24-25高二上·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【变式10-1】（24-25高二上·上海·期中）当均为正数时，称为的“均倒数”．若数列的各项均为正数，且其前项的“均倒数”为． (1)试求数列的通项公式； (2)设，试判断并说明的符号（为正整数）； (3)设，是否存在实数，使得当时，对于一切正整数，都有恒成立，并说明理由． 【变式10-2】（24-25高二上·上海·期中）在章节“用迭代序列求的近似值”中，将方程等价变形为，构造递推数列来形成一个迭代序列，当n趋于正无穷大时，趋近于.选取初始值，并令，，，2，3，… (1)完成以下表格，并在图中画出线段，，，，；（精确到0.001） n 1 2 3 n 4 5 6 (2)证明：是严格减数列； (3)设，证明是等比数列，并求出的通项公式及的值. 【题型十一】与数列有关不等式恒成立问题 【例11-1】（23-24高二上·上海闵行·期中）设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，若不等式恒成立，求的最小值. 【例11-2】（24-25高二上·上海嘉定·期中）设数列的前n项和为.若（），则称是“紧密数列”. (1)已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为1，，，x，，求x的取值范围； (2)若数列的前n项和为（），判断是否是“紧密数列”，并说明理由； (3)设数列是公比为q的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求q的取值范围. 【变式11-1】（22-23高二上·上海浦东新·期中）数列满足：，； (1)求证：； (2)求证：对任意正数，都存在正整数使得成立； (3)求证： 【变式11-2】（22-23高三上·上海浦东新·期中）已知数列的前项和为，满足：. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，数列满足，记为的前项和，求证：； (3)在（2）的前提下，记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【题型十二】数学归纳法 【例12-1】（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【例12-2】（23-24高二上·上海静安·期中）用数学归纳法证明（，）的过程中，当时，左端应在时的左端上加上 【例12-3】（24-25高二上·上海·期中）对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 【变式12-1】（24-25高二上·上海嘉定·期中）利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 . 【变式12-2】（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【变式12-3】（24-25高二上·上海松江·期中）在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列，其各项与公差d均不为零. (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为.当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”. 【题型一】求数列通项方法 1．（24-25高二上·上海徐汇·期中）在数列中，，对任意，有，则 ． 2.（24-25高二上·上海·期中）若数列满足，且（其中，），则的通项公式是 ． 3．（23-24高二上·上海闵行·期中）已知数列，对任意正整数，，，成等差数列，公差为，则 ． 【题型二】数列求和方法 4．（24-25高二上·上海嘉定·期中）若数列满足，（），则其前2023项和为（    ） A．1360 B．1358 C．1350 D．1348 5．（23-24高二上·上海闵行·期中）数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 7．（23-24高二上·上海闵行·期中）去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中8万吨垃圾以填埋方式处理，12万吨垃圾以环保方式处理，为了确定处理生活垃圾的预算，预计从今年起，每年生活垃圾的总量递增，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加5万吨． (1)请写出今年起第n年用填埋方式处理的垃圾量的表达式； (2)求从今年起n年内用填埋方式处理的垃圾量的总和； (3)预计今年起9年内，哪些年不需要用填埋方式处理生活垃圾． 8．（22-23高二上·上海·期中）已知点在直线上，为直线l与y轴的交点，等差数列的公差为1（）． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求的值； (3)若，且，求证：数列为等比数列，并求的通项公式． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $