第二章有理数及其运算单元测试 2025～2026学年 北师大版七年级数学上册

2025～2026学年度第一学期北师大版七年级数学测试题 学校 班级 姓名 考号 座号 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 第二章有理数及其运算 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列不具有相反意义的量的是（　　） A．前进5米和后退5米 B．节约10吨水和浪费1吨水 C．超过5克和不足2克 D．身高增加2厘米和体重减少2千克 2．下列各数中，表示3的相反数的是（　　） A．﹣（﹣3） B．|+3| C．|﹣3| D．+（﹣3） 3．在数轴上表示数﹣1和2021的两点分别为点A和点B，则A、B两点之间的距离为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 4．若|a﹣5|+|b+6|＝0，则﹣b+a﹣1的值是（　　） A．﹣11 B．10 C．﹣2 D．2 5．若两数之积为负数，则这两个数一定是（　　） A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．无法确定 6．如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q＝0，则m，n，p，q四个数中负数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 7．中国探月工程“嫦娥六号”成功发射，向距离地球约384400km的月球出发，并于5月8号成功实施近月制动．数据384400用科学记数法表示为（　　） A．3.844×104 B．3.844×105 C．0.3844×106 D．38.44×104 8．下列各式中．计算结果得0的是（　　） A．﹣22+（﹣2）2 B．﹣22﹣22 C．﹣22﹣（﹣2）2 D．（﹣2）2+22 9．计算：的结果是（　　） A．﹣9 B．﹣1 C．3 D．9 10．设a是任意有理数，下列说法正确的是（　　） A．（a+1）2的值总是正的 B．a2+1的值总是正的 C．﹣（a+1）2的值总是负的 D．a2+1的值中，最大值是1 二、填空题：本大题共6小题，满分18分．只填写最后结果，每小题填对得3分． 11．已知|m|＝6，|n|＝2，且0，则m+n的值等于 　 　． 12．化简下列各数：①﹣（﹣8）＝　 ；②﹣（+0.75）＝　 　； ③　 　；④﹣[+（﹣3.8）]＝　 　． 13．有一种24点的游戏，游戏规则是：任取四个1～13之间的自然数，将这四个数（每个数只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24，例如对1、2、3、4可做运算：（1+2+3）×4＝24．现有四个有理数7，﹣2，3，﹣4，运用上述规则写出算式，使其运算结果等于24，你的算式是 　 　． 14．对于有理数a、b，定义一种新运算“⊕”，规定：a⊕b＝|a+b|﹣|a﹣b| （1）计算2⊕（﹣3）的值是 ； （2）若a⊕a＝8，则a＝　 　． 15．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为﹣2时，最后输出的结果y是　 　． 16．下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2026个数应是 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明或演算步骤．） 17．（18分）计算下列各式 (1) (2) (3) (4) (5)； (6)． 18．（8分）已知下列各有理数：﹣2.5，0，|﹣3|，﹣（﹣2），，﹣1… （1）画出数轴，在数轴上标出这些数表示的点； （2）用“＜”号把这些数连接起来． 19．（8分）为体现社会对教师的尊重，教师节这天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，﹣4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣13，﹣17． （1）若出租车每行驶100千米耗油10升，这天上午汽车共耗油多少升？ （2）如果每升汽油7元，则出租车司机今天上午的油费是多少元？ 20．（8分）已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． （1）若表示﹣2的点与表示2的点重合，则表示1的点与表示 　 　的点重合； （2）若表示1的点与表示﹣3的点重合，回答下列问题： ①表示3的点与表示 　 　的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为10，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数多少？ 21．（10分）数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法； 请仿照上面的方法计算： （1）； （2）． 22．（8分）一列数a1，a2，a3，…an，其中a1＝﹣1，，，…，，求a1+a2+a3+⋯+a2024的值． 23．（12分）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是　 　；表示1和﹣4的两点之间的距离是　 　． （2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为　 　；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为　 ． （3）若|x+3|＝4，则x＝　 ；若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝　 ． 答案解析 2025～2026学年度第一学期质量监测试题七年级数学 第二章有理数及其运算 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列不具有相反意义的量的是（　　） A．前进5米和后退5米 B．节约10吨水和浪费1吨水 C．超过5克和不足2克 D．身高增加2厘米和体重减少2千克 【分析】根据两个量是否具有相反意义逐项判定即可． 【解答】解：A、前进5米和后退5米是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； B、节约10吨水和浪费1吨水是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； C、超过5克和不足2克是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； D、身高增加2厘米和体重减少2千克不是具有相反意义的量，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查的知识点是相反意义的量，解题的关键是掌握相反数的定义． 2．下列各数中，表示3的相反数的是（　　） A．﹣（﹣3） B．|+3| C．|﹣3| D．+（﹣3） 【分析】根据相反数、绝对值的意义化简各数，然后判断即可． 【解答】解：A、﹣（﹣3）＝3，故此选项不符合题意； B、|+3|＝3，故此选项不符合题意； C、|﹣3|＝3，故此选项不符合题意； D、+（﹣3）＝﹣3，﹣3是3的相反数，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值、相反数，熟知这两个定义是解题的关键． 3．在数轴上表示数﹣1和2021的两点分别为点A和点B，则A、B两点之间的距离为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【分析】由数轴上表示数﹣1和2021的点到原点的距离分别为1个单位长度和2021个单位长度，且这两个点位于原点的两侧，故这两个点之间的距离为2022． 【解答】解：点A在原点的左侧，到原点的距离是1个单位长度，点B在原点的右侧，到原点的距离是2021个单位长度，B两点之间的距离为1+2021=2022， 故选：D． 【点评】本题考查数轴上两点间距离；会求数轴上两点间的距离是解题的关键． 4．若|a﹣5|+|b+6|＝0，则﹣b+a﹣1的值是（　　） A．﹣11 B．10 C．﹣2 D．2 【分析】根据绝对值的非负性，可以得知等式成立的条件为a﹣5＝0，b+6＝0，由此得到a＝5，b＝﹣6，继而得到﹣b+a﹣1的值． 【解答】解：因为|a﹣5|+|b+6|＝0， 所以a﹣5＝0，b+6＝0，即a＝5，b＝﹣6， 所以﹣b+a﹣1＝﹣（﹣6）+5﹣1＝10． 故选：B． 【点评】本题考查了绝对值的非负性求代数式的值，掌握绝对值的非负性是本题解题的关键． 5．若两数之积为负数，则这两个数一定是（　　） A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．无法确定 【分析】根据有理数的乘法法则，举反例，排除错误选项，从而得出正确结果． 【解答】解：例如（﹣2）×1＝﹣2，2×（﹣2）＝﹣4，所以C正确， 故选：C． 【点评】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个乘数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定结果符号． 6．如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q＝0，则m，n，p，q四个数中负数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先根据相反数的意义，确定原点，再根据各数在原点的位置确定数的正负． 【解答】解：∵n+q＝0 ∴n与q互为相反数． ∴原点为O． 则在原点左侧的数有三个． 即m，n，p，q四个数中负数有3个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了数轴和正负数，根据相反数的意义确定原点的位置是解决本题的关键． 7．中国探月工程“嫦娥六号”成功发射，向距离地球约384400km的月球出发，并于5月8号成功实施近月制动．数据384400用科学记数法表示为（　　） A．3.844×104 B．3.844×105 C．0.3844×106 D．38.44×104 【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 【解答】解：384400＝3.844×105， 故选：B． 【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 8．下列各式中．计算结果得0的是（　　） A．﹣22+（﹣2）2 B．﹣22﹣22 C．﹣22﹣（﹣2）2 D．（﹣2）2+22 【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、﹣22+（﹣2）2＝﹣4+4＝0，故本选项正确； B、﹣22﹣22＝﹣4﹣4＝﹣8，不是0，故本选项错误； C、﹣22﹣（﹣2）2＝﹣4﹣4＝﹣8，不是0，故本选项错误； D、（﹣2）2+22＝4+4＝8，不是0，故本选项错误． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的乘方，计算时要注意﹣22与（﹣2）2的区别． 9．计算：的结果是（　　） A．﹣9 B．﹣1 C．3 D．9 【分析】先把除法运算统一成乘法运算，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【解答】解： ＝9， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． 10．设a是任意有理数，下列说法正确的是（　　） A．（a+1）2的值总是正的 B．a2+1的值总是正的 C．﹣（a+1）2的值总是负的 D．a2+1的值中，最大值是1 【分析】根据偶次方的非负性，即a2≥0进行判断即可． 【解答】解：（a+1）2≥0，A错误； a2+1＞0，B正确； ﹣（a+1）2，≤0，C错误； a2+1的值中，最小值是1，D错误， 故选：B． 【点评】本题考查的是偶次方的非负性，掌握a2≥0是解题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，满分18分．只填写最后结果，每小题填对得3分． 11．已知|m|＝6，|n|＝2，且0，则m+n的值等于 　 　． 【分析】根据绝对值的性质可得m＝±6，n＝±2，再由，可得到m＝6，n＝2或m＝﹣6，n＝﹣2，再代入，即可求解． 【解答】解：∵|m|＝6，|n|＝2， ∴m＝±6，n＝±2， ∵， ∴m＝6，n＝2或m＝﹣6，n＝﹣2， 当m＝6，n＝2时，m+n＝6+2＝8； 当m＝﹣6，n＝﹣2时，m+n＝﹣6﹣2＝﹣8； 综上所述，m+n的值等于±8． 故答案为：±8． 【点评】本题考查了绝对值的性质以及有理数的加法，求代数式的值，能正确得出相应字母的值是解本题的关键． 12．化简下列各数：①﹣（﹣8）＝　 ；②﹣（+0.75）＝　 　； ③　 　；④﹣[+（﹣3.8）]＝　 　． 【分析】利用化简多重符号的方法即可求解． 【解答】解：①﹣（﹣8）＝8； ②﹣（+0.75）＝﹣0.75； ③； ④﹣[+（﹣3.8）]＝3.8． 故答案为：①8；②﹣0.75；③；④3.8． 【点评】本题考查了相反数的意义，熟练掌握化简多重符号的方法是解题的关键． 13．有一种24点的游戏，游戏规则是：任取四个1～13之间的自然数，将这四个数（每个数只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24，例如对1、2、3、4可做运算：（1+2+3）×4＝24．现有四个有理数7，﹣2，3，﹣4，运用上述规则写出算式，使其运算结果等于24，你的算式是 　 　． 【分析】根据有理数混合运算的式子解答即可． 【解答】解：[（﹣2）+（﹣4）]×（3﹣7） ＝（﹣2﹣4）×（﹣4） ＝（﹣6）×（﹣4） ＝24． 故答案为：[（﹣2）+（﹣4）]×（3﹣7）（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 14．对于有理数a、b，定义一种新运算“⊕”，规定：a⊕b＝|a+b|﹣|a﹣b| （1）计算2⊕（﹣3）的值是 ； （2）若a⊕a＝8，则a＝　 　． 【分析】（1）根据新定义规定的运算公式列式计算可得； （2）根据新定义规定的计算公式可得a⊕a＝|a+a|﹣|a﹣a|＝|2a|＝2|a|，即2|a|＝8，解之可得． 【解答】解：（1）2⊕（﹣3）＝|2﹣3|﹣|2+3|＝﹣4； （2）a⊕a＝|a+a|﹣|a﹣a|＝|2a|＝2|a|， 由条件得2|a|＝8， ∴a＝±4， 故答案为：±4． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握新定义规定的运算公式和有理数的混合运算顺序及运算法则． 15．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为﹣2时，最后输出的结果y是　 　． 【分析】根据题中的程序流程图，将x＝﹣2代入计算得到结果为1，将x＝1代入计算得到结果大于1，即可得到最后输出的结果． 【解答】解：把x＝﹣2代入可得：， 再把x＝1代入可得：， 所以y， 故答案为： 【点评】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序流程是解本题的关键． 16．下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2026个数应是 【分析】根据所给数列，发现后一个数总是前一个数的2倍，据此可解决问题． 【解答】解：由题知，因为1＝20，2＝21，4＝22，8＝23，16＝24，…， 所以第n个数可表示为：2n﹣1（n为正整数）． 当n＝2026时， 2n﹣1＝22025， 即第2026个数是22025． 【点评】本题考查数字变化的规律，能根据所给数列发现第n个数可表示为2n﹣1（n为正整数）是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明或演算步骤．） 17．（12分）计算下列各式 (1) (2) (3) (4) (5)； (6)． 【分析】本题考查有理数的运算： （1）根据加减法则，进行计算即可； （2）根据加减法则，进行计算即可； （3）根据混合运算法则，进行计算即可； （4）根据含有理数的乘方运算混合运算法则，进行计算即可． （5）利用乘法分配律计算即可； （6）先算乘方，绝对值，乘法，再算加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 18．（8分）已知下列各有理数：﹣2.5，0，|﹣3|，﹣（﹣2），，﹣1… （1）画出数轴，在数轴上标出这些数表示的点； （2）用“＜”号把这些数连接起来． 【分析】（1）求出|﹣3|＝3，﹣（﹣2）＝2，在数轴上把各个数表示出来； （2）根据数轴上右边的数总比左边的数大比较即可． 【解答】解：（1）如图， （2）﹣2.5＜﹣1＜0（﹣2）＜|﹣3|． 【点评】本题考查了有理数的大小比较和数轴的应用，关键是求出各个数的大小和在数轴上把各个数表示出来，注意：在数轴上右边的数总比左边的数大． 19．（8分）为体现社会对教师的尊重，教师节这天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，﹣4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣13，﹣17． （1）若出租车每行驶100千米耗油10升，这天上午汽车共耗油多少升？ （2）如果每升汽油7元，则出租车司机今天上午的油费是多少元？ 【分析】（1）根据绝对值的定义求出总路程，再计算耗油量； （3）油费＝汽油单价×耗油量． 【解答】解：（1）出租车共行驶了|+15|+|﹣4|+|+13|+|﹣10|+|﹣12|+|+3|+|﹣13|+|+|﹣17|＝87（km）， 共耗油87÷100×10＝8.7（升）． 故这天上午汽车共耗油8.7升； （2）7×8.7＝60.9（元）． 故出租车司机今天上午的油费是60.9元． 【点评】本题考查了正数和负数的意义；解题关键是理解“正”和“负”的相对性；在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 20．（8分）已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． （1）若表示﹣2的点与表示2的点重合，则表示1的点与表示 　 　的点重合； （2）若表示1的点与表示﹣3的点重合，回答下列问题： ①表示3的点与表示 　 　的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为10，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数多少？ 【分析】（1）根据对称的知识，表示﹣2的点与表示2的点重合，则对称中心是原点，从而找到1的对称点； （2）由题意可确定对称点是表示﹣1的点，则： ①表示3的点与对称点距离为4，与左侧与对称点距离为4的点重合； ②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为5，据此求解． 【解答】解：（1）根据题意得对折点是， 则1表示的点与数﹣1表示的点重合． 故答案为：﹣1； （2）①根据题意得对折点是， ∴和表示3的点重合的＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5， 故答案为：﹣5． ②10÷2＝5， 故点A表示的数是﹣1﹣5＝﹣6， 点B表示的数是﹣1+5＝4． 【点评】此题考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到对称中心是解决问题的关键． 21．（10分）数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法； 请仿照上面的方法计算： （1）； （2）． 【分析】根据题意给出的运算方法以及有理数的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝1+（﹣1） ＝0． 【点评】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是正确理解题意给出的运算方法． 22．（8分）一列数a1，a2，a3，…an，其中a1＝﹣1，，，…，，求a1+a2+a3+⋯+a2024的值． 【分析】先算出前几个的值，找到规律，再求解． 【解答】解：∵a1＝﹣1， ∴， ， ，…， ∴这列数按照：﹣1，，2，依次循环出现， ∵， ∵2024÷3＝674……2， ∴a2023＝﹣1，， ∴． 【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 23．（12分）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是　 　；表示1和﹣4的两点之间的距离是　 　． （2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为　 　；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为　 ． （3）若|x+3|＝4，则x＝　 ；若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝　 ． 【分析】（1）根据数轴上表示2和6两点之间的距离是|6﹣2|；表示1和﹣4的两点之间的距离是|﹣4﹣1|，计算求解即可； （2）由题意知，数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为|x﹣6|；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为|x+3|； （3）由|x+3|＝4，可得x+3＝±4，计算求解即可；当x＜﹣4时，|x﹣1|+|x+4|＝﹣x+1﹣x﹣4＝﹣2x﹣3＞5；当﹣4≤x≤1时，|x﹣1|+|x+4|＝﹣x+1+x+4＝5；当x＞1时，|x﹣1|+|x+4|＝x﹣1+x+4＝2x+3＞5；进而可求|x﹣1|+|x+4|的最小值为5． 【解答】解：（1）|6﹣2|＝4；|﹣4﹣1|＝5； 答：数轴上表示2和6两点之间的距离是4；表示1和﹣4的两点之间的距离是5； 故答案为：4，5； （2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为|x﹣6|；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为|x+3|； 故答案为：|x﹣6|，|x+3|； （3）∵|x+3|＝4， ∴x+3＝±4， 解得x＝1或x＝﹣7； 当x＜﹣4时，|x﹣1|+|x+4|＝﹣x+1﹣x﹣4＝﹣2x﹣3＞5； 当﹣4≤x≤1时，|x﹣1|+|x+4|＝﹣x+1+x+4＝5； 当x＞1时，|x﹣1|+|x+4|＝x﹣1+x+4＝2x+3＞5； 综上所述，|x﹣1|+|x+4|的最小值为5， 故答案为：1或﹣7；5． 【点评】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值方程，绝对值的几何意义．熟练掌握数轴上两点之间的距离，绝对值方程，绝对值的几何意义是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $