2.4二次函数的应用式（第1课时）教学设计2025-2026学年北师大版数学九年级下册

该初中数学教学设计聚焦二次函数解决几何图形面积最值问题，课堂导入通过复习二次函数最值求法（配方、顶点公式），衔接已学的二次函数图像与性质，为建立“实际问题-数学建模”学习支架奠定基础。 特色在于“问题引导-探究发现”教学模式，结合几何画板动态演示图形与面积关系，通过直角三角形内矩形面积、窗户透光面积等问题链，引导学生经历建模过程，发展几何直观（数学眼光）、推理意识（数学思维）与模型意识（数学语言），助力学生掌握建模方法，为教师提供分层教学资源。

2.4二次函数的应用（第1课时） 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是北师大版初中数学九年级（下册）第2章“二次函数”的第4节。内容包括利用二次函数解决几何图形的面积最值问题，建立数学模型解决实际问题的基本思路。 （二）教学内容解析 这是本章的核心内容，是连接函数图像与代数表达式的桥梁，这节课是在学生学习了二次函数的图像和性质后的应用课，核心是让学生经历"实际问题→数学建模→求解验证"的过程基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】用二次函数的知识分析解决有关面积的实际问题. 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1.能根据几何图形关系列出二次函数表达式，会求面积的最值 2.通过解决实际问题，体会数学建模思想，提高分析和解决问题能力 3.感受数学在实际生活中的应用价值，激发学习兴趣 （二）教学目标解析 学生能根据图形中的边长关系，设出合适的自变量 学生能利用面积公式列出函数关系式，并整理成一般形式 学生能通过配方法或公式法求出二次函数的顶点坐标 学生能根据顶点坐标和自变量取值范围，确定面积的最大值或最小值 三、学生学情分析 学生已有基础：掌握了列代数式和建立方程的方法，学习了二次函数的概念、图像和性质，会用配方法或公式法求二次函数的顶点坐标 可能遇到的困难：如何将复杂的几何图形关系转化为函数关系，如何根据实际意义确定自变量的取值范围，对"最值"的几何意义理解不透彻。基于以上分析，确定教学难点如下： 【教学难点】通过图形的面积关系列出函数表达式. 四、教学策略分析 1. 教学方法：采用"问题引导-探究发现-合作交流"的教学模式，教师通过创设情境、提出问题引导学生思考，学生通过自主探索和小组讨论解决问题 2. 教学手段：利用多媒体课件展示问题情境和动态图形，使用几何画板等工具直观演示图形变化与面积变化的关系 五、教学过程分析 （一）复习引入 1.通过配方求下列二次函数的最大值或最小值. (1)y (2)y＝. 一是把一般式化为顶点式；二是利用顶点坐标公式求解. 设计意图：回顾相关知识，唤起先前记忆，为本节的学习奠定基础和创造条件. （二）主动参与、感悟新知 问题1：小兰家屋后有一块直角三角形的荒地（如图）.爷爷想要挖一个矩形鱼塘养鱼 .小兰帮助爷爷设计了方案：在直角三角形内部作了一个矩形ABCD，AB、AD分别在两直角边上. （1）如果设矩形的一边AB = x m，用含x的代数式表示AD. （2）设矩形面积为y㎡，当AB为多少时，鱼塘面积最大，最大面积是多少？ 解：(1)设 ，由图可知Rt△EDC∽Rt△CBF. ∴， ∴(2)由题意得 ∴当 x = 20 时，y 有最大值，最大值为 300. 追问：如果设AD边的长为 xm,那么长方形ABCD的面积的最大值又是多少?与(2)比较,你发现了什么? N M 40m 30m A B C D ┐ x 问题 2（变式训练）： 在上面问题中，如果把矩形改为下图的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你C E 是怎样解决这个问题的？E B D O F A 在此问题的解决过程中，要给学生留有充分的时间进行探究，如果学生探究问题的解决方法时有困难，那么就要引导学生进行问题的思考与解决 学生通过交流讨论，探索解决问题的方法。然后选派学生代表进行发言。 例1　（教材第46页例1）某建筑的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长为15 m（图中所有黑线的长度和）.当x等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到0.01 m）此时，窗户的面积是多少？（结果精确到0.01 m2） 解：由题意可知4y＋×2πx＋7x＝15. 化简，得y＝. 设窗户的面积为S m2，则S＝πx2＋2x·＝－3.5x2＋7.5x. ∵a＝－3.5<0，∴S有最大值. ∴当x＝－＝≈1.07时， S最大＝＝≈4.02. 即当x≈1.07 m时，窗户通过的光线最多.此时，窗户的面积是4.02 m2. 二次函数解决几何面积最值问题的方法： 1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值； 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 练习： 1. 一根铝合金型材长为6m，用它制作一个“日”字形窗户的框架ABCD(如图)，如果恰好用完整条铝合金型材，那么AB，AD分别为多少米时，窗户的面积最大？ 2. 如图，小亮父亲想用长为80m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边 AB = x m，面积为 S m2. （1）写出 S 与 x 之间的关系式，并指出 x 的取值范围； （2）当 AB， BC 分别为多少米时，羊圈的面积最大?最大面积是多少? （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( ) A．32 m2　 B．36 m2　 C．48 m2 D．64m2 2用长为8 m的铝合金条制成如图所示的“日”字形矩形窗框，使窗户的透光面积最大，最大的透光面积为( ) A．m2 B． m2 C．2 cm2 D．4 cm2 3.如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝_________m时，矩形土地ABCD的面积最大． 4．如图，小滕要用总长为40 m的铁栅栏及一面墙(墙足够长)围成一个矩形自行车停车场ABCD，并要在AB和BC边上各留一个2 m宽的小门(不用铁栅栏)，则他能围成的矩形自行车停车场ABCD的最大面积为_________ m2． 5．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝(如图)，这个菱形的两条对角线的长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(cm2)随其中一条对角线AC的长x(cm)的变化而变化． (1)请直接写出S与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，菱形风筝的面积S最大？最大值是多少？ 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $