2.3确定二次函数的表达式（第1课时）教学设计2025-2026学年北师大版数学九年级下册

2.3确定二次函数的表达式（第1课时） 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是北师大版初中数学九年级（下册）第2章“二次函数”的第3节。内容包括已知顶点坐标和一个点，求二次函数的顶点式 y = a(x-h)² + k. （二）教学内容解析 这是本章的核心内容，是连接函数图像与代数表达式的桥梁，既是对一次函数解析式求法的延伸，也是后续学习函数应用的基础，顶点式的推导基于图像平移，一般式则需解三元一次方程组，体现了代数与几何的结合 基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】利用待定系数法，利用二元一次方程组确定二次函数的表达式. 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1. 会根据已知条件，选择合适的形式求二次函数的表达式 2. 能理解不同形式表达式之间的联系，并能进行简单的转化 3. 经历"设-代-解-写"的解题过程，体会数学的逻辑严谨性 （二）教学目标解析 目标1要求学生能根据顶点、对称轴等特征选择顶点式，根据任意点选择一般式 目标2旨在让学生理解解析式的不同形式只是"表象"，函数的本质不变 目标3强调解题的规范性，培养学生分析问题和解决问题的能力 三、学生学情分析 学生已掌握二次函数的图像和性质，对顶点、开口方向等概念有一定认识，已学过用待定系数法求一次函数解析式，具备一定的知识迁移基础基于以上分析，确定教学难点如下： 【教学难点】根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式. 四、教学策略分析 1. 情境引入：通过篮球抛射、桥梁抛物线等实际问题引入，激发学生兴趣 2. 问题驱动：设计由易到难的问题链，引导学生自主探究 3. 对比教学：通过例题对比，让学生直观感受两种形式的适用场景 4. 讲练结合：教师示范规范解题步骤，学生通过练习巩固方法 五、教学过程分析 （一）复习引入 一名学生推铅球时，铅球行进高度 y (m) 与水平距离 x (m)之间的关系如图所示，其中 (4，3) 为图象的顶点，你能求出 y 与 x 之间的关系式吗? 设计意图：回顾相关知识，唤起先前记忆，为本节的学习奠定基础和创造条件. （二）主动参与、感悟新知 分析：此题设二次函数的顶点坐标式进行求解较为简便，学生较易接受；如学生通过找（10，0）在抛物线上的对称点（-2，0），用交点式 (a ≠0)求解或用其他方法求解均可，关于三个点的主要是下一节课的内容． 解：根据图象是一抛物线且顶点坐标为（4，3），因此设它的关系式为, ∵图象过点（10，0）, ∴, 解得 , ∴图象的表达式为. 想一想 二次函数的表达式有几种形式？类比猜想每一种需要几个点坐标可以确定表达式？ 例1：已知二次函数 y=ax2+c 的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求出这个二次函数的表达式. 分析：题中已知二次函数表达式，它是一种特殊形式，一次项系数b=0,只有2个待定系数，我们可以把点（2，3）和（－1，－3）代入即可，用二元一次方程组求解. 解：将点（2，3）和（－1，－3）分别代入二次函数中，得 解这个方程组，得 所以所求二次函数表达式为： 做一做：已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1，且经过点 (2， 5) 和(-2，13)，求这个二次函数的表达式. 分析：设二次函数一般式，有3个待定系数，需要3个条件，二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，所以c=1，可直接设表达式为，这样只有2个待定系数，将已知2个点代入求解即可． 教学注意事项：学生可能会根据条件，设二次函数的解析式，把点（0，1），（2，5），（-2，13）代入，用三元一次方程组解决，这对一些学生可能有一定的困难，可通过小组合作交流、个别辅导等形式解决. 解：因为抛物线与y轴交点纵坐标为1，所以设抛物线关系式为， ∵图象经过点(2,5)和(-2,13)代入表达式 ∴ 解得：a=2,b=-2. ∴这个二次函数关系式为 . 例2.选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式. 总结：顶点法求二次函数的方法 这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 想一想：在什么情况下，已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式? 二次函数 y = ax2+ bx + c 可化成：y = a(x - h)2 + k，顶点是 (h，k). 如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式. 已知二次函数 y = ax2+ bx + c 中一项系数，再知道图象上两点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式. 练习：1、已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点（1，1）与（2，3）两点。求这个二次函数的表达式. 2、已知一个二次函数图象的顶点坐标为 且经过点(－2，0)．求该二次函数的表达式． （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1. 若抛物线y=x2-8x+m的顶点在x轴上，则m=（ ） A. -16 B. 16 C. -4 D. 8 2. 形状与抛物线y=-x2-2相同，对称轴是直线x=-2，且过点（0，3）的抛物线是（ ） A. y=x2+4x+3 B. y=-x2-4x+3 C. y=-x2+4x+3 D. y=x2+4x+3或y=-x2-4x+3 3. 如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 . 4.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是 . 5.抛物线的顶点为（1，-4），与y轴交于点（0，-3），求该抛物线的函数表达式. 6.若二次函数y=ax2+4ax+c的最大值为4，且图象过点（-3，0），求二次函数的表达式. 7. 如图，已知二次函数y=的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的积． 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $