2.2二次函数的图象与性质（第1课时）教学设计2025-2026学年北师大版数学九年级下册

2.2二次函数的图象与性质（第1课时） 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是北师大版初中数学九年级（下册）第2章“二次函数”的第2节。内容包括学生理解二次函数 y=ax² 的图像是一条抛物线，并掌握它的开口方向、顶点坐标和对称轴。 （二）教学内容解析 这是学生第一次系统学习二次函数的图像，是后续学习更复杂二次函数（如 y=ax²+bx+c）的基础。它承接了学生之前对一次函数图像的认知，同时又在图像形状（从直线到曲线）和研究方法上有新的突破。这节课的学习，有助于学生建立"数"（函数解析式）与"形"（图像）之间的紧密联系，发展数形结合的思想。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】作出函数的图象，并根据图象认识和理解二次函数的性质. 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1. 学生能通过描点法画出 y=ax² (a≠0) 的图像。 2.学生能说出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴。 3.学生能比较 y=ax² 和 y=bx² (a、b 同号) 图像的开口宽窄程度。 （二）教学目标解析 1.通过动手画图、观察、比较和归纳，学生经历从具体到抽象的思维过程。 2. 学生初步体会研究函数图像的一般方法。 3. 通过小组合作和探究活动，激发学生的学习兴趣。 4. 培养学生严谨的治学态度和合作交流的意识。 三、学生学情分析 已有基础： 学生已经学习了一次函数和反比例函数，对函数的概念和研究方法有一定了解。学生掌握了描点法画函数图像的基本步骤。学生具备了一定的代数运算能力和几何图形观察能力。 可能遇到的困难：从熟悉的直线思维转向曲线思维，理解抛物线的形成过程有难度。准确理解 a 的符号和绝对值大小对抛物线开口方向和宽窄的影响。用数学语言精确描述函数性质，如"顶点是最低点或最高点"。基于以上分析，确定教学难点如下： 【教学难点】二次函数y=x2的图象特点的探索过程．通过对比地学习的图象及性质，并能比较出它们的异同点.  四、教学策略分析 1. 教学方法：主要采用探究式学习和合作学习相结合的方式。 教师通过设置问题链引导学生思考，而不是直接灌输结论。让学生分组合作画图、讨论，在交流中碰撞思维火花。 2.教学手段：多媒体辅助：用几何画板等软件动态演示 a 的变化对抛物线的影响，帮助学生直观理解。实物投影：展示学生的画图成果，进行点评和纠错，增强互动性。 五、教学过程分析 （一）复习引入 1、二次函数的定义是什么？有什么注意事项？ 二次函数：一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数. 注意：含x项的最高次数是2，且二次项系数不能为0. 2、你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？ 3、通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线. 4、 那么二次函数 y = x2 的图象是什么样的呢？你能动手画出它吗？ 设计意图：回顾相关知识，唤起先前记忆，为本节的学习奠定基础和创造条件. （二）主动参与、感悟新知 探究一：画二次函数y=x2的图象. （1）观察y=x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值， 完成下表： （2） 在直角坐标系中描点. （3）用光滑的曲线连接各点便得到函数y=x2的图象. 议一议 观察y=x2的图象，回答下列问题： （1）你能描述图象的形状吗？ （2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ （3）当x <0时，随着x的增大， y的值如何变化？ x>0呢？ （4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是多少？你是如何知道的? （5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请找出几对对称点. 总结：二次函数y=x2的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称.对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点. 画出二次函数y=-x2的图象，并观察二次函数y=-x2的图象是什么形状？它的图象与二次函数y=x2的图象有什么关系？ 探究二：猜想一下，二次函数y=-x2的图象是什么形状？ （1）列表： （2）描点. （3）连线. 由图象可知二次函数y=-x2的图象是一条开口向下的抛物线；图象有最高点，其顶点坐标为（0，0）；当x=0时，y有最大值，最大值为0；对称轴是y轴；当x＜0时，y的值随x值的增大而增大，当x＞0时，y的值随x值的增大而减小；图象与x轴有一个交点，交点坐标为（0，0）． 二次函数y=-x2的图象与二次函数y=x2的图象形状相同，但是开口向下，这两个函数的图象关于x轴成轴对称． 例1：下列关于二次函数y＝x2图象的说法中，错误的是( ) A．图象的形状是一条抛物线 B．图象开口向上，且关于y轴对称 C．图象的顶点是抛物线的最高点 D．图象的顶点坐标是(0，0) 例2：关于y＝x2与y＝－x2的说法中错误的是( ) A．其形状相同，但开口方向相反 B．都关于y轴对称 C．图象都有最低点，且其坐标均为(0，0) D．两图象关于x轴对称 例3 已知：如图，直线 y＝3x＋4 与抛物线 y＝x2 交于A、B 两点，求出 A、B 两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1．下列关于抛物线y=x2和y=-x2的关系的说法错误的是（ ）． A．抛物线y=x2与y=-x2有相同的顶点和对称轴 B．抛物线y=x2与y=-x2关于x轴成轴对称 C．抛物线y=x2与y=-x2与x轴交点相同 D．点A(-1，1)既在抛物线y=x2上，又在抛物线y=-x2上 2．已知a＜-1，点(a-1，y1)，(a，y2)，(a+1，y3)都在函数y=x2的图象上，则（ ）． A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 3．在同一直角坐标系中，抛物线y=x2，y=-x2的共同特点是（ ）． A．关于y轴对称，抛物线开口向上 B．关于y轴对称，y随x的增大而增大 C．关于y轴对称，y随x的增大而减小 D．关于y轴对称，抛物线顶点在原点 4．若点A(2，m)在抛物线y=x2上，则点A关于y轴对称点的坐标是________． 5．设直线y=ax+b与抛物线y=x2的交点A，B的横坐标分别为3，-1． （1）求a，b的值； （2）设抛物线的顶点为C，求△ABC的面积． 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $