2.1二次函数 教学设计2025-2026学年北师大版数学九年级下册

该初中数学教学设计聚焦二次函数的定义、一般形式及实际问题中的关系式构建，通过喷泉水流、投篮轨迹等生活情境导入，复习一次函数与反比例函数知识，搭建类比学习支架，衔接前后知识脉络。 以情境教学激发兴趣，引导学生用数学眼光观察现实世界，类比探究法助力自主构建二次函数概念，培养数学思维中的推理意识，结合果园产量、储蓄本息等实例抽象模型，发展数学语言表达的模型意识，讲练结合夯实基础，既提升学生抽象思维与建模能力，也为教师提供易操作的高效教学方案。

2.1二次函数 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是北师大版初中数学九年级（下册）第2章“二次函数”的第1节。内容包括：理解二次函数的定义，能判断一个函数是否为二次函数，会用待定系数法求二次函数的解析式，能根据实际问题列出二次函数关系式。 （二）教学内容解析 地位与作用：二次函数是初中代数的核心内容，是刻画现实世界中变量关系的重要数学模型。它既是对一次函数、反比例函数学习的延续和深化，也为高中学习函数、导数等知识奠定基础。同时，它也是解决几何问题、实际应用问题的重要工具。 核心素养：本节内容的学习有助于学生发展抽象思维、数学建模能力、运算能力和逻辑推理能力。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】会叙述二次函数的定义及一般形式，并作出正确的判断; 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1.理解二次函数的概念，能准确识别二次函数。 2.掌握二次函数的一般形式，并能确定其各项系数。 3.能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式。 4.经历从实际问题中抽象出二次函数模型的过程，体会数学建模思想。 5.通过类比一次函数的学习方法，探索二次函数的定义和形式，培养类比、归纳的思维方法。 （二）教学目标解析 达成目标1的标志：学生能根据定义判断函数是否为二次函数，并能指出其二次项系数、一次项系数和常数项。 达成目标2的标志：学生能独立分析实际问题中的变量关系，正确列出二次函数关系式。 达成目标3的标志：学生能主动运用类比思想学习新知识，并在小组讨论中积极发言，提出有价值的见解。 三、学生学情分析 已有知识基础：学生已经学习了一次函数、反比例函数的概念、图像和性质。具备了一定的从实际问题中抽象出函数模型的能力。掌握了用待定系数法求函数解析式的基本方法。 可能遇到的困难：对二次函数定义中的条件理解不深刻，容易忽略。在分析较复杂的实际问题时，难以准确找出变量之间的等量关系。对二次函数与一元二次方程之间的潜在联系缺乏预见。 学习方法指导：引导学生运用类比法，对照一次函数的学习思路来学习二次函数。基于以上分析，确定教学难点如下： 【教学难点】能用数学符号表示简单变量之间的二次函数关系. 四、教学策略分析 1.情境教学法：通过创设丰富的生活情境，如喷泉的水流轨迹、投篮等，激发学生的学习兴趣。 2.类比探究法：引导学生类比一次函数的定义和研究方法，自主探究二次函数的相关概念。 3.讲练结合法：在教师精讲的基础上，通过适量的练习帮助学生巩固知识，形成技能。 五、教学过程分析 （一）复习引入 活动：节日的喷泉给人们带来喜庆，夏日的喷泉给人们带来凉爽，你是否注意到喷泉水流所经过的路线?在观看篮球比赛时，你是否注意过篮球人篮的路线?它会与某种函数有联系吗? 本章我们将要探索和研究刻画变量之间关系的一种新模型---二次函数.类似于以前所学的一次函数和反比例函数，我们也要借助图象发现二次函数的性质，并利用二次函数解决一些实际问题. 分析：通过直观、有趣的生活实例，激发学生的好奇心和求知欲，自然引入课题。 设计意图：回顾相关知识，唤起先前记忆，为本节的学习奠定基础和创造条件. （二）主动参与、感悟新知 问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. (1) 问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ (2) 假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ (3) 如果果园橙子的总产量为 y 个，那么请你写出 y 与 x之间的关系式. （1）问题中的变量有：.增种橙子树的棵数；橙子树的总数；每棵橙子树结橙子的个数；果园橙子的总产量。 自变量是：增种橙子树的棵数； 因变量有：橙子树的总数；每棵橙子树结橙子的个数；果园橙子的总产量。 （2）如果设果园增种x棵橙子树，那么果园共有（100+x）棵橙子树，平均每棵橙子树结橙子(600-5x)个。 （3）如果设果园里橙子的总产量为y个，那么y与x的关系式为: y=（600-5x）×（100+x）=-5x+100x+60000 做一做 银行的储蓄利率是随时间变化的，也就是利率是一个变量.在我国，利率的调整是中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的. 设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y（元）与x的表达式（不考虑利息税） 第一年存入银行的本金是(100)元，一年后的本金与利息的和为 [100(1+x)]元。 第二年存入银行的本金[100(1+x)]元，两年后本金与利息的和为 [100(1+x)]元。 两年后的本息和y与年利率x之间的关系式为： y=100（1+x）=100x+200x+100 想一想 1.两个数的和是20，设其中一个数是x,写出这两个数之积y的表达式. 2.已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗？ 可能是75cm2吗？还可能是多少？ 请你表示出这个矩形的面积与其一边长的关系. 情境1：y=-5x²+100x+60 000. 情境2：y=100x²+200x+100. 情境3：y=x(20-x). 问题：y是 x 的函数吗？y 是 x的一次函数？是反比例函数？ 一般地，若两个变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 y=ax²+bx+c（a，b，c 是常数，a≠ 0）的形式，则称 y 是 x 的二次函数. 例1：下列是二次函数的是：____________ （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 判断一个函数是否为二次函数的步骤：(1) 将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是因变量的形式； (2) a，b，c 为常数，且 a≠0； (3) 等号左边是因变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； (4) 等式的右边自变量的最高次数为 2. 例2：已知 ( m 为常数)，根据下列条件求 m 的值： (1) y 是 x 的一次函数； (2) y 是 x 的二次函数； （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1.下列函数中，不是二次函数（ ） 2 .函数y=(m－n)x2＋mx＋n是二次函数,则（ ） A．m、n为常数，且m≠0 B．m、n为常数，且m≠n C．m、n为常数，且n≠0 D．m、n可以为任何常数 3.如果函数是关于x的二次函数, 4.某公司1月份营业额100万元，三月份营业额为y万元,如果每月的增长率为x，则y与x的关系式为______ 拓展题 5（1）有一块矩形苗圃，其周长是20.若设苗圃的长为xm，面积为S，那么S是x的二次函数吗？请说明理由； （2）当苗圃的长x为多少米时，苗圃的面积S最大？ 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $