专项突破02 全等三角形的判定（知识技巧点拨+15种高频考察题型 共45题）期中培优讲练-2025-2026学年人教版2024数学八年级上册考前冲刺

专项突破02 全等三角形的判定 （知识技巧点拨+15种高频考察题型 共45题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：全等三角形的判定 1 知识点梳理02：直角三角形全等的判定 2 知识点梳理03：全等三角形的判定与性质 2 知识点梳理04：全等三角形的应用 2 优选题型 考点讲练 3 题型1 用SSS间接证明三角形全等 3 题型2 全等的性质和SSS综合 4 题型3 用SAS间接证明三角形全等 5 题型4 全等的性质和SAS综合 6 题型5 用ASA(AAS)证明三角形全等 8 题型6 全等的性质和ASA(AAS)综合 10 题型7 用HL证全等(HL) 11 题型8 全等的性质和HL综合 13 题型9 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 14 题型10 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 15 题型11 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 17 题型12 尺规作一个角等于已知角 18 题型13 过直线外一点作已知直线的平行线 20 题型14 尺规作图—作三角形 22 题型15 利用全等图形求正方形 23 知识点梳理01：全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点梳理02：直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点梳理03：全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点梳理04：全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 题型1 用SSS间接证明三角形全等 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，甲、乙两位同学都以点 B，C 为圆心画出了两段弧，作出 的角平分线，那么下列结论正确的是（   ）    A．甲、乙都对 B．甲对、乙错 C．甲错、乙对 D．甲、乙都错 2．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为 ．    3．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，点D，E分别为边上的点，且，，则∠ ． 题型2 全等的性质和SSS综合 4．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种作法的依据是 ．（选填“”“”“”“”“”） 5．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，相交于点O，． (1)求证：； (2)求证：． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，． (1)求证：； (2)猜想，的位置关系，并说明理由． 题型3 用SAS间接证明三角形全等 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，在中，，在上，且，平分交 于点，过点作的平行线交于点，连接并延长交于点． 求证： (1)； (2)； (3)． 8．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，在正方形中，点 分别在上，且，将绕点顺时针旋转 90°，使点落在点处，则下列判断不正确的是（        ） A．是等腰直角三角形 B．垂直平分 C． D．是等腰三角形 9．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，ABDE．求证：△ABC≌△DEF． 题型4 全等的性质和SAS综合 10．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形，如图，在和中，，，，． (1)和 兄弟三角形；（填“是”或“不是”） (2)取的中点P，连接，求证：，小林同学根据求证的结论，想起了老师上课讲的“中线倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题，试帮小林同学完成证明过程． 11．（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______．         A．            B．            C．            D． （2）AD的取值范围是______． A．       B．       C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【方法应用】 （3）如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，．求证：． 【拓展延伸】 （4）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，则的长为______． 12．（21-22七年级下·山东烟台·期中）如图，是四边形的对角线，，点E、F分别在、上，，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型5 用ASA(AAS)证明三角形全等 13．（25-26八年级上·浙江温州·开学考试）如图，交于点，，点在线段上，，． (1)求证∶； (2)若，，求的度数． 14．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）如图，要测量池塘的长度，但点，之间不能直接测量，已知点，，，在同一条直线上，小明想了个办法先在的一边取了个点，连接，再在的另一边取了个点，使得，且，同时． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．（2025·河北张家口·二模）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 题型6 全等的性质和ASA(AAS)综合 16．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）直线m上有3个点D，A，E，在直线上方有，且． (1)如图1，当时，猜想，，之间的数量关系是______（直接写出结论）． (2)如图2，当时，问题（1）中的结论还成立吗？若成立，给出证明过程；若不成立，说明理由． 17．（23-24八年级上·河北保定·期末）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得． (1)求证：； (2)求的长． 18．（25-26八年级上·江苏常州·阶段练习）【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据 证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得 ． 【拓展延伸】 （1）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （2）如图4，中，，，点在线段上，，，垂足为，与相交于点．线段与的数量关系为 ．（直接写出） 题型7 用HL证全等(HL) 19．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，是的高，是上一点，，，求证： (1)． (2)． 20．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）在和中，，，D、分别是、上一点，且，有如下三个判断（　　） ①若，则和一定全等； ②若，则和一定全等； ③若，则和一定全等． A．②对①③错 B．②③对①错 C．全对 D．全错 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法（即“”“ ”“ ”“ ”）和直角三角形全等的判定方法（即“”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在和中，，，，然后对进行分类，可以分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 第一种情况：当为直角时，． （1）如图①，在和中，，，，根据_________，可以知道． 第二种情况：当为钝角时，． （2）如图②，在和中，，，，且，都是钝角，求证：． 第三种情况：当为锐角时，和不一定全等． （3）如图③，在和中，，，，且，都是锐角，请你用尺规在图中作出，和不全等．（不写作法，保留作图痕迹）． （4）还要满足什么条件，就可以使得，请直接填写结论： 在和中，，，，且，都是锐角，若_________，则． 题型8 全等的性质和HL综合 22．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，平分于点，点在的延长线上，交延长线于点，若，则 ． 23．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，于点A，于点D，若． 求证： (1)； (2)若，求的度数． 24．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点于点为上一点，连结，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 题型9 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 25．（25-26八年级上·全国·期末）如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，现添加以下条件仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图所示，，使，则需要添加的条件是 ． 27．（25-26八年级上·全国·期中）如图，点C，F在线段BE上， 请只添加一个合适的条件，使 (1)根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ． (2)请从（1）中选择一种加以证明． 题型10 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 28．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 29．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，a，b，c分别表示的三边长，则下面与一定全等的三角形是（    ） A． B． C． D． 30．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 题型11 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 31．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，D为外部一点，连接，已知． (1)尺规作图：在内求作一点M，使；（提示：以点A为圆心，为半径画弧；再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接） (2)①通过作图可以得到： ， ； ②判定的依据是 （从或中选填）； (3) 求． 32．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 33．（23-24八年级上·河北邢台·期中）如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 题型12 尺规作一个角等于已知角 34．（24-25七年级下·广东清远·期末）【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 35．（25-26八年级上·山西朔州·阶段练习）综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】（1）小红看到图1后，很快发现，请你帮助小红证明这一结论． 【探究二】（2）小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】（3）小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． 36．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，E、F分别为、上的动点，且，连接，，当取得最小值时，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型13 过直线外一点作已知直线的平行线 37．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为 ． 38．（24-25九年级下·甘肃嘉峪关·开学考试）综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了，使．图～图是其作图过程． （1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）以点为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点，作射线． （3）以点为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点，与射线交于点，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（   ）. A． B． C． D． 39．（25-26八年级上·山西朔州·阶段练习）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 准互余三角形 【概念理解】如果一个三角形的两个内角，满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”，把，称为“准互余角”，如在中，，这样的为“准互余三角形”，其中为“准互余角”． 【问题解决】 问题1：若是“准互余三角形”，与是“准互余角”，则的度数为． 问题2：如图1，在中，，是的角平分线，求证：是“准互余三角形”． 证明：设，则． ∵是的角平分线， ． （依据：直角三角形的两个锐角）， ． ， …… 任务： (1)问题1中“”表示的内容是______；问题2中“◯”表示的内容是______． (2)补全问题2中的证明过程． (3)如图2，已知，B是射线AN上的一点，用直尺和圆规作，使满足：①点C在射线上；②是“准互余三角形”（不写作法，保留作图痕迹，标明字母，不必说明理由）． 题型14 尺规作图—作三角形 40．（24-25七年级下·河北保定·期中）（尺规作图，不写画法保留作图痕迹）已知：直线a和直线a外一点P， (1)过点作直线的平行线． (2)这种作法的依据是什么？ 41．（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）用圆规和直尺作图，不写作法，但要保持作图痕迹．已知，点在上，求作点在内部，且，． 42．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上，用无刻度直尺画图： (1)①过点C画；②过点B画，垂足为N； (2)在图①中，线段 的长度表示点A到的距离； (3)已知：，利用直尺和圆规作图；在图②中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹）． 题型15 利用全等图形求正方形 43．（25-26八年级上·浙江温州·阶段练习）已知（如图），请你用尺规作图的方法作，使得．（请保留适当的作图痕迹） 44．（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，已知两角和以及这两角的夹边． (1)用直尺和圆规作其中边所对的角为 （需重新作出） (2)令若内和的平分线交于点I，用含α的代数式表示的度数． 45．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a，用尺规作出，使． (1)作一条线段______； (2)分别以点______，______为圆心，以______为半径画弧，两弧交于点C； (3)连接______，______，则就是所求作的三角形； (4)请按（1）（2）（3）的作图步骤，作出． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破02 全等三角形的判定 （知识技巧点拨+15种高频考察题型 共45题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：全等三角形的判定 1 知识点梳理02：直角三角形全等的判定 2 知识点梳理03：全等三角形的判定与性质 2 知识点梳理04：全等三角形的应用 2 优选题型 考点讲练 3 题型1 用SSS间接证明三角形全等 3 题型2 全等的性质和SSS综合 5 题型3 用SAS间接证明三角形全等 8 题型4 全等的性质和SAS综合 12 题型5 用ASA(AAS)证明三角形全等 17 题型6 全等的性质和ASA(AAS)综合 19 题型7 用HL证全等(HL) 24 题型8 全等的性质和HL综合 29 题型9 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 32 题型10 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 34 题型11 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 37 题型12 尺规作一个角等于已知角 41 题型13 过直线外一点作已知直线的平行线 47 题型14 尺规作图—作三角形 50 题型15 利用全等图形求正方形 52 知识点梳理01：全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点梳理02：直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点梳理03：全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点梳理04：全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 题型1 用SSS间接证明三角形全等 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，甲、乙两位同学都以点 B，C 为圆心画出了两段弧，作出 的角平分线，那么下列结论正确的是（   ）    A．甲、乙都对 B．甲对、乙错 C．甲错、乙对 D．甲、乙都错 【答案】A 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明即可求解． 【规范解答】解：如图，连接    甲：由作图可知，， ∵， ∴， ∴， ∴是平分线，故甲的作法正确； 乙：由作图可知，， ∵， ∴， ∴， ∴是平分线，故乙的作法正确． 故选A． 2．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为 ．    【答案】/35度 【思路引导】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质、平行线的判定及性质、角平分线的性质等知识，能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定和平行线的性质及判定是解题的关键．连接，，结合尺规作图，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，可知，然后根据角平分线的定义，即可获得答案． 【规范解答】解：连接，，    由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，点D，E分别为边上的点，且，，则∠ ． 【答案】/108度 【思路引导】本题主要考查了三角形全等的判定和性质、邻补角等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 先根据证明得出，再根据邻补角的定义求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型2 全等的性质和SSS综合 4．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种作法的依据是 ．（选填“”“”“”“”“”） 【答案】 【思路引导】本题考查三角形全等的判定和性质． 根据题意可知和三边对应相等，可证明，可得对应角相等，从而可得射线是的平分线，即可得这种作法的依据． 【规范解答】解：根据题意，，，， ∴， ∴， ∴射线即是的平分线， ∴这种作法的依据是“”． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，相交于点O，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）先证明，即可得出； （2）利用（1）中的结论证明，即可得出结论． 【规范解答】（1）连接， 在和中， ， ； （2）在和中， ， ． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，． (1)求证：； (2)猜想，的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由题意可知，根据证明即可； （2）由（1）可知则，证明，得到，进而可证 【规范解答】（1）证明： ， 即． 在和中， ； （2）解：．理由如下： 由（1）可知 ． 在和中， ， ， 即， ． 题型3 用SAS间接证明三角形全等 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，在中，，在上，且，平分交 于点，过点作的平行线交于点，连接并延长交于点． 求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键； （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质和平行线的性质可得，由外角的性质可得，可得； （3）由直角三角形的性质可证，可得结论． 【规范解答】（1）证明：平分， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ，， ， ； （3）证明：， ， ， ． 8．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，在正方形中，点 分别在上，且，将绕点顺时针旋转 90°，使点落在点处，则下列判断不正确的是（        ） A．是等腰直角三角形 B．垂直平分 C． D．是等腰三角形 【答案】D 【思路引导】由旋转的性质得到，于是得到是等腰直角三角形，故A不符合题意；由旋转的性质得到，由正方形的性质得到∠DAB=90°，推出，证明于是得到AF垂直平分EE'，故B不符合题意；证明，故C不符合题意；由于，但不一定等于DF，于是得到不一定是等腰三角形，故D符合题意． 【规范解答】解：∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处， ∴， ∴是等腰直角三角形，故A不符合题意； 如图，连接FE， ∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB=90°， ∵∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴+∠FAD=45°， ∴， ∵，AF=AF，    ∴AF垂直平分EE'，故B不符合题意； ∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处， 故C不符合题意； ∵，但不一定等于DF， 不一定相等， ∴不一定是等腰三角形，故D符合题意； 故选：D． 【考点剖析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定，线段垂直平分线的判定，正确的识别图形是解题的关键． 9．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，ABDE．求证：△ABC≌△DEF． 【答案】见解析 【思路引导】根据全等三角形的判定定理和平行线的性质即可得到结论． 【规范解答】证明：∵BE＝CF，            ∴BE＋EC＝CF＋EC．             即 ∴BC＝EF． 又∵ABDE，            ∴∠B＝∠1.    在△ABC和△DEF中， ∴△ABC ≌△DEF（SAS）． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定定理，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 题型4 全等的性质和SAS综合 10．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形，如图，在和中，，，，． (1)和 兄弟三角形；（填“是”或“不是”） (2)取的中点P，连接，求证：，小林同学根据求证的结论，想起了老师上课讲的“中线倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题，试帮小林同学完成证明过程． 【答案】(1)是 (2)见详解 【思路引导】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）证明（），由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【规范解答】（1）解：由条件可知， 又∵，， ∴和是兄弟三角形， 故答案为：是； （2）证明： 延长至E，使， 由条件可知， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴， 由条件可知， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴． 11．（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______．         A．            B．            C．            D． （2）AD的取值范围是______． A．       B．       C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【方法应用】 （3）如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，．求证：． 【拓展延伸】 （4）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，则的长为______． 【答案】（1）B （2）C （3）证明见解析 （4）31 【思路引导】本题考查了用倍长中线构造全等三角形，三角形的三边关系，正确理解题意作辅助线构造全等是解题关键． （1）由中线可得，结合已知条件和对顶角相等即可确定结果． （2）将转化为，利用三角形三边关系可知． （3）利用题目中给的延长中线的方法，构造，再利用已知条件证明即可证出． （4）利用题目中给的延长中线的方法，构造可得，再证明可得，计算长度即可． 【规范解答】（1）解：D为中点， ， ， ， 证明方法为． 故选：B． （2）解：由（1）得， ， ， ， ． 故选：C． （3）证明：延长至点M，使，连结， 为的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （4）解：延长至点，使，连结， 为中点， ， ， ， ， ， ， ． 12．（21-22七年级下·山东烟台·期中）如图，是四边形的对角线，，点E、F分别在、上，，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用证明，即可得结论； （2）根据全等得到，根据得到，即可得结果． 【规范解答】（1）解：在和中， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 题型5 用ASA(AAS)证明三角形全等 13．（25-26八年级上·浙江温州·开学考试）如图，交于点，，点在线段上，，． (1)求证∶； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质． （1）根据，可得，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，可得，根据三角形外角的性质，可得，再由求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 14．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）如图，要测量池塘的长度，但点，之间不能直接测量，已知点，，，在同一条直线上，小明想了个办法先在的一边取了个点，连接，再在的另一边取了个点，使得，且，同时． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质． （1）先由平行线的性质得到，再利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质证明，再结合已知条件即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 答：的长是． 15．（2025·河北张家口·二模）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定．由全等三角形的判定定理或均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案． 【规范解答】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴淇淇证明全等用到的依据可能是， 故选：B． 题型6 全等的性质和ASA(AAS)综合 16．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）直线m上有3个点D，A，E，在直线上方有，且． (1)如图1，当时，猜想，，之间的数量关系是______（直接写出结论）． (2)如图2，当时，问题（1）中的结论还成立吗？若成立，给出证明过程；若不成立，说明理由． 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到． 【规范解答】（1）解： ；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：（1）中的结论还成立；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．（23-24八年级上·河北保定·期末）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】此题考查全等三角形的性质和判定，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）利用同角的余角相等证明，再利用证明，据此证明即可． （2）利用全等三角形的性质，线段的和差关系直接代值求解即可． 【规范解答】（1）证明：， ， ，． ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， ． 18．（25-26八年级上·江苏常州·阶段练习）【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据 证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得 ． 【拓展延伸】 （1）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （2）如图4，中，，，点在线段上，，，垂足为，与相交于点．线段与的数量关系为 ．（直接写出） 【答案】【问题情境】；【类比解答】；【拓展延伸】（1），证明见解析；（2） 【思路引导】问题情境：根据角平分线的定义得到，根据垂直的性质得到，再利用证明即可； 类比解答：延长交于点，由问题情境可知：，得到，再利用三角形外角的性质即可求解； 拓展延伸：（1）延长与交于点，利用证明，得到，由问题情境可知：，则有，即可得出结论；（2）过点作，交的延长线于点，交于点，同理（1）中的方法可证，得到，由问题情境可知：，则有，即可得出结论． 【规范解答】解：问题情境： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，． 故答案为：； 类比解答： 延长交于点， 由问题情境可知：， ∴， ∵ ∴； 故答案为：； 拓展延伸： （1），证明如下： 如图，延长与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， 由问题情境可知：， ∴， ∴； （2）如图，过点作，交的延长线于点，交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理（1）中的方法可得， ∴， 由问题情境可知：， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、角平分线的定义以及平行线的性质，利用角平分线构造全等三角形是解题的关键． 题型7 用HL证全等(HL) 19．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，是的高，是上一点，，，求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定与性质以及垂直的证明，解题的关键是通过证明三角形全等得到对应角相等，再利用角度关系证明垂直． （1）先根据是的高，得出，再根据，得出，即可证出． （2）如图，延长与交于点，由（1）可知，得出，再根据对顶角，得到，得出，从而得出，即可证出． 【规范解答】（1）证明： 是的高， ， 在和中， ， ， ； （2）如图，延长与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ． 20．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）在和中，，，D、分别是、上一点，且，有如下三个判断（　　） ①若，则和一定全等； ②若，则和一定全等； ③若，则和一定全等． A．②对①③错 B．②③对①错 C．全对 D．全错 【答案】A 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定定理．根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形可证明②说法正确，根据全等三角形的判定定理不能根据①③的条件证明和全等． 【规范解答】解：①若，即，，， 不能证明与是全等三角形，故①错误； ②若，即，，， 根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形可得与是全等三角形，故②正确； ③若，即，，， 不能证明与是全等三角形，故③错误； 综上，②正确①③错误． 故选：A． 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法（即“”“ ”“ ”“ ”）和直角三角形全等的判定方法（即“”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在和中，，，，然后对进行分类，可以分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 第一种情况：当为直角时，． （1）如图①，在和中，，，，根据_________，可以知道． 第二种情况：当为钝角时，． （2）如图②，在和中，，，，且，都是钝角，求证：． 第三种情况：当为锐角时，和不一定全等． （3）如图③，在和中，，，，且，都是锐角，请你用尺规在图中作出，和不全等．（不写作法，保留作图痕迹）． （4）还要满足什么条件，就可以使得，请直接填写结论： 在和中，，，，且，都是锐角，若_________，则． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见详解；（4） 【思路引导】（1）根据可以知道． （2）过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H．先根据证明，则可得．再根据证明，则可得．最后根据即可证明． （3）根据题目要求作图即可． （4）由前面（1）（2）（3）的结论可得时， 【规范解答】解：（1）如图①，在和中，，，，根据可以知道． 故答案为： （2）证明：如图，过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H． ∵，且、都是钝角， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴． （3）如图，在和中，，，，，且，都是锐角，但和不一定全等．即为所求； （4）由(1)(2)(3)的结论可知：在和中，，，，且，都是锐角，若，则． 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及学生归纳总结的能力．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 题型8 全等的性质和HL综合 22．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，平分于点，点在的延长线上，交延长线于点，若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质． 由“”可证，可得，由角的数量关系可求解． 【规范解答】解：在和中， ， ∴ (）， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，于点A，于点D，若． 求证： (1)； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的外角的性质等，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； （1）利用题中条件，证明，可推出； （2）设，则，由，推出，再利用直角三角形的两个锐角互余，求出，进一步可得，再利用三角形的外角的性质求． 【规范解答】（1），， ， 又，， ， ． （2）设，则， 由（1）知， ， 又， ， ，解得， ， ． 故的度数为． 24．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点于点为上一点，连结，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①② 【思路引导】本题主要考查了垂直的定义，直角三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件证明，然后根据全等三角形的性质得出①正确，再利用平行线的判定定理可得②正确，根据条件无法证明③④． 【规范解答】解：①∵，， ∴， 在与中， ∴， ∴，，故①正确，符合题意； ②∵，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③根据现有条件无法证明， 故③错误，不符合题意； ④根据现有条件无法证明， 故④错误，不符合题意； 故答案为：①②． 题型9 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 25．（25-26八年级上·全国·期末）如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，现添加以下条件仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理以及发现隐含条件成为解答本题的关键．欲使，已知，，可根据全等三角形判定定理、、添加条件，逐一判断即可． 【规范解答】解：，， A、添加，利用即可证明； B、添加，为，不能证明，所以此选项不能作为添加的条件； C、添加，利用即可证明； D、添加，利用即可证明． 故选：B． 26．（11-12九年级上·辽宁锦州·期中）如图所示，，使，则需要添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 要使，已知一组边与一组角相等，再添加一组对边即可以利用判定其全等． 【规范解答】解：添加 ∵ ∴， ∵， ∵， ∴， 亦可添加或， 故答案为：（答案不唯一）． 27．（25-26八年级上·全国·期中）如图，点C，F在线段BE上， 请只添加一个合适的条件，使 (1)根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ． (2)请从（1）中选择一种加以证明． 【答案】(1)， (2)见解析 【思路引导】（1）根据“”和“”证明三角形全等所需要的条件解答即可； （2）根据“”和“”证明三角形全等即可． 【规范解答】（1）解：根据“”，题中已给出一组角一组边，还缺以此组角为夹角的另一组边，即．根据“”，题中已给出直角和一组直角边，还缺一组斜边，即． 故答案为：，． （2）解：添加“”得证明过程如下： 在和中， ， ∴， 选择“”的证明过程如下； ∵， ∴都是直角三角形， 在和中， ， ∴． 题型10 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 28．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质定理，能灵活运用全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键． （1）先求出，根据“”推出，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据全等三角形的性质和判定进行分析即可解答． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：图中的全等三角形有，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∵在和中， ， ∴； ∵在和中， ， ∴． 29．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，a，b，c分别表示的三边长，则下面与一定全等的三角形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查全等三角形的判定，先根据三角形内角和定理计算出，再根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【规范解答】解：由题意知，， A．满足两边相等，但夹角不相等，不能判定与一定全等； B．满足两边及夹角相等，根据能判定与一定全等； C．仅满足一边一角相等，不能判定与一定全等； D．满足两边相等，但夹角不相等，不能判定与一定全等； 故选B． 30．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 【规范解答】（1）根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； （2）连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 题型11 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 31．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，D为外部一点，连接，已知． (1)尺规作图：在内求作一点M，使；（提示：以点A为圆心，为半径画弧；再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接） (2)①通过作图可以得到： ， ； ②判定的依据是 （从或中选填）； (3)求． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【思路引导】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意，以点A为圆心，为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接即可． （2）①根据题意可得答案．②结合全等三角形的判定可得答案． （3）结合全等三角形的判定可得，在中，，在中，，则可得 ． 【规范解答】解：（1）如图，点M即为所求． （2）①通过作图可以得到：． 故答案为：；． ②判定的依据是． 故答案为：． （3）在中，， 在中，． ∵， ∴． ∴ ． 32．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 【答案】任务1：①见解析 ；②； 任务2：①90； ②． 【思路引导】本题考查应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 任务一：根据作出三角形即可； 任务二：①猜想：； ②利用平行线的性质以及角平分线的定义证明即可． 【规范解答】解：任务一： ①如图1中，即为所求； ②依据是：， 故答案为：； 任务2： ①猜想：． 故答案为：90； ② ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ． 33．（23-24八年级上·河北邢台·期中）如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 【答案】C 【思路引导】根据全等三角形的判定进行判断即可． 【规范解答】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定， 所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等， 故选：C． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键． 题型12 尺规作一个角等于已知角 34．（24-25七年级下·广东清远·期末）【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3） 【思路引导】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解． 【规范解答】解：（1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得，， ，， ， ∵ ∴ 35．（25-26八年级上·山西朔州·阶段练习）综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】（1）小红看到图1后，很快发现，请你帮助小红证明这一结论． 【探究二】（2）小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】（3）小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形； （1）证明，即可得证； （2）过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F，证明，得到，根据三角形的面积公式，即可得出结论； （3）过点D作，交的延长线于点H，先证明，求出的长，再证明，根据线段的和差关系以及全等三角形的性质，即可得出结果． 【规范解答】解：（1）证明：， ，即． 在和中， ． ． （2）证明：如图1，过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F，． ∵， ∴， ， ． 在和中， ． ． ，， ； （3）如图2，过点D作，交的延长线于点H． ， ． ， ， ， 又∵，， ∴， ． ， ． ， 又∵， ∴， ． ， ， ， 即的长为2． 36．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，E、F分别为、上的动点，且，连接，，当取得最小值时，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点C作，使得，连接，，交于点M，证明，得，当三点共线时的值最小，再证明，得，进而可得，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点C作，使得，连接，，交于点M， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，且此时点F与点M重合， ∵, ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即此时， ∵ ∴， ∴此时． 故选：A． 题型13 过直线外一点作已知直线的平行线 37．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，根据作图方法可得，据此可得答案． 【规范解答】解：由作图方法可知，， ∵， ∴， 故答案为：． 38．（24-25九年级下·甘肃嘉峪关·开学考试）综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了，使．图～图是其作图过程． （1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）以点为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点，作射线． （3）以点为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点，与射线交于点，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了尺规作图和全等三角形的判定定理，解题的关键是掌握相关知识．由作图可得， ，，再结合全等三角形的判定定理即可得解． 【规范解答】解：由作图可得，， ，， 在和中， ， ， 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是． 39．（25-26八年级上·山西朔州·阶段练习）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 准互余三角形 【概念理解】如果一个三角形的两个内角，满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”，把，称为“准互余角”，如在中，，这样的为“准互余三角形”，其中为“准互余角”． 【问题解决】 问题1：若是“准互余三角形”，与是“准互余角”，则的度数为． 问题2：如图1，在中，，是的角平分线，求证：是“准互余三角形”． 证明：设，则． ∵是的角平分线， ． （依据：直角三角形的两个锐角）， ． ， …… 任务： (1)问题1中“”表示的内容是______；问题2中“◯”表示的内容是______． (2)补全问题2中的证明过程． (3)如图2，已知，B是射线AN上的一点，用直尺和圆规作，使满足：①点C在射线上；②是“准互余三角形”（不写作法，保留作图痕迹，标明字母，不必说明理由）． 【答案】(1)；互余（或之和为） (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查尺规作图—作三角形，三角形的内角和定理，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，结合三角形的内角和定理，求出“”表示的内容，根据直角三角形的两个锐角互余，得到“◯”表示的内容； （2）求出的度数，进而求出，即可； （3）作，交于点即可． 【规范解答】（1）解：问题1：∵是“准互余三角形”，与是“准互余角”， ∴， ∴； 问题2：在中， （依据：直角三角形的两个锐角互余）； 故答案为：；互余 （2）证明：设，则． ∵是的角平分线， ． （依据：直角三角形的两个锐角互余）； ． ， ， ， 是“准互余三角形”． （3）（作法不唯一）作出图形如下． 由作图可知：， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形” ． 题型14 尺规作图—作三角形 40．（24-25七年级下·河北保定·期中）（尺规作图，不写画法保留作图痕迹）已知：直线a和直线a外一点P， (1)过点作直线的平行线． (2)这种作法的依据是什么？ 【答案】(1)见详解 (2)同位角相等，两直线平行 【思路引导】本题考查了过直线外一点作已知直线的平行线，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）以点为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交直线a于点，交直线于点，再以点P为圆心，以为半径画弧，交直线于点，再以点E为圆心，为半径画弧，与前弧交于点A，连接，且所在的直线即为直线，即可作答． （2）根据作图过程，得出，故，即这种作法的依据是同位角相等，两直线平行． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：根据作图过程，得出， 故， ∴这种作法的依据是同位角相等，两直线平行． 41．（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）用圆规和直尺作图，不写作法，但要保持作图痕迹．已知，点在上，求作点在内部，且，． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定，尺规作图—作与已知角相等的角．根据尺规作一个角等于已知角作出，即可． 【规范解答】解：如图所示，点即为所求； ∵ ∴， 根据作图可得 ∴点即为所求； 42．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上，用无刻度直尺画图： (1)①过点C画；②过点B画，垂足为N； (2)在图①中，线段 的长度表示点A到的距离； (3)已知：，利用直尺和圆规作图；在图②中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【思路引导】本题考查作图﹣应用与设计作图，点到直线的距离，平行线的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行线，垂线的定义画出图形； （2）根据点到直线的距离的定义判断即可； （3）在的右侧作即可． 【规范解答】（1）解：图形如图所示： （2）解：在图①中，线段的长度表示点A到的距离； 故答案为：； （3）解：图形如图②所示． 题型15 利用全等图形求正方形 43．（25-26八年级上·浙江温州·阶段练习）已知（如图），请你用尺规作图的方法作，使得．（请保留适当的作图痕迹） 【答案】见解析 【思路引导】本题考查作一个与已知三角形全等的三角形，先作线段，再分别以、为圆心，、为半径画弧交于点，此时，，则． 【规范解答】解：使得的如图所示： 44．（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，已知两角和以及这两角的夹边． (1)用直尺和圆规作其中边所对的角为 （需重新作出） (2)令若内和的平分线交于点I，用含α的代数式表示的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理:三角形内角和是，也考查了角平分线的定义和平角的定义，解决本题的关键是熟记三角形的内角和定理． （1）先作线段，再分别以、为顶点，作与已知、相等的角，两角的射线交点为，即得； （2）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线定义得到，再利用三角形内角和定理得到． 【规范解答】（1）（1）作图如下； （2）在中，， ， 点为的内角平分线与的交点， ， ． 45．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a，用尺规作出，使． (1)作一条线段______； (2)分别以点______，______为圆心，以______为半径画弧，两弧交于点C； (3)连接______，______，则就是所求作的三角形； (4)请按（1）（2）（3）的作图步骤，作出． 【答案】(1)a (2)A，B， (3)， (4)见解析 【思路引导】本题考查尺规作图，作一条线段等于已知线段，解题的关键在于熟练掌握作图步骤． （1）根据题意，即可解题； （2）根据，给出作图步骤即可； （3）顺次连接三角形顶点，并给出作图步骤即可； （4）根据前三小问所给步骤画图即可． 【规范解答】（1）解：由题知，作一条线段， 故答案为：a； （2）解：分别以点A，B为圆心，以为半径画弧，两弧交于点C， 故答案为：A，B，； （3）解：连接，，则就是所求作的三角形； 故答案为：，； （4）解：如图，即为所求： 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $