专题08 期中真题百练通关23题型（期中专项训练）九年级数学上学期冀教版

专题08 期中真题百练通关23题型 题型一 （加权）平均数的有关计算 题型十三 锐角三角函数的计算 题型二 中位数、众数的有关计算 题型十四 解直角三角形 题型三 方差的有关计算和意义 题型十五 解非直角三角形 题型四 解一元二次方程 题型十六 解直角三角形的应用 题型五 判断一元二次方程根的情况 题型十七 反比例函数的定义及解析式 题型六 根与系数关系的应用 题型十八 图形面积与比例系数 题型七 一元二次方程的实际应用 题型十九 反比例函数的应用 题型八 一元二次方程的（动态）几何问题 题型二十 三角形的外接圆问题 题型九 比例线段的性质 题型二十一 弧、弦、圆心角、圆周角的计算 题型十 相似三角形的判定 题型二十二 垂径定理 题型十一 相似三角形的性质 题型二十三 扇形的弧长和面积 题型十二 位似变换 题型一 （加权）平均数的有关计算 1．（2025·26七年级上·浙江杭州·期中）体育老师测试五位同学的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据．复查时，发现记录时出现了一处错误：将最高成绩写得更高了．那么，数据调整正确后，五位同学跳绳成绩的平均数的计算结果会（   ） A．变高 B．变低 C．不变 D．无法判断 【答案】B 【详解】解：因为错误是将最高成绩写得更高了， 所以数据调整正确后，五位同学跳绳成绩的总和会变小， 则五位同学跳绳成绩的平均数的计算结果会变低． 故选：B． 2．（2024·25九年级上·河北石家庄·期中）的平均数为m，的平均数为，则的平均数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：前5个数的平均数为，总和为；第6到第个数共个数的平均数为，总和为， ∴全部个数的总和为，平均数为：，对应选项D，其他选项中，A和B未考虑数据量的差异，C的分母错误（总数为而非），故排除， 故选：D. 3．（2024·25八年级下·浙江杭州·期中）某学校招聘工作人员，考试分笔试、面试和才艺三部分，笔试成绩、面试成绩与才艺成绩按记入总成绩，若小李笔试成绩为分，面试成绩为分，才艺成绩为分，则他的总成绩是 分． 【答案】 【详解】解：由题意可得，小李的总成绩是：（分）， 故答案为：． 4．（2024·25八年级下·北京朝阳·期中）一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是86和90，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.6，可知此次招聘中 （填“面试”或“笔试”）的权重较大． 【答案】面试 【详解】解：设此次招聘中面试的权重为，则笔试的权重为， 由题意得：， 解得， ， 则此次招聘中面试的权重较大， 故答案为：面试． 【点睛】本题考查了加权平均数，熟记公式是解题关键． 题型二 中位数、众数的有关计算 5．（2024·25九年级下·四川德阳·期中）市农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高进行了测量，根据统计的结果，绘制出如下的统计图．则这组苗高数据的平均数、众数、中位数依次是（   ） A．15.6，10，16 B．16，16，15.5 C．15.6，16，16 D．16，10，15.5 【答案】C 【详解】解：平均数为： 16出现了10次，出现的次数最多，则众数是16； 把这组25个数据从小到大排列，第13个数是16 则这组数据的中位数是16； 故选：C ． 6．（2024·25八年级上·浙江·期中）已知样本：3，4，0，，6，1，那么这个样本的中位数是 ． 【答案】2 【详解】解：将这个样本的数据从小到大排列：，0，1，3，4，6， 处于中间的两个数为：1，3， 中位数为：， 故答案为：2 7．（2024·25九年级下·广东中山·期中）有一组数据如下：3，a，4，6，8，已知它们的平均数是5，那么这组数据的众数为 ． 【答案】4 【详解】解：根据平均数的定义，可得， 等式两边同乘，得， 计算左边常数项之和，得， 移项，得， 此时数据组为3， 4， 4， 6， 8，其中出现的次数最多，故众数为． 故答案为：． 8．（2024·25八年级下·浙江杭州·期中）已知下列一组数据23，25，20，18，x，12，若中位数是20，则众数是 ． 【答案】20 【详解】解：∵一组数据23，25，20，18，x，12的中位数是20，, ∴， ∴， 则这组数据的众数为20， 故答案为：20． 题型三 方差的有关计算和意义 9．（2024·25八年级下·四川德阳·期中）若数据2，1，4，3，0的平均数是2，则这组数据的方差是 ． 【答案】2 【详解】解：∵数据2，1，4，3，0的平均数是2， ∴这组数据的方差． 故答案为：2． 10．（2024·25八年级上·全国·期中）甲、乙二人在相同情况下，各射靶10次，两人命中环数的平均数都是7，方差分别为9和，则射击成绩较稳定的是 ． 【答案】乙 【详解】解：∵甲、乙二人在相同情况下，各射靶10次，两人命中环数的平均数都是7，方差分别为9和，， ∴射击成绩较稳定的是乙． 故答案为：乙． 11．（2024·25八年级下·浙江宁波·期中）一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 题型四 解一元二次方程 12．（2023·24九年级上·河南·期中）用配方法解下列方程时，配方错误的是（   ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 【答案】C 【详解】解：A、化为； B、化为； C、化为； D、化为； 故选项C错误； 故选：C． 13．（2024·25八年级上·浙江·期中）一个直角三角形的两条直角边长是一元二次方程的两根，则该直角三角形的斜边长为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴或2， ∵直角三角形的两条直角边长是一元二次方程的两根， ∴根据勾股定理得其斜边为， 故选A． 14．（2024·25九年级上·河南·期中）解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：， 或， 解得：，． （2）解：， ， 解得：，． （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． （4）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 15．（2024·25九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如果，那么 ． 【答案】5 【详解】解：设，则原方程为， 原方程变形为， 则， 解得：， 因为是非负数， 所以． 故答案为：5． 题型五 判断一元二次方程根的情况 16．（2025·26九年级上·全国·期中）方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 17．（2024·25九年级上·黑龙江佳木斯·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且，且， 解得：且， 故选：D． 18．（2024·25九年级下·江西赣州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：此一元二次方程恒有实数根． (2)无论为何值，该方程有一根为定值，请求出此方程的定值根． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明∵ ∴此一元二次方程恒有实数根． （2）， ， 其中根与的取值无关， 所以此方程的定值根为． 题型六 根与系数关系的应用 19．（2024·25九年级上·江西赣州·期中）若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴ 故答案为： 20．（2024·25九年级上·辽宁鞍山·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， 又∵， 当时，，符合题意， 当时，，不合题意，舍去， ∴， 故答案为：． 21．（2024·25九年级上·湖北黄冈·期中）关于x的一元二次方程的两实根为，． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内取最大整数时，求的值． 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两实根， ∴，解得， 的取值范围为； （2）的取值范围为， 的取最大整数为0， 方程变形为：， ，， ． 22．（2024·25九年级上·四川泸州·期中）已知关于x的方程：． (1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)设，是方程的两个根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)m的值为3或 【详解】（1）证明： ， 因为， 所以， 所以无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：因为，是方程的两个根， 所以，， 又因为， 即， 所以， 解得或， 所以m的值为3或． 题型七 一元二次方程的实际应用 23．（2025·26九年级上·广东·期中）某市组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，且设有个队参加比赛， ∴． 故选：C． 24．（2025·26九年级上·新疆·期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价为多少元？ 【答案】每件衬衫应降价20元 【详解】解：设每件衬衫应降价x元． 根据题意，得 整理，得 解得． 扩大销售量，减少库存， 应舍去， ． 答：每件衬衫应降价20元 25．（2024·25九年级上·河南南阳·期中）某商店准备进某一品牌的小型电饭煲，每台进价为40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台；销售定价每增加（或降低）1元，销售量将减少（或增多）10台，商店若希望获利2000元，则应进货多少台？销售定价为多少？ (1)本题如果设销售定价为元，请说明x所表示的意义；还需要列出哪些相关量的代数式？ (2)所列方程的解是否都符合题意？如何解释？ 【答案】(1)x表示销售定价在元的基础上增加的价格，每台小型电饭煲的利润为元，销售数量为台． (2)，都符合题意，当时，定价为每台元，进货台，时，定价为每台元，进货台． 【详解】（1）解：设销售定价为元，则x表示销售定价在元的基础上增加的价格， 则此时的每台小型电饭煲的利润为元， 此时的销售数量为：台． （2）解：由（1）可得：， ∴， 解得：，， 经检验，都符合题意， ∴当时，定价为每台元，进货台，时，定价为每台元，进货台． 26．（2024·25八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 题型八 一元二次方程的（动态）几何问题 27．（2024·25九年级上·湖北襄阳·期中）学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为米），其余部分需要用总长为米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田为m米．若该种植田的面积为平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m． 【答案】6米 【详解】解：∵种植田为m米，栅栏总长为米，有两个宽为1米的门， ∴种植田的长为米， ∵该种植田的面积为平方米， ∴， 整理得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：该种植田的宽m为6米． 28．（2024·25八年级下·浙江温州·期中）如图，有一张长方形桌子的桌面长，宽．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．设台布各边垂下的长度为，则根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵垂下的长度为， ∴台布的长为，宽为， 又∵台布的面积是桌面面积的2倍， ∴． 故选：D． 29．（2024·25八年级下·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．    (1)几秒后，的长度为； (2)几秒后，的面积为； (3)的面积能否为？请说明理由． 【答案】(1)后，的长度为 (2)或后，的面积等于 (3)的面积不可能等于，见解析 【详解】（1）解：设点运动的时间为，则，，，， ∴在中，根据勾股定理，得，， ∴，解得或（舍去）， ∴后，的长度为． （2）解：同（1）中所设，设点运动的时间为，则，，，， ∴，即， 解得或， ∴或后，的面积等于． （3）解：不能，理由如下： 当时，即， ∴，整理得，， ∵， ∴方程没有实数根， ∴的面积不可能等于． 30．（2024·25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． (1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 【答案】(1)经过或后、两点之间的距离是 (2)经过秒或秒的面积为． 【详解】（1）解：过点作于． 设秒后，点和点的距离是． 根据题意得： ，即， ∴， ∴，； ∴经过或后、两点之间的距离是； （2）连接．设经过后的面积为． ①当时，则， ∴，即， 解得； ②当时， ，，则 ， 解得，（舍去）； ③时，， ， ∴， 解得（舍去）． 综上所述，经过秒或秒的面积为． 题型九 比例线段的性质 31．（2024·25八年级下·福建福州·期中）摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点，以点为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设， 四边形是正方形， ， ∴． 由题意，根据黄金分割的意义：矩形满足， ∴ ． 经检验：是原方程的根， ． 故选：D． 32．（2025·26九年级上·宁夏银川·期中）已知，则的值为 【答案】2 【详解】解：∵， ∴设， ∴，，， ∴， 故答案为：2． 33．（2024·25九年级上·广东河源·期中）已知a、b、b、c是比例线段，其中，则线段b的长为 ． 【答案】6 【详解】解：∵a、b、b、c是比例线段，其中， ∴，即，解得：或（不合题意舍弃）． 故答案为：6． 34．（2024·25八年级下·安徽合肥·期中）如图，图中曲线是地形图中等高线同一条曲线上点的海拔是一样的，如果线段在图中被量得的长是，那么两个地点，间的实际直线距离为 图中表示等高线数据的单位为 【答案】 【详解】解：， ． 故答案为：． 题型十 相似三角形的判定 35．（2024·25九年级上·福建·期中）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，，， 在A、C、D选项中的三角形都没有，而在B选项中，三角形的钝角为，它的两边分别为和， 因为， 所以B选项中的三角形与相似． 故选：B． 36．（2024·25九年级上·河南·期中）如图，下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、且夹角，可判断，故A选项不符合题意； B、，可判断，故B选项不符合题意； C、，可判断，故C选项不符合题意； D、，不能确定，故D选项符合题意； 故选：D． 37．（2024·25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，点，分别在的边，上，且，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 38．（2024·25九年级上·陕西榆林·期中）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：，， ，， ． ，， ． ． 题型十一 相似三角形的性质 39．（2024·25九年级上·山西太原·期中）如图，，，相交于点O，，，，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵， ，， ， ． ∴，即 ． 故答案为：． 40．（2024·25九年级下·广东中山·期中）边长分别为1的正方形和长和宽分别为5与2的长方形按如图所示放置，图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【详解】解：∵长方形的长和宽分别为5与2，正方形的边长为1， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 41．（2024·25九年级上·山东济南·期中）已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求的长度． 【答案】6 【详解】解：∵， ， ， ， ， ． 42．（2024·25九年级上·全国·期中）已知如图，平行四边形中，． (1)与相似吗？若相似，请说明理由，并求出相似比． (2)如果的面积等于，求的面积． 【答案】(1)，相似比为，理由见解析 (2)的面积是 【详解】（1）解：，相似比为，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∴． ， ， ，即相似比为； （2）∵，， ∴． ∵， ∴． 43．（2024·25九年级下·上海·期中）如图，在和中，是的角平分线，，边与交于F．    (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴． 题型十二 位似变换 44．（2024·25九年级下·新疆·期中）如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，且面积比为，若点A的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】或 【详解】解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∵它们的面积比为， ∴它们的相似比为， ∵， 当点在y轴的右侧时， ∴，即； 当点在y轴的左侧时， ∴，即； 故答案为或． 45．（2024·25九年级上·河南新乡·期中）如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的 后得到线段，则端点C和D的坐标分别为 ． 【答案】， 【详解】解：∵线段两个端点的坐标分别为，，原点为位似中心，在第一象限， ∴点的坐标为，即．点的坐标为，即． 故答案为：，． 46．（2024·25九年级上·江苏无锡·期中）如图，平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为． (1)画出绕点逆时针旋转得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧，画出，使它与位似，且相似比为，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，点的坐标为 【详解】（1）即为所求； （2）即为所求， 点的坐标为． 题型十三 锐角三角函数的计算 47．（2024·25九年级上·全国·期中）若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含有的任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴是顶角为钝角的等腰三角形． 故选：D． 48．（2024·25九年级上·全国·期中）计算的结果为 ． 【答案】 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 49．（2024·25九年级上·山东威海·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十四 解直角三角形 50．（2024·25九年级上·广东肇庆·期中）如图，在等边中，，点是的中点，将绕点逆时针旋转后得到，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点为等边的边的中点， ，，， 在中，， ， ∵绕点逆时针旋转后得到， ， 故选：． 51．（2024·25八年级下·浙江台州·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点，垂直平分，若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴（）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，根据矩形的性质求线段长，解直角三角形的相关计算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 52．（2024·25九年级上·全国·期中）如图，点是的边上一点，，，交于点．若， ，求的长． 【答案】 【详解】解：过点作，垂足为， 在中，． ，， ． ． ． ． 53．（2024·25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，已知，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴的长为； （2）解：设， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， ∴， ∴． 题型十五 解非直角三角形 54．（2024·四川资阳·中考真题）在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作的高，， 是锐角三角形， ，在的内部， ，， 在中，，， ， ， 又， ， 故答案为：． 55．（2024·25九年级上·湖南张家界·期中）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 56．（2024·25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且tan∠BCD=    （1）试求的值； （2）试求△BCD的面积. 【答案】（1）；（2）. 【详解】   （1）作 ，垂足为 ， ∵ ， ∴ 在 中， ∴ （2）作,垂足为, 在中， ，令 , ， 则 ， 又在中，， 则 ， 于是 ，即 ， 解得 ， ∴. 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形中三角函数值的计算，本题中正确求三角函数值是解题的关键． 题型十六 解直角三角形的应用 57．（2024·25九年级下·宁夏吴忠·期中）哈尔滨龙塔坐落于经济技术开发区，在钢结构塔中位居亚洲第一，世界第二，在塔上有一个室外观光平台A可以欣赏的哈尔滨市的全景，室外观光平台中央位置A距离塔顶 P约146米，一名同学站在C处观察 A点的仰角为，观察P点的仰角为，则龙塔 的高度为 ．（已知：）（精确到1米） 【答案】336米 【详解】解：由题意，得：，，设， 在中，， 在中，， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 故答案为：336 58．（2024·25九年级下·湖南湘西·期中）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为，再往大树的方向前进，测得仰角为，已知小敏同学身高（）为，求这棵树的高度约为（结果精确到，）． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 根据题意可得四边形是矩形， ∴， ∴． 59．（2024·25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，某大楼正前方有一栋小楼，小明从大楼顶端A测得小楼顶端E的俯角为，小楼底端D到大楼前梯坎的底端C有80米，梯坎长65米．梯坎的坡度，求大楼的高度（结果精确到1米，参考数据：，，，） 【答案】203米 【详解】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 根据题意可得：，从而可得，，再根据已知易得，从而设米，则米，然后在中，利用勾股定理可求出，的长，从而求出，的长，最后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 在中，，， ，， ， ， 在中，，， ， 海里． （2）解：如图，过点作于点， 在中，，， ， ∴在中，， 在中，，， 海里． 的距离为海里． 题型十七 反比例函数的定义及解析式 61．（2025·26九年级上·浙江温州·开学考试）若点在反比例函数的图象上，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：将代入，得：， 解得， 故答案为：． 62．（2024·25九年级上·全国·期中）已知和是同一个反比例函数图象上的两个点，则 ． 【答案】 【详解】解：∵和是同一个反比例函数图象上的两个点， ∴， ∴． 故答案为：． 63．（2024·25九年级下·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，若反比例函数（）的图象经过点和，则的值是 ． 【答案】0 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和， ∴， 解得： 故答案为：． 64．（2024·25九年级上·湖南邵阳·期中）已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 【答案】(1)； (2)时，． 【详解】（1）解：设 ， 则 ， 依题意得 ， 解得 ， ； （2）解：当时，． 题型十八 图形面积与比例系数 65．（2024·25九年级上·四川广安·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，则的面积等于（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【详解】解：点、位于反比例函数图象上且关于原点对称， 、两点到轴的距离相等， ， ， ． 故选：C． 66．（2024·25九年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数的图像的一个分支上有一点A，平行于x轴，交y轴于点B，的面积是1，则反比例函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点A的坐标为，因为点A在反比例函数的图像上，所以满足，即， 由于平行于x轴且交y轴于点B，则点B与点A的纵坐标相同（均为b），且点B在y轴上（横坐标为0），因此点B的坐标为， 的三个顶点坐标分别为、、， 的长度为点A与点B的水平距离，即； 点O到的垂直距离为所在直线到原点的距离，即， 根据三角形面积公式，的面积为：面积底高， 化简得：， 由于，因此，即或， 反比例函数的表达式为或， 结合选项，因此最合理的表达式为． 67．（2024·25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【详解】解：设反比例函数解析式为， 根据，设， 得到， 故，，， ， 解得， 故，，， 故，， 故， 故，， 故；， 故； 故选：A． 68．（2024·25九年级下·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，轴于点，轴于点，连接，．若与的面积之和为2，则的值为 ． 【答案】2 【详解】解：∵函数的图象经过点，，轴于点轴于点， ∴， ∵与的面积之和为2， ∴， ∴． 故答案为：2． 题型十九 反比例函数的应用 69．（2023·24八年级下·福建·期中）某村年总收入为20万元，若该村有人，人均收入y元，那么下列能反映y与之间函数关系式的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：万， 根据题意可得：， ∴（， ） ∴图象是双曲线，在第一象限． 故选：C． 70．（2024·25九年级上·全国·期中）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（）是气球体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积应该（   ） A．不小于 B．小于 C．不大于 D．小于 【答案】A 【详解】解：设球内气体的气压()和气体体积的关系式为， ∵图象过点， ∴， 即， 在第一象限内，随的增大而减小， ∴当时，． 故选：A． 71．（2024·25八年级下·福建泉州·期中）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得， ∵，， ∴点， 设， ∴， ∴， ∵上口宽， ∴的横坐标为， ∴当时，， ∴整个冷却塔高度为， 故答案为：． 72．（2024·25九年级上·陕西渭南·期中）某污水处理厂在自查中发现，所排污水中硫化物浓度超标，因此立即整改，并开始实时监测．据监测，整改开始第60小时时，所排污水中硫化物的浓度为；从第60小时开始，所排污水中硫化物的浓度是监测时间（小时）的反比例函数．其图象如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为多少？ 【答案】(1) (2)整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为 【详解】（1）解：设， 把代入，得：， ∴； （2）当时，； 答：整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为． 题型二十 三角形的外接圆问题 73．（2024·25九年级上·山东聊城·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ∴， ∴点是的外心， 故选：． 74．（2024·25·湖南长沙·一模）一个直角三角形的两条直角边长分别为，则它的外接圆的半径为 ． 【答案】5 【详解】解：因为直角三角形两条直角边长分别为：， 所以直角三角形的斜边长为：， 则这个三角形的外接圆的半径=． 故答案为：5． 75．（2024·25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知，请用尺规作图的方法作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【详解】解：如下图所示，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧， 两弧分别交于点、，连接直线， 分别以、为圆心，大于为半径画弧， 两弧分别交于点、，连接直线， 直线和直线相交于点， 以点为圆心，为半径画， 即为所求． 题型二十一 弧、弦、圆心角、圆周角的计算 76．（2024·25九年级上·全国·期中）如图，，是的弦，延长，相交于点E，已知，，则所对的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴所对的圆心角的度数是． 故选：B． 77．（2024·25九年级上·江苏苏州·期中）如图，的半径为5， 为弦，若，则的长为 ． 【答案】5 【详解】解：如图；连接，，则 ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∵的半径为5 ∴ 故答案为：5. 78．（2024·25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，的三个顶点在上，是直径，点C在上，且，则 ．    【答案】/38度 【详解】解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 79．（2024·25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在的内接四边形中，，为上一点． (1)若，求的度数． (2)若，求证：为等边三角形． 【答案】(1)． (2)见解析 【详解】（1）解：∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∴ ． （2）证明：∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ 为等边三角形． 80．（2024·25九年级上·江苏淮安·期中）如图，是的直径，弦与相交于点E，，求及的度数． 【答案】 【详解】解：是的直径， ， 与是同弧所对的圆周角， ， 又与是同弧所对的圆周角， ， 在中，，， ， ， ∴， 是的外角， ， ． 题型二十二 垂径定理 81．（2024·25九年级上·江苏·期中）如图，为的直径，交于点E，点F为上的一点，且，连接，分别与线段交于点M，N，，若，则的长为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【详解】解：如图，连接， ∵交于点E， ∴，， ∵， ∴，， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：D． 82．（2024·25九年级上·陕西渭南·期中）如图，内接于，点在上，连接、、，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在上取一点，连接， ∵是的半径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 83．（2024·25九年级上·湖北襄阳·期中）如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是 ． 【答案】 【详解】解：， ， 为的直径，弦于点，， ，， ， 在中，由勾股定理得，即， ，即的半径是， 故答案为：． 84．（2024·25九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，，，点为上一点，作交于点，点关于的对称点为点，以为半径作恰好经过点，并交直线于点，． （1）点到的距离为 ； （2）的值为 ． 【答案】 4 【详解】（1）如图，连接并延长交于点， ∵，两点关于对称， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为4； 故答案为：4； （2）如图，连接．记与的交点为， 设， 在中，， 解得， ∴， ∵，两点关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 85．（2024·25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的半径为 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：设的半径为， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴的半径为． 题型二十三 扇形的弧长和面积 86．（2024·25九年级上·广西南宁·期中）如图，是的直径，弦，，，则（   ） A．π B．2π C．π D．π 【答案】D 【详解】解：如图，， ∵是直径， ∴， 又∵ ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴ 故选：D． 87．（2024·25九年级上·浙江衢州·期中）如图，将以点为中心顺时针旋转得到，若点的对应点恰为边的中点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点D是的斜边的中点， ∴， 由旋转可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴由旋转可得， ∵点D是的中点， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：C 88．（2024·25八年级下·广东中山·期中）如图，若圆锥的母线长为12，底面半径为4，则其侧面展开图的面积为 ． 【答案】 【详解】解：，， ． 又， ． 故答案为：． 89．（2025·26九年级上·全国·期中）杭扇，素称“杭州雅扇”，与杭州丝绸、龙井茶被誉为“杭产三绝”．如图，某款杭扇完全打开后的展开图为扇形，该扇形圆心角为，半径是，则扇形的面积为 ．        【答案】 【详解】解：由题意可得：扇形的面积为， 故答案为：． 1．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且； 故选C． 2．如图，矩形的顶点，，与x轴负半轴的夹角为，若矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设， 由题意可得：， ， 矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转， ∴6次一个循环，， 第2025秒与起始位置夹角为， 与x轴负半轴夹角为， 与x轴正半轴夹角为， ， 解得， 因为点D在第四象限，故， 故选：D． 3．用换元法解方程时，设，则原方程可化为 ． 【答案】 【详解】解：原方程可化为：，即：， 故答案为：． 4．如图，半径为1，垂直于直径，E为弧上一点，直线与直线交于点C，过C作垂线，交延长线于点A，若长为，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴点A、D、E、C四点共圆， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、四点共圆、等腰直角三角形的判定等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键. 5．为了掌握我区中考模拟数学试题的命题质量与难度系数，命题教师选取一个水平相当的初三年级进行调研，将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为分）分为组：第一组；第二组；第三组；第四组；第五组，统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题： (1)本次调查共随机抽取了_________名学生成绩进行统计？ (2)补全频数分布直方图； (3)扇形统计图中第二组学生成绩所对应的圆心角为_________； (4)若将得分转化为等级，规定：得分低于分评为“”，分评为“”，分评为“”，分评为“”，根据目前的统计，请你估计全区该年级名考生中，考试成绩评为“”级及其以上的学生大约有多少名？ 【答案】(1)； (2)见解析； (3)； (4)人． 【详解】（1）解：由频数分布直方图可知，第三组有人， 由扇形统计图可知，第三组的人数占被调查人数的， 本次调查共抽取了名； 故答案为：； （2）解：由频数分布直方图可知，第一组有名学生，第二组有名学生，第三组有名学生，第四组有名学生， 由可知，被调查的人数为， 第五组学生的人数为：(名)， 补全频数分布直方图如下： （3）解：由频数分布直方图可知，第二组有名学生， 扇形统计图中第二组对应的圆心角度数为， 故答案为：； （4）解：由频数分布直方图可知，考试成绩评为“”级及其以上的学生有名， 被调查的学生中考试成绩评为“”级及其以上的学生占被调查人数的， 全区该年级学生考试成绩评为“”级及其以上的学生大约有(名)． 6．如图，在平行四边形中，E为边上一点，且，在上取一点F，使． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)24 【详解】（1）证明：平行四边形中，， ， ，， ， ， 又， ； （2）解：， 设，则， ，， 由（1）知， ， ， ， 解得（负值舍去）， ，． ， ， ，， ， 又平行四边形中，， ， ， 又， ， ， ， ． 7．图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，） (1)求点到地面的高度； (2)若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为，求的度数． 【答案】(1)点到地面的高度约为 (2)的度数约为 【详解】（1）解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， 在中，，， ， ， 点到地面的高度约为； （2）解：由题意得：， 在中，，， ， ， ， 在中，，   ， 即的度数约为． 8．如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点P是x轴上的一个动点，当的面积为2时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵一次函数与x轴交于点， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 设反比例函数解析式为， ∵一次函数与反比例函数在第一象限内的图象交于点， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴； ∵，且的面积为2， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或． 9．如图，已知的直径垂直于弦于点E，连结，且． (1)若，求的长； (2)若，求扇形（阴影部分）的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵是的直径，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形面积公式，扇形的面积等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 10．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“___________倍根方程”； (2)若关于的方程是“二倍根方程”，求的值； (3)直线与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】(1)四 (2)10或82 (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“四倍根方程”； （2）解：解关于的方程得， ∵关于的方程是“二倍根方程”， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，的值为10或82； （3）解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 联立，解得， 联立，解得， ∵点在的内部（不包含边界）， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 期中真题百练通关23题型 题型一 （加权）平均数的有关计算 题型十三 锐角三角函数的计算 题型二 中位数、众数的有关计算 题型十四 解直角三角形 题型三 方差的有关计算和意义 题型十五 解非直角三角形 题型四 解一元二次方程 题型十六 解直角三角形的应用 题型五 判断一元二次方程根的情况 题型十七 反比例函数的定义及解析式 题型六 根与系数关系的应用 题型十八 图形面积与比例系数 题型七 一元二次方程的实际应用 题型十九 反比例函数的应用 题型八 一元二次方程的（动态）几何问题 题型二十 三角形的外接圆问题 题型九 比例线段的性质 题型二十一 弧、弦、圆心角、圆周角的计算 题型十 相似三角形的判定 题型二十二 垂径定理 题型十一 相似三角形的性质 题型二十三 扇形的弧长和面积 题型十二 位似变换 题型一 （加权）平均数的有关计算 1．（2025·26七年级上·浙江杭州·期中）体育老师测试五位同学的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据．复查时，发现记录时出现了一处错误：将最高成绩写得更高了．那么，数据调整正确后，五位同学跳绳成绩的平均数的计算结果会（   ） A．变高 B．变低 C．不变 D．无法判断 2．（2024·25九年级上·河北石家庄·期中）的平均数为m，的平均数为，则的平均数为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·25八年级下·浙江杭州·期中）某学校招聘工作人员，考试分笔试、面试和才艺三部分，笔试成绩、面试成绩与才艺成绩按记入总成绩，若小李笔试成绩为分，面试成绩为分，才艺成绩为分，则他的总成绩是 分． 4．（2024·25八年级下·北京朝阳·期中）一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是86和90，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.6，可知此次招聘中 （填“面试”或“笔试”）的权重较大． 题型二 中位数、众数的有关计算 5．（2024·25九年级下·四川德阳·期中）市农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高进行了测量，根据统计的结果，绘制出如下的统计图．则这组苗高数据的平均数、众数、中位数依次是（   ） A．15.6，10，16 B．16，16，15.5 C．15.6，16，16 D．16，10，15.5 6．（2024·25八年级上·浙江·期中）已知样本：3，4，0，，6，1，那么这个样本的中位数是 ． 7．（2024·25九年级下·广东中山·期中）有一组数据如下：3，a，4，6，8，已知它们的平均数是5，那么这组数据的众数为 ． 8．（2024·25八年级下·浙江杭州·期中）已知下列一组数据23，25，20，18，x，12，若中位数是20，则众数是 ． 题型三 方差的有关计算和意义 9．（2024·25八年级下·四川德阳·期中）若数据2，1，4，3，0的平均数是2，则这组数据的方差是 ． 10．（2024·25八年级上·全国·期中）甲、乙二人在相同情况下，各射靶10次，两人命中环数的平均数都是7，方差分别为9和，则射击成绩较稳定的是 ． 11．（2024·25八年级下·浙江宁波·期中）一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是 ． 题型四 解一元二次方程 12．（2023·24九年级上·河南·期中）用配方法解下列方程时，配方错误的是（   ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 13．（2024·25八年级上·浙江·期中）一个直角三角形的两条直角边长是一元二次方程的两根，则该直角三角形的斜边长为（    ） A． B．2 C．3 D． 14．（2024·25九年级上·河南·期中）解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（2024·25九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如果，那么 ． 题型五 判断一元二次方程根的情况 16．（2025·26九年级上·全国·期中）方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 17．（2024·25九年级上·黑龙江佳木斯·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 18．（2023 24九年级下·江西赣州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：此一元二次方程恒有实数根． (2)无论为何值，该方程有一根为定值，请求出此方程的定值根． 题型六 根与系数关系的应用 19．（2024·25九年级上·江西赣州·期中）若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 20．（2024·25九年级上·辽宁鞍山·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，若，则 ． 21．（2024·25九年级上·湖北黄冈·期中）关于x的一元二次方程的两实根为，． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内取最大整数时，求的值． 22．（2024·25九年级上·四川泸州·期中）已知关于x的方程：． (1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)设，是方程的两个根，且，求m的值． 题型七 一元二次方程的实际应用 23．（2025·26九年级上·广东·期中）某市组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（  ） A． B． C． D． 24．（2025·26九年级上·新疆·期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价为多少元？ 25．（2024·25九年级上·河南南阳·期中）某商店准备进某一品牌的小型电饭煲，每台进价为40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台；销售定价每增加（或降低）1元，销售量将减少（或增多）10台，商店若希望获利2000元，则应进货多少台？销售定价为多少？ (1)本题如果设销售定价为元，请说明x所表示的意义；还需要列出哪些相关量的代数式？ (2)所列方程的解是否都符合题意？如何解释？ 26．（2024·25八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 题型八 一元二次方程的（动态）几何问题 27．（2024·25九年级上·湖北襄阳·期中）学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为米），其余部分需要用总长为米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田为m米．若该种植田的面积为平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m． 28．（2024·25八年级下·浙江温州·期中）如图，有一张长方形桌子的桌面长，宽．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．设台布各边垂下的长度为，则根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 29．（2024·25八年级下·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．    (1)几秒后，的长度为； (2)几秒后，的面积为； (3)的面积能否为？请说明理由． 30．（2024·25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． (1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 题型九 比例线段的性质 31．（2024·25八年级下·福建福州·期中）摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点，以点为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 32．（2025·26九年级上·宁夏银川·期中）已知，则的值为 33．（2024·25九年级上·广东河源·期中）已知a、b、b、c是比例线段，其中，则线段b的长为 ． 34．（2024·25八年级下·安徽合肥·期中）如图，图中曲线是地形图中等高线同一条曲线上点的海拔是一样的，如果线段在图中被量得的长是，那么两个地点，间的实际直线距离为 图中表示等高线数据的单位为 题型十 相似三角形的判定 35．（2024·25九年级上·福建·期中）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 36．（2024·25九年级上·河南·期中）如图，下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 37．（2024·25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，点，分别在的边，上，且，，，．求证：． 38．（2024·25九年级上·陕西榆林·期中）如图，，，，求证：． 题型十一 相似三角形的性质 39．（2024·25九年级上·山西太原·期中）如图，，，相交于点O，，，，则的长为 ． 40．（2024·25九年级下·广东中山·期中）边长分别为1的正方形和长和宽分别为5与2的长方形按如图所示放置，图中阴影部分的面积是 ． 41．（2024·25九年级上·山东济南·期中）已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求的长度． 42．（2024·25九年级上·全国·期中）已知如图，平行四边形中，． (1)与相似吗？若相似，请说明理由，并求出相似比． (2)如果的面积等于，求的面积． 43．（2024·25九年级下·上海·期中）如图，在和中，是的角平分线，，边与交于F．    (1)求证：； (2)若，求证：． 题型十二 位似变换 44．（2024·25九年级下·新疆·期中）如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，且面积比为，若点A的坐标为，则点的坐标为 ． 45．（2024·25九年级上·河南新乡·期中）如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的 后得到线段，则端点C和D的坐标分别为 ． 46．（2024·25九年级上·江苏无锡·期中）如图，平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为． (1)画出绕点逆时针旋转得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧，画出，使它与位似，且相似比为，并写出点的坐标． 题型十三 锐角三角函数的计算 47．（2024·25九年级上·全国·期中）若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含有的任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 48．（2024·25九年级上·全国·期中）计算的结果为 ． 49．（2024·25九年级上·山东威海·期中）计算： (1)； (2)． 题型十四 解直角三角形 50．（2024·25九年级上·广东肇庆·期中）如图，在等边中，，点是的中点，将绕点逆时针旋转后得到，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 51．（2024·25八年级下·浙江台州·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点，垂直平分，若，则 ． 52．（2024·25九年级上·全国·期中）如图，点是的边上一点，，，交于点．若， ，求的长． 53．（2024·25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，已知，． (1)求的长； (2)求的值． 题型十五 解非直角三角形 54．（2024·四川资阳·中考真题）在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是 ． 55．（2024·25九年级上·湖南张家界·期中）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 56．（2024·25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且tan∠BCD=    （1）试求的值； （2）试求△BCD的面积. 题型十六 解直角三角形的应用 57．（2024·25九年级下·宁夏吴忠·期中）哈尔滨龙塔坐落于经济技术开发区，在钢结构塔中位居亚洲第一，世界第二，在塔上有一个室外观光平台A可以欣赏的哈尔滨市的全景，室外观光平台中央位置A距离塔顶 P约146米，一名同学站在C处观察 A点的仰角为，观察P点的仰角为，则龙塔 的高度为 ．（已知：）（精确到1米） 58．（2024·25九年级下·湖南湘西·期中）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为，再往大树的方向前进，测得仰角为，已知小敏同学身高（）为，求这棵树的高度约为（结果精确到，）． 59．（2024·25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，某大楼正前方有一栋小楼，小明从大楼顶端A测得小楼顶端E的俯角为，小楼底端D到大楼前梯坎的底端C有80米，梯坎长65米．梯坎的坡度，求大楼的高度（结果精确到1米，参考数据：，，，） 题型十七 反比例函数的定义及解析式 61．（2025·26九年级上·浙江温州·开学考试）若点在反比例函数的图象上，则的值是 ． 62．（2024·25九年级上·全国·期中）已知和是同一个反比例函数图象上的两个点，则 ． 63．（2024·25九年级下·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，若反比例函数（）的图象经过点和，则的值是 ． 64．（2024·25九年级上·湖南邵阳·期中）已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 题型十八 图形面积与比例系数 65．（2024·25九年级上·四川广安·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，则的面积等于（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 66．（2024·25九年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数的图像的一个分支上有一点A，平行于x轴，交y轴于点B，的面积是1，则反比例函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 67．（2024·25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 68．（2024·25九年级下·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，轴于点，轴于点，连接，．若与的面积之和为2，则的值为 ． 题型十九 反比例函数的应用 69．（2023·24八年级下·福建·期中）某村年总收入为20万元，若该村有人，人均收入y元，那么下列能反映y与之间函数关系式的图象是（    ） A． B． C． D． 70．（2024·25九年级上·全国·期中）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（）是气球体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积应该（   ） A．不小于 B．小于 C．不大于 D．小于 71．（2024·25八年级下·福建泉州·期中）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为 ． 72．（2024·25九年级上·陕西渭南·期中）某污水处理厂在自查中发现，所排污水中硫化物浓度超标，因此立即整改，并开始实时监测．据监测，整改开始第60小时时，所排污水中硫化物的浓度为；从第60小时开始，所排污水中硫化物的浓度是监测时间（小时）的反比例函数．其图象如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为多少？ 题型二十 三角形的外接圆问题 73．（2024·25九年级上·山东聊城·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 74．（2024·25·湖南长沙·一模）一个直角三角形的两条直角边长分别为，则它的外接圆的半径为 ． 75．（2024·25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知，请用尺规作图的方法作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） 题型二十一 弧、弦、圆心角、圆周角的计算 76．（2024·25九年级上·全国·期中）如图，，是的弦，延长，相交于点E，已知，，则所对的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 77．（2024·25九年级上·江苏苏州·期中）如图，的半径为5， 为弦，若，则的长为 ． 78．（2024·25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，的三个顶点在上，是直径，点C在上，且，则 ．    79．（2024·25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在的内接四边形中，，为上一点． (1)若，求的度数． (2)若，求证：为等边三角形． 80．（2024·25九年级上·江苏淮安·期中）如图，是的直径，弦与相交于点E，，求及的度数． 题型二十二 垂径定理 81．（2024·25九年级上·江苏·期中）如图，为的直径，交于点E，点F为上的一点，且，连接，分别与线段交于点M，N，，若，则的长为（    ） A． B． C．3 D．2 82．（2024·25九年级上·陕西渭南·期中）如图，内接于，点在上，连接、、，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 83．（2024·25九年级上·湖北襄阳·期中）如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是 ． 84．（2024·25九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，，，点为上一点，作交于点，点关于的对称点为点，以为半径作恰好经过点，并交直线于点，． （1）点到的距离为 ； （2）的值为 ． 85．（2024·25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 题型二十三 扇形的弧长和面积 86．（2024·25九年级上·广西南宁·期中）如图，是的直径，弦，，，则（   ） A．π B．2π C．π D．π 87．（2024·25九年级上·浙江衢州·期中）如图，将以点为中心顺时针旋转得到，若点的对应点恰为边的中点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 88．（2024·25八年级下·广东中山·期中）如图，若圆锥的母线长为12，底面半径为4，则其侧面展开图的面积为 ． 89．（2025·26九年级上·全国·期中）杭扇，素称“杭州雅扇”，与杭州丝绸、龙井茶被誉为“杭产三绝”．如图，某款杭扇完全打开后的展开图为扇形，该扇形圆心角为，半径是，则扇形的面积为 ．        1．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 2．如图，矩形的顶点，，与x轴负半轴的夹角为，若矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．用换元法解方程时，设，则原方程可化为 ． 4．如图，半径为1，垂直于直径，E为弧上一点，直线与直线交于点C，过C作垂线，交延长线于点A，若长为，则 ． 5．为了掌握我区中考模拟数学试题的命题质量与难度系数，命题教师选取一个水平相当的初三年级进行调研，将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为分）分为组：第一组；第二组；第三组；第四组；第五组，统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题： (1)本次调查共随机抽取了_________名学生成绩进行统计？ (2)补全频数分布直方图； (3)扇形统计图中第二组学生成绩所对应的圆心角为_________； (4)若将得分转化为等级，规定：得分低于分评为“”，分评为“”，分评为“”，分评为“”，根据目前的统计，请你估计全区该年级名考生中，考试成绩评为“”级及其以上的学生大约有多少名？ 6．如图，在平行四边形中，E为边上一点，且，在上取一点F，使． (1)求证：； (2)若，，求的值． 7．图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，） (1)求点到地面的高度； (2)若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为，求的度数． 8．如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点P是x轴上的一个动点，当的面积为2时，求点P的坐标． 9．如图，已知的直径垂直于弦于点E，连结，且． (1)若，求的长； (2)若，求扇形（阴影部分）的面积（结果保留）． 10．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“___________倍根方程”； (2)若关于的方程是“二倍根方程”，求的值； (3)直线与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $