5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第一课时　两角差的余弦公式 课后练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第五章 三角函数 5.5　三角恒等变换 5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第一课时　两角差的余弦公式（课后练习） 姓名： 班级： 学号： 【基础通关】 一、单项选择题 1.sin 318°cos 162°＋cos（－42°）cos 72°＝（ 　） A.－ B. C.－ D. 2.cos αcos β＋sin αsin β＝（ 　） A.cos（α－β） B.cos（α＋β） C.sin（α－β） D.sin（α＋β） 3.cos 105°cos 75°＋sin 105°sin 75°＝（ 　） A.1 B.－ C. D.－1 4.cos＝（ 　） A. B. C. D. 5.已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝，则cos（β－α）＝（ 　） A. B.－ C. D.－ 6.已知α∈（，π），sin α＝，则cos（α－）＝（ 　） A.－ B. C.－ D. 7.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos（α－β）＝（ 　） A. B. C.－ D.－ 8.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（cos，sin），则cos（α－）＝（ 　） A.0 B. C. D. 二、多项选择题 9.若sin α＝，则cos（－α）的值可能为（ 　） A.－ B.－ C. D.－ 10.若cos 5xcos（－2x）－sin（－5x）sin 2x＝0，且x∈［0，］，则x＝（ 　） A. B. C. D. 11.已知α，β，γ∈（0，），sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是（ 　） A.cos（β－α）＝ B.cos（β－α）＝ C.β－α＝－ D.β－α＝ 三、填空题 12.已知sin α＝－，α∈（－，0），则cos（α－）＝ . 13.若cos α＝，α∈（0，），则cos（α＋）＝ . 14.已知cos α＝，cos（α－β）＝－，＜α＜2π，＜α－β＜π，则cos β＝ . 四、解答题 15.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点. （1）如果A，B两点的纵坐标分别为，，求cos α和sin β的值； （2）在（1）的条件下，求cos（β－α）的值. 【能力提升】 16.已知sin α＝，cos（α＋β）＝－，α，β均为锐角，求cos β的值. 17.若sin（π＋θ）＝－，θ是第二象限角，sin（＋φ）＝－，φ是第三象限角，求cos（θ－φ）的值. 【拓展思维】 18.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（－，－）. （1）求sin（α＋π）的值； （2）若角β满足sin（α＋β）＝，求cos β的值. 参考答案 1.D　解析：sin 318°cos 162°＋cos（－42°）cos 72° ＝sin（360°－42°）cos（90°＋72°）＋cos 42°cos 72° ＝cos 42°cos 72°＋sin 42°sin 72° ＝cos（72°－42°）＝cos 30°＝. 故选D. 2.A　解析：cos αcos β＋sin αsin β＝cos（α－β）.故选A. 3.C　解析：cos 105°cos 75°＋sin 105°sin 75°＝cos（105°－75°）＝cos 30°＝.故选C. 4.A　解析：cos＝cos（－）＝×＋×＝，故选A. 5.C　解析：对cos α－cos β＝两边平方，得（cos α－cos β）2＝（）2， 即cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝，① 对sin α－sin β＝两边平方，得（sin α－sin β）2＝（）2， 即sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝，② ①＋②，得cos2α＋sin2α＋cos2β＋sin2β－2（cos αcos β＋sin αsin β）＝＋， 即1＋1－2（cos αcos β＋sin αsin β）＝， 即2－2（cos αcos β＋sin αsin β）＝， 则2－2cos（β－α）＝，解得cos（β－α）＝. 故选C. 6.C　解析：∵α∈（，π），sin α＝， 所以cos α＝－＝－， 则cos（α－）＝cos αcos＋sin αsin＝－×＋×＝－，故选C. 7.C　解析：由sin α＋sin β＝－sin γ，cos α＋cos β＝－cos γ，得sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝sin2γ，①cos2α＋cos2β＋2cos αcos β＝cos2γ，② 由①＋②，得2＋2（cos αcos β＋sin αsin β）＝1， ∴cos（α－β）＝－. 8.D　解析：因为P（cos，sin），即P（，）， 即角α的终边经过点P（，）， 所以sin α＝，cos α＝， 所以cos（α－）＝cos αcos＋sin αsin＝×＋×＝.故选D. 9.BC　解析：∵sin α＝，∴cos α＝±. 当cos α＝时， cos（－α）＝coscos α＋sinsin α＝×＋×＝； 当cos α＝－时，cos（－α）＝coscos α＋sinsin α＝×（－）＋×＝－. 故选BC. 10.AD　解析：依题意，cos 5xcos 2x＋sin 5xsin 2x＝0，则cos（5x－2x）＝cos 3x＝0，∴3x＝＋kπ，则x＝＋，k∈Z.又x∈［0，］，∴x＝或x＝. 11.AD　解析：由题意，知sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方相加，得1＝（sin β－sin α）2＋（cos α－cos β）2＝2－2（sin βsin α＋cos βcos α）， ∴cos（β－α）＝，即选项A正确，B错误； ∵γ∈（0，），∴sin γ＝sin β－sin α＞0，∴β＞α， 而α，β∈（0，），∴0＜β－α＜，∴β－α＝， 即选项D正确，C错误. 故选AD. 12.　解析：由题得cos α＝， 故cos（α－）＝cos αcos＋sin αsin＝×＋（－）×＝. 故答案为. 13.　解析：因为cos α＝，α∈（0，）， 所以sin α＝＝＝. 所以cos（α＋）＝cos αcos－sin αsin＝×－×＝. 故答案为. 14.－1　解析：由已知得sin α＝－，sin（α－β）＝， 所以cos β＝cos [α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin α·sin（α－β）＝×（－）＋（－）×＝－1， 故答案为－1. 15.解： （1）∵OA＝1，OB＝1，且点A，B的纵坐标分别为，，∴sin α＝，sin β＝. 又∵α为锐角，∴cos α＝＝. （2）∵β为钝角，∴cos β＝－＝－，∴cos（β－α）＝cos βcos α＋sin βsin α＝－×＋×＝. 16.解：由sin α＝和α为锐角可得cos α＝＝， 由cos（α＋β）＝－和0°＜α＋β＜180°可得sin（α＋β）＝＝， 于是cos β＝cos[（α＋β）－α] ＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α ＝－×＋×＝. 17.解：因为sin（π＋θ）＝－，得sin θ＝， 又θ是第二象限角，所以cos θ＝－. 因为sin（＋φ）＝cos φ＝－，且φ为第三象限角， 所以sin φ＝－， 所以cos（θ－φ）＝cos θcos φ＋sin θsin φ ＝（－）×（－）＋×（－）＝. 18.解：（1）由角α的终边过点P（－，－），得sin α＝－， 所以sin（α＋π）＝－sin α＝. （2）由角α的终边过点P（－，－），得cos α＝－， 由sin（α＋β）＝，得 cos（α＋β）＝±＝±. 当cos（α＋β）＝时， cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α＝×（－）＋×（－）＝－； 当cos（α＋β）＝－时， cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α＝（－）×（－）＋×（－）＝. 综上，cos β＝－或cos β＝. 第三课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 【基础通关】 一、单项选择题 1.已知角α的终边过点（4，－3），则sin 2α＝（ 　） A. B.－ C. D.－ 2.已知sin θ－cos θ＝0，则tan 2θ＝（ 　） A.－2 B. C. D.2 3.已知sin θ＝，则cos 2θ＝（ 　） A.－ B. C.－ D. 4.已知cos α＝，则cos 2α＝（ 　） A.1 B.0　 C.－ D.－ 5.已知α∈（，π）且角α的终边在直线2x＋y＝0上，则cos 2α＝（ 　） A. B.－ C. D.－ 6.若tan（θ－）＝1，则sin θcos θ＝（ 　） A. B. C. D. 7.下列正确的是（ 　） A.sincos＝ B.＝ C.cos4－sin4＝－ D.1－2cos222.5＝－ 8.若tan α＝－2，则＝（ 　） A.2 B.－2 C. D.－ 二、多项选择题 9.下列选项中，值为的有（ 　） A.sin 75°sin 15° B.sin 18°sin 54° C. D. 10.下列公式正确的有（ 　） A.cos αcos β＋sin αsin β＝cos（α＋β） B.cos 2θ＝2cos2θ－1 C.sin（π－α）＝sin α D.sin2＝ 11.已知函数f（x）＝cos4x－sin4x，下列结论中正确的是（ 　） A.f（x）＝cos 2x B.函数f（x）的图象关于直线x＝0对称 C.f（x）的最小正周期为π D.f（x）的值域为[－2，] 三、填空题 12.已知＝，则sin 2α＝ . 13.已知sin（－α）＝－，则cos（＋2α）＝ . 14.已知函数f（x）＝cos 2x＋sin x＋a的最大值为0，则a的值是 . 四、解答题 15.已知角α（0＜α＜π）的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆O交于点（－，）. （1）若角β是由角α的终边顺时针旋转得到的，求cos（α＋β）的值； （2）若角β满足tan β＝2，求cos 2β的值. 【能力提升】 16.已知cos 2θ＝－，θ∈（0，）. （1）求tan θ的值； （2）若tan β＝3，β∈（0，），求角θ＋β的大小. 【拓展思维】 17.（1）已知cos（－α）＝，sin（＋β）＝－，α∈（，），β∈（0，），求sin（α＋β）的值； （2）求tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°的值； （3）－. 参考答案 1.D　解析：由题意知，sin α＝＝－，cos α＝＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×（－）×＝－.故选D. 2.D　解析：由sin θ－cos θ＝0，得tan θ＝， 故tan 2θ＝＝＝2，故选D. 3.A　解析：由二倍角的余弦公式可得cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝－.故选A. 4.D　解析：因为cos α＝，所以由二倍角的余弦公式可得cos 2α＝2cos2α－1＝－，故选D. 5.D　解析：因为角α的终边在直线2x＋y＝0上，所以tan α＝－2， 所以 解得sin α＝±， 所以cos 2α＝1－2sin2α＝－，故选D. 6.A　解析：由题意知θ－＝＋kπ，k∈Z，得θ＝＋kπ，k∈Z，故sin θcos θ＝sin 2θ＝sin（＋2kπ）＝sin＝.故选A. 7.D　解析：因为sincos＝sin＝，所以A不正确； 因为＝tan 45°＝1，所以B不正确； 因为cos4－sin4＝（cos2－sin2）（cos2＋sin2）＝cos＝，所以C不正确； 因为1－2cos222.5°＝－cos 45°＝－，所以D正确.故选D. 8.A　解析：因为tan α＝－2，所以＝＝＝＝2.故选A. 9.ABD　解析：A选项：sin 75°sin 15°＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝； B选项：sin 18°sin 54°＝＝＝＝＝； C选项：＝＝＝＝； D选项：因为tan 45°＝＝1，可得＝. 故选ABD. 10.BCD　解析：由差角余弦公式有cos αcos β＋sin αsin β＝cos（α－β），所以A选项错误. 由倍角余弦公式有cos 2θ＝2cos2θ－1，B选项正确. 由诱导公式有sin（π－α）＝sin α，C选项正确. 由倍角余弦公式有sin2＝，D选项正确. 故选BCD. 11.ABC　解析：f（x）＝cos4x－sin4x＝（cos2x＋sin2x）·（cos2x－sin2x）＝cos 2x，A选项正确；f（0）＝cos 0＝1，所以函数f（x）的图象关于直线x＝0对称，B选项正确； f（x）的最小正周期为T＝＝π，C选项正确；f（x）的值域为[－1，1]，D选项错误. 故选ABC. 12.　解析：由＝， 则（）2＝＝， 交叉相乘可得9－9sin 2α＝1＋sin 2α，解得sin 2α＝. 故答案为. 13.－　解析：cos（＋2α）＝cos［2（＋α）］＝2cos2（＋α）－1＝2cos2［－（－α）］－1＝2sin2（－α）－1＝2×－1＝－，故答案为－. 14.－　解析：f（x）＝cos 2x＋sin x＋a＝1－2sin2x＋sin x＋a＝－2（sin x－）2＋a＋， 由sin x∈[－1，1]，则f（x）max＝a＋＝0，即a＝－. 故答案为－. 15.解：（1）因为角α的终边与单位圆O交于点P（－，），所以cos α＝－，sin α＝. 又角β是由角α的终边顺时针旋转得到的，即β＝α－， 所以cos（α＋β）＝cos（α＋α－）＝sin 2α＝2sin αcos α＝2××（－）＝－. （2）因为角β满足tan β＝2， 所以cos 2β＝cos2β－sin2β＝＝＝＝－. 16.解：（1）因为cos 2θ＝2cos2θ－1＝－， 又θ∈（0，），所以cos θ＝. 又sin2θ＋cos2θ＝1，得sin θ＝，所以tan θ＝2. （2）由（1）可知tan（θ＋β）＝＝＝－1， 因为θ∈（0，），β∈（0，），所以θ＋β∈（0，π）， 所以θ＋β＝. 17.解：（1）因为cos（－α）＝，所以cos（α－）＝. 又α∈（，）， 所以α－∈（0，）.所以sin（α－）＝. 由sin（＋β）＝－，得sin（β＋）＝， 又β∈（0，），所以β＋∈（，）， 所以cos（β＋）＝. 所以sin（α＋β）＝sin＝sin（α－）cos（β＋）＋cos（α－）sin（β＋） ＝×＋×＝. （2）tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40° ＝tan 60°（1－tan 20°tan 40°）＋tan 20°tan 40° ＝（1－tan 20°tan 40°）＋tan 20°tan 40°＝. （3）－＝ ＝ ＝ ＝＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $