学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（华东师大版九上第21章～第23章）

2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华东师大版九年级上册第21章--第23章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．小东同学对教材第16章《二次根式》的概念进行了整理，请你帮助他选出错误的一项（    ） A．二次根式：形如的式子叫做二次根式 B．代数式：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子 C．最简二次根式的条件：①被开方数不含字母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 D．二次根式的加减：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的最简二次根式进行合并 【答案】C 【详解】解：A．二次根式定义为形如的式子，表述正确，不符合题意； B．代数式是用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）连接数或字母的式子，开方属于基本运算，表述正确，不符合题意； C．最简二次根式的条件应为：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．选项C中“被开方数不含字母”错误，例如（且不含平方因子）是最简二次根式，但含字母，故该选项表述错误，符合题意； D．二次根式加减需先化简为最简形式，再合并被开方数相同的项，，表述正确，不符合题意． 综上，错误选项为C．故选C． 2．阿基米德曾说过“给我一个支点，我能橇动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理—通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍搬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如题图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如题图②所示，的距离为，动力臂，阻力臂，则的长度为（   ）． A．15 B．12 C．9 D．11 【答案】A 【详解】解：，，，，， 的距离为，动力臂，阻力臂， ，，的长为．故选：A． 3．【新考向】对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：这个方程有两个不相等的实数根；乙：设这个方程的两个根分别为，，则有，， 丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为；丁：这个方程的解为， 老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（   ） A．甲和乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．丙和丁 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∴，，，故乙错误； ∴这个方程有两个不相等的实数根，故甲正确； ∴，∴，，故丁正确，丙错误；故选：C． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、无意义，故本选项不符合题意；B、，故本选项不符合题意；     C、，故本选项符合题意；D、，故本选项不符合题意；    故选：C． 5．我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例加以说明，三国时期的数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．小刚用此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，则关于x的方程的正数解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，由题意得：，，解得：，.    ∴，∴，（舍去）故选：D． 6．小明在学习电路图时，通过实验探究得到并联电路的电阻公式：，这让他联想起数学课堂上曾经证明过的一个结论和这一公式有惊人的相似：若、，连接和相交于，过作于，则．若，且以、为宽和长的矩形的面积等于，则以、的长度为根的一元二次方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可知，，， 以、为宽和长的矩形的面积等于，，， 以、的长度为根的一元二次方程为，故选：． 7．【阅读材料】学习了《二次根式》后，小颖同学发现： 当，时：∵，∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： 小明同学要做一个面积为，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线的竹条至少要多长？ A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形的面积； ∴，根据题意可得：， ∴用来做对角线的竹条至少要长．故选：C． 8．如图，在矩形中，，点分别在线段和线段的延长线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，在上截取，在上截取，且， ，，，，， ，，，且，，，，， ，，，，故选：B 9．有两个关于x的一元二次方程：，，其中a+c=0，以下列结论中， ①如果，那么方程M和方程N有一个公共根为1； ②方程M和方程N的两根符号异号，而且它们的两根之积必相等； ③如果2是方程M的一个根，那么一定是方程N的一个根； ④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是．其中错误的结论的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】解：，方程的一个根为1，方程有一个根为1， 如果，那么方程和方程有一个公共根为1，结论①正确； ，，，，方程和方程的两根之积必相等，结论②正确； 是方程的一个根，，即， 是方程的一个根，结论③正确； 设相同的根为，则，①②得：，． ，，，，，． 即有相同的根，结论④错误．故选：B． 10．如图，中，，，将绕着点P按顺时针方向旋转得到，连接交于N点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过作于，则，    ∵，将绕着点P按顺时针方向旋转得到， ∴，，∴为等边三角形，∴，， 设，则，∴， ∵，， ∴，∴，∴，解得，∴， ∴， ∴，故选：A． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．二次根式化成最简二次根式是 ． 【答案】 【详解】解：，故答案为：． 12．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的正整数解为 ． 【答案】， 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：．∴符合条件的正整数为：，；故答案为：， 13．达芬奇的著名画作《蒙娜丽莎》被誉为艺术史上的经典，这幅画的构图巧妙地运用了黄金分割的比例．图画中头顶到手的长度为cm，下巴的位置点是头顶点到手部点的黄金分割点，则蒙娜丽莎的头顶到下巴的长度为 cm（结果保留根号，黄金比为）． 【答案】 【详解】解：由题知，∵点是线段的黄金分割点，∴． ∵，， 故答案为： ． 14．有7个大小完全相同的小正方形，恰好按如图方式放置在中，点D，E在上，点F在上，点G，H在上．若每个小正方形的边长为1，则的周长为 ． 【答案】 【详解】解：过点E作于点M， 由题意得：，，，，， ，，， 设，则，，， 经检验，是原方程的解，，， ，，， 的周长，故答案为： 15．已知 ，，且，化简： ． 【答案】 【详解】解：，，即，，且 可看做方程的两不相等的实数根，则，． 则原式故答案为． 16．已知，如图，点，和为轴上两点，其中点在点的左侧，连接，若平分，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：作交延长线于点，则，， ∴，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∴，作轴，∵，∴，， 设，，，，则，，，， ∴，， ∴，∴，∴， ∵，∴．故答案为：． 17．阅读：求方程的正整数解．小张在解决此问题时从多个角度进行了思考，得到了多种解法，其中一种解法是：将方程化为，可知x为偶数，令（为正整数），代入得，即，由y为正整数可知，所以，原方程的正整数解为． 请你在下列两个问题中任选一个作答． 问题①：方程的正整数解是 ；问题②：方程的正整数解是 ． 【答案】 ， 【详解】解：，则， ∴，∴，∴， ∵时，，∴没有正整数根， ∴的正整数根是，则方程的正整数解是； ∵，∴，∴， 由是正整数，则是3的倍数，∴设（为正整数），∴，∴， ∵为正整数，∴，且为正整数， 当时，得，得，得（负值舍），则； 当时，得，得，得（负值舍），则； 方程的正整数解是，，故答案为：；，． 18．如图，在菱形中，，对角线，相交于点，直线分别与边，交于点，，将沿翻折得，的对应边恰好经过点，与交于点，已知，，则与的面积之比为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，∴， ∵，∴是等边三角形，∴， ∵，∴设，，则， 在中，，∴，如图，过作于点， ∴，∴，∴，∴， 在中，， 在中，，由折叠性质可知：， ∴，解得：，∴，，， 由折叠性质可知：，∴， ∵，∴，∴， ∴，，∴， ∵，，∴， ∴相似比为，∴与 的面积之比为，故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共78分．其中：19-20题9分，21-22题8分，23-24题每题10分，25-26题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．解方程： (1)（求根公式法）; (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解:, , ,（1分） ,（2分） ∴;（3分） （2）解：， 因式分解得，（4分） 故或，（5分） 解得．（6分） （3）解：， 整理得 因式分解得，（7分） 故或，（8分） 解得．（9分） 20．计算 (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： （2分） ；（3分） （2）解： （4分） （5分） ．（6分） （3）解： （7分） （8分） ．（9分） 21．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)以点A为位似中心，在点A的另一侧画出的位似，使它与的相似比为； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析 【详解】（1）如图所示，即为所求；    （4分） （2）如图所示，即为所求    （8分） 22．已知关于的方程． (1)求证：方程必有两个不等实数根； (2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根． 【答案】(1)方程必有两个不等实数根； (2)m的值为1，这两个有理数根为和． 【详解】（1）证明：．（2分） ∵，∴，即，∴方程必有两个不等实数根；（4分） （2）解：∵当m取的整数时，存在两个有理数根，且，∴，（5分） ∴原方程为，且，∴此时原方程的解为，（7分） ∴m的值为1，这两个有理数根为和．（8分） 23．综合与实践 【主题】悬挂法确定匀质薄板的重心 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 【实践操作】 步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线相反方向竖直向下的重力的作用线； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点即为硬纸板的重心． 【实践探索】(1)根据实践操作步骤，画出题图2中不规则形状硬纸板的重心； (2)我们在八年级学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，如图3，在中，、、分别是的三条中线，点是的重心； ①若的面积是6，则的面积是____________；②通过测量，发现三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍，请用你所学的数学知识进行证明． 【答案】(1)见解析(2)①2；②见解析 【详解】（1）解：如图所示，重心即为所求：（2分） （2）①解：∵、、分别是的三条中线，∴，，， ∵，∴，，∴， ∴，同理可得，，∴， ∴；故答案为：2；（4分） ②证明：如图，连接，∵、是的中线， ∴，，∴是的中位线，（7分） ∴，，∴，∴，同理可得，， ∴三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍．（10分） 24．2024年第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，中国运动健儿们取得了40金27银24铜的好成绩，向全世界展现了中国拼搏向上的民族精神．除此之外还值得我们骄傲的是“中国制造”在巴黎奥运会大放异彩，其中的奥运相关设备、器材、纪念品、吉祥物都是由中国企业生产，并授权奥运会的吉祥物“弗里热”从6月份开始在中国销售．某商店以每个35元的价格购进一款“弗里热”钥匙扣，以每个58元的价格出售．经统计：6月份的销售量为256个，8月份的销售量为400个． (1)求该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率； (2)从9月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，试销了一段时间后，发现该款吉祥物的月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间满足一次函数关系，且部分数据如表所示． /元 3 6 /个 460 520 若商店希望每月销售这款钥匙扣所获得的利润是8400元．则每个钥匙扣应降价多少元？ 【答案】(1)该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为(2)每个钥匙扣应降价8元 【详解】（1）解：设该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为m，由题意得： ，解得：（不符合题意，舍去），（3分） 答：该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为．（4分） （2）解：设月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间的函数关系式为，由表格得： ，解得：，（5分） ∴月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间的函数关系式为，（6分） ∴，解得：（不符合题意，舍去）；（9分） 答：每个钥匙扣应降价8元．（10分） 25．如图，已知：在中，，，是上一点，作，，、相交于点，与相交于点，联结. (1)求证：； (2)如果，求的长； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1)见解析(2)或(3)6或. 【详解】（1）证明：∵，∴，（1分） ∵，∴，∴，即；（3分） （2）解：∵，∴四边形是平行四边形，∴，（4分） ∵，，∴， ∵，∴，（5分） ∴，设，则，∴， 解得，，（经检验都是原方程的解，且都符合题意）， ∴的长为或（7分） （3）如果，∵，∴，（8分） ∵E，∴，∴，∴； 如果，∴，∵，∴，（10分） ∵，∴，∴，即， ∴，∴，∴的长为6或.（12分） 26．【初步尝试】（1）如图1，在中，，点，分别在边，上，且，则与的数量关系是______． （2）如图2，将图1中的绕点顺时针旋转（为锐角），连接，．求证：． 【特例研讨】（3）如图3，和是等腰直角三角形，，，，绕点顺时针旋转至点，，在同一条直线上，与交于点，连接． ①求的度数；②求的长． 【深入探究】（4）如图4，在四边形中，，，，若，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；②（4） 【详解】（1），， ，，，，故答案为：．（2分） （2）由（1）知，， ，，由旋转得，，．（4分） （3）①和是等腰直角三角形，， 与（2）同理，得，，（5分） ，，，，，解得，（6分） ，点，，在同一条直线上，， 又，满足，，．（7分） ②如图3，过点D作于G，则， 为等腰直角三角形，，，，，（8分） 设，由勾股定理可求得， 又，，，（9分） 由可得，解得， ，．（10分） （4）如图4，作，且，连接，，， ，，， ，， ，由得， ，由，， 可得，由勾股定理得，，解得， ，，，过点M作于点N，则， 又，，， ，．（12分） 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 12 13 14 15 16 17. 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共8个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(9分) 20.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) A 22.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) ∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠ D D E A G B F 图2 图3 24.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) D E B C B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(12分) D B D C A B 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华东师大版九年级上册第21章--第23章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．小东同学对教材第16章《二次根式》的概念进行了整理，请你帮助他选出错误的一项（    ） A．二次根式：形如的式子叫做二次根式 B．代数式：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子 C．最简二次根式的条件：①被开方数不含字母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 D．二次根式的加减：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的最简二次根式进行合并 2．阿基米德曾说过“给我一个支点，我能橇动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理—通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍搬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如题图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如题图②所示，的距离为，动力臂，阻力臂，则的长度为（   ）． A．15 B．12 C．9 D．11 3．【新考向】对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：这个方程有两个不相等的实数根；乙：设这个方程的两个根分别为，，则有，， 丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为；丁：这个方程的解为， 老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（   ） A．甲和乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．丙和丁 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例加以说明，三国时期的数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．小刚用此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，则关于x的方程的正数解为（    ） A． B． C． D． 6．小明在学习电路图时，通过实验探究得到并联电路的电阻公式：，这让他联想起数学课堂上曾经证明过的一个结论和这一公式有惊人的相似：若、，连接和相交于，过作于，则．若，且以、为宽和长的矩形的面积等于，则以、的长度为根的一元二次方程为（    ） A． B． C． D． 7．【阅读材料】学习了《二次根式》后，小颖同学发现： 当，时：∵，∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： 小明同学要做一个面积为，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线的竹条至少要多长？ A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，点分别在线段和线段的延长线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．有两个关于x的一元二次方程：，，其中a+c=0，以下列结论中， ①如果，那么方程M和方程N有一个公共根为1； ②方程M和方程N的两根符号异号，而且它们的两根之积必相等； ③如果2是方程M的一个根，那么一定是方程N的一个根； ④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是．其中错误的结论的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．如图，中，，，将绕着点P按顺时针方向旋转得到，连接交于N点，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．二次根式化成最简二次根式是 ． 12．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的正整数解为 ． 13．达芬奇的著名画作《蒙娜丽莎》被誉为艺术史上的经典，这幅画的构图巧妙地运用了黄金分割的比例．图画中头顶到手的长度为cm，下巴的位置点是头顶点到手部点的黄金分割点，则蒙娜丽莎的头顶到下巴的长度为 cm（结果保留根号，黄金比为）． 14．有7个大小完全相同的小正方形，恰好按如图方式放置在中，点D，E在上，点F在上，点G，H在上．若每个小正方形的边长为1，则的周长为 ． 15．已知 ，，且，化简： ． 16．已知，如图，点，和为轴上两点，其中点在点的左侧，连接，若平分，则的值为 ． 17．阅读：求方程的正整数解．小张在解决此问题时从多个角度进行了思考，得到了多种解法，其中一种解法是：将方程化为，可知x为偶数，令（为正整数），代入得，即，由y为正整数可知，所以，原方程的正整数解为． 请你在下列两个问题中任选一个作答． 问题①：方程的正整数解是 ；问题②：方程的正整数解是 ． 18．如图，在菱形中，，对角线，相交于点，直线分别与边，交于点，，将沿翻折得，的对应边恰好经过点，与交于点，已知，，则与的面积之比为 ． 三、解答题（本题共8小题，共78分．其中：19-20题9分，21-22题8分，23-24题每题10分，25-26题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．解方程： (1)（求根公式法）; (2)； (3)． 20．计算 (1)；(2)； (3)． 21．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)以点A为位似中心，在点A的另一侧画出的位似，使它与的相似比为； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 22．已知关于的方程． (1)求证：方程必有两个不等实数根； (2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根． 23．综合与实践 【主题】悬挂法确定匀质薄板的重心 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 【实践操作】步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线相反方向竖直向下的重力的作用线； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点即为硬纸板的重心． 【实践探索】(1)根据实践操作步骤，画出题图2中不规则形状硬纸板的重心； (2)我们在八年级学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，如图3，在中，、、分别是的三条中线，点是的重心； ①若的面积是6，则的面积是____________；②通过测量，发现三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍，请用你所学的数学知识进行证明． 24．2024年第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，中国运动健儿们取得了40金27银24铜的好成绩，向全世界展现了中国拼搏向上的民族精神．除此之外还值得我们骄傲的是“中国制造”在巴黎奥运会大放异彩，其中的奥运相关设备、器材、纪念品、吉祥物都是由中国企业生产，并授权奥运会的吉祥物“弗里热”从6月份开始在中国销售．某商店以每个35元的价格购进一款“弗里热”钥匙扣，以每个58元的价格出售．经统计：6月份的销售量为256个，8月份的销售量为400个． (1)求该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率； (2)从9月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，试销了一段时间后，发现该款吉祥物的月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间满足一次函数关系，且部分数据如表所示． /元 3 6 /个 460 520 若商店希望每月销售这款钥匙扣所获得的利润是8400元．则每个钥匙扣应降价多少元？ 25．如图，已知：在中，，，是上一点，作，，、相交于点，与相交于点，联结. (1)求证：； (2)如果，求的长； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 26．【初步尝试】（1）如图1，在中，，点，分别在边，上，且，则与的数量关系是______． （2）如图2，将图1中的绕点顺时针旋转（为锐角），连接，．求证：． 【特例研讨】（3）如图3，和是等腰直角三角形，，，，绕点顺时针旋转至点，，在同一条直线上，与交于点，连接． ①求的度数；②求的长． 【深入探究】（4）如图4，在四边形中，，，，若，请直接写出的长． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期中卷 参考答案 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A C C D A C B B A 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11． 12．， 13． 14． 15． 16． 17． ， 18． 三、解答题（本题共8小题，共78分．其中：19-20题9分，21-22题8分，23-24题每题10分，25-26题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解:, , ,（1分） ,（2分） ∴;（3分） （2）解：， 因式分解得，（4分） 故或，（5分） 解得．（6分） （3）解：， 整理得 因式分解得，（7分） 故或，（8分） 解得．（9分） 20． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： （2分） ；（3分） （2）解： （4分） （5分） ．（6分） （3）解： （7分） （8分） ．（9分） 21． 【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析 【详解】（1）如图所示，即为所求；    （4分） （2）如图所示，即为所求    （8分） 22． 【答案】(1)方程必有两个不等实数根； (2)m的值为1，这两个有理数根为和． 【详解】（1）证明：．（2分） ∵，∴，即，∴方程必有两个不等实数根；（4分） （2）解：∵当m取的整数时，存在两个有理数根，且，∴，（5分） ∴原方程为，且，∴此时原方程的解为，（7分） ∴m的值为1，这两个有理数根为和．（8分） 23． 【答案】(1)见解析(2)①2；②见解析 【详解】（1）解：如图所示，重心即为所求：（2分） （2）①解：∵、、分别是的三条中线，∴，，， ∵，∴，，∴， ∴，同理可得，，∴， ∴；故答案为：2；（4分） ②证明：如图，连接，∵、是的中线， ∴，，∴是的中位线，（7分） ∴，，∴，∴，同理可得，， ∴三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍．（10分） 24． 【答案】(1)该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为(2)每个钥匙扣应降价8元 【详解】（1）解：设该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为m，由题意得： ，解得：（不符合题意，舍去），（3分） 答：该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为．（4分） （2）解：设月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间的函数关系式为，由表格得： ，解得：，（5分） ∴月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间的函数关系式为，（6分） ∴，解得：（不符合题意，舍去）；（9分） 答：每个钥匙扣应降价8元．（10分） 25． 【答案】(1)见解析(2)或(3)6或. 【详解】（1）证明：∵，∴，（1分） ∵，∴，∴，即；（3分） （2）解：∵，∴四边形是平行四边形，∴，（4分） ∵，，∴， ∵，∴，（5分） ∴，设，则，∴， 解得，，（经检验都是原方程的解，且都符合题意）， ∴的长为或（7分） （3）如果，∵，∴，（8分） ∵E，∴，∴，∴； 如果，∴，∵，∴，（10分） ∵，∴，∴，即， ∴，∴，∴的长为6或.（12分） 26． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；②（4） 【详解】（1），， ，，，，故答案为：．（2分） （2）由（1）知，， ，，由旋转得，，．（4分） （3）①和是等腰直角三角形，， 与（2）同理，得，，（5分） ，，，，，解得，（6分） ，点，，在同一条直线上，， 又，满足，，．（7分） ②如图3，过点D作于G，则， 为等腰直角三角形，，，，，（8分） 设，由勾股定理可求得， 又，，，（9分） 由可得，解得， ，．（10分） （4）如图4，作，且，连接，，， ，，， ，， ，由得， ，由，， 可得，由勾股定理得，，解得， ，，，过点M作于点N，则， 又，，， ，．（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【√1[/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C1[D1 9.[A1[B][C1[D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[CI[D1 4.A][B1[CI[D] 8.A][B][C1[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共32分） 12. 13 4 15 17 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(9分) 20.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) B 22.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) ∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠ D C D G B F 图2 图3 24.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) D E B 力 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(12分) D B D C E B 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华东师大版九年级上册第21章--第23章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．小东同学对教材第16章《二次根式》的概念进行了整理，请你帮助他选出错误的一项（    ） A．二次根式：形如的式子叫做二次根式 B．代数式：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子 C．最简二次根式的条件：①被开方数不含字母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 D．二次根式的加减：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的最简二次根式进行合并 2．阿基米德曾说过“给我一个支点，我能橇动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理—通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍搬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如题图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如题图②所示，的距离为，动力臂，阻力臂，则的长度为（   ）． A．15 B．12 C．9 D．11 3．【新考向】对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：这个方程有两个不相等的实数根；乙：设这个方程的两个根分别为，，则有，， 丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为；丁：这个方程的解为， 老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（   ） A．甲和乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．丙和丁 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例加以说明，三国时期的数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．小刚用此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，则关于x的方程的正数解为（    ） A． B． C． D． 6．小明在学习电路图时，通过实验探究得到并联电路的电阻公式：，这让他联想起数学课堂上曾经证明过的一个结论和这一公式有惊人的相似：若、，连接和相交于，过作于，则．若，且以、为宽和长的矩形的面积等于，则以、的长度为根的一元二次方程为（    ） A． B． C． D． 7．【阅读材料】学习了《二次根式》后，小颖同学发现： 当，时：∵，∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： 小明同学要做一个面积为，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线的竹条至少要多长？ A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，点分别在线段和线段的延长线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．有两个关于x的一元二次方程：，，其中a+c=0，以下列结论中， ①如果，那么方程M和方程N有一个公共根为1； ②方程M和方程N的两根符号异号，而且它们的两根之积必相等； ③如果2是方程M的一个根，那么一定是方程N的一个根； ④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是．其中错误的结论的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．如图，中，，，将绕着点P按顺时针方向旋转得到，连接交于N点，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．二次根式化成最简二次根式是 ． 12．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的正整数解为 ． 13．达芬奇的著名画作《蒙娜丽莎》被誉为艺术史上的经典，这幅画的构图巧妙地运用了黄金分割的比例．图画中头顶到手的长度为cm，下巴的位置点是头顶点到手部点的黄金分割点，则蒙娜丽莎的头顶到下巴的长度为 cm（结果保留根号，黄金比为）． 14．有7个大小完全相同的小正方形，恰好按如图方式放置在中，点D，E在上，点F在上，点G，H在上．若每个小正方形的边长为1，则的周长为 ． 15．已知 ，，且，化简： ． 16．已知，如图，点，和为轴上两点，其中点在点的左侧，连接，若平分，则的值为 ． 17．阅读：求方程的正整数解．小张在解决此问题时从多个角度进行了思考，得到了多种解法，其中一种解法是：将方程化为，可知x为偶数，令（为正整数），代入得，即，由y为正整数可知，所以，原方程的正整数解为． 请你在下列两个问题中任选一个作答． 问题①：方程的正整数解是 ；问题②：方程的正整数解是 ． 18．如图，在菱形中，，对角线，相交于点，直线分别与边，交于点，，将沿翻折得，的对应边恰好经过点，与交于点，已知，，则与的面积之比为 ． 三、解答题（本题共8小题，共78分．其中：19-20题9分，21-22题8分，23-24题每题10分，25-26题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．解方程： (1)（求根公式法）; (2)； (3)． 20．计算 (1)；(2)； (3)． 21．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)以点A为位似中心，在点A的另一侧画出的位似，使它与的相似比为； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 22．已知关于的方程． (1)求证：方程必有两个不等实数根； (2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根． 23．综合与实践 【主题】悬挂法确定匀质薄板的重心 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 【实践操作】步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线相反方向竖直向下的重力的作用线； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点即为硬纸板的重心． 【实践探索】(1)根据实践操作步骤，画出题图2中不规则形状硬纸板的重心； (2)我们在八年级学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，如图3，在中，、、分别是的三条中线，点是的重心； ①若的面积是6，则的面积是____________；②通过测量，发现三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍，请用你所学的数学知识进行证明． 24．2024年第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，中国运动健儿们取得了40金27银24铜的好成绩，向全世界展现了中国拼搏向上的民族精神．除此之外还值得我们骄傲的是“中国制造”在巴黎奥运会大放异彩，其中的奥运相关设备、器材、纪念品、吉祥物都是由中国企业生产，并授权奥运会的吉祥物“弗里热”从6月份开始在中国销售．某商店以每个35元的价格购进一款“弗里热”钥匙扣，以每个58元的价格出售．经统计：6月份的销售量为256个，8月份的销售量为400个． (1)求该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率； (2)从9月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，试销了一段时间后，发现该款吉祥物的月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间满足一次函数关系，且部分数据如表所示． /元 3 6 /个 460 520 若商店希望每月销售这款钥匙扣所获得的利润是8400元．则每个钥匙扣应降价多少元？ 25．如图，已知：在中，，，是上一点，作，，、相交于点，与相交于点，联结. (1)求证：； (2)如果，求的长； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 26．【初步尝试】（1）如图1，在中，，点，分别在边，上，且，则与的数量关系是______． （2）如图2，将图1中的绕点顺时针旋转（为锐角），连接，．求证：． 【特例研讨】（3）如图3，和是等腰直角三角形，，，，绕点顺时针旋转至点，，在同一条直线上，与交于点，连接． ①求的度数；②求的长． 【深入探究】（4）如图4，在四边形中，，，，若，请直接写出的长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $