学易金卷：八年级数学上学期期中模拟卷（新教材华东师大版八上第10章～第12章）

2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D C A C B C D D C 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11． 12．18 13．①②④ 14． 15．32 16． 17． 18．或 三、解答题（本题共8小题，共78分．其中：19-20题9分，21-22题8分，23-24题每题10分，25-26题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19． 【答案】(1)10 (2) （3）或； 【详解】（1）解： （2分） ；（3分） （2）解： （5分） ；（6分） （3）解： ∴或，（8分） 解得或；（9分） 20． 【答案】(1) (2) (3)； 【详解】（1）解： ；（3分） （2）解： ．（6分） （3）原式．（8分） 当时，原式．（9分） 21． 【答案】(1) (2)另一个因式为，a的值是． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得．∴，，∴；（4分） （2）解：设另一个因式为，由题意得：，（5分） 即，则有，解得， 所以另一个因式为，a的值是．（8分） 22． 【答案】(1)(2)同意；理由见解析(3) 【详解】（1）解：得到的长方形的两边长分别为：，， ∴；（2分） （2）解：同意；理由如下：， ∴与的差都不变．（4分） （3）解：∵， ∴，（6分） ∵不论m为何值，始终是一个定值，∴，解得：．（8分） 23． 【答案】（1）见解析；（2）． 【详解】（1）证明：在上截取，连接，如图1所示： ∵平分，∴，（1分） 在和中，，∴，∴，，（2分） ∵，∴，∵是的外角，∴， ∴，∴，∴，（3分） 又∵，∴，∴；（4分） （2）解：过点B作，交的延长线于点H，如图2所示：∴，（5分） ∵，∴，∴， ∵是等腰直角三角形，∴，，（6分） ∴，∴，在和中，，（7分） ∴，∴，，∵点是的中点，∴， 在和中，，∴，（8分） ∴，，∴， ∵，，∴，（9分） ∴，∴， ∴，∴，∴．（10分） 24． 【答案】（1）对顶角相等；；（2）；（3） 【详解】（1）解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知），∴（中点定义）， 在和中，∵，（对顶角相等） ∴；故答案为：对顶角相等；．（2分） （2）由题意可得：， ∵，即，∴．故答案为：．（5分） （3）延长交的延长线于点F，如图：∵，，∴（6分） 在和中． ∴，∴，，（8分） ∵，∴垂直平分∴，∴．（10分） 25． 【答案】（1）16（2）24（3）47 【详解】（1）根据题意，画树状图如下： ， 共有16种不同的信息，故答案为：16．（3分） （2）解：根据题意，得， ∵，∴，（5分） ∵，∴，（7分） ∵，∴． 答：扩展后的二维码共有24个方格．（10分） （3）解：根据题意，得，故， 故， 故的值为511,257,173,107,91,61,49,47，故的最小值为47．故答案为：47．（12分） 26．【问题初探】（1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，在中，，是的角平分线，点E在线段上，且，求证：． ①如图2，小喆同学选定两个目标三角形，分别为和，他在上复制粘贴，以B为圆心，长为半径作弧交于点F，从而构造出全等三角形． ②如图3，小刚同学在的基础上复制粘贴，以C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点G，从而构造出全等三角形． 请你选择一名同学的解题方法，写出证明过程． 【类比分析】（2）王老师发现之前两名同学都很好地利用全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，进行复制粘贴，从而画出辅助线构造出全等三角形，为了让同学们更熟练地掌握构造全等三角形的方法，王老师提出下面问题，请你解答． 如图4，在中，，点D在的外部，且是锐角，在直线的右侧，且与互补，与的延长线交于点F，．求证：． 【学以致用】（3）如图5，在中，，点D在边上，于F，点E在延长线上，连接，且，．猜想与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．见解析 【详解】解：（1）选择小喆同学的方法，证明如下： 以为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则， ，∴，即．（1分） 平分，， ，，，，（2分） ，，．（3分） 选择小刚同学的方法，证明如下： 以为圆心，长为半径作弧交延长线于，则，∴，（1分 ，．平分，， ，，，，（2分） ，，．（3分） （2）证明：方法一：以为圆心，长为半径作弧，交于点，则，（4分） ∴，∴，即． ，．与互补，，（5分），，， ，，，（6分） ．，．（7分） 方法二：过作交的延长线于，，（4分） ，，，． 与互补，，，（5分） ，，， ，，．（6分） ，，，．（7分） （3）．在上取点，使，连接．过作于，以为圆心长为半径作弧交于点．连接，则． ，．（8分） ，，．，． ，∴平分，．（9分） ∵，，，∴． ，，，（10分） ，．，， ，，， ∴，，（11分） ，，， ，∴，，即．，．（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【√1[/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C1[D1 9.[A1[B][C1[D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[CI[D1 4.A][B1[CI[D] 8.A][B][C1[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共32分） 12. 13 14 15 17 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(9分) 20.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 22.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) A G B D 图1 图2 24.(10分) E B D 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(12分) y A D E E B (图4) (图5) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华东师大版2024八年级上册第10章--第12章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（    ） A．32 B．64 C．128 D．256 4．数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对ABC及的对应边或对应角添加一组等量条件（点分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定ABC与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法不正确的是（　　） A．若第3轮甲添加，则甲获胜； B．若第3轮甲添加，则甲必胜； C．若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； D．若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负． 5.估算的值，与它最接近的两个整数是（   ） A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8 6．如图，点B是线段上一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，若，，则长方形面积为（　　） A．25 B．6 C．9 D．12 7．在和中，，，，已知，则（ ） A． B． C．或 D．或 8．下面是“经过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任意取一点、使点和在的两旁，（2）设点为圆心，长为半径作弧，交于点和点． （3）分别以点和点为圆心．大于的同样长为半径作弧．两弧相交于点．（4）作直线．则直线就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程（如图），给出下面四个结论：①点到四点的距离一定都相等；②点与点一定关于直线对称；③点与点一定关于直线对称；④连接．，一定有．上述结论中，正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 9．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，例如（，，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（   ） A．255048 B．257024 C．257048 D．255024 10．如图，在中，，根据图中的作图痕迹，有下列结论： ①，②连接，则的周长， ③连接，，则平分，④．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．分解因式： ． 12．第三宇宙速度是指从地球起飞的航天器飞行速度达到米/秒时，无需后续加速就可以摆脱太阳引力的束缚．艺术形式下的哪吒踢毽子时，毽子速度大约是米/秒，则毽子的速度约是第三宇宙速度的 倍． 13．下列命题：①有一个角为的等腰三角形是等边三角形；②等腰直角三角形一定是轴对称图形；③有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．其中正确的是 ． 14．由，得，则 ． 15．如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，于点D，且．若， ，则的周长为 16．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”已知34是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式 ；若是整数，k是常数，且为“完美数”，则 ． 17．如图，点C、D在线段的同侧，是的中点，，则长的最大值是 ． 18．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为射线CB上一点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE=AD．连接BE，交直线AC于M，若2AC=9CM，记△ADB的面积为S1，△AEM的面积为S2，则的值为 ． 三、解答题（本题共8小题，共78分．其中：19-20题9分，21-22题8分，23-24题每题10分，25-26题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．计算： (1)；(2)．（3）解方程：； 20．计算：(1)； (2)． (3)先化简，再求值：，其中． 21．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，即， ∴，解得．故另一个因式为，的值为． 仿照上面的方法解答下面问题：(1)若，求的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式及a的值． 22．一个正方形边长为（m为常数且），记它的面积为，将这个正方形的一组邻边长分别增加2和减少2，得到一个长方形，记该长方形的面积记为． (1)求（用含m的代数式表示）； (2)小丽说无论m为何值，和的差都不变，你同意她的意见吗？为什么？ (3)将原正方形的边长减少1，得到一个新的正方形，记它的面积为，若存在常数a，使得不论m为何值，始终是一个定值，求a的值． 23．【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段． 【问题探究】（1）如图1，在中，平分，，试说明：． 【综合研究】（2）如图2，在中，点E为的中点，过点E作交于点F，有一点G在线段上，连接，得等腰直角三角形，若，，求的值． 24．【问题提出】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知），∴（中点定义）， 在和中，∵，∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 【问题解决】（3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 25．二维码中的数学 【阅读材料】生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图）来表示信息，即可通过在网格中，对每一个方格涂色或不涂色来表示不同的信息． 【问题探究】（1）图①中1个方格可表示2个不同信息；图②中2个方格可表示4个不同信息；图③的网格图，它可表示不同信息的总个数为______；（图中标号1、2、3、4表示四个不同位置的方格） （2）二维码的容量由网格图中方格数量、方格颜色（黑／白）等因素决定．现需扩大一个版本的二维码，在相邻的两边分别增加个方格和个方格，构成新的长方形（或正方形）二维码．已知扩展后满足以下条件：．求扩展后的二维码共有多少个方格？ 【实践应用】（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用（行列）的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共510人，且要求和为正整数，则的最小值为________． 26．【问题初探】（1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，在中，，是的角平分线，点E在线段上，且，求证：． ①如图2，小喆同学选定两个目标三角形，分别为和，他在上复制粘贴，以B为圆心，长为半径作弧交于点F，从而构造出全等三角形． ②如图3，小刚同学在的基础上复制粘贴，以C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点G，从而构造出全等三角形． 请你选择一名同学的解题方法，写出证明过程． 【类比分析】（2）王老师发现之前两名同学都很好地利用全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，进行复制粘贴，从而画出辅助线构造出全等三角形，为了让同学们更熟练地掌握构造全等三角形的方法，王老师提出下面问题，请你解答． 如图4，在中，，点D在的外部，且是锐角，在直线的右侧，且与互补，与的延长线交于点F，．求证：． 【学以致用】（3）如图5，在中，，点D在边上，于F，点E在延长线上，连接，且，．猜想与之间的数量关系，并证明． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华东师大版2024八年级上册第10章--第12章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，计算错误，故不符合题意；B、，计算正确，符合题意； C、与m不是同类项不能合并，计算错误，故不符合题意； D、，计算错误，故不符合题意，故选：B． 2．如图，在中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，，设，， ∴，，∴， ，∴， ∴故选． 3．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（    ） A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】C 【详解】解：由题意可知，调整后三只袋中的球数： 甲袋：个，乙袋：个，丙袋：个， 一共有个球，且调整后三只袋中球的个数相同， 调整后每只袋中球数为：（个），，， ，，．故选：C． 4．数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对ABC及的对应边或对应角添加一组等量条件（点分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定ABC与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法不正确的是（　　） A．若第3轮甲添加，则甲获胜； B．若第3轮甲添加，则甲必胜； C．若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； D．若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负． 【答案】A 【详解】解：A、若第3轮甲添加，可根据角角边判定与全等，则乙获胜，故本选项的说法错误； B、若第3轮甲添加，满足边边角，不能判定与全等，则甲获胜，故本选项的说法正确； C、若第2轮乙添加条件修改为， 若第3轮甲添加一边相等，可根据边角边或斜边直角边判定与全等，则乙获胜， 若第3轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定与全等，则乙获胜， 故乙必胜，故本选项的说法正确； D、若第2轮乙添加条件修改为，第3轮甲只能添加或其中之一，此时已有边边角，无论第4轮乙添加对应边相等还是对应角相等，都会有边边边或角角边或角边角来判定出全等，则乙必输，甲必胜．所以最多4轮必分胜负，故本选项的说法正确．故选：A． 5.估算的值，与它最接近的两个整数是（   ） A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8 【答案】C 【详解】解：∵，∴．故选：C． 6．如图，点B是线段上一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，若，，则长方形面积为（　　） A．25 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】解：如图，设，， ∵，两个正方形的面积之和，∴，， ∵，∴，解得，∴，故选：B． 7．在和中，，，，已知，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：分两种情况讨论： （1）如图1，作于点，于点，点在点右侧，点在点右侧， ，， 在和中，，，， 在和中，，，； （2）如图2，作，交的延长线于点，则点在点左侧， 延长到点，使，连接，垂直平分，， ，，由得:，， 故选：C． 8．下面是“经过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任意取一点、使点和在的两旁，（2）设点为圆心，长为半径作弧，交于点和点． （3）分别以点和点为圆心．大于的同样长为半径作弧．两弧相交于点．（4）作直线．则直线就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程（如图），给出下面四个结论：①点到四点的距离一定都相等；②点与点一定关于直线对称；③点与点一定关于直线对称；④连接．，一定有．上述结论中，正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【详解】解：步骤（2）以点为圆心，长为半径作弧，交于点和点，， 点是步骤（3）中以点和点为圆心．相同半径画弧的交点，， 因点的位置由两弧交点决定，无法保证的长度等于，故结论①错误； 步骤（3）中，以点和点为圆心．相同半径画弧， 交点必在的垂直平分线上，即是的垂直平分线， 点与点一定关于直线对称，故结论②正确； 是垂线，，点的位置由作图步骤决定， 未必满足点与点到直线距离相等，故结论③错误； （步骤2），（步骤3），为公共边， ，故结论④正确．故选：D． 9．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，例如（，，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（   ） A．255048 B．257024 C．257048 D．255024 【答案】D 【详解】解：设两个连续奇数分别为和（为正整数） “和谐数” “和谐数”不超过 为正整数的最大值为 所有“和谐数”之和为 故选：D． 10．如图，在中，，根据图中的作图痕迹，有下列结论： ①，②连接，则的周长， ③连接，，则平分，④．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：由作图可得：平分，垂直平分，∴，， ∵，∴，，∴，故①正确； 连接，由线段垂直平分线的性质可得：， ， ， ， ∴，故②正确； 连接，，则，，∴，， ∵，，∴， ∵，∴，∴平分，故③正确； 如图：作于，由角平分线的性质定理可得：， ∵，，， ∴，故④错误，综上所述，正确的个数为个，故选：C． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．分解因式： ． 【答案】 【详解】解：，故答案为：． 12．第三宇宙速度是指从地球起飞的航天器飞行速度达到米/秒时，无需后续加速就可以摆脱太阳引力的束缚．艺术形式下的哪吒踢毽子时，毽子速度大约是米/秒，则毽子的速度约是第三宇宙速度的 倍． 【答案】18 【详解】解：，∴毽子的速度约是第三宇宙速度的倍，故答案为： ． 13．下列命题：①有一个角为的等腰三角形是等边三角形；②等腰直角三角形一定是轴对称图形；③有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【详解】解：①有一个角为的等腰三角形是等边三角形，故①正确； ②等腰直角三角形一定是轴对称图形，故②正确； ③有一条直角边对应相等的两个直角三角形不一定全等，故③错误； ④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故④正确， 即正确的命题是①②④．故答案是：①②④． 14．由，得，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，故答案为：． 15．如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，于点D，且．若， ，则的周长为 【答案】32 【详解】解：连结，设，则，， 垂直平分，，， ，，，， 的周长为．故答案为：32． 16．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”已知34是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式 ；若是整数，k是常数，且为“完美数”，则 ． 【答案】 【详解】解：，写成（a，b为整数）的形式为； ，且为“完美数”， ，；故答案为：；5． 17．如图，点C、D在线段的同侧，是的中点，，则长的最大值是 ． 【答案】 【详解】解：作点A关于的对称点，点B关于的对称点，连接，，，，， ∴，，，，，， ∵，∴，∴，∴， ∵是的中点，，∴，∴， ∴为等边三角形，∴， ∵，， ∴的最大值为19．故答案是19． 18．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为射线CB上一点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE=AD．连接BE，交直线AC于M，若2AC=9CM，记△ADB的面积为S1，△AEM的面积为S2，则的值为 ． 【答案】或 【详解】解：如图，点D在线段上，作交于点G，则， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴， 在和中，，∴， ，设，则， ∵，∴，∴， ∴ ∴； 如图，点D在的延长线上，作交的延长线于点G，则， ∵， 在和中，，∴， ∴，，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， 设，则， ∵，∴，∴， ∴ ∴；综上所述，的值为或，故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共78分．其中：19-20题9分，21-22题8分，23-24题每题10分，25-26题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．计算： (1)； (2)；（3）解方程：。 【答案】(1)10 (2) （3）或； 【详解】（1）解： （2分） ；（3分） （2）解： （5分） ；（6分） （3）解： ∴或，（8分） 解得或；（9分） 20．计算：(1)； (2)． (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3)； 【详解】（1）解： ；（3分） （2）解： ．（6分） （3）原式．（8分） 当时，原式．（9分） 21．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，即， ∴，解得．故另一个因式为，的值为． 仿照上面的方法解答下面问题：(1)若，求的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式及a的值． 【答案】(1) (2)另一个因式为，a的值是． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得．∴，，∴；（4分） （2）解：设另一个因式为，由题意得：，（5分） 即，则有，解得， 所以另一个因式为，a的值是．（8分） 22．一个正方形边长为（m为常数且），记它的面积为，将这个正方形的一组邻边长分别增加2和减少2，得到一个长方形，记该长方形的面积记为． (1)求（用含m的代数式表示）； (2)小丽说无论m为何值，和的差都不变，你同意她的意见吗？为什么？ (3)将原正方形的边长减少1，得到一个新的正方形，记它的面积为，若存在常数a，使得不论m为何值，始终是一个定值，求a的值． 【答案】(1)(2)同意；理由见解析(3) 【详解】（1）解：得到的长方形的两边长分别为：，， ∴；（2分） （2）解：同意；理由如下：， ∴与的差都不变．（4分） （3）解：∵， ∴，（6分） ∵不论m为何值，始终是一个定值，∴，解得：．（8分） 23．【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段． 【问题探究】（1）如图1，在中，平分，，试说明：． 【综合研究】（2）如图2，在中，点E为的中点，过点E作交于点F，有一点G在线段上，连接，得等腰直角三角形，若，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）． 【详解】（1）证明：在上截取，连接，如图1所示： ∵平分，∴，（1分） 在和中，，∴，∴，，（2分） ∵，∴，∵是的外角，∴， ∴，∴，∴，（3分） 又∵，∴，∴；（4分） （2）解：过点B作，交的延长线于点H，如图2所示：∴，（5分） ∵，∴，∴， ∵是等腰直角三角形，∴，，（6分） ∴，∴，在和中，，（7分） ∴，∴，，∵点是的中点，∴， 在和中，，∴，（8分） ∴，，∴， ∵，，∴，（9分） ∴，∴， ∴，∴，∴．（10分） 24．【问题提出】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知），∴（中点定义）， 在和中，∵，∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 【问题解决】（3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）对顶角相等；；（2）；（3） 【详解】（1）解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知），∴（中点定义）， 在和中，∵，（对顶角相等） ∴；故答案为：对顶角相等；．（2分） （2）由题意可得：， ∵，即，∴．故答案为：．（5分） （3）延长交的延长线于点F，如图：∵，，∴（6分） 在和中． ∴， ∴，，（8分） ∵，∴垂直平分∴， ∴．（10分） 25．二维码中的数学 【阅读材料】生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图）来表示信息，即可通过在网格中，对每一个方格涂色或不涂色来表示不同的信息． 【问题探究】（1）图①中1个方格可表示2个不同信息；图②中2个方格可表示4个不同信息；图③的网格图，它可表示不同信息的总个数为______；（图中标号1、2、3、4表示四个不同位置的方格） （2）二维码的容量由网格图中方格数量、方格颜色（黑／白）等因素决定．现需扩大一个版本的二维码，在相邻的两边分别增加个方格和个方格，构成新的长方形（或正方形）二维码．已知扩展后满足以下条件：．求扩展后的二维码共有多少个方格？ 【实践应用】（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用（行列）的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共510人，且要求和为正整数，则的最小值为________． 【答案】（1）16（2）24（3）47 【详解】（1）根据题意，画树状图如下： ， 共有16种不同的信息，故答案为：16．（3分） （2）解：根据题意，得， ∵，∴，（5分） ∵，∴，（7分） ∵，∴． 答：扩展后的二维码共有24个方格．（10分） （3）解：根据题意，得，故， 故， 故的值为511,257,173,107,91,61,49,47，故的最小值为47．故答案为：47．（12分） 26．【问题初探】（1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，在中，，是的角平分线，点E在线段上，且，求证：． ①如图2，小喆同学选定两个目标三角形，分别为和，他在上复制粘贴，以B为圆心，长为半径作弧交于点F，从而构造出全等三角形． ②如图3，小刚同学在的基础上复制粘贴，以C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点G，从而构造出全等三角形． 请你选择一名同学的解题方法，写出证明过程． 【类比分析】（2）王老师发现之前两名同学都很好地利用全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，进行复制粘贴，从而画出辅助线构造出全等三角形，为了让同学们更熟练地掌握构造全等三角形的方法，王老师提出下面问题，请你解答． 如图4，在中，，点D在的外部，且是锐角，在直线的右侧，且与互补，与的延长线交于点F，．求证：． 【学以致用】（3）如图5，在中，，点D在边上，于F，点E在延长线上，连接，且，．猜想与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．见解析 【详解】解：（1）选择小喆同学的方法，证明如下： 以为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则， ，∴，即．（1分） 平分，， ，，，，（2分） ，，．（3分） 选择小刚同学的方法，证明如下： 以为圆心，长为半径作弧交延长线于，则，∴，（1分 ，．平分，， ，，，，（2分） ，，．（3分） （2）证明：方法一：以为圆心，长为半径作弧，交于点，则，（4分） ∴，∴，即． ，．与互补，，（5分），，， ，，，（6分） ．，．（7分） 方法二：过作交的延长线于，，（4分） ，，，． 与互补，，，（5分） ，，， ，，．（6分） ，，，．（7分） （3）．在上取点，使，连接．过作于，以为圆心长为半径作弧交于点．连接，则． ，．（8分） ，，．，． ，∴平分，．（9分） ∵，，，∴． ，，，（10分） ，．，， ，，， ∴，，（11分） ，，， ，∴，，即．，．（12分） 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华东师大版2024八年级上册第10章--第12章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（    ） A．32 B．64 C．128 D．256 4．数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对ABC及的对应边或对应角添加一组等量条件（点分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定ABC与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法不正确的是（　　） A．若第3轮甲添加，则甲获胜； B．若第3轮甲添加，则甲必胜； C．若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； D．若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负． 5.估算的值，与它最接近的两个整数是（   ） A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8 6．如图，点B是线段上一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，若，，则长方形面积为（　　） A．25 B．6 C．9 D．12 7．在和中，，，，已知，则（ ） A． B． C．或 D．或 8．下面是“经过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任意取一点、使点和在的两旁，（2）设点为圆心，长为半径作弧，交于点和点． （3）分别以点和点为圆心．大于的同样长为半径作弧．两弧相交于点．（4）作直线．则直线就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程（如图），给出下面四个结论：①点到四点的距离一定都相等；②点与点一定关于直线对称；③点与点一定关于直线对称；④连接．，一定有．上述结论中，正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 9．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，例如（，，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（   ） A．255048 B．257024 C．257048 D．255024 10．如图，在中，，根据图中的作图痕迹，有下列结论： ①，②连接，则的周长， ③连接，，则平分，④．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．分解因式： ． 12．第三宇宙速度是指从地球起飞的航天器飞行速度达到米/秒时，无需后续加速就可以摆脱太阳引力的束缚．艺术形式下的哪吒踢毽子时，毽子速度大约是米/秒，则毽子的速度约是第三宇宙速度的 倍． 13．下列命题：①有一个角为的等腰三角形是等边三角形；②等腰直角三角形一定是轴对称图形；③有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．其中正确的是 ． 14．由，得，则 ． 15．如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，于点D，且．若， ，则的周长为 16．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”已知34是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式 ；若是整数，k是常数，且为“完美数”，则 ． 17．如图，点C、D在线段的同侧，是的中点，，则长的最大值是 ． 18．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为射线CB上一点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE=AD．连接BE，交直线AC于M，若2AC=9CM，记△ADB的面积为S1，△AEM的面积为S2，则的值为 ． 三、解答题（本题共8小题，共78分．其中：19-20题9分，21-22题8分，23-24题每题10分，25-26题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．计算： (1)；(2)．（3）解方程：； 20．计算：(1)； (2)． (3)先化简，再求值：，其中． 21．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，即， ∴，解得．故另一个因式为，的值为． 仿照上面的方法解答下面问题：(1)若，求的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式及a的值． 22．一个正方形边长为（m为常数且），记它的面积为，将这个正方形的一组邻边长分别增加2和减少2，得到一个长方形，记该长方形的面积记为． (1)求（用含m的代数式表示）； (2)小丽说无论m为何值，和的差都不变，你同意她的意见吗？为什么？ (3)将原正方形的边长减少1，得到一个新的正方形，记它的面积为，若存在常数a，使得不论m为何值，始终是一个定值，求a的值． 23．【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段． 【问题探究】（1）如图1，在中，平分，，试说明：． 【综合研究】（2）如图2，在中，点E为的中点，过点E作交于点F，有一点G在线段上，连接，得等腰直角三角形，若，，求的值． 24．【问题提出】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知），∴（中点定义）， 在和中，∵，∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 【问题解决】（3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 25．二维码中的数学 【阅读材料】生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图）来表示信息，即可通过在网格中，对每一个方格涂色或不涂色来表示不同的信息． 【问题探究】（1）图①中1个方格可表示2个不同信息；图②中2个方格可表示4个不同信息；图③的网格图，它可表示不同信息的总个数为______；（图中标号1、2、3、4表示四个不同位置的方格） （2）二维码的容量由网格图中方格数量、方格颜色（黑／白）等因素决定．现需扩大一个版本的二维码，在相邻的两边分别增加个方格和个方格，构成新的长方形（或正方形）二维码．已知扩展后满足以下条件：．求扩展后的二维码共有多少个方格？ 【实践应用】（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用（行列）的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共510人，且要求和为正整数，则的最小值为________． 26．【问题初探】（1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，在中，，是的角平分线，点E在线段上，且，求证：． ①如图2，小喆同学选定两个目标三角形，分别为和，他在上复制粘贴，以B为圆心，长为半径作弧交于点F，从而构造出全等三角形． ②如图3，小刚同学在的基础上复制粘贴，以C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点G，从而构造出全等三角形． 请你选择一名同学的解题方法，写出证明过程． 【类比分析】（2）王老师发现之前两名同学都很好地利用全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，进行复制粘贴，从而画出辅助线构造出全等三角形，为了让同学们更熟练地掌握构造全等三角形的方法，王老师提出下面问题，请你解答． 如图4，在中，，点D在的外部，且是锐角，在直线的右侧，且与互补，与的延长线交于点F，．求证：． 【学以致用】（3）如图5，在中，，点D在边上，于F，点E在延长线上，连接，且，．猜想与之间的数量关系，并证明． / 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 12. 13 14 15 16 17 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共8个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(9分) 20.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 22.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) A E B B 图1 图2 24.10分) E B O 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(12分) A D B (图4) (图5) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！