13.2.2《三角形的中线、角平分线、高》 学案 2024-2025学年人教版数学八年级上册

第13章 三角形 第二节 与三角形有关的线段 第1课时 三角形的边 目录： 一、核心知识管理 二、易错点辨析 三、考点例题精析与变式练习题 四、基础拔高练习 1、 核心知识点梳理 知识点1 三线的定义及属性 定义及属性： 类型 定义 属性 关键区别 中线 连接三角形一个顶点和它对边中点的线段 线段（3 条） 与边的位置关系：不一定垂直，必平分对边 角平分线 三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点间的线段 线段（3 条） 与角的平分线区别：前者是线段，后者是射线 高 从三角形一个顶点向对边（或其延长线）作垂线，顶点和垂足间的线段 线段（3 条） 位置随三角形类型变化，可能在形内、形外或边上 知识点2 三线的性质与交点特征 1.共性规律： 任意三角形都有 3 条中线、3 条角平分线、3 条高，且各自的 3 条线（或其延长线）均交于一点（三线共点）。 2.个性特征： 类型 交点名称 核心性质 位置特点 中线 重心 ① 重心将每条中线分为2:1的两段（顶点到重心占 2 份，重心到中点占 1 份）；② 一条中线分三角形为面积相等的两部分 始终在三角形内部（适用于任意三角形） 角平分线 内心 ① 内心到三角形三边的距离相等；② 角平分线分对边所得线段与邻边成比例（如 AD 平分∠BAC，则 BD:DC=AB:AC） 始终在三角形内部（适用于任意三角形） 高 垂心 垂心位置由三角形类型决定：① 锐角三角形在形内；② 直角三角形在直角顶点；③ 钝角三角形在形外 随三角形类型变化，可内可外可在顶点 二、易错点辨析 误区1：“三角形的角平分线是射线”（正确：是线段，端点为顶点和对边上的交点）； 误区2：“三角形的高都在三角形内部”（反例：钝角三角形有两条高在形外，直角三角形两条高与直角边重合）； 误区3：3.“到三角形三边距离相等的点是重心”（正确：是内心，重心是中线交点，与距离无关）。 三、考点例题精讲与变式练习 考点一：三线的概念辨析 【例1】（2024・武汉江岸期中）下列关于三角形线段的说法，正确的是（　　） A. 三角形的角平分线是射线 B. 三角形的三条高所在直线交于一点，该点一定在三角形内 C. 三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形 D. 直角三角形的高只有一条 【变式练习1】（2024・南京玄武期中）下列说法正确的是（　　） ① 三角形的三条中线交于一点；② 三角形的角平分线是一条线段；③ 钝角三角形的三条高都在形外；④ 内心到三角形三个顶点的距离相等。 A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 考点二：中线的性质应用 【例2】（2024・广州天河期中）如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，若△ABD 的面积为 8，则△ABC 的面积为（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 无法确定 【变式练习2】（2025春・阜城县期末）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是（　　） A．18 B．22 C．28 D．32 考点三：三线的应用 【例3】（2024・成都青羊期中）已知△ABC 的三条高的交点恰好在三角形的一个顶点上，则△ABC 是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【变式练习3】（2024秋・邻水县期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　） A．BE＝CF B．∠C+∠CAD＝90° C．∠BAE＝∠CAE D．S△ABC＝2S△ABF 4、 基础拔高练习 时间：60分钟 总分：100分 1．下列说法正确的是（　　） A．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的三条中线交于一点 D．三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形 2．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的外角平分线，若∠DAC＝20°，问∠EAC＝（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 3．如图，CD、AE、CF分别是△ABC的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（　　） A．CD⊥AB B． C．S△ACF＝S△BCF D．BE＝CE 4．如图，在△ABC中，BC边上的高是（　　） A．BE B．AF C．CD D．DF 5．如图，已知D是BC的中点，AE、AF分别是△ABC的角平分线、高线，则下列结论正确的是（　　） A．AD＝CD B． C．∠AEB＝90° D．DF＝CF 6．如图，△ABC的周长是16，AD是BC边上的中线，AB＝6，CD＝3，则△ABD与△ACD 的周长之差为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是边AC上两点，AE＝DE，BD平分∠EBC，下列说法中不正确的是（　　） A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△ABE的高 8．如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，AB＝BD．给出下列结论：①AB＝CD；②FG＝GC；③∠ABE＝2∠FCB；④∠BFH＝∠BHF．其中一定正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 二、填空题（本大题共5小题，总分20.0分） 9．△ABC三条中线的交点叫做△ABC的 　 　 ． 10．如图，△ABC中，AB＝8cm，BC＝5cm，BD是△ABC的中线，则△ABD的周长比△BCD的周长大 　 　 cm． 11．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝　 　 ． 12．已知AD为△ABC的高，若BC＝10，BD＝4，则CD＝ 　 　 ． 13．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有 　 　 ． ①AD是△ABE的角平分线； ②BE是△ABD边AD上的中线； ③CH是△ACD边AD上的高； ④AH是△ACF的角平分线和高． 三、解答题（本大题共5小题，总分45.0分） 14．如图，在△ABC中，AF是中线，AD是角平分线，AE是高．请完成以下填空： （1）BF＝　 　 　 　 ； （2）∠BAD＝　 　 　 　 ； （3）∠AEB＝　 　 ＝90°； （4）S△ABC＝　 　 ． 15．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，若△ABD的周长比△ACD的周长小5，求AC与AB的差． 16．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AD⊥BC于D，AE平分．∠BAC，∠B＝64°，求∠DAE的度数． 17．如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，CE平分∠ACD交AD于点E，若∠BAC：∠CAD＝3：2，∠DCE＝35°． （1）求∠CAD的度数； （2）求∠B的度数． 18．如图，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝7，AC＝5，则△BCD与△ACD的周长差为 　 　 ； （2）若∠A＝80°，CD是角平分线，求∠BOC＝ 　 　 ； （3）若∠ABC＝62°，CD是高，求∠BOC的度数． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形 第二节 与三角形有关的线段 第1课时 三角形的边 目录： 一、核心知识管理 二、易错点辨析 三、考点例题精析与变式练习题 四、基础拔高练习 1、 核心知识点梳理 知识点1 三线的定义及属性 定义及属性： 类型 定义 属性 关键区别 中线 连接三角形一个顶点和它对边中点的线段 线段（3 条） 与边的位置关系：不一定垂直，必平分对边 角平分线 三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点间的线段 线段（3 条） 与角的平分线区别：前者是线段，后者是射线 高 从三角形一个顶点向对边（或其延长线）作垂线，顶点和垂足间的线段 线段（3 条） 位置随三角形类型变化，可能在形内、形外或边上 知识点2 三线的性质与交点特征 1.共性规律： 任意三角形都有 3 条中线、3 条角平分线、3 条高，且各自的 3 条线（或其延长线）均交于一点（三线共点）。 2.个性特征： 类型 交点名称 核心性质 位置特点 中线 重心 ① 重心将每条中线分为2:1的两段（顶点到重心占 2 份，重心到中点占 1 份）；② 一条中线分三角形为面积相等的两部分 始终在三角形内部（适用于任意三角形） 角平分线 内心 ① 内心到三角形三边的距离相等；② 角平分线分对边所得线段与邻边成比例（如 AD 平分∠BAC，则 BD:DC=AB:AC） 始终在三角形内部（适用于任意三角形） 高 垂心 垂心位置由三角形类型决定：① 锐角三角形在形内；② 直角三角形在直角顶点；③ 钝角三角形在形外 随三角形类型变化，可内可外可在顶点 二、易错点辨析 误区1：“三角形的角平分线是射线”（正确：是线段，端点为顶点和对边上的交点）； 误区2：“三角形的高都在三角形内部”（反例：钝角三角形有两条高在形外，直角三角形两条高与直角边重合）； 误区3：3.“到三角形三边距离相等的点是重心”（正确：是内心，重心是中线交点，与距离无关）。 三、考点例题精讲与变式练习 考点一：三线的概念辨析 【例1】（2024・武汉江岸期中）下列关于三角形线段的说法，正确的是（　　） A. 三角形的角平分线是射线 B. 三角形的三条高所在直线交于一点，该点一定在三角形内 C. 三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形 D. 直角三角形的高只有一条 【分析】根据三线的定义、性质及位置特点逐一判断，聚焦 “线段属性”“交点位置” 等核心考点。 【解答】•A：三角形的角平分线是 “线段” 而非射线，错误； •B：钝角三角形的垂心在形外，直角三角形的垂心在顶点，并非一定在形内，错误； •C：中线平分对边，两个小三角形等底等高，面积相等，正确（）； D：任意三角形都有 3 条高，直角三角形的两条直角边也是高，错误。 故选：C． 【方法总结】辨析类题目需紧扣 “线段本质”“位置规律” 两大核心，用 “反例法” 排除错误选项（如钝角三角形的高验证位置）。 【变式练习1】（2024・南京玄武期中）下列说法正确的是（　　） ① 三角形的三条中线交于一点；② 三角形的角平分线是一条线段；③ 钝角三角形的三条高都在形外；④ 内心到三角形三个顶点的距离相等。 A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【分析】逐一核对三线的交点、本质及特殊点性质。 【解答】① 中线交于重心，正确；② 角平分线是线段，正确；③ 钝角三角形只有两条高在形外，错误；④ 内心到三边距离相等，到顶点距离相等的是外心，错误。 故选：B． 考点二：中线的性质应用 【例2】（2024・广州天河期中）如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，若△ABD 的面积为 8，则△ABC 的面积为（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 无法确定 【分析】利用 “中线分三角形为等面积两部分” 的性质，结合等底等高模型计算。 【解答】由 AD 是中线得：BD=DC（D 为 BC 中点）； △ABD 与△ADC 有相同的高（从 A 向 BC 作的垂线），且底 BD=DC， 故 S△ABD=S△ADC=8； S△ABC=S△ABD+S△ADC=8+8=1。 故选：C。 【方法总结】中线相关面积问题的关键是 “等底等高”—— 中线平分对边（等底），同顶点出发的高相同（等高），因此面积相等。 【变式练习2】（2025春・阜城县期末）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是（　　） A．18 B．22 C．28 D．32 【分析】利用三角形中线的定义及性质即可求解。 【解答】解：解：∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∵AB＝7，AC＝10， ∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝25＝10+CE+AE， ∴CE+AE＝15， ∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝7+CE+AE＝7+15＝22，。 故选：B． 考点三：三线的应用 【例3】（2024・成都青羊期中）已知△ABC 的三条高的交点恰好在三角形的一个顶点上，则△ABC 是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 分析】根据 “垂心的位置与三角形类型的对应关系” 判断。 【解答】解：锐角三角形的垂心在形内，钝角三角形的垂心在形外，直角三角形的垂心在直角顶点（两条高与直角边重合，交点为直角顶点）； 题干中高的交点在顶点，故为直角三角形． 答案：B。 【方法总结】垂心位置是判断三角形类型的重要依据，牢记 “内锐、外钝、顶点直” 的规律。 【变式练习3】（2024秋・邻水县期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　） A．BE＝CF B．∠C+∠CAD＝90° C．∠BAE＝∠CAE D．S△ABC＝2S△ABF 【分析】利用三角形的角平分线、中线和高解决问题。 【解答】∵AF是△ABC的中线， ∴BF＝CF，而BE与CF不一定相等，A说法错误，符合题意； ∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意； ∵AE是角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE，C说法正确，不符合题意； ∵BF＝CF=BC， ∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意。 故选：A。 4、 基础拔高练习 时间：60分钟 总分：100分 1、 选择题（本大题共8小题，总分32分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D B B A C A 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 9．重心． 10．3． 11．50°． 12．6或14． 13．③④． 三、解答题（本大题共5小题，总分48分） 14．如图，在△ABC中，AF是中线，AD是角平分线，AE是高．请完成以下填空： （1）BF＝　　 　　 ； （2）∠BAD＝　　 　　 ； （3）∠AEB＝　　 ＝90°； （4）S△ABC＝　 　 ． 解：（1）∵AF是中线， ∴BF＝CFBC， 故答案为：CF，BC； （2）∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC， 故答案为：∠CAD，∠BAC； （3）∵AE是△ABC的高， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°， 故答案为：∠AEC； （4）∵AE是△ABC的高， ∴S△ABCBC•AE， 故答案为：BC•AE． 15．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，若△ABD的周长比△ACD的周长小5，求AC与AB的差． 解：∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∴△ACD的周长﹣△ABD的周长＝（AC+AD+CD）﹣（AB+AD+BD）＝AC﹣AB＝5， 即AC﹣AB＝5， ∴AC与AB的差为5． 16．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AD⊥BC于D，AE平分．∠BAC，∠B＝64°，求∠DAE的度数． 解：∵∠BAC＝80°，AE平分∠BAC， ∴， ∵AD⊥BC于D， ∴∠ADC＝90°， ∴∠BAD＝180°﹣90°﹣64°＝26°； ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝14°． 17．如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，CE平分∠ACD交AD于点E，若∠BAC：∠CAD＝3：2，∠DCE＝35°． （1）求∠CAD的度数； （2）求∠B的度数． 解：（1）∵CE平分∠ACD， ∴∠DCA＝2∠DCE， ∵∠DCE＝35°， ∴∠DCA＝2∠DCE＝2×35°＝70°， ∵AD为BC边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠DCA＝20°； （2）∵∠BAC：∠CAD＝3：2，∠CAD＝20°， ∴∠BAC＝30°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝20°+30°＝50°， ∴∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°． 18．如图，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝7，AC＝5，则△BCD与△ACD的周长差为 　2　 ； （2）若∠A＝80°，CD是角平分线，求∠BOC＝ 　130°　 ； （3）若∠ABC＝62°，CD是高，求∠BOC的度数． 解：（1）∵CD是AB的中线， ∴AD＝DB， ∵BC＝7，AC＝5， ∴△BCD与△ACD的周长差为：（BC+CD+BD）﹣（AC+CD+AD）＝BC﹣AC＝2， 故答案为：2； （2）∵∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°， ∵BE是△ABC的角平分线，CD是角平分线， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝50°， ∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°， 故答案为：130； （3）∵CD是高， ∴∠CDB＝90°， ∵∠ABC＝62°， ∴∠BCD＝90°﹣62°＝28°， ∵BE平分∠ABC， ∴， 在△BOC中，∠BOC＝180°﹣28°﹣31°＝121°． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $