专题07 几何图形的初步认识章末易错压轴题24大题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材冀教版

专题07 几何图形的初步认识章末易错压轴题 题型1 常见几何体 题型13 尺规作角 题型2 几何体的点、棱、面 题型14 三角板中角度计算 题型3 平面图形旋转后所得的立体图形 题型15 几何图形中角度计算 题型4 直线、射线、线段的联系与区别 题型16 角度的四则运算 题型5 画直线、射线、线段 题型17 实际问题中角度计算 题型6 两点确定一条直线 题型18 角平分线的有关计算 题型7 直线、射线、线段的数量、交点问题 题型19 余角、补角相关计算 题型8 两点间的距离 题型20 平面图形的旋转 题型9 线段的和与差 题型21 线段的动点问题（压轴） 题型10 线段中点计算 题型22 线段中的定值问题（压轴） 题型11 角的相关概念 题型23 角度的动角问题（压轴） 题型12 角的大小比较 题型24 角度的相互关系问题（压轴） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 常见几何体（共3小题） 1．下列说法不正确的是（   ） A．五棱柱有5个面、5条棱 B．圆锥的底面是圆 C．棱柱的上下底面是完全相同的图形 D．长方体与正方体都有六个面 2．下列几何体中，棱柱有 个．    3．观察图中的几何体，回答下列问题： (1)将图中的几何体分类，并说明理由； (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点．（各写一条即可） 题型二 几何体的点、棱、面（共3小题） 4．如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则第二个几何体有（　　）个面． A．6 B．7 C．8 D．9 5．如图，把一个长方体平均切成若干个小正方体，除底面外，在大长方体的其他面全部涂上颜色．两面涂色的小正方体有个，一面涂色的小正方体有个，则 ． 6．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 题型三 平面图形旋转后所得的立体图形（共3小题） 7．将下列平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱．这两个圆柱的侧面积之比为： ．    9．如图是一张长方形纸片，长为，长为．若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周， (1)得到的几何体是__________； (2)若将这个长方形纸片绕和所在直线旋转一周形成不同的几何体，求形成的几何体的体积．（结果保留） 题型四 直线、射线、线段的联系与区别（共3小题） 10．如图所示，下列说法不正确的是（         ） A．直线与直线是同一条直线 B．射线与射线是同一条射线 C．线段与线段是同一条线段 D．反向延长线段至C使 11．如图，点M，P，N是直线l上从左至右的三个点，下列说法错误的是（  ） A．点P在直线上 B．点P在线段上 C．点N在线段上 D．点N在射线上 12．如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．点A在直线外 B．点A到点C的距离是线段的长度 C．射线与射线是同一条 D．直线和直线相交于点B 题型五 画直线、射线、线段（共3小题） 13．如图，在平面内有，，三点． (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点（不同于，），连接，并延长至，使； 14．如图，平面上有A、B、C、D四个点，请根据下列语句作图． (1)画直线； (2)线段与线段相交于点O； (3)射线与射线相交于点P． 15．乒乓球馆前面有一堵围墙．（如图） (1)当淘气走到位置时，他能看到乒乓球馆吗？请你画一画． (2)淘气继续往点走，能看到乒乓球馆的部分越来越（   ）． (3)当淘气走到点时，他还能看到乒乓球馆吗？请你画一画． 题型六 两点确定一条直线（共2小题） 16．在下列生活、生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．在墙壁上固定一根横放的木条，至少需要（    ） A．1枚钉子 B．2枚钉子 C．3枚钉子 D．随便多少枚钉子 18．如图，在利用量角器画一个的的过程中，对于先找点，再画射线这一步骤的画图依据，甲同学认为是两点确定一条直线，乙同学认为是两点之间线段最短．你认为 同学的说法是正确的． 题型七 直线、射线、线段的数量、交点问题（共3小题） 19．有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有5个刻度（如图，单位：厘米）．用这把直尺能直接量出多少个不同的长度（    ）    A．12 B．10 C．8 D．6 20．如图所示，由济南始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：济南—淄博—潍坊—青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票 种． 21．2024年阿里巴巴全球数学竞赛预选赛第1题：几位同学假期组成一个小组去某市旅游．该市有6座塔，它们的位置分别为A，B，C，D，E，F．同学们自由行动一段时间后，每位同学都发现，自己在所在的位置只能看到位于A，B，C，D处的四座塔，而看不到位于和的塔.已知： （1）同学们的位置和塔的位置均视为同一平面上的点，且这些点彼此不重合； （2）A，B，C，D，E，F中任意3点不在同一直线上； （3）看不到塔的唯一可能就是视线被其它的塔所遮挡． 请你观察原题答案提供的如图所示的图形，这个旅游小组最多可能有 名同学． 题型八 两点间的距离（共3小题） 22．下列说法正确的是（　　） A．平角是一条直线 B．直线与直线不是同一条直线 C．两点之间，线段最短 D．如果，则点B是线段的中点 23．下列语句正确的个数为（    ） ①两点之间的线段叫做两点间的距离      ②两点之间，直线最短     ③两点之间，线段最短       ④两点确定一条直线    ⑤一条直线长5cm ⑥过平面上的四点作线段最多可以作6条   ⑦两直线相交只有一个交点 A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 24．数轴上有三点M、N、E，点M到点E的距离为2，点N到点E距离为6，则M、N之间的距离为 ． 题型九 线段的和与差（共3小题） 25．已知线段和点，如果，那么下列结论一定正确的是（   ） A．点在线段上 B．点为线段的中点 C．点在线段外 D．点在线段的延长线上 26．一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D 的左侧）．将，分别沿C，D 两点翻折（翻折处长度不计），A，B 两点分别落在上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，的长为 ． 27．已知，点在线段上， (1)试说明和有怎样的关系？ (2)若，求的长 题型十 线段中点计算（共3小题） 28．如图，已知点C为上一点，，，D、E分别为、的中点，求的长． 29．如图所示，线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度； (3)在（2）的条件下，点M是线段上的一点，且，求的长． 30．如图，点是线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)如果，求的长． (2)如果，，求的长． 题型十一 角的相关概念（共4小题） 31．下列说法不正确的是（    ） A．直角周角 B．周角平角 C．角的两边越长角就越大 D．经过两点有且只有一条直线 32．如图，某种齿轮每相邻两齿中心线间的夹角都相等，如果是一个15个齿的齿轮，则这个夹角的度数是；如果是一个22个齿的齿轮，则这个夹角的度数约为 ．（精确到分） 33．某测装置有一枚指针，原来指向南偏西，把这枚指针按逆时针方向旋转，那么现指针指向 方向． 题型十二 角的大小比较（共2小题） 34．若，，则 ．（填>、<、=） 35．若，，，将这三个角按角度的大小排列，顺序为 ． 36．如图1，图2所示，把一副三角板先后放在上，则的度数可能（    ） A． B． C． D． 题型十三 尺规作角（共3小题） 37．如图，尺规作，作图痕迹中弧是（    ） A．以点F为圆心，以长为半径的弧 B．以点F为圆心，以长为半径的弧 C．以点G为圆心，以长为半径的弧 D．以点G为圆心，以长为半径的弧 38．如图，请在的边上找一点D，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 39．如图，点在的边上． (1)画射线； (2)用量角器测量，_______； (3)尺规作图：作，使（不写过程，需保留作图痕迹）． 题型十四 三角板中角度计算（共1小题） 40．把一副直角三角尺如图摆放，，，，斜边、在直线l上，保持不动，在直线l上平移，当以点三点为顶点的三角形是直角三角形时，则的度数是（    ） 　 A． B． C．或 D．或 41．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则 ． 42．已知，将一副三角板的直角顶点按如图所式叠放在一起． (1)填写下列表格： 的大小 的大小 (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 题型十五 几何图形中角度计算（共3小题） 43．已知：如图OM，ON分别平分和， (1)若，若，求的度数． (2)若，求的度数． 44．如图，已知，从的内部引出一条射线． (1)请用尺规作图的方法在的外部作，使得（要求只保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的基础上，请直接写出与之间满足的数量关系． 45．已知是平角，，平分，且，求的度数．    题型十六 角度的四则运算（共3小题） 46．计算： (1) (2) 47．计算： (1)； (2)． 48．计算： (1)； (2)； 题型十七 实际问题中角度计算（共3小题） 49．一束光在空气与某透明物质的界面处发生了反射和折射现象，其光路如图所示．入射光线与界面的入射角为，折射角为，则反射光线与折射光线形成的 ． 50．如图，一棵小树生长时与地面所成的角，它的根深入泥土，如果根和小树在同一条直线上，那么等于 度．    51．入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小20°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（　　） A．减小40° B．增大40° C．减小20° D．不变 题型十八 角平分线的有关计算（共3小题） 52．如图，平分，平分，若，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 53．如图，点在同一条直线上，分别平分和． （1） ． （2）如果， ． 54．如图． (1)请写出与的数量关系，并说明理由； (2)写出的补角和余角； (3)如果，平分，求度数． 题型十九 余角、补角相关计算（共3小题） 55．已知与互为补角，且是的2倍，则为（   ） A． B． C． D． 56．已知，与互余，与互补，则的度数为 ． 57．如图，直线相交于点，与互余，且，求、的度数． 题型二十 平面图形的旋转（共3小题） 58．下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 59．如图，将绕点O按逆时针方向旋转至，使点B恰好落在边上．已知，，则的长为 ．    60．如图， 将 逆时针旋转一定角度后得到 点D为的中点． (1)若 则旋转中心为点 ，旋转角度为 ； (2)若在（1）的条件下，求的长． 题型二十一 线段的动点问题（压轴）（共3小题） 61．阅读感悟： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图1，一条直线上有四点，线段，点为线段的中点，线段，请你补全图形，并求的长度． 以下是小华的解答过程： 解：如图2， 因为线段，点为线段的中点， 所以________________________ 因为， 所以____________ 小斌说：我觉得这个题应该有两种情况，小华只考虑了点在线段上，事实上，点还可以在线段的延长线上． 完成以下问题： (1)请填空：将小华的解答过程补充完整： (2)根据小斌的想法，请你在备图中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时的长度； (3)拓展运用：有两根木条，一根长40厘米，一根长80厘米．如果将它们放在同一条直线上，并且使一个端点重合，这两根木条的中点间的距离是____________． 62．（1）如图，已知线段、，线段在线段上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧）    ①若线段，，M、N分别为、的中点，求的长． ②若线段，，M、N分别为、的中点，则线段______（用含m，n的代数式表示）． （2）若线段在线段的延长线上（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），M、N分别为、的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论（用含m，n的代数式表示）． 63．如图，数轴上两点表示的有理数分别为，且满足，线段（点在点的左侧）在数轴上从A点沿数轴正方向匀速运动（开始时点与点A重合），点分别为的中点．    (1)求的值； (2)的长为__________；若，则的长为__________； (3)在（2）条件下，当时，点所表示的有理数为__________． 题型二十二 线段中的定值问题（压轴）（共3小题） 64．【感悟体验】如图1，A、B、C三点在同一直线上，点D在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定D点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图2，下列情形中与互为“对称线段”的是________（直接填序号）． ①，；②，，；③，． 【运用概念】如图3，与互为“对称线段”，点M为的中点，点N为的中点，且． （1）若，求的长； （2）在的长度可以变化的情况下，试说明与互为“对称线段”． 【拓展提升】 （3）如图4，在同一直线上依次有A、B、C、D四点，且（a为常数），点M为的中点，点N在上且．是否存在m的值使得的长为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值（用含a的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 65．如图，线段，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，M 为的中点．点P的运动时间为x秒． (1)若时， 求的长； (2)当P在线段上运动时，是定值吗? 如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由； (3)当P在射线上运动时，N为的中点， 求的长度． 66．已知，，和分别为线段，的中点． （1）若重合，在线段上，如图1，求的长度； （2）①如果将图1的线段沿着向右平移个单位，求的长度与的数量关系； ②当为多少的时，的长度为9； （3）如果保持长度和位置不变，点保持图1的位置不变，改变的长度，将点沿着直线向右移动个单位，其余条件不变，①②，请问以上两个式子哪一个式子的值是定值，定值是多少？ 题型二十三 角度的动角问题（压轴）（共3小题） 67．如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 °； (2)如图②，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由； (4)将直角三角板绕点O转动一周，如果在的外部，且，请直接写出的度数． 68．如图1，点为直线上点，过点作射线，使．现将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． (1)_____； (2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足，如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 69．【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，； 在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点C转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 题型二十四 角度的相互关系问题（压轴）（共3小题） 70．问题情境：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是的中点． 猜想： （1）若，则______． 计算说明： （2）线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果变化，请说明理由． 问题解决： （3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求______． ②请你直接写出和三个角之间的数量关系． 71．已知：点是直线上一点，，是的三等分线，   ． (1)在图①中，若，求； (2)在图①中，若，用含的式子表示(直接写结果)； (3)将图①中的按顺时针方向旋转至图②的位置： ①若，用含 的式子表示，写出你的结论，并说明理由： ②若内部有一条射线 ，且满足，试确定与之间的数量关系．(直接写结果) 72．如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起（）．     观察分析： (1)若，则 ；若，则 ； 猜想探究： (2)请你猜想与有何关系，并说明理由； 拓展应用： (3)如图，若将两个同样的三角板含锐角的顶点A重合在一起，请你猜想与有何关系，请说明理由； (4)如图，如果把任意两个锐角、的顶点重合在一起，已知，（都是锐角），请你直接写出和与之间的关系． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题07 几何图形的初步认识章末易错压轴题 题型1 常见几何体 题型13 尺规作角 题型2 几何体的点、棱、面 题型14 三角板中角度计算 题型3 平面图形旋转后所得的立体图形 题型15 几何图形中角度计算 题型4 直线、射线、线段的联系与区别 题型16 角度的四则运算 题型5 画直线、射线、线段 题型17 实际问题中角度计算 题型6 两点确定一条直线 题型18 角平分线的有关计算 题型7 直线、射线、线段的数量、交点问题 题型19 余角、补角相关计算 题型8 两点间的距离 题型20 平面图形的旋转 题型9 线段的和与差 题型21 线段的动点问题（压轴） 题型10 线段中点计算 题型22 线段中的定值问题（压轴） 题型11 角的相关概念 题型23 角度的动角问题（压轴） 题型12 角的大小比较 题型24 角度的相互关系问题（压轴） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 常见几何体（共3小题） 1．下列说法不正确的是（   ） A．五棱柱有5个面、5条棱 B．圆锥的底面是圆 C．棱柱的上下底面是完全相同的图形 D．长方体与正方体都有六个面 【答案】A 【分析】本题考查棱柱、圆锥等立体图形的特征，根据棱柱和圆锥的特征求解即可． 【详解】解：A、五棱柱有7个面、15条棱，本选项的说法不正确； B、圆锥的底面是圆，本选项的说法正确； C、棱柱的上下底面是完全相同的图形，本选项的说法正确； D、长方体与正方体都有六个面，本选项的说法正确． 故选：A 2．下列几何体中，棱柱有 个．    【答案】 【分析】本题考查的是棱柱的概念与识图，棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面为平行四边形，根据特征逐一分析四个选项从而可得答案． 【详解】解：棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面为平行四边形， 根据特征可得第4、5个图形为棱柱，共2个， 故答案为：． 3．观察图中的几何体，回答下列问题： (1)将图中的几何体分类，并说明理由； (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点．（各写一条即可） 【答案】(1)①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体，理由见解析 (2)图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）；不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）． 【分析】此题主要考查了简单几何体，熟练掌握柱体、锥体、球体的概念是解决问题的关键． （1）根据柱体、锥体、球体划分即可； （2）根据棱柱和圆柱的特点可得出答案． 【详解】（1）解：按柱体、锥体、球体划分可分为三类：①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体． （2）解：图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）． 题型二 几何体的点、棱、面（共3小题） 4．如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则第二个几何体有（　　）个面． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查截一个几何体，根据挖去一个棱长为的正方体，增加了三个边长为的正方形面，进行求解即可． 【详解】解：因为从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，增加了三个边长为的正方形面， 所以第二个几何体有9个面． 故选：D． 5．如图，把一个长方体平均切成若干个小正方体，除底面外，在大长方体的其他面全部涂上颜色．两面涂色的小正方体有个，一面涂色的小正方体有个，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查长方体的相关知识．观察后动手操作，判断出只有一面涂色或两面涂色的几何体的位置，是解决本题的关键．根据所给立体图形，观察两面涂色的小正方体和一面涂色的小正方体的个数即可． 【详解】解：如图1：两面涂色的小正方体除图中标注的外，左面和后面相交的边长处的最底层和中间层处还有2个， 两面涂色的小正方体有14个． 如图2：只有一面涂色的小正方体前面有4个，可推测后面也有4个；右面有2个，可推测左面也有2个；上面有2个， 一面涂色的小正方体有（个）． ，， ， 故答案为：0． 6．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 【答案】（1）填表见解析，；（2）五；（3）10 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，掌握图形中各量之间的关系是解题的关键． （1）通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 顶点数、面数和棱数之间的数量关系是， 故答案为：； （2）一个棱柱只有七个面，必有2个底面， 有个侧面， 这个棱柱是五棱柱， 故答案为：五； （3）由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得， 解得：， 故该多面体的面数为10． 题型三 平面图形旋转后所得的立体图形（共3小题） 7．将下列平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点线面体，掌握面动成体是解题的关键． 根据面动成体分别判断各选项是否可得到图中所示的立体图形即可． 【详解】解：A、绕轴旋转一周可得到圆柱，故此选项不合题意； B、绕轴旋转一周，可得到球体，故此选项不合题意； C、绕轴旋转一周，可得到一个中间空心的几何体，故此选项不合题意； D、绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形，故此选项符合题意． 故选：D． 8．如图，已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱．这两个圆柱的侧面积之比为： ．    【答案】1/ 【分析】本题考查了平面图形的旋转体和圆柱的侧面积，根据长方形旋转后得到圆柱体，分别求出两个圆柱体的侧面积，即可得出结果． 【详解】解：如图（1），圆柱的侧面积为， 如图（2），圆柱的侧面积为， ∴这两个圆柱的侧面积之比为。 故答案为：1 9．如图是一张长方形纸片，长为，长为．若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周， (1)得到的几何体是__________； (2)若将这个长方形纸片绕和所在直线旋转一周形成不同的几何体，求形成的几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2)或． 【分析】（1）旋转后的几何体是圆柱； （2）分两种情况，根据圆柱的体积公式：底面积乘高，进行列式计算即可求解． 本题主要考查的是点、线、面、体，根据图形确定出圆柱的底面半径和高的长是解题的关键． 【详解】（1）解：若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱； 故答案为：圆柱； （2）解：情况①，绕边所在直线旋转： 情况②，绕边所在直线旋转： 故形成的几何体的体积是或． 题型四 直线、射线、线段的联系与区别（共3小题） 10．如图所示，下列说法不正确的是（         ） A．直线与直线是同一条直线 B．射线与射线是同一条射线 C．线段与线段是同一条线段 D．反向延长线段至C使 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线，射线，线段的定义和描述，解题的关键是掌握相关的定义以及描述的准确性． 利用直线，射线，线段的定义和描述，逐项进行判断即可． 【详解】解：射线与射线端点不同，所以不是同一条射线，该选项错误，符合题意， 其它选项正确，不符合题意； 故选：B． 11．如图，点M，P，N是直线l上从左至右的三个点，下列说法错误的是（  ） A．点P在直线上 B．点P在线段上 C．点N在线段上 D．点N在射线上 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握直线、射线、线段的定义是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义进行判断即可． 【详解】解：A．点P在直线上，正确，故选项A不符合题意； B．点P在线段上，正确，故选项B不符合题意； C．点N在线段的延长线上，故选项C错误，符合题意； D．点N在射线上，正确，故选项D不符合题意． 故选：C． 12．如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．点A在直线外 B．点A到点C的距离是线段的长度 C．射线与射线是同一条 D．直线和直线相交于点B 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段．解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义，要注意：直线没有端点．根据直线、射线与线段的定义，结合图形解答． 【详解】解：A. 点A在直线外，说法正确，不符合题意； B. 点A到点C的距离是线段的长度，说法正确，不符合题意； C. 射线与射线不是同一条，说法错误，符合题意； D. 直线和直线相交于点B，说法正确，不符合题意； 故选：C． 题型五 画直线、射线、线段（共3小题） 13．如图，在平面内有，，三点． (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点（不同于，），连接，并延长至，使； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段，解决本题的关键是根据直线、射线、线段的定义按要求作图． （1）根据直线没有端点、向两个方向无限延伸，射线有一个端点，向一个方向无限延伸，线段有两个端点，不延伸，画出直线，射线，线段； （2）线段上任取一点（不同于，），连接，再根据画出符合要求的图形即可． 【详解】（1）解：作图如下， （2）解：作图如下， 14．如图，平面上有A、B、C、D四个点，请根据下列语句作图． (1)画直线； (2)线段与线段相交于点O； (3)射线与射线相交于点P． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型． （1）根据直线的定义画出图形即可． （2）根据线段的定义画出图形即可． （3）根据射线的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：直线如图所示． （2）解：线段与线段相交于点，如图所示． （3）解：射线与射线相交于点，如图所示． 15．乒乓球馆前面有一堵围墙．（如图） (1)当淘气走到位置时，他能看到乒乓球馆吗？请你画一画． (2)淘气继续往点走，能看到乒乓球馆的部分越来越（   ）． (3)当淘气走到点时，他还能看到乒乓球馆吗？请你画一画． 【答案】(1)能看到乒乓球馆，画图见解析 (2)小 (3)不能看到乒乓球馆，画图见解析 【分析】本题是考查从不同位置观察物体的范围． （1）从淘气眼睛出作射线，过墙右侧最高点，即可得到图形，从而得到结果； （2）根据越往前走，墙挡住的视线越多即可解答； （3）同理（1）作射线即可解答． 【详解】（1）解：如图，当淘气走到位置时，他能看到乒乓球馆； （2）解：淘气继续往点走，能看到乒乓球馆的部分越来越小； （3）解：如图，当淘气走到点时，不能看到乒乓球馆． 题型六 两点确定一条直线（共2小题） 16．在下列生活、生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查直线和线段，第一、二、三幅图可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第四幅图可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释． 【详解】第一、二、三幅图可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第四幅图可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释． 故选：A． 17．在墙壁上固定一根横放的木条，至少需要（    ） A．1枚钉子 B．2枚钉子 C．3枚钉子 D．随便多少枚钉子 【答案】B 【分析】本题考查了直线的知识；解题的关键是熟练掌握两点确定一条直线的性质．结合题意，根据两点确定一条直线的性质分析，即可得到答案． 【详解】解:在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要2枚钉子， 故选：B． 18．如图，在利用量角器画一个的的过程中，对于先找点，再画射线这一步骤的画图依据，甲同学认为是两点确定一条直线，乙同学认为是两点之间线段最短．你认为 同学的说法是正确的． 【答案】甲 【分析】本题考查了直线、线段、射线的概念，根据两点之间确定一条直线即可解答，熟练掌握此知识点是解此题的关键． 【详解】解：在利用量角器画一个的的过程中，对于先找点，再画射线这一步骤的画图依据，应该是两点确定一条直线， 故甲同学的说法是正确的， 故答案为：甲． 题型七 直线、射线、线段的数量、交点问题（共3小题） 19．有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有5个刻度（如图，单位：厘米）．用这把直尺能直接量出多少个不同的长度（    ）    A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了线段的计数问题，找出不同长度的线段即可． 【详解】解：用这把直尺能直接量出的线段有：1厘米，3厘米，7厘米，10厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，厘米， 所以用这把直尺能直接量出8个不同的长度． 故选C． 20．如图所示，由济南始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：济南—淄博—潍坊—青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票 种． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的数量问题；单程两个站点有一种票，相当于图中线段条数问题，根据计算即可． 【详解】解：（种）， ∴要为这次列车制作的单程火车票6种． 故答案为：． 21．2024年阿里巴巴全球数学竞赛预选赛第1题：几位同学假期组成一个小组去某市旅游．该市有6座塔，它们的位置分别为A，B，C，D，E，F．同学们自由行动一段时间后，每位同学都发现，自己在所在的位置只能看到位于A，B，C，D处的四座塔，而看不到位于和的塔.已知： （1）同学们的位置和塔的位置均视为同一平面上的点，且这些点彼此不重合； （2）A，B，C，D，E，F中任意3点不在同一直线上； （3）看不到塔的唯一可能就是视线被其它的塔所遮挡． 请你观察原题答案提供的如图所示的图形，这个旅游小组最多可能有 名同学． 【答案】 【分析】本题考查了直线的相关知识点，根据三点共线时会互相遮挡画出图形即可得解，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：由题意，由于看不到位于和的塔，可得同学所处位置为两条直线的交点处，有个画圈位置满足条件，如图所示： 故答案为：． 题型八 两点间的距离（共3小题） 22．下列说法正确的是（　　） A．平角是一条直线 B．直线与直线不是同一条直线 C．两点之间，线段最短 D．如果，则点B是线段的中点 【答案】C 【分析】本题考查了平角的定义，直线的性质，两点间的距离和线段的性质，据此逐项分析即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】A. 平角是一个角，是由一个点引出的两条射线组成，而直线是由无数个点组成，原说法错误； B. 直线没有方向，直线与直线是同一条直线，原说法错误； C. 两点之间，线段最短，说法正确； D. 如果，则点B是线段的垂直平分线上，原说法错误； 故选：C． 23．下列语句正确的个数为（    ） ①两点之间的线段叫做两点间的距离      ②两点之间，直线最短     ③两点之间，线段最短       ④两点确定一条直线    ⑤一条直线长5cm ⑥过平面上的四点作线段最多可以作6条   ⑦两直线相交只有一个交点 A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查两点间的距离，线段的性质，直线的概念和性质．根据相关概念和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：两点之间的线段的长度叫做两点间的距离；故①错误； 两点之间，线段最短；故②错误，③正确； 两点确定一条直线，故④正确； 直线无法度量，故⑤错误； 过平面上的四点作线段最多可以作6条；故⑥正确； 两直线相交只有1个交点；故⑦正确； 故选C． 24．数轴上有三点M、N、E，点M到点E的距离为2，点N到点E距离为6，则M、N之间的距离为 ． 【答案】8或4 【分析】本题考查了两点间的线段，分类讨论是解题关键．分类讨论：E在线段上，E在线段的反向延长线上，根据线段的差，可得答案． 【详解】解：当在线段．上时，． 当在线段的反向延长线上时，， 综上所述：， 故答案为：8或4． 题型九 线段的和与差（共3小题） 25．已知线段和点，如果，那么下列结论一定正确的是（   ） A．点在线段上 B．点为线段的中点 C．点在线段外 D．点在线段的延长线上 【答案】A 【分析】本题考查了判断点与线段的位置关系，线段长度的和的概念，根据线段长度的和的概念结合点与线段的位置关系逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如果，那么点在线段上 故选：A． 26．一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D 的左侧）．将，分别沿C，D 两点翻折（翻折处长度不计），A，B 两点分别落在上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差，分两种情况：当点E在点F左侧时，当点E在点F右侧时，分别画出图形，即可求解． 【详解】解：当点E在点F左侧时，如图， 由于翻折，则，， 由图知，，即， ∴， ∴； 当点E在点F右侧时，如图， 则，即， ∴， ∴； 综上，的长为或． 故答案为：或． 27．已知，点在线段上， (1)试说明和有怎样的关系？ (2)若，求的长 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，即可求解． （2）根据求得，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵． 【点睛】本题考查了线段和差，数形结合是解题的关键． 题型十 线段中点计算（共3小题） 28．如图，已知点C为上一点，，，D、E分别为、的中点，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差关系，与线段中点有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，，得出，，因为D、E分别为、的中点，得，运用线段的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵D、E分别为、的中点， ∴， ∴． 29．如图所示，线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度； (3)在（2）的条件下，点M是线段上的一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或8 【分析】本题考查了线段中点的性质，两点间的距离，线段的和差定义，灵活掌握线段中点性质以及线段和差定义是解题的关键． （1）根据线段中点的性质求得，的长，进而根据求解即可； （2）设，则，根据题意得到，，得到进而求解即可； （3）根据题意分点M在点C左边和点M在点C右边两种情况讨论，然后分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ； （2）∵ ∴设，则 ∵ ∴ 解得 ∴， ∴； （3）①当点M在点C左边时， ∵， ∴； ②当点M在点C右边时， ∵， ∴． 30．如图，点是线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)如果，求的长． (2)如果，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，正确的识图，找准线段之间的和差关系，是解题的关键． （1）根据线段中点的定义，推出，即可； （2）线段中点求出，利用求出，再根据中点求出的长即可． 【详解】（1）解：是线段中点，是线段中点， ，， ∴； （2）是线段中点，， 又， ， 是线段中点， ． 题型十一 角的相关概念（共4小题） 31．下列说法不正确的是（    ） A．直角周角 B．周角平角 C．角的两边越长角就越大 D．经过两点有且只有一条直线 【答案】C 【分析】本题考查了角的概念，周角，平角，直角的定义，确定直线的条件，熟练掌握相关概念是解答本题的关键． 根据直角，周角，平角，确定直线的条件，分析每一个选项，只有不正确，由此选出答案． 【详解】解：根据题意得： 选项中，直角，周角，此选项说法正确，故不符合题意； 选项中，周角，平角，此选项说法正确，故不符合题意； 选项中，角的大小与角的两边长度无关，此选项说法不正确，故符合题意； 选项中，经过两点有且只有一条直线，此选项说法正确，故不符合题意． 故选：． 32．如图，某种齿轮每相邻两齿中心线间的夹角都相等，如果是一个15个齿的齿轮，则这个夹角的度数是；如果是一个22个齿的齿轮，则这个夹角的度数约为 ．（精确到分） 【答案】 【分析】本题考查了角在实际生活中的运用，理解所有齿所对应的中心角的和组成一个周角是解题关键．理解题意，得，则，即可计算22个齿的齿轮每相邻两齿中心线间的夹角． 【详解】解：∵某种齿轮每相邻两齿中心线间的夹角都相等，如果是一个15个齿的齿轮，则这个夹角的度数是 ∴， ∵一个齿轮有22个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等， ∴这个夹角的度数为 ∴如果是22个齿的齿轮，这个夹角约为． 故答案为： 33．某测装置有一枚指针，原来指向南偏西，把这枚指针按逆时针方向旋转，那么现指针指向 方向． 【答案】南偏东 【分析】本题考查方向角，根据南偏西逆时针转，可得指针的指向．解题的关键是要注意旋转的方向，旋转的度数． 【详解】解：一枚指针原来指向南偏西，把这枚指针按逆时针方向旋转，则结果指针的指向是南偏东方向． 故答案为：南偏东． 题型十二 角的大小比较（共2小题） 34．若，，则 ．（填>、<、=） 【答案】> 【分析】根据小单位化大单位除以进率，可化成相同单位的角，根据有理数的大小比较，可得答案； 【详解】∠1 = 18°18'= 18.3°> 18.18° 故∠1 >∠2． 故答案为：>． 【点睛】本题考查了角的大小比较，度分秒的换算，利用小单位化大单位除以进率化成相同单位的角是解题关键． 35．若，，，将这三个角按角度的大小排列，顺序为 ． 【答案】/ 【分析】先把化为 再由从而可得答案. 【详解】解： 而 故答案为： 【点睛】本题考查的是角的大小比较，掌握“角度的换算”是解题的关键. 36．如图1，图2所示，把一副三角板先后放在上，则的度数可能（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板的特点，正确得出的取值范围是解题的关键．根据三角板的特点可得，结合选项即得答案． 【详解】解：根据题意，可知， 所以选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 题型十三 尺规作角（共3小题） 37．如图，尺规作，作图痕迹中弧是（    ） A．以点F为圆心，以长为半径的弧 B．以点F为圆心，以长为半径的弧 C．以点G为圆心，以长为半径的弧 D．以点G为圆心，以长为半径的弧 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图—作角，根据尺规作角的方法，得到弧是以点G为圆心，以长为半径的弧，作答即可． 【详解】解：由作图可知：弧是以点G为圆心，以长为半径的弧； 故选D． 38．如图，请在的边上找一点D，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图－作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法． 通过尺规作图，构造一个角等于已知角，利用作一个角等于已知角的基本作图步骤来确定点的位置． 【详解】如图：点即为所求，使． 39．如图，点在的边上． (1)画射线； (2)用量角器测量，_______； (3)尺规作图：作，使（不写过程，需保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了射线，角的度量，尺规作图—作一个角等于已知角等知识，解题的关键是： （1）根据射线的定义即可求解； （2）根据用量角器度量角的方法，即可解答； （3）根据作一个角等于已知角的方法，分别在上方和下方作角即可． 【详解】（1）解∶如图，射线即为所求， ； （2）解∶ 用量角器测量，， 故答案为∶ ； （3）解：如图，、即为所求， ． 题型十四 三角板中角度计算（共1小题） 40．把一副直角三角尺如图摆放，，，，斜边、在直线l上，保持不动，在直线l上平移，当以点三点为顶点的三角形是直角三角形时，则的度数是（    ） 　 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，直角三角形的性质. 分两种情况进行讨论：①当点D运动到与A重合时；②当点D运动到A是中点时；分别画出相应的图形进行求解即可． 【详解】解：当点D运动到与A重合时，是直角三角形，此时， 当点D运动到A是中点时，是直角三角形，此时， ∴的度数为或， 故答案为：或． 41．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了角的和差运算，利用三角板已知角的度数，先求出的度数，再可求出的度数解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为： 42．已知，将一副三角板的直角顶点按如图所式叠放在一起． (1)填写下列表格： 的大小 的大小 (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了余角定义，几何图形中角的计算，认识图形，正确进行角的计算是解题的关键． （1）由的度数，得到的度数，从而得到结果，填写表格； （2）由（1）中表格中两角的数量关系，仿照（1）求角度的过程，即可得到结果． 【详解】（1）解：①∵， ， ； ②， ， ； ③， ， ； 的大小 的大小 故答案为：，，； （2）解：，理由如下： 设， ， ， ． 题型十五 几何图形中角度计算（共3小题） 43．已知：如图OM，ON分别平分和， (1)若，若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义，根据图形理清角之间的和差关系是解题的关键． （1）由角平分线的定义，求出，再由求解； （2）由题得，再利用角平分线的定义，结合求解； 【详解】（1）平分，， ， 平分，， ， ． （2）由题知，， 平分，平分， ，， ， ， ． 44．如图，已知，从的内部引出一条射线． (1)请用尺规作图的方法在的外部作，使得（要求只保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的基础上，请直接写出与之间满足的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图，几何图形中角的计算，解题的关键是熟练掌握基本作图方法． （1）根据作一个角等于已知角的作图方法作图即可； （2）根据得出，再求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵， ∴， ∴． 45．已知是平角，，平分，且，求的度数．    【答案】 【分析】根据，设根据平分，得，继而得到，结合，结合，建立方程解答即可． 本题考查了平角的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握方程的应用，平角的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， 设， ∵平分， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴． 题型十六 角度的四则运算（共3小题） 46．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据度分秒的进制进行计算即可解答； （2）根据度分秒的进制进行计算即可解答； 【详解】（1）解： （2）解：原式 【点睛】此题考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 47．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据度分秒的进制，进行计算即可解答； （2）根据度分秒的进制，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 48．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】根据度分秒，角度制进行计算求解即可． 【详解】（1）解： （2） 【点睛】本题考查了角度值的运算，掌握度分秒的进制转换是解题的关键． 题型十七 实际问题中角度计算（共3小题） 49．一束光在空气与某透明物质的界面处发生了反射和折射现象，其光路如图所示．入射光线与界面的入射角为，折射角为，则反射光线与折射光线形成的 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了利用光的反射定律和折射定律求角的度数，掌握光的反射和折射定律是解题的关键．过点作法线，由界面、入射角等于反射角即可求解． 【详解】解：过点作法线，得到界面， 由图可知是入射光线，是反射光线，是折射光线， 界面， ，得到， 入射角等于反射角， ， 与界面的夹角是， ， 故； 故答案为120°． 50．如图，一棵小树生长时与地面所成的角，它的根深入泥土，如果根和小树在同一条直线上，那么等于 度．    【答案】10 【分析】根据列式计算即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了角的和差计算，准确识别图形是解题的关键． 51．入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小20°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（　　） A．减小40° B．增大40° C．减小20° D．不变 【答案】A 【分析】分别求出平面镜转动前后反射光线与入射光线的夹角，再对两者进行比较即可得到解答．　 【详解】解：入射光线与平面镜的夹角是40°，所以入射角为90°−40°=50°． 根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50°， 所以入射光线与反射光线的夹角是100° ． 入射角减小20°，变为50°−20°=30°，所以反射角也变为30°， 此时入射光线与反射光线的夹角为60°． 则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小40°． 故选：A． 【点睛】本题考查角度与光反射的综合应用，熟练掌握光的反射规律及角度的计算方法是解题关键． 题型十八 角平分线的有关计算（共3小题） 52．如图，平分，平分，若，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的和与差，角的平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； 利用角的平分线的性质，可设，则，结合角的和差求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 故选：A． 53．如图，点在同一条直线上，分别平分和． （1） ． （2）如果， ． 【答案】 【分析】（1）根据角的平分线的定义，平角定义，角的和计算即可． （2）根据角的平分线的定义，平角定义，角的和计算即可． 本题考查了角的平分线的定义，平角定义，角的和，熟练掌握角的平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：（1）∵分别平分和 ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：∵分别平分和 ∴，． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 54．如图． (1)请写出与的数量关系，并说明理由； (2)写出的补角和余角； (3)如果，平分，求度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)的补角是，的余角是 (3) 【分析】本题考查余角、补角的定义，角平分线的定义． （1）根据同角的余角相等即可得出结论； （2）根据余角和补角的定义，结合图形即可解答； （3）由（2）知，求出，再根据平分，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的补角是，的余角是； （3）解：由（2）知， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 题型十九 余角、补角相关计算（共3小题） 55．已知与互为补角，且是的2倍，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了余角和补角、一元一次方程的应用等知识点，根据互为补角的两个角的和等于用表示出，然后根据是的2倍列出方程求解即可． 【详解】解：∵与互为补角， ∴， ∵是的2倍， ∴，解得：． 故选：D． 56．已知，与互余，与互补，则的度数为 ． 【答案】/150度 【分析】本题考查了互补角、互余角，熟练掌握互补角与互余角的定义是解题关键．应熟记：互为余角的两个角的和等于；互为补角的两个角的和等于． 已知的度数，根据余角的性质可求得的度数，从而根据补角的性质即可求得的度数． 【详解】解：∵与互余，， ∴， ∵与互补， ∴． 故答案为：． 57．如图，直线相交于点，与互余，且，求、的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，余角的定义，根据度数之和为90度的两个角互余得到，再由已知条件得到，则，据此利用平角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二十 平面图形的旋转（共3小题） 58．下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据旋转的定义（在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、电流表指针来回摆动可看作是平面图形绕一个点转动，是旋转，故A符合题意； B、滑动变阻器的滑片来回移动，不属于旋转，故B不符合题意； C、热气球缓慢上升，不属于旋转，故C不符合题意； D、打针时推动针管，不属于旋转，故D不符合题意； 故选：A． 59．如图，将绕点O按逆时针方向旋转至，使点B恰好落在边上．已知，，则的长为 ．    【答案】1 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．根据旋转的性质得出，进而利用得出即可． 【详解】解：将绕点按逆时针方向旋转至，使点恰好落在边上， ， ，， ， ∴． 故答案为：1． 60．如图， 将 逆时针旋转一定角度后得到 点D为的中点． (1)若 则旋转中心为点 ，旋转角度为 ； (2)若在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1)C， (2)4 【分析】（1）根据旋转的概念可得结论； （2）由点为的中点得出，由旋转的性质得． 本题主要考查旋转的概念和性质，①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等． 【详解】（1）解：∵将 逆时针旋转一定角度后得到 ∴点为旋转中心， 由旋转得，， ， ， ， 旋转角度为， 故答案为：；； （2）解：，且点为的中点， ， 由旋转得，． 题型二十一 线段的动点问题（压轴）（共3小题） 61．阅读感悟： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图1，一条直线上有四点，线段，点为线段的中点，线段，请你补全图形，并求的长度． 以下是小华的解答过程： 解：如图2， 因为线段，点为线段的中点， 所以________________________ 因为， 所以____________ 小斌说：我觉得这个题应该有两种情况，小华只考虑了点在线段上，事实上，点还可以在线段的延长线上． 完成以下问题： (1)请填空：将小华的解答过程补充完整： (2)根据小斌的想法，请你在备图中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时的长度； (3)拓展运用：有两根木条，一根长40厘米，一根长80厘米．如果将它们放在同一条直线上，并且使一个端点重合，这两根木条的中点间的距离是____________． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由点为线段的中点，得出，再结合计算即可得解； （2）由点为线段的中点，得出，再结合计算即可得解； （3）分两种情况：当一个端点重合，另一个端点在木条上时，令的中点为；当一个端点重合，另一个端点不在木条上时，令的中点为，的中点为；分别利用线段的中点、线段的和差计算即可得出答案． 【详解】（1）解：如图2， 因为线段，点为线段的中点， 所以， 因为， 所以， 故答案为：，，； （2）解：如图，当点在线段的延长线上时， 因为线段，点为线段的中点， 所以， 因为， 所以 （3）解：如图，当一个端点重合，另一个端点在木条上时，令的中点为， 由题意得：，，则点为的中点， ， ； 如图，当一个端点重合，另一个端点不在木条上时，令的中点为，的中点为， 由题意得：，， ，， ； 综上所述，如果将它们放在同一条直线上，并且使一个端点重合，这两根木条的中点间的距离是或， 故答案为：或． 62．（1）如图，已知线段、，线段在线段上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧）    ①若线段，，M、N分别为、的中点，求的长． ②若线段，，M、N分别为、的中点，则线段______（用含m，n的代数式表示）． （2）若线段在线段的延长线上（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），M、N分别为、的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论（用含m，n的代数式表示）． 【答案】（1）①10，②；（2）成立，见解析 【分析】本题考查线段之间的和与差．正确的识图，理清线段之间的和，差，倍数关系，是解题的关键．注意分类讨论． （1）①利用求出的值，利用中点平分线段，得到，再利用，即可得解；②利用中点平分线段，得到，进而得到，再利用，即可得证； （2）点在点的右侧，点在点的左侧，两种情况分类讨论，求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵M、N分别为、的中点， ∴， ∴； ②∵M、N分别为、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）成立； ∵M、N分别为、的中点， ∴，， ①点在点的右侧时，如图：   或   ； ②点在点的左侧时，如图：   或   ； 故结论成立． 63．如图，数轴上两点表示的有理数分别为，且满足，线段（点在点的左侧）在数轴上从A点沿数轴正方向匀速运动（开始时点与点A重合），点分别为的中点．    (1)求的值； (2)的长为__________；若，则的长为__________； (3)在（2）条件下，当时，点所表示的有理数为__________． 【答案】(1)a、b的值分别为和4 (2)10，6 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质求出的值即可； （2）由点A、B表示的数分别为和4，即可得到的长，设，则，得到，由点分别为的中点得到，，根据即可得到的长； （3）由，则当时，，解得，则，，由点B表示的数分别为4，则，即可得到点所表示的有理数． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴，， ∴， ∴a、b的值分别为和4； （2）∵点A、B表示的数分别为和4， ∴， 即的长为10， 设， ∴， ∴， ∵点分别为的中点． ∴，， ∴， 故答案为：10，6 （3）∵， ∴当时，， 解得， ∴， ∴， ∵点B表示的数分别为4， ∴， 即点所表示的有理数为． 【点睛】此题考查了数轴、线段的和差运算、一元一次方程的应用、线段中点的定义等知识，根据图形得到线段之间的和差关系是解题的关键． 题型二十二 线段中的定值问题（压轴）（共3小题） 64．【感悟体验】如图1，A、B、C三点在同一直线上，点D在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定D点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图2，下列情形中与互为“对称线段”的是________（直接填序号）． ①，；②，，；③，． 【运用概念】如图3，与互为“对称线段”，点M为的中点，点N为的中点，且． （1）若，求的长； （2）在的长度可以变化的情况下，试说明与互为“对称线段”． 【拓展提升】 （3）如图4，在同一直线上依次有A、B、C、D四点，且（a为常数），点M为的中点，点N在上且．是否存在m的值使得的长为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值（用含a的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】一、感悟体验：见解析；二、认识概念：③；三、运用概念：（1）；（2）见解析；四、拓展提升：存在时，可使的长为定值，且 【分析】本题以新定义题型为背景，重点考查了线段的和差关系，找准线段之间的关系是解题关键． 一、感悟体验：以点为圆心，长为半径画弧即可；二、认识概念：分别求出即可判断；三、运用概念：由中点的定义得， ，根据即可求解；四、拓展提升：设，则，，；根据即可求解． 【详解】解：一、感悟体验： 如图所示：点D即为所求： 二、认识概念： ①∵，， ∴ ②∵，， ∴ ∴ ③∵ ∴ 即： 故答案为：③ 三、运用概念： ∵点M为的中点， ∴ ∵点N为的中点， ∴ ∵ ∴ ∵与互为“对称线段”， ∴ ∴ 即： ∴ （1） （2）由以上解析可知， ∴与互为“对称线段”． 四、拓展提升： 设， ∵且， ∴，， ∵点M为的中点， ∴ ∵点N在上且， ∴ ∵ ∴ 整理得： ∴当，即时，可使的长为定值 且 65．如图，线段，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，M 为的中点．点P的运动时间为x秒． (1)若时， 求的长； (2)当P在线段上运动时，是定值吗? 如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由； (3)当P在射线上运动时，N为的中点， 求的长度． 【答案】(1) (2)是定值，定值为 (3) 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和与差．明确线段之间的数量关系是解题的关键． （1）当时，，则，根据，计算求解即可； （2）由题意知，，，根据，求解作答即可； （3）由题意知，分当P在线段上运动时，如图1，根据，计算求解即可；当P在线段的延长线上运动时，如图2，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵M 为的中点， ∴， ∴， ∴的长为． （2）解：当P在线段上运动时， 是定值； 由题意知，，， ∴， ∴是定值，定值为； （3）解：当P在线段上运动时，如图1，            图1 由题意知，， ∴； 当P在线段的延长线上运动时，如图2，                  图2 由题意知，， ； 综上所述，的长度为． 66．已知，，和分别为线段，的中点． （1）若重合，在线段上，如图1，求的长度； （2）①如果将图1的线段沿着向右平移个单位，求的长度与的数量关系； ②当为多少的时，的长度为9； （3）如果保持长度和位置不变，点保持图1的位置不变，改变的长度，将点沿着直线向右移动个单位，其余条件不变，①②，请问以上两个式子哪一个式子的值是定值，定值是多少？ 【答案】（1）2.5，（2）2.5+n，6.5，（3）一定为定值，定值是2.5． 【分析】（1）根据中点求出BM和BN长，相减即可； （2）①根据题意可知，AD=BC=n，根据中点表示出BN长，BM-BN即可；②列出关于n的方程求解； （3）根据题意可知，CD长为8+m，求出两个式子的值，判断即可． 【详解】解：（1）∵，M是线段AB的中点， ∴BM=6.5， ∵重合， ∴BD=CD=8，N是线段CD的中点， ∴CN=BN=4， MN=BM-BN=6.5-4=2.5； （2）①由（1）得，BM=6.5，CN=4，根据平移可知，BC=n， BN=CN-CB=4-n， MN=BM-BN=6.5-（4-n）=2.5+n； ②根据题意得，2.5+n=9， 解得，n=6.5， ∴当=6.5时，的长度为9； （3）根据题意，CD的长为8+m，BC=m，BM=6.5， ∵N是线段CD的中点， ∴， 当N点在B点左侧时，BN=CN-CB=， MN=BM-BN=， ，为定值； ，为定值； 当N点在B点右侧时，BN=CB-CN=， MN=BM+BN=， ，为定值； ，不为定值； 综上所述，一定为定值，定值是2.5． 【点睛】本题考查了线段的和差和线段中点的意义以及一元一次方程，体现了分类讨论思想，能够根据中点的意义，利用字母表示线段长是解决问题的关键． 题型二十三 角度的动角问题（压轴）（共3小题） 67．如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 °； (2)如图②，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由； (4)将直角三角板绕点O转动一周，如果在的外部，且，请直接写出的度数． 【答案】(1)20 (2) (3)，理由见解析 (4)的度数为或 【分析】本题考查了角的和差运算、角平分线的定义，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键． （1）根据图形得出，代入求出即可； （2）由角平分线的定义可得，再由进行计算即可； （3）由图形可得，，相减即可得出答案． （4）先画出图形，分两种情况讨论：当在的上方，当在的下方，再结合角的和差运算计算即可． 【详解】（1）解：，， ， （2）解：平分，， ， ， ； （3）解：， 理由如下： ，， ， ， ． （4）解：如图，当在的上方，，    ∴， ∴； 如图，当在的下方，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 68．如图1，点为直线上点，过点作射线，使．现将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． (1)_____； (2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足，如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平面内直角三角板在直线上旋转．熟练掌握余角定义，平角定义，角平分线计算，角的和差倍分计算，分类讨论，是解决问题的关键．两个角的和等于，这两个角叫做互为余角． （1）根据，，即得； （2）根据是的平分线，，得到，根据，即得； （3）当在内部，根据，，得到， ，根据，得到，即得；当在外部，得到， 得到，即得． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴； （3）解：当在内部，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在外部，如图2，， ∴， ∴． 故的度数为：或． 69．【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，； 在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点C转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【答案】（1）②③，④；（2）①，② 【分析】本题主要考查几何图形中角的计算，角平分线定义，三角板中角的计算，补角的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，注意进行分类讨论． （1）分别求出图1中各个图中、的关系，然后进行判断即可； （2）①根据角平分线定义得出，然后再求出结果即可； ②根据角平分线定义得出，，根据，求出结果即可； 【详解】解：（1）图①中； 图②中； 图③中， ∴； 图④中； ∴与相等的摆法是②③；与互补的摆法是④； （2）①∵平分， ∴， ∴； ②∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ 题型二十四 角度的相互关系问题（压轴）（共3小题） 70．问题情境：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是的中点． 猜想： （1）若，则______． 计算说明： （2）线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果变化，请说明理由． 问题解决： （3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求______． ②请你直接写出和三个角之间的数量关系． 【答案】（1）16 （2）不变， （3）①90 ② 【分析】（1）先求出，再根据线段中点定义得，，然后根据即可得出答案； （2）先求出，再根据线段中点定义得，则，然后根据即可得出答案； （3）①先求出，再根据角平分线定义得，，则，然后根据即可得出答案； ②先根据角平分线定义设，，则，，进而得，，据此即可得出，和之间的数量关系． 【详解】解：（1），，， ， 点和点分别是，的中点， ，， ； 故答案为：16； （2）线段运动时，线段的长度不发生变化，始终为，理由如下： ，， ， 点和点分别是，的中点， ， ， ； （3）①，， ， 射线和射线分别平分和， ，， ， ， 故答案为：90； ②，和之间的关系是：，理由如下： 射线和射线分别平分和， 设，， ，， ， 又， ， ， ， 即． 【点睛】此题主要考查了两点间的距离，角的计算，准确识图，理解线段中点的定义，角平分线的定义，熟练掌握线段的计算，角的计算是解决问题的关键． 71．已知：点是直线上一点，，是的三等分线，   ． (1)在图①中，若，求； (2)在图①中，若，用含的式子表示(直接写结果)； (3)将图①中的按顺时针方向旋转至图②的位置： ①若，用含 的式子表示，写出你的结论，并说明理由： ②若内部有一条射线 ，且满足，试确定与之间的数量关系．(直接写结果) 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查了角三等分线定义，求一个角度的余角、补角，数形结合是解题的关键； （1）根据得出，进而根据得出，再根据邻补角的定义，即可求解； （2）同（1）的方法求解； （3）①同（1）的方法求解； ②设，，由①可得：，，，进而可得，代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②设，， 由①可得：，，， ∴， ∵， ∴， 整理得， 即． 72．如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起（）．     观察分析： (1)若，则 ；若，则 ； 猜想探究： (2)请你猜想与有何关系，并说明理由； 拓展应用： (3)如图，若将两个同样的三角板含锐角的顶点A重合在一起，请你猜想与有何关系，请说明理由； (4)如图，如果把任意两个锐角、的顶点重合在一起，已知，（都是锐角），请你直接写出和与之间的关系． 【答案】(1)， (2)，理由见解析； (3)，理由见解析； (4) 【分析】本题主要考查余角和补角的定义，通过角的和差关系来求解各角之间的关系． ()若，根据计算的度数，再利用和计算的度数；若， 同理，反之计算可得结果； ()先计算：，再加上可得结果； ()先计算，再加上可得结果； ()先计算，再加上可得结果． 【详解】（1）解：若， ∵，， ∴， ∵， ∴； 若， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）， 理由：∵，， ∴ ∵， ∴； （3）， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴； （4）， 理由：∵， ， ， ． $