专题01 有理数（期中复习讲义）（知识必备+15大核心题型+分层验收）七年级数学上学期新教材冀教版

专题01 有理数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正负数的意义 能准确判断正负数在实际情境中的意义 基础必考点，常出现在选择题中 有理数的分类 能根据有理数的概念区分有理数的分类 高频易错点，在对数字进行分类时忽略不循环小数和π 数轴 可以在数轴上表示有理数，并且能够利用数轴表示两点距离，同时能够解决动点问题 期中必考点，各题型均有可能出现；用数轴表示有理数、数轴上两点之间的距离表示和数轴比较大小是常考点；而数轴的动点问题则是作为压轴题来进行考查 相反数 重点掌握相反数的概念和性质，互为相反数的两个数和为0； 期中常考点，一般会和其他知识点混合一起考查，难度不大； 绝对值 能根据绝对值的概念与性质求解 期中必考点，基础题型和中等难度题型均可能出现；同时也会和数轴一起作为压轴题进行考查； 有理数的大小比较 能用不同的方法进行有理数的大小比较 基础必考点，一般在解答题中会有一道题与数轴一起考查有理数的大小比较 有理数的加法法则 能正确地进行有理数的加法运算 基础必考点，是考试的基础题型 有理数加法运算律 能熟练运用加法的运算律 基础必考点，常出现在小题 有理数的减法法则 掌握有理数的减法法则 基础必考点，常出现在计算题，注意符号 有理数加减混合运算 熟练运用加减法法则进行运算 高频考点，经常在计算题考查 有理数乘法法则 能正确进行有理数的乘法运算 基础考点，常出现在小题 有理数乘法运算律 能熟练运用乘法的运算律 基础必考点，是考试的基础题型 倒数 掌握倒数的概念，学会倒数的运算 高频易错点，常忘记倒数的符号 有理数除法法则 能正确进行有理数的除法运算 基础必考点，经常在计算题考查 有理数乘方运算 能正确进行有理数的乘方运算 基础必考点，经常在计算题考查 有理数四则运算的实际应用 准确找出数量关系并计算出结果，同时要注意答案符合实际情况 高频考点，经常出现在大题 知识点01 正数与负数 正数：像3.5，2020，6.7，等这样的数都是正数，它们都是大于0的； 负数：像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是负数，它们都是小于0的； 0既不是正数，也不是负数. 1.一个数前面的“＋”号或“－”号叫做它的符号，其中“＋”号可以省略不写，“－”号不能省略； 2.0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没有温度； 3.判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，如后面要讲的-（-1）就是一个正数. 知识点02 具有相反意义的量 1.具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量. （1）单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的； （2）具有相反意义的量必须是同类量，如盈利200元与向东走200米就不是具有相反意义的量； （3）具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等，例：与上升100米是相反意义的量有很多，如下降10米、下降120米、下降200米等； （4）常见的具有相反意义的量：以海平面为基准，高于海平面为正，则低于海平面为负；常见的还有前进与后退，上升和下降，盈利和亏损，向南和向北等. 2.当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示. 知识点03 有理数的概念与分类 我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数. 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数，如π，，等. 拓展：循环小数化成分数如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节． 4、循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数. （1）纯循环小数化分数 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、0.等，纯循环小数化为分数的方法是：分子是由一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．例如：； （2）混循环小数化分数 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数． 5、有理数的分类 补充：有理数的分类原则 1 标准要统一，必须按同一分类标准进行分类，如将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准就不统一； 2 分类不重合，所分的各类应互不包含，如有理数分为非负有理数、0和正有理数就违反了这一原则； 3 分类无遗漏，所分各类之“和”必须是原来的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0. 知识点04 数轴 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 2.数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 3.所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 知识点05 绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作|a|，读作“a的绝对值”. 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以|0|=0. 4.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 5.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有|a|≥0. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 知识点06 相反数 1.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. （1）0的相反数是0； （2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）. 2.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. （1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等； （2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数. 3相反数的性质 任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 4.相反数的特征 若a与b互为相反数，则a＝－b，反之，若a＝－b，则a与b互为相反数. （1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； （2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！ 知识点07 有理数的大小比较 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 知识点08 有理数加法法则与运算律 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 若a＞0，b＞0，则a+b=+（|a|+|b|）； 若a＜0，b＜0，则a+b=—（|a|+|b|）； 2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 绝对值相等时，两数之和为0； 3.一个数与0相加，仍得这个数； 4.有理数加法运算步骤： （1）看：看两个加数是同号还是异号； （2）定：确定和的符号； （3）求：根据有理数加法法则求和. 有理数加法运算律 1. 有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； 加法交换律：a＋b＝b＋a 2. 有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 加法交换律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加. 3. 有理数加法中的一些计算技巧： （1） 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2） 同号结合法：符号相同的数先相加； （3） 同分母结合法：分母相同的数先相加； （4） 凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 知识点09 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，a-b=a+(-b) 1. 较大的数－较小的数＝正数； 2. 较小的数－较大的数＝负数； 3. 相等的两个数相减等于0； 4. 0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数. 知识点10 有理数加减混合运算 1. 利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； 2. 去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； 3. 利用加法法则和加法运算律进行计算. 知识点11 有理数乘法法则与运算律 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 4. 拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 知识点12 倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 知识点13 有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 知识点14 有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 利用运算律简便计算 1. 有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； 2. 一些计算优先结合会简便很多，如下所示： （1） 相反数结合； （2） 凑整结合； （3） 正、负分别结合； （4） 同分母结合； （5） 倒数结合 有理数的混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3. 如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. PS：在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些计算是可以同时进行的. 知识点15 有理数的乘方运算 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1. 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3. 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5. 一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 有理数乘方的运算 1. 有理数乘方运算的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是正数； （2） 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3） 0的任何正整数次幂都是0； （4） 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3. 拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 题型一 正数和负数 解｜题｜技｜巧 记住大于0的是正数，小于0的是负数，0既不是正数也不是负数； 【典例1】早在两千多年前的《九章算术》中就有用算筹记录负数的记载．如：表示“”，而表示“”，按照这样的表示法，下面算筹所表示的数中，（    ）表示“”． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算筹表示数的方法，根据题意可知：算筹的计数方法是：横式中一“竖”表示1、二“竖”表示2、三“竖”表示3；纵式一“横”表示1；个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，筹上面斜着放一支算筹表示负数，据此解答即可． 【详解】 解：根据题意，得：表示“” 故选：C． 【典例2】填空： （）某校举行“生活中的科学”知识竞赛，若将加分记为分，则扣分记为 分． （）记运入仓库的大米吨数为正，则吨表示 ，吨表示 ． （）规定海平面以上的高度为正，则海鸥在海平面以上米处，可记为 米；鱼在海平面以下米处，可记为 米；海平面的高度可记为 米． 【答案】 运入吨大米 运出吨大米 【分析】（）根据正负数的意义解答即可； （）根据正负数的意义解答即可； （）根据正负数的意义解答即可； 本题考查了正负数的意义，理解正负数表示一对意义相反的量是解题的关键． 【详解】解：（）某校举行“生活中的科学”知识竞赛，若将加分记为分，则扣分记为分， 故答案为：； （）运入仓库的大米吨数为正，则吨表示运入吨大米，吨表示运出吨大米， 故答案为：运入吨大米，运出吨大米； （）规定海平面以上的高度为正，则海鸥在海平面以上米处，可记为米；鱼在海平面以下米处，可记为米；海平面的高度可记为米， 故答案为：；；． 【变式1】科学鉴定显示，兴县大明绿豆含脂肪，含蛋白质，并含有6种人体必需的氨基酸．王叔叔买了一袋兴县大明绿豆，袋上标有“”的标记，这袋绿豆最重是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加减运算的应用，理解题意是解题的关键．根据题意可知，最轻是，最重是，再根据单位的换算即可得出答案． 【详解】解： ∴这袋绿豆最轻的是，最重的是． 故答案为：． 【变式2】皋兰软儿梨也叫冻梨、香水梨，每年深秋采摘后，经西北寒冽的冬天糖化、变黑后是皋兰软儿梨特有的吃法，成为当地群众严冬的一道特色美食，某生态园区生产的软儿梨包装纸箱上标明软儿梨的质量为千克，如果一箱软儿梨的质量为千克，那么这箱软儿梨（选填“合格”或“不合格”） 【答案】不合格 【分析】本题考查了正负数的意义，首先确定质量的合格范围，然后比较实际质量是否在该范围内，从而得出结论． 【详解】解：∵一箱软儿梨的质量为千克 ∴最大质量为千克，最小质量为千克 ∵． ∴这箱软儿梨不合格． 故答案为：不合格． 【变式3】生活情境·营业额某超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比的增长率如下表所示． 请根据表格信息回答下列问题： 月份 1 2 3 4 5 6 比去年同月增长% (1)该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)今年 1 月和 4 月比去年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)今年上半年与去年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪个月？ 【答案】(1)3月、5月、6月 (2)今年1月和4月的营业额与去年1月和4月的营业额相比降低 (3)1月，2月，4月 【分析】本题考查了正数和负数，解题的关键是： （1）根据正数表示增长，可得负数表示降低； （2）根据正数表示增长，可得负数表示降低； （3）根据正数表示增长，可得负数表示降低． 【详解】（1）解：由正数表示增长，得该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，3月、5月、6月是增长的． （2）解：由负数表示降低，得今年1月和4月的营业额与去年1月和4月的营业额相比降低． （3）解：今年上半年与去年上半年同月相比，营业额没有增长的有1月、2月、4月． 题型二 有理数的概念与分类 解｜题｜技｜巧 有理数的分类里记住三种类型： 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数， 【典例1】下列7个数：（每两个1之间依次多一个4），其中有理数有（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查的是有理数，掌握有理数和无理数的概念是解题的关键．根据整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都属于有理数，无理数是无限不循环小数，据此即可解答． 【详解】解：有理数有：，，，，0共5个． 故选：C． 【典例2】下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤不仅是有理数，而且是分数；⑥是小数，所以不是有理数．其中错误的说法有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 根据有理数的分类及定义依次判断即可． 【详解】解：0不是最小的整数，没有最小的整数， ∴①不正确； ∵有理数包括正有理数、负有理数和0， ∴②不正确． ∵正整数、负整数和零、正分数、负分数统称为有理数， ∴③不正确． ∵非负数包括正数和0， ∴④不正确. ∵不仅是有理数，而且是分数， ∴⑤正确． ∵是小数可化成分数，所以是有理数， ∴⑥不正确． ∴综上，①②③④⑥不正确，共5个，故B正确． 故选：B． 【变式1】把下列各数填入相应的大括号中： 5，，1，，，，，325，0，，． 正数：{ …}； 负数：{ …}； 非负整数：{ …}； 负分数：{ …}． 【答案】 5，，1，，325， ，， ，， 5，1，325，0 ，，， 【分析】本题考查有理数的意义及有理数的分类，理解有理数的意义和分类方法是正确判断的前提．根据正数、负数、非负整数、负分数的意义逐个进行判断即可． 【详解】解：正数：{5，，1，，325，…}； 负数：{，， ，，…}； 非负整数：{5，1，325，0…}； 负分数：{，，，…}． 故答案为：5，，1，，325，；，， ，，；5，1，325，0；，，， 【变式2】把下面的有理数填入它们属于的集合内： ，，，，，，，，，，，， 正有理数集合：                 整数集合：                 负有理数集合：                 正整数集合：                 负整数集合：                 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方法是解题的关键； 根据正有理数、整数、负有理数、正整数、负整数的相关概念找出相应的数填入即可． 【详解】正有理数集合：； 整数集合：； 负有理数集合：； 正整数集合：； 负整数集合：． 【变式3】把有理数，，，，，，，，，，填入下列集合： 负数集合{ }；正分数集合{ }； 负整数集合{ }；非负整数集合{ }． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，根据负数、正分数、负整数和非负整数的定义解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：负数集合{}； 正分数集合{}； 负整数集合{}； 非负整数集合{}． 题型三 数轴的三要素及其画法 解｜题｜技｜巧 数轴三要素：原点、单位长度、正方向。 【典例1】下列各图中数轴的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴三要素：原点、单位长度和正方向，任何一个条件都不能少，都必须体现在数轴上． 根据数轴三要素判断即可． 【详解】 A． 单位长度不统一，画法不正确； B． 正方向错误，画法不正确； C． 无正方向，画法不正确； D． ，画法正确； 故选：D． 【典例2】下列说法正确的是（    ） ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 A．④ B．③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查数轴的定义，有理数与数轴，根据数轴的定义，以及用数轴表示有理数逐一进行判断即可． 【详解】解：规定了原点、单位长度，正方向的直线是数轴；故①说法错误； 数轴上两个不同的点不能表示同一个有理数；故②说法错误； 有理数在数轴上能表示出来；故③说法错误； 任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点；故④说法正确； 故选A． 【变式1】画一条数轴，并在数轴上标出下列各数，，，，， 【答案】作图见解析 【分析】本题考查数轴的画法，用数轴上的点表示有理数．先根据数轴的三要素画出数轴，再根据数轴上的点所对应的数标出来即可．掌握数轴的三要素，准确地画出数轴是解题的关键． 【详解】解：将数，，，，，在数轴上表示如图所示：    【变式2】补全数轴，并在数轴上表示下列各数．1.5，0.4，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据数轴的定义，先补全数轴，再表示出各个数即可． 【详解】解：把各数在数轴上表示出来，如图所示： ． 【变式3】现有下列各数：①，②，③，④，⑤，⑥． (1)把上列各数序号填入相应的大括号里 ： 非负数集合：{ 　                       …}； 分数集合：{ 　                       　…}． (2)请把下面不完整的数轴补充完整，并在数轴上标出上列各数中的所有整数． 【答案】(1)③④⑥；②③⑤ (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，画数轴并在数轴上表示有理数； （1）根据有理数的分类方法解答即可； （2）补充数轴，然后标出所有的整数，即可求解． 【详解】（1）解：①，②，③，④，⑤，⑥ 非负数集合：{③④⑥…}； 分数集合：{②③⑤…} 故答案为：③④⑥；②③⑤． （2）解：如图所示， 题型四 数轴上两点之间的距离 解｜题｜技｜巧 数轴上两点之间的距离，一般只用右边对应的数（符号也可）减去左边对应的数；若分不清两点谁在左在右，可以通过加绝对值进行分类讨论； 【典例1】在数轴上，数x与3的距离是2，则（   ） A．±2 B．1 C．5 D．1或5 【答案】D 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离． 根据数轴上两点之间的距离的表示方法，可得关于的方程，求解即可． 【详解】解：根据题意可得， ∴或， ∴或． 故选：D． 【典例2】数轴上点A表示数，将点A沿数轴移动7个单位长度得到点B，则点B表示的数是（   ） A．4 B．和10 C． D．和4 【答案】D 【分析】此题主要考查了数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数轴上的点右移加，左移减．根据题意，分两种情况，数轴上的点右移加，左移减，求出点B表示的数是多少即可． 【详解】解：点A表示的数是，沿数轴左移7个单位，得， 点A表示的数是，沿数轴右移7个单位，得， 故选：D． 【变式1】在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，且、两点间的距离为，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式．根据数轴上两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：点表示的数是，点表示的数是，且、两点间的距离为， ， 即 ； 故答案为：或 【变式2】如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上表示数，数轴上两点间的距离，利用数轴上两点间的距离的表示方法列式计算即可，正确理解数轴的特点是解题的关键． 【详解】解：∵刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的3和0， ∴刻度尺上“”对应数轴上的数为， 故答案为：． 【变式3】如图，数轴上点表示的数为1． (1)点向右移动1个单位长度后对应的点表示的数为___________，再向左移动3个单位长度后对应的点表示的数为___________． (2)若数轴上点表示的数为，且，求点与点之间的距离． 【答案】(1)2， (2)2或4 【分析】本题考查了数轴上点的移动与数轴上两点间的距离，绝对值的意义，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键． （1）根据数轴上点的移动求出点的坐标； （2）根据绝对值的意义先求出，再分情况求出结果即可． 【详解】（1）解：点表示的数为1， 向右移动1个单位长度后对应的点表示的数为， 再向左移动3个单位长度后对应的点表示的数为， 故答案为：2，； （2）， ， 点表示的数为1， 当时，， 当时，， 点与点之间的距离为2或4． 题型五 数轴上点的平移 解｜题｜技｜巧 数轴上点的平移牢记：若向右平移，即点所对应的数字加上移动的距离，就等于平移后点所对应的数字；向左平移则减去即可； 【典例1】在数轴上，点A距离原点2个单位长度，且点A在数轴的负半轴上，将点A沿数轴向左平移2个单位长度后得到点B，那么点B表示的数为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上点的平移，根据题目中给出的条件先求出表示的数为，再根据向左平移2个单位长度即可得出B点表示的数． 【详解】解：点A距离原点2个单位长度，且点A在数轴的负半轴上， 表示的数为， 将点A沿数轴向左平移2个单位长度后得到点B， 点B表示的数为， 故选：A． 【典例2】如图，圆的周长是4个单位长度，均匀分布0、1、2、3四个数字，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查数轴，理解数轴表示数的方法以及圆周上数字与数轴上的数的对应关系是正确解答的关键．根据数轴表示的方法以及所呈现的规律进行解答即可． 【详解】解：起始时，圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合， 顺时针旋转1周，圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，即， 顺时针旋转2周，圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，即， 顺时针旋转3周，圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，即， 顺时针旋转4周，圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，即， 由于， 所以数轴上的数将与圆周上的数字2重合， 故选：C． 【变式1】若点A是数轴上表示的点，将点A先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度到达点B，则点B在数轴上表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上点的平移规律，解决此题的关键是清楚：左减右加． 根据点在数轴上移动的规律：左减右加解答即可． 【详解】解：根据题意，此时这个点表示的数是：， 即点B在数轴上表示的数为． 故答案为：． 【变式2】数轴上点A表示的数是6，点B表示的数是，若点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向负半轴移动，同时，点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向正半轴移动，当移动4秒时停止，则点A与点B之间的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题考查数轴上的动点、两点之间的距离，根据点A、B的运动方向和速度，可求得移动4秒后两点表示的数，进而可求解两点之间的距离． 【详解】解：根据题意，当移动4秒时停止，点A表示的数为，点B表示的数为， ∴点A与点B之间的距离为， 故答案为：5． 【变式3】，分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数，； (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数． 【答案】(1)，； (2)点表示的数为或 (3) 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离公式及点的平移性质，根据题意运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据绝对值的定义结合由数轴得出a，b的符号即可得； （2）分以下两种情况：点C在A，B之间、点C在点B右侧，利用两点间距离公式列方程求解； （3）根据平移的性质可知，P点表示的数为，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵由数轴可知，， ∴；. （2）解：①若C点在B点的右侧，则， ∴， ∴点C表示的数为：， ②若C点在A，B点之间，则， ∴， ∴点C表示的数为：． 综上，C点表示的数为或； （3）解： ． 表示的数为． 题型六 相反数 解｜题｜技｜巧 牢记相反数的性质，互为相反数的两个数和为0； 【典例1】下列各组数中，结果互为相反数的是（    ） A． B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的求解，化简多重符号，对各项的数进行化简，再根据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：、，故与不是互为相反数，不符合题意； B、，，故与互为相反数，符合题意； C、，，与不是互为相反数，不符合题意； D、，，与不是互为相反数，不符合题意． 故选：． 【典例2】已知的相反数是x，的相反数是y，z的相反数是0，则的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数，直接利用相反数的定义得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵，它的相反数是， ∴； ∵，它的相反数是3， ∴； ∵0的相反数是0， ∴， ∴， ∴的相反数是． 故答案为：． 【变式1】若m与互为相反数．则m的值为 ． 【答案】 【详解】本题考查了相反数，绝对值，关键是掌握相反数的定义，绝对值的意义．负数的绝对值是它的相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案． 解：， 与互为相反数， ． 故答案为：． 【变式2】已知下列有理数：，，，，． (1)在给定的数轴上表示这些数． (2)这些数中是否存在互为相反数的两个数？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数． 【答案】(1)见解析 (2)存在，和互为相反数，这两个数之间所有的整数有：，， 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，相反数的定义，进行数形结合是解题的关键． （1）先计算，再将已知数表示在数轴上即可； （2）根据相反数的定义，找出互为相反数的两个数，并写出这两个数之间的所有整数即可． 【详解】（1）解：，数轴表示如下： （2）解：存在，和互为相反数，这两个数之间所有的整数有：，，． 【变式3】已知数m，n表示的点在数轴上的位置如图所示，括号内分别表示m，n的相反数，的位置． (1)在括号内填空； (2)若数m与其相反数相距24个单位长度， ①求m的值； ②若数n表示的点与数m的相反数表示的点相距4个单位长度，求n的值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，相反数，数轴上两点之间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，结合数轴，即可作答； （2）根据数m与其相反数相距24个单位长度，且，得出， ②由得，因为数n表示的点与数m的相反数表示的点相距4个单位长度，且结合数轴得在点的左边，列式计算得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，如图所示： ； （2）解：①数m与其相反数相距24个单位长度， ∴， 又， ∴． ②由得， ∵数n表示的点与数m的相反数表示的点相距4个单位长度，且结合数轴得在点的左边， ∴， 题型七 绝对值非负性 解｜题｜技｜巧 绝对值的非负性要注意： （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 【典例1】已知为有理数，则式子的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据一个数的绝对值是非负数，得出，故，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴ ∴式子的最小值为2， 故选：D 【典例2】有理数m，n满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，求出m，n的值，即可进行解答，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性． 根据绝对值的非负性求出x、y的值，再计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 即，， ∴， 故答案为：． 【变式2】若与互为相反数，则的值在数轴上对应的数应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了互为相反数的性质，非负数的性质，数轴上的点表示数，由与互为相反数，则，得，，然后代入，再结合数轴即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，，解得，， ∴， ∴在数轴上对应的数应为， 故答案为：． 【变式3】已知，求式子的值． 【答案】9 【分析】本题考查了绝对值的非负性，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值等于它本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 先根据绝对值的非负性求出的值，然后把求得的的值代入计算即可． 【详解】解：，，，． ，，． ，，． ，，， ． 题型八 绝对值的几何意义 解｜题｜技｜巧 绝对值的几何意义，主要是考查绝对值与数轴结合的题型，难度较大，主要在于理解绝对值的几何意义，在基本概念的基础上进行拓展： 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 【典例1】式子的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离．若式子的最小值是2，则m的值为（   ） A．1 B．5 C．或 D．1或5 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义． 根据的最小值是2可知3与m的距离为2，分m在3左侧、m在3右侧两种情况作答即可． 【详解】若式子的最小值是2，则3与m的距离为2， 当m在3左侧时，； 当m在3右侧时，； 故选：D． 【典例2】如图，数轴上的，，三点所表示的数分别是，，，其中是的中点．如果，那么该数轴的原点的位置应该在（　　） A．点的左边 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点与点之间（靠近点）或点的右边 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，熟悉掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义是点到原点的距离，分析即可． 【详解】解：∵， ∴点C到原点的距离最近， ∴原点的位置应该在点与点之间（靠近点）或点的右边， 故选：D． 【变式1】我们知道，的几何意义为数轴上表示数的点和原点之间的距离，同理的几何意义为数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离．利用此结论，符合的整数的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值意义，由的意义是表示数轴上到表示和表示的点的距离之和是的点的坐标，据此可求解，熟练掌握相关的知识点，是解题的关键． 【详解】解：∵的意义是表示数轴上到表示和表示的点的距离之和是的点， ∴， ∴其中整数有，，，，，，共个， 故答案为：． 【变式2】如图，数轴的单位长度为，数轴上有，，三个点．若点，到原点的距离相等，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，能够通过题意确定数轴的原点是解本题的关键，根据题意：之间的距离为个单位长度，点到原点的距离相等，得出点表示的数为，点表示的数为，再结合数轴，即可得出点表示的数． 【详解】解：∵之间的距离为个单位长度，点到原点的距离相等， ∴点表示的数的绝对值相等， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵点在原点的右侧个单位长度处， ∴点表示的数为． 故答案为：． 【变式3】阅读下列材料，完成后面的任务． 点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为． 如图，从数轴上看，若点A，B表示的数分别是1，4 则或． 【归纳】若点A，B表示的数分别是， 则或． 任务： (1)若点表示的数，点B表示的数为，=______． (2)若点表示的数，，则点表示的数为______． (3)试用数轴探究，当时，的值为______． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离、绝对值、有理数的加减，解题的关键是利用分类讨论的思想去绝对值符号． （）利用数轴上两点间的距离公式，即可求出的值； （）设点表示的数为，根据数轴上两点间距离公式，再分两种情况，利用数轴上两点的距离求解即可； （）根据绝对值的定义，绝对值为的数有和，再分两种情况，即可解答； 【详解】（1）解：∵点表示的数，点B表示的数为， ∴根据数轴上两点间距离公式； 故答案为：； （2）∵点表示的数，，设点表示的数为， ∴根据数轴上两点间距离公式， 当时，， 当时，， 所以点表示的数为或； 故答案为：或； （3）∵， ∴根据绝对值的定义，绝对值为的数有和， 当时，， 当时，； 所以的值为或． 题型九 有理数的大小比较 解｜题｜技｜巧 先画出数轴，记住正数大于0，负数小于0；然后看数轴上点的位置，右边的点所代表的数大于左边的点代表的数； 【典例1】如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小．从数轴得出，，据此判断即可． 【详解】解：由题意可知，，且， ∴． 故选：B． 【典例2】a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先观察数轴得，故，即可作答． 【详解】解：由数轴得出， 则把a，，b，分别在数轴上表示出来： ∴， 故选：C． 【变式1】比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查有理数比较大小，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】∵， ∴； 故答案为： 【变式2】比较大小： ， ， （用“”，“”或“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据绝对值的性质、相反数的定义化简，再根据有理数的大小比较法则比较即可求解，掌握有关知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， 又∵，，， ∴， 故答案为：①，②，③． 【变式3】数轴上点、、的位置如图所示．请回答下列问题： (1)表示有理数的点是点_______，将点向左移动4个单位长度得到点，则点表示的有理数是_______； (2)在数轴上标出点、，其中点、分别表示有理数和； (3)将，，，这四个数用“”号连接的结果是_____． 【答案】(1)A； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点间的距离，数轴上平移计算，数轴比较数的大小． （1）根据数轴的意义，确定点；根据左减右加计算即可． （2）根据数的大小和符号两个方面去解答即可． （3）根据数轴上越靠近右边的数越大比较解答即可． 【详解】（1）解：表示有理数的点是点A， ∵点对应的有理数为2， ∴将点向左移动4个单位长度得到点表示的有理数是； 故答案为：A； （2）解：如图，点D，E即为所求； （3）解：将，，，这四个数用“”号连接的结果是． 故答案为： 题型十 有理数的加减法运算 解｜题｜技｜巧 熟悉有理数加减法运算的法则，注意计算时符号的问题； 【典例1】计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的加减法计算，熟知有理数的加减计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法计算法则求解即可； （2）根据有理数的减法计算法则求解即可； （3）根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数加法运算律，熟练掌握有理数的加减混合运算顺序， 灵活运用有理数加法运算律简化运算是解题的关键； （1）先将小数化为分数，再利用有理数加法运算律简化运算，再计算即可； （2）先利用有理数加法运算律简化运算，再计算即可； （3）先将减法转化为加法，再利用有理数加法运算律简化运算，再计算即可； （4）先将减法转化为加法，再利用有理数加法运算律简化运算，再计算即可； 【详解】（1） ． （2） ， ． （3） ． （4） ． 【变式1】计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)8 (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是掌握相关运算法则． （1）根据有理数的减法法则计算即可； （2）先去括号，然后根据有理数的加减法则计算即可； （3）根据加法的交换律和结合律计算即可； （4）先化简各数，然后根据加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加减运算． （1）根据有理数加减运算法则计算即可； （2）先化简多重符号，再进行加减运算； （3）先化简多重符号，再利用加法交换律与结合律进行简便计算； （4）先通分，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4) (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3)26 (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式运用有理数加法法则进行计算即可； （2）原式运用有理数加法法则进行计算即可； （3）原式运用有理数减法法则进行计算即可； （4）原式运用有理数加法法则进行计算即可； （5）原式先去绝对值符号和运用有理数减法法则将原式变形后，再进行加减运算即可； （6）原式运用有理数减法法则将原式变形后，再结合加法交换律和结合律进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ；‘ （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 题型十一 有理数加减中的简便运算 解｜题｜技｜巧 1、相反数结合；2、凑整结合；3、正、负分别结合；4、同分母结合；5、倒数结合 【典例1】数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是正确理解题意给出的运算方法． （1）根据题目给出的运算方法以及有理数的加减运算法则即可求出答案． （2）根据题目给出的运算方法以及有理数的加减运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解： （2）解： 【典例2】计算． 小智的解题过程如下： 解：原式  （第一步）   （第二步） （第三步） （第四步） 小智发现自己的答案和小慧的不一样． (1)小智是从第_________步开始出现错误的． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一 (2)0；过程见解析 【分析】本题考查了有理数的加减，熟练掌握有理数的加减的运算法则及运算顺序是解此题的关键． （1）根据计算过程逐步判断即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：小智是从第一步开始出现错误的； （2）解： ． 【变式1】用拆项法计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （1）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （2）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 【变式2】阅读下面的解题过程： 计算：． 解：原式 上面这种解题方法叫拆项法． 仿照上述解题过程计算：． 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数加减法运算，仿照上述解答过程，先拆项，再根据有理数的加减法法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式3】阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律） (3)请将正确解答过程补充完整． 【答案】(1)有理数的减法法则，二 (2)加法交换律，加法结合律 (3)见详解 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算，加法交换律，加法结合律，解题的关键是熟练掌握有理数的减法法则． （1）利用有理数的减法法则即可得出结果； （2）利用加法交换律和加法结合律即可得出结果； （3）利用有理数的加减运算法则和加法运算律进行计算即可． 【详解】（1）解：第一步变形的依据是有理数的减法法则，从第二步开始出现错误，因为移动时未移动负号， 故答案为：有理数的减法法则，二； （2）解：第二步应用了加法交换律，第三步应用了加法结合律， 故答案为：加法交换律，加法结合律； （3）解：原式（第一步） （第二步） （第三步） ． 题型十二 有理数的乘除法运算 解｜题｜技｜巧 1、 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2、 2、要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 【典例1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除混合运算法则计算即可； （2）利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【典例2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把除法化为乘法，再运用乘法运算律进行简便运算，即可作答． （2）运用乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式1】计算题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据有理数乘除法计算法则求解即可； （2）利用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）根据有理数乘除法运算法则计算即可． （2）先将除法转化为乘法，再运用乘法的分配律进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 【变式3】有理数乘除混合运算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握乘除法则，是解题的关键； （1）根据乘法法则进行计算即可； （2）除法变乘法，约分即可； （3）除法变乘法，约分即可； （4）除法变乘法，约分即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 题型十三 有理数四则混合运算 解｜题｜技｜巧 1、先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2、同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3、如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 【典例1】计算：． 【答案】25 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 根据有理数的四则混合运算的法则进行求解即可． 【详解】解： ． 【典例2】计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，绝对值的求解，根据有理数四则混合运算法则，先算乘除法，再算加减法． 【详解】解： ． 【变式1】计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)2 (3)14 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数四则混合运算法则计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （3）根据有理数四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解决问题的关键． 先化简绝对值，计算乘除法，再计算加减法得出最终结果即可． 【详解】解：， ， ， ． 【变式3】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键． 根据题意，先算乘除，最后算加减即可． 【详解】解： ． 题型十四 有理数四则混合运算的实际应用 【典例1】蔬菜商店以每筐10元的价格从农场购进8筐白菜，若以每筐白菜净重25千克为标准，超过千克数记为正数，不足千克数记为负数，称重后记录如下：，，，，，，，． (1)这8筐白菜一共重多少千克？ (2)把这些白菜全部以零售的形式卖掉，若商店利润为16元，那么在销售过程中白菜的售价为每千克多少元？ (3)设平均每天的白菜销售量相同，商店以（2）中的单价售完所有白菜的一半时正好用了3天时间，现决定按原价的八折销售完剩余的白菜，这样平均每天比原来多售出16千克，问所有的白菜卖完共用几天？并计算商店共盈利或亏损多少元？ 【答案】(1)这8筐白菜一共重192千克 (2)在销售过程中白菜的售价应定为每千克0.5元 (3)所有的白菜卖完共用5天，商店共盈利6.4元 【分析】本题考查正负数的应用，有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）用标准重量乘以框数再加上记录数据的总和，进行计算即可； （2）求出每千克白菜的进价，再根据商店计划获利元，求出售价即可； （3）求出原来每天的销售量，然后用剩余的总量除以打折后每天的销售量，求出售完剩余白菜所需天数，进而求出总天数，求出总售价减去总进价，求出盈利或亏损的费用即可． 【详解】（1）解：（千克）； 答：这8筐白菜一共重192千克； （2）（元）， 答：在销售过程中白菜的售价应定为每千克0.5元； （3）（千克/天）， （天）， （天）； （元）； 答：所有的白菜卖完共用5天，商店共盈利6.4元． 【典例2】某食盐加工厂从所加工的袋装食盐中，抽取了40袋检查质量，质量超出标准质量的用正数表示，质量低于标准质量的用负数表示，结果记录如下表∶ 与标准质量的偏差(单位∶克) 0 袋数 1 4 13 14 7 1 (1)这40袋食盐中，最重的一袋比最轻的一袋重多少克？ (2)这40袋食盐平均每袋的质量比标准质量多或少多少克？ 【答案】(1)这40袋食盐中，最重的一袋比最轻的一袋重18克 (2)这40袋食盐平均每袋的质量比标准质量多1.725克 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键： （1）用表格中的最大数据减去最小数据，计算即可； （2）求出总质量，用总质量除以总袋数，求出平均数，即可得出结果． 【详解】（1）解：（克）； 答：这40袋食盐中，最重的一袋比最轻的一袋重18克； （2）解： (克)， (克)， 答：这40袋食盐平均每袋的质量比标准质量多1.725克． 【变式1】综合与探究 随着科技的迅猛发展，机器人正以前所未有的速度渗透进各行各业，逐渐取代工人承担起诸多重复性、高强度以及危险环境下的工作任务．某钢铁生产车间有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动进行调试设备、检测温度等工作．机器人从点出发，规定向东为正，向西为负，如表是某一段时间内从点出发的行走记录（单位：米）． 第次 第次 第次 第次 第次 (1)机器人第次，走动后所在的位置在出发点的什么方向？与出发点的距离是多少？ (2)该时间段机器人最远处离出发点有多远？ (3)若该机器人每千米耗电千瓦时，在这段行走过程中机器人共耗电多少千瓦时？ 【答案】(1)在出发点的西边，与出发点的距离为米 (2)米 (3)千瓦时 【分析】本题考查了正负数的实际意义，有理数的运算，熟练掌握相关运算和定义是解题的关键． （1）第1次和第2次行走数据相加，即可解答． （2）分别求出每次走动后离出发点的距离，然后比较大小，即可得到最远距离． （3）将表格中所给数据的绝对值相加，求得总行走距离，再乘以每千米耗电量，即可得到总耗电量，注意单位换算． 【详解】（1）解：由题意可知，， 所以机器人第次走动后所在的位置在出发点的西边， 因为， 所以机器人第次走动后所在的位置与出发点的距离为米． （2）解：由题意可知， 第次走动后离出发点的距离为（米）； 第次走动后离出发点的距离为（米）； 第次走动后离出发点的距离为（米）； 第次走动后离出发点的距离为（米）； 第次走动后离出发点的距离为（米）． 综上所述，该时间段机器人最远处离出发点的距离为米． （3）解：（米）， 所以（千瓦时）． 答：在这段行走过程中机器人共耗电千瓦时． 【变式2】某车厂计划平均每天生产童车200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入。如表是某周的生产情况（超产为正、减产为负，单位：辆） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 (1)根据记录可知前三天共生产_____辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产_____辆； (3)该厂实行计件工资制，生产一辆童车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元? 【答案】(1)599 (2)24 (3)84525 【分析】本题主要考查了正负数的实际意义，有理数的混合运算， 对于（1），用前三天的计划生产总量加上前三天与计划量相比的变化量之和即可； 对于（2），用本周生产情况记录中的最大值减去最小值即可； 对于（3），求得这一周生产的总辆数，然后按照工资标准求解. 【详解】（1）解：前三天共生产（辆）； （2）解：产量最多的一天比产量最少的一天多生产（辆）； （3）解：该厂工人这一周的工资总额（元）. 【变式3】某年级进行数学竞赛，评出一等奖4人、二等奖6人、三等奖20人，年级组决定给获奖的学生发奖品，同一等次的奖品相同（不同等次的奖品不相同），并且只能从下表所列物品中选取一件： 品名 足球 排球 羽毛球拍 文具盒 相册 钢笔 圆规 笔记本 圆珠笔 单价/元 32 20 16 10 8 5 4 3 2 (1)如果获奖等次越高，奖品单价就越高，则年级组最少要花多少钱买奖品？ (2)若要求一等奖的奖品单价是二等奖的2倍，二等奖的单价是三等奖的2倍，在总费用不超过200元的前提下，有几种购买方案？花费最多的一种需用多少钱？ 【答案】(1)元 (2)有两种购买方案，花费最多的需用元 【分析】本题考查了简单的最佳方案选择，解题的关键是在理解题意的基础上列出算式． （1）要用最少的钱买奖品，则一等奖为圆规，二等奖为笔记本，三等奖为圆珠笔，据此求出所花的钱； （2）根据要求可以得到两种方案，在总费用不超过元的前提下，即可确定花费最多是多少元． 【详解】（1）解：花钱要少，尽可能地买最便宜的物品，三等奖选2元，二等奖选3元，一等奖4元，共花（元）， 答：年级组最少要花元买奖品； （2）解：方案一：一等奖8元，二等奖4元，三等奖2元， 总费用：（元），，符合题意； 方案二：一等奖16元，二等奖8元，三等奖4元， 总费用：（元），，符合题意； 方案三：一等奖元，二等奖元，三等奖元， 总费用：（元），，不符合题意． 答：有两种购买方案，花费最多的需用元． 题型十五 有理数的乘方运算 解｜题｜技｜巧 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 【典例1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，乘方运算，解题关键是注意符号的变化．按照有理数混合运算的顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的，准确进行每一步的运算即可． 【详解】解： ． 【典例2】计算： 【答案】12 【分析】本题考查的是有理数数的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键．先计算绝对值，乘方运算，再按照先乘除后加减的顺序计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】 ． 【变式2】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 先计算绝对值和括号，再按先乘方、再乘除、后加减的运算顺序计算即可． 【详解】解： ． 【变式3】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·河北保定·期中）实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握“互为相反数的两个数和为，数的相反数是”是解题的关键．解题思路为根据相反数的定义，求实数的相反数． 【详解】解：∵ 相反数是指绝对值相等，正负号相反的两个数，对于数，其相反数为，那么对于，它的相反数是 又∵ ∴ 实数的相反数是， 故选：A ． 2．（24-25七年级上·河北邢台·期中）算式“”的正确读法是（   ） A．5､6､7､2的和 B．减5加6减7减2 C．负5､正6､减7､减2的和 D．负5､正6､负7､负2的和 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 根据减去一个数等于加上这个数的相反数，将其转化为加法，也就是各个数的和，即可得出结论. 【详解】解： 算式正确读法为负5，正6，负7，负2的和． 故选：D． 3．（24-25七年级上·河北唐山·期中）中国空间站位于距离地面约的太空环境中，由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高达零上，其背阳面温度可低至零下，太阳直射空间站表面温度与背阳面的最大温差是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数减法的应用，由实际意义得，即可求解；能根据实际意义得出算式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 （）， 故选：C． 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨）本周五天后这种小麦库存（   ）吨 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 0 A．413 B．414 C．415 D．416 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的加法运算，根据有理数的加减法运算，可得答案． 【详解】解：本周五天后这种小麦库存为：（吨）， 故选：C． 5．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）在，，，0，中，负数的个数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是化简双重符号，负数的认识，理解负数的概念是解本题的关键，先化简，再根据小于0的数为负数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴在，，，0，中，负数有：，共2个， 故答案为：2． 6．（24-25七年级上·河北保定·期中）数轴上点A 表示，点B 表示，则A、B两点之间的所有整数之和是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了数轴和有理数的加法，根据题意得出符合题意的所有整数是解题关键．根据题意画出数轴，进而得出符合题意的整数，求出和即可． 【详解】解：如图所示，数轴上点A 表示，点B 表示， 则A、B两点之间的所有整数为：，，，，，，， 故符合题意的所有整数之和是：． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·河北保定·期中）定义新运算符号“⊕”如下：，例如：，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了新运算法则和有理数运算，掌握新运算法则是解题的关键．根据新运算列出算式，然后根据有理数的加减法法则计算即可． 【详解】解：由得 ， 故答案为：6． 8．（24-25七年级上·河北沧州·期中）规定图形表示运算，图形表示运算，则= ．（直接写出答案） 【答案】 【分析】本题考查根据新定义进行有理数的混合运算，解题的关键是准确理解两种图形所代表的运算规则，并按照规则进行计算． 分别依据三角形和正方形图形对应的运算规则，计算出各自的结果，再将结果相加． 【详解】解析： ， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·河北张家口·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2)9992 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数乘除混合计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除法运算法则计算即可； （2）按照有理数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 10．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）计算： (1)在数轴上表示出：、、0、、； (2)将（1）中各数用“<”连接起来； (3)写出（1）中各数的相反数，并用“<”连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) (3)相反数见解析， 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，绝对值，根据数轴比较大小，数形结合是解题的关键． （1）根据题意，先化简多重符号，然后在数轴上表示即可； （2）根据（1）中数轴上的点的位置，根据右边的数比左边的数大，用“”连接起来即可； （3）先求得各数的相反数，进而用“<”连接起来． 【详解】（1）解：，， 在数轴上表示如下： （2）由（1）得：； （3）的相反数为1； 的相反数为； 0的相反数为0； 的相反数为； 的相反数为， ∴． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）下列各数中，0，，，，有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的概念，有理数是包括分数、有限小数与无限循环小数；据此判断即可． 【详解】解：，0，，都是有理数； 故选：D． 12．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如下是嘉淇对一道题的解题过程： ……第①步 ……第②步 ．……第③步 下列判断正确的是（    ） A．第①步运用了乘法交换律 B．第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误 C．第②步的运算结果正确 D．第③步的结果是本题的正确结果 【答案】B 【分析】本题考查利用有理数乘法分配律进行简便运算，熟练掌握乘法分配律进行研究正确的计算是解的关键．将化成，再运算乘法分配律计算，根据计算过程逐项判定即可． 【详解】A、①将化成，故说法错误，不符合题意； B、第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误，②的结果应为，故说法正确，符合题意； C、第②步的运算结果为，故说法错误，不符合题意； D、从②步就开始开始出错，故第③步的结果是错误的，故说法错误，不符合题意； 故选：B． 13．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）下列说法中正确的有（   ） ①近似数精确到；②由四舍五入得到的近似数精确到百分位；③近似数和是一样的；④将按四舍五入精确到千位得到的近似数是万 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】此题考查了近似数，理解近似数的定义是解题关键．根据四舍五入和精确度进行解答即可． 【详解】解：①近似数精确到，故原说法正确，符合题意； ②由四舍五入得到的近似数精确到千位，故原说法错误，不符合题意； ③近似数精确到十分位，精确到百分位，故原说法错误，不符合题意； ④将按四舍五入精确到千位得到的近似数是万，故原说法错误，不符合题意； 综上可知，正确的是①，共1个． 故选：D． 14．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）将，，，，这五个数分别填在如图所示的五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数不可以是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 【详解】解：由题意，填写如下： ，， 填入中间位置的小正方形内的数可以是， ，， 填入中间位置的小正方形内的数可以是， ，， 填入中间位置的小正方形内的数可以是， 故选：A． 15．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）的倒数是 ，比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了求倒数、有理数的大小比较，根据倒数的定义即可得解，再根据两个负数进行比较，绝对值大的反而小即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， ∵，，， ∴， 故答案为：，． 16．（24-25七年级上·河北承德·期中）写出所有大于而小于的整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法计算是解题的关键．根据题意得出所有大于而小于的整数，再求和即可． 【详解】解：大于而小于的整数有，，，0，1， ∴和为， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·河北保定·期中）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”译文：一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1米的木棍，则第8天截取的木棍长为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘方的应用，理解题意并正确找出数式规律是解题的关键． 根据题意，依次求出每一天截取木棍的长度，观察规律即可求得第8天截取的木棍长度． 【详解】解：根据题意得： 第一天截取木棍长度为：， 第二天截取木棍长度为：， 第三天截取木棍长度为：， 第天截取的木棍长度为：， ∴第8天截取的木棍长度为：． 故答案为：． 18．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，孩子已经出生的天数为 天． 【答案】42 【分析】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列式，得，进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意， （天）， 即孩子已经出生的天数为42天， 故答案为：42． 19．（24-25七年级上·河北张家口·期中）计算，下面的解法正确吗？若正确，写出每一步的依据；若不正确，请指出错误之处，并给出正确解答． ① ② ③ 【答案】不正确，同级运算要从左到右运算，见解析 【分析】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘除法法则计算即可． 【详解】解：不正确，同级运算要从左到右运算， 正确解答： 20．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）【新情境生产生活】某校举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以5为标准，超过的记为“”，不足的记为“－”．七年级六个班的废纸收集情况如下表所示．统计员小虎不小心将六班的数据弄丢了，但他记得三班收集的废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为4． 班级 一 二 三 四 五 六 质量/kg 0 (1)计算七年级六班同学收集废纸的质量； (2)将本次活动七年级六个班收集的废纸集中卖出，其中有3的硬纸板是元，其余废纸均是元，求卖废纸的总钱数． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的大小比较，有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据，得到，不符合题意，判断七年级六班同学收集废纸的质量最多，解答即可． （2）先计算总质量：，分类计算求和即可． 【详解】（1）解：根据，得到，不符合题意，故六班收集废纸的质量最多，超出标准质量． 故七年级六班收集废纸的质量为． （2）解：收集的废纸的总质量为：． 故卖废纸的总钱数为（元）． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25七年级上·河北保定·期中）下列结论：①的底数是；②若有理数a，b互为相反数，那么；③绝对值等于本身的数是0；④倒数等于本身的数是1；⑤式子的最小值是6．其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查的是有理数的相关定义和性质，掌握幂的底数的定义、相反数的性质、绝对值的性质、倒数的性质和绝对值的非负性是解决此题的关键． 根据幂的底数的定义、相反数的性质、绝对值的性质、倒数的性质和绝对值的非负性逐一判断即可． 【详解】解：的底数是，故①正确； 若有理数，互为相反数，那么，故②正确； 绝对值等于本身的数是非负数，故③错误； 倒数等于本身的数是或，故④错误； ∵ ∴ ∴式子的最小值是，故⑤正确． 共有3个正确， 故选B． 22．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，对于下列各式的判断，正确的是（   ） 甲：；乙：；丙： A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲对丙错 D．乙对丙对 【答案】C 【分析】本题考查数轴和数轴上点的大小的比较，两个数相乘，积的符号问题．因为数轴上右边的数总比左边的大，大数减小数差为正，小数减大数差为负，再根据乘法运算同号得正，异号得负． 【详解】解： 甲正确； ，即 乙正确； ， ， 又， ， 丙错误． 故选：C． 23．（24-25七年级下·河北保定·期中）如图所示，已知北京时间2024年10月25日上午8时对应数轴上的数字8，多伦多时间2024年10月24日晚20时对应数轴上的数字，由此推断当纽约时间是2024年10月24日晚19时时，对应数轴上的数字是（   ） A．9 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴，解决本题时需注意时间表上的数值越大说明时间越早，这与平时的计算稍有区别，需认真考虑． 根据已知可得，数轴上的原点表示某地2024年10月25日上午0时，距离这个时间的长短就是对应数的绝对值，没到的为负，已经超过的为正即可判断． 【详解】解：北京时间2024年10月25日上午8时对应数轴上的数字8，多伦多时间2024年10月24日晚20时对应数轴上的数字， 故数轴上的原点表示某地2024年10月25日上午0时， ∴当纽约时间是2024年10月24日晚19时时，对应数轴上的数字是， 故选C． 24．已知，，若，则的值为(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的性质以及有理数的加减法，根据，，且，即可确定a，b的值，从而求解． 【详解】解：∵|，， ∴ 又∵，则 ∴或， 当时，； 当时，． 综上，的值为或 故选：D． 25．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）在一条不完整的数轴上从左到右有A，B，C三点，其中，，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．若以C为原点，点A对应的数为 ，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．利用数轴知识解答即可． 【详解】解：∵，，C为原点， ∴点B对应的数为， ∴点A对应的数为， ∴， 故答案为：，． 26．（24-25七年级上·河北唐山·期中）我们平常用的数都是十进制的，如：．表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．电子计算机中用的二进制只有两个数码：0，1．二进制数可以转化为十进制数，如：二进制数，等于十进制数5；二进制数，等于十进制数22，那么二进制数11010等于十进制数 ． 【答案】26 【分析】本题考查了二进制数转化为十进制数的方法，含有乘方的有理数的混合运算，掌握二进制数转化十进制数之间的规则是关键．根据题目信息，参照题中两个二进制数转化为十进制数的方法，可得，利用有理数的乘方运算法则计算可． 【详解】解： 27．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）嘉淇在写作业的时候，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据如图所示的数据，则墨迹遮盖的整数中满足绝对值大于并且小于等于的整数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与绝对值的意义，根据题意先求得出和之间的整数，再求绝对值大于并且小于等于的整数即可求解． 【详解】解：根据图中数据，可得墨迹盖住的整数是：，，，，． 其中满足绝对值大于并且小于等于的整数有，，共2个， 故答案为：． 28．（24-25七年级上·河北保定·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，第次翻转后，点所对应的数为；则翻转次后，数轴上数所对应的点是 ． 【答案】点B 【分析】本题考查了数轴，数字字母规律问题，根据翻转的变化规律确定出每次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键． 根据题意可知每次翻转为一个循环组依次循环，用除以，根据是否整除可知点在数轴上．然后进行计算即可得解． 【详解】解：每次翻转为一个循环组依次循环， ， 翻转次后点在数轴上， 点对应的数是， 数轴上数所对应的点是点 故答案为：点． 29．（24-25七年级上·河北保定·期中）计算： (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，有理数的混合运算顺序是解题的关键； （1）先算乘法和除法，再利用减法运算法则将减法转化为加法进行计算； （2）先利用乘法分配律化简，再进行求解； （3）先算乘方，再算乘法，再利用减法运算法则将减法转化为加法进行计算； （4）先算乘方，再按照有理数的混合运算顺序求解． 【详解】（1） ， ， ． （2） ， ， ． （3） ， ， ， ． （4） ， ， ， ． 30．（24-25七年级上·河北保定·期中）在数轴上点A在原点的左侧，点C在原点的右侧，点A距离原点2个单位长度，点C距离原点7个单位长度，点B表示的数是最小的正整数， (1)点A、B、C表示的数分别是：________，________，________； (2)点A与点B之间的距离为________，点A与点C之间的距离为________，点B与点C之间的距离为________； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，t秒钟过后，用含t的代数式分别表示点A与点B之间的距离，点A与点C之间的距离以及点B与点C之间的距离； (4)在（3）的条件下，若点B与点C之间的距离用BC表示，点A与点B之间的距离用AB表示，则的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由：若不变，请求其值． 【答案】(1)-2，1，7； (2)3，9，6； (3)点A与点B之间的距离为3t+3，点A与点C之间的距离为5t+9，点B与点C之间的距离为2t+6； (4)不变，12． 【分析】本题考查数轴、列代数式，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据题意，直接写出点A、B、C表示的数即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （3）用含t的代数式写出点A、B、C表示的数，再分别表示出这三个点两两之间的距离即可； （4）将和分别代入并化简，根据其结果是否含有t即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，得点A、B、C表示的数分别是：，1，7． 故答案为：，1，7． （2）解：点A与点B之间的距离为，点A与点C之间的距离为，点B与点C之间的距离为． 故答案为：3，9，6． （3）解：t秒钟后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴t秒后，点A与B之间的距离为，点A与C之间的距离为，点B与C之间的距离为． （4）解：∵， ∴， ∴的值不随着时间t的变化而改变，其值为12． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正负数的意义 能准确判断正负数在实际情境中的意义 基础必考点，常出现在选择题中 有理数的分类 能根据有理数的概念区分有理数的分类 高频易错点，在对数字进行分类时忽略不循环小数和π 数轴 可以在数轴上表示有理数，并且能够利用数轴表示两点距离，同时能够解决动点问题 期中必考点，各题型均有可能出现；用数轴表示有理数、数轴上两点之间的距离表示和数轴比较大小是常考点；而数轴的动点问题则是作为压轴题来进行考查 相反数 重点掌握相反数的概念和性质，互为相反数的两个数和为0； 期中常考点，一般会和其他知识点混合一起考查，难度不大； 绝对值 能根据绝对值的概念与性质求解 期中必考点，基础题型和中等难度题型均可能出现；同时也会和数轴一起作为压轴题进行考查； 有理数的大小比较 能用不同的方法进行有理数的大小比较 基础必考点，一般在解答题中会有一道题与数轴一起考查有理数的大小比较 有理数的加法法则 能正确地进行有理数的加法运算 基础必考点，是考试的基础题型 有理数加法运算律 能熟练运用加法的运算律 基础必考点，常出现在小题 有理数的减法法则 掌握有理数的减法法则 基础必考点，常出现在计算题，注意符号 有理数加减混合运算 熟练运用加减法法则进行运算 高频考点，经常在计算题考查 有理数乘法法则 能正确进行有理数的乘法运算 基础考点，常出现在小题 有理数乘法运算律 能熟练运用乘法的运算律 基础必考点，是考试的基础题型 倒数 掌握倒数的概念，学会倒数的运算 高频易错点，常忘记倒数的符号 有理数除法法则 能正确进行有理数的除法运算 基础必考点，经常在计算题考查 有理数乘方运算 能正确进行有理数的乘方运算 基础必考点，经常在计算题考查 有理数四则运算的实际应用 准确找出数量关系并计算出结果，同时要注意答案符合实际情况 高频考点，经常出现在大题 知识点01 正数与负数 正数：像3.5，2020，6.7，等这样的数都是正数，它们都是大于0的； 负数：像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是负数，它们都是小于0的； 0既不是正数，也不是负数. 1.一个数前面的“＋”号或“－”号叫做它的符号，其中“＋”号可以省略不写，“－”号不能省略； 2.0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没有温度； 3.判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，如后面要讲的-（-1）就是一个正数. 知识点02 具有相反意义的量 1.具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量. （1）单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的； （2）具有相反意义的量必须是同类量，如盈利200元与向东走200米就不是具有相反意义的量； （3）具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等，例：与上升100米是相反意义的量有很多，如下降10米、下降120米、下降200米等； （4）常见的具有相反意义的量：以海平面为基准，高于海平面为正，则低于海平面为负；常见的还有前进与后退，上升和下降，盈利和亏损，向南和向北等. 2.当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示. 知识点03 有理数的概念与分类 我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数. 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数，如π，，等. 拓展：循环小数化成分数如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节． 4、循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数. （1）纯循环小数化分数 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、0.等，纯循环小数化为分数的方法是：分子是由一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．例如：； （2）混循环小数化分数 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数． 5、有理数的分类 补充：有理数的分类原则 1 标准要统一，必须按同一分类标准进行分类，如将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准就不统一； 2 分类不重合，所分的各类应互不包含，如有理数分为非负有理数、0和正有理数就违反了这一原则； 3 分类无遗漏，所分各类之“和”必须是原来的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0. 知识点04 数轴 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 2.数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 3.所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 知识点05 绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作|a|，读作“a的绝对值”. 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以|0|=0. 4.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 5.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有|a|≥0. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 知识点06 相反数 1.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. （1）0的相反数是0； （2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）. 2.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. （1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等； （2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数. 3相反数的性质 任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 4.相反数的特征 若a与b互为相反数，则a＝－b，反之，若a＝－b，则a与b互为相反数. （1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； （2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！ 知识点07 有理数的大小比较 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 知识点08 有理数加法法则与运算律 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 若a＞0，b＞0，则a+b=+（|a|+|b|）； 若a＜0，b＜0，则a+b=—（|a|+|b|）； 2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 绝对值相等时，两数之和为0； 3.一个数与0相加，仍得这个数； 4.有理数加法运算步骤： （1）看：看两个加数是同号还是异号； （2）定：确定和的符号； （3）求：根据有理数加法法则求和. 有理数加法运算律 1. 有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； 加法交换律：a＋b＝b＋a 2. 有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 加法交换律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加. 3. 有理数加法中的一些计算技巧： （1） 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2） 同号结合法：符号相同的数先相加； （3） 同分母结合法：分母相同的数先相加； （4） 凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 知识点09 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，a-b=a+(-b) 1. 较大的数－较小的数＝正数； 2. 较小的数－较大的数＝负数； 3. 相等的两个数相减等于0； 4. 0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数. 知识点10 有理数加减混合运算 1. 利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； 2. 去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； 3. 利用加法法则和加法运算律进行计算. 知识点11 有理数乘法法则与运算律 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 4. 拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 知识点12 倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 知识点13 有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 知识点14 有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 利用运算律简便计算 1. 有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； 2. 一些计算优先结合会简便很多，如下所示： （1） 相反数结合； （2） 凑整结合； （3） 正、负分别结合； （4） 同分母结合； （5） 倒数结合 有理数的混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3. 如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. PS：在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些计算是可以同时进行的. 知识点15 有理数的乘方运算 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1. 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3. 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5. 一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 有理数乘方的运算 1. 有理数乘方运算的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是正数； （2） 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3） 0的任何正整数次幂都是0； （4） 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3. 拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 题型一 正数和负数 解｜题｜技｜巧 记住大于0的是正数，小于0的是负数，0既不是正数也不是负数； 【典例1】早在两千多年前的《九章算术》中就有用算筹记录负数的记载．如：表示“”，而表示“”，按照这样的表示法，下面算筹所表示的数中，（    ）表示“”． A． B． C． D． 【典例2】填空： （）某校举行“生活中的科学”知识竞赛，若将加分记为分，则扣分记为 分． （）记运入仓库的大米吨数为正，则吨表示 ，吨表示 ． （）规定海平面以上的高度为正，则海鸥在海平面以上米处，可记为 米；鱼在海平面以下米处，可记为 米；海平面的高度可记为 米． 【变式1】科学鉴定显示，兴县大明绿豆含脂肪，含蛋白质，并含有6种人体必需的氨基酸．王叔叔买了一袋兴县大明绿豆，袋上标有“”的标记，这袋绿豆最重是 ． 【变式2】皋兰软儿梨也叫冻梨、香水梨，每年深秋采摘后，经西北寒冽的冬天糖化、变黑后是皋兰软儿梨特有的吃法，成为当地群众严冬的一道特色美食，某生态园区生产的软儿梨包装纸箱上标明软儿梨的质量为千克，如果一箱软儿梨的质量为千克，那么这箱软儿梨（选填“合格”或“不合格”） 【变式3】生活情境·营业额某超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比的增长率如下表所示． 请根据表格信息回答下列问题： 月份 1 2 3 4 5 6 比去年同月增长% (1)该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)今年 1 月和 4 月比去年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)今年上半年与去年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪个月？ 题型二 有理数的概念与分类 解｜题｜技｜巧 有理数的分类里记住三种类型： 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数， 【典例1】下列7个数：（每两个1之间依次多一个4），其中有理数有（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【典例2】下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤不仅是有理数，而且是分数；⑥是小数，所以不是有理数．其中错误的说法有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式1】把下列各数填入相应的大括号中： 5，，1，，，，，325，0，，． 正数：{ …}； 负数：{ …}； 非负整数：{ …}； 负分数：{ …}． 【变式2】把下面的有理数填入它们属于的集合内： ，，，，，，，，，，，， 正有理数集合：                 整数集合：                 负有理数集合：                 正整数集合：                 负整数集合：                 【变式3】把有理数，，，，，，，，，，填入下列集合： 负数集合{ }；正分数集合{ }； 负整数集合{ }；非负整数集合{ }． 题型三 数轴的三要素及其画法 解｜题｜技｜巧 数轴三要素：原点、单位长度、正方向。 【典例1】下列各图中数轴的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】下列说法正确的是（    ） ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 A．④ B．③④ C．②③④ D．①②③④ 【变式1】画一条数轴，并在数轴上标出下列各数，，，，， 【变式2】补全数轴，并在数轴上表示下列各数．1.5，0.4，，． 【变式3】现有下列各数：①，②，③，④，⑤，⑥． (1)把上列各数序号填入相应的大括号里 ： 非负数集合：{ 　                       …}； 分数集合：{ 　                       　…}． (2)请把下面不完整的数轴补充完整，并在数轴上标出上列各数中的所有整数． 题型四 数轴上两点之间的距离 解｜题｜技｜巧 数轴上两点之间的距离，一般只用右边对应的数（符号也可）减去左边对应的数；若分不清两点谁在左在右，可以通过加绝对值进行分类讨论； 【典例1】在数轴上，数x与3的距离是2，则（   ） A．±2 B．1 C．5 D．1或5 【典例2】数轴上点A表示数，将点A沿数轴移动7个单位长度得到点B，则点B表示的数是（   ） A．4 B．和10 C． D．和4 【变式1】在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，且、两点间的距离为，则 ． 【变式2】如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为 ． 【变式3】如图，数轴上点表示的数为1． (1)点向右移动1个单位长度后对应的点表示的数为___________，再向左移动3个单位长度后对应的点表示的数为___________． (2)若数轴上点表示的数为，且，求点与点之间的距离． 题型五 数轴上点的平移 解｜题｜技｜巧 数轴上点的平移牢记：若向右平移，即点所对应的数字加上移动的距离，就等于平移后点所对应的数字；向左平移则减去即可； 【典例1】在数轴上，点A距离原点2个单位长度，且点A在数轴的负半轴上，将点A沿数轴向左平移2个单位长度后得到点B，那么点B表示的数为（   ） A． B． C．0 D．1 【典例2】如图，圆的周长是4个单位长度，均匀分布0、1、2、3四个数字，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】若点A是数轴上表示的点，将点A先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度到达点B，则点B在数轴上表示的数为 ． 【变式2】数轴上点A表示的数是6，点B表示的数是，若点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向负半轴移动，同时，点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向正半轴移动，当移动4秒时停止，则点A与点B之间的距离为 ． 【变式3】，分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数，； (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数． 题型六 相反数 解｜题｜技｜巧 牢记相反数的性质，互为相反数的两个数和为0； 【典例1】下列各组数中，结果互为相反数的是（    ） A． B．与 C．与 D．与 【典例2】已知的相反数是x，的相反数是y，z的相反数是0，则的相反数是 ． 【变式1】若m与互为相反数．则m的值为 ． 【变式2】已知下列有理数：，，，，． (1)在给定的数轴上表示这些数． (2)这些数中是否存在互为相反数的两个数？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数． 【变式3】已知数m，n表示的点在数轴上的位置如图所示，括号内分别表示m，n的相反数，的位置． (1)在括号内填空； (2)若数m与其相反数相距24个单位长度， ①求m的值； ②若数n表示的点与数m的相反数表示的点相距4个单位长度，求n的值． 题型七 绝对值非负性 解｜题｜技｜巧 绝对值的非负性要注意： （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 【典例1】已知为有理数，则式子的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【典例2】有理数m，n满足，则 ． 【变式1】若，则的值为 ． 【变式2】若与互为相反数，则的值在数轴上对应的数应为 ． 【变式3】已知，求式子的值． 题型八 绝对值的几何意义 解｜题｜技｜巧 绝对值的几何意义，主要是考查绝对值与数轴结合的题型，难度较大，主要在于理解绝对值的几何意义，在基本概念的基础上进行拓展： 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 【典例1】式子的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离．若式子的最小值是2，则m的值为（   ） A．1 B．5 C．或 D．1或5 【典例2】如图，数轴上的，，三点所表示的数分别是，，，其中是的中点．如果，那么该数轴的原点的位置应该在（　　） A．点的左边 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点与点之间（靠近点）或点的右边 【变式1】我们知道，的几何意义为数轴上表示数的点和原点之间的距离，同理的几何意义为数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离．利用此结论，符合的整数的个数是 ． 【变式2】如图，数轴的单位长度为，数轴上有，，三个点．若点，到原点的距离相等，则点表示的数是 ． 【变式3】阅读下列材料，完成后面的任务． 点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为． 如图，从数轴上看，若点A，B表示的数分别是1，4 则或． 【归纳】若点A，B表示的数分别是， 则或． 任务： (1)若点表示的数，点B表示的数为，=______． (2)若点表示的数，，则点表示的数为______． (3)试用数轴探究，当时，的值为______． 题型九 有理数的大小比较 解｜题｜技｜巧 先画出数轴，记住正数大于0，负数小于0；然后看数轴上点的位置，右边的点所代表的数大于左边的点代表的数； 【典例1】如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列是（   ） A． B． C． D． 【变式1】比较大小： ．（填“”“”或“”） 【变式2】比较大小： ， ， （用“”，“”或“”连接）． 【变式3】数轴上点、、的位置如图所示．请回答下列问题： (1)表示有理数的点是点_______，将点向左移动4个单位长度得到点，则点表示的有理数是_______； (2)在数轴上标出点、，其中点、分别表示有理数和； (3)将，，，这四个数用“”号连接的结果是_____． 题型十 有理数的加减法运算 解｜题｜技｜巧 熟悉有理数加减法运算的法则，注意计算时符号的问题； 【典例1】计算 (1) (2) (3) 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算 (1) (2) (3) (4) 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4) (5)； (6)． 题型十一 有理数加减中的简便运算 解｜题｜技｜巧 1、相反数结合；2、凑整结合；3、正、负分别结合；4、同分母结合；5、倒数结合 【典例1】数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： (1)； (2) 【典例2】计算． 小智的解题过程如下： 解：原式  （第一步）   （第二步） （第三步） （第四步） 小智发现自己的答案和小慧的不一样． (1)小智是从第_________步开始出现错误的． (2)请写出正确的解题过程． 【变式1】用拆项法计算 (1)； (2)． 【变式2】阅读下面的解题过程： 计算：． 解：原式 上面这种解题方法叫拆项法． 仿照上述解题过程计算：． 【变式3】阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律） (3)请将正确解答过程补充完整． 题型十二 有理数的乘除法运算 解｜题｜技｜巧 1、 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2、 2、要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 【典例1】计算： (1) (2) 【典例2】计算： (1) (2) 【变式1】计算题 (1) (2) 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】有理数乘除混合运算： (1) (2) (3) (4) 题型十三 有理数四则混合运算 解｜题｜技｜巧 1、先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2、同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3、如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 【典例1】计算：． 【典例2】计算： 【变式1】计算： (1) (2) (3) 【变式2】计算：． 【变式3】计算：． 题型十四 有理数四则混合运算的实际应用 【典例1】蔬菜商店以每筐10元的价格从农场购进8筐白菜，若以每筐白菜净重25千克为标准，超过千克数记为正数，不足千克数记为负数，称重后记录如下：，，，，，，，． (1)这8筐白菜一共重多少千克？ (2)把这些白菜全部以零售的形式卖掉，若商店利润为16元，那么在销售过程中白菜的售价为每千克多少元？ (3)设平均每天的白菜销售量相同，商店以（2）中的单价售完所有白菜的一半时正好用了3天时间，现决定按原价的八折销售完剩余的白菜，这样平均每天比原来多售出16千克，问所有的白菜卖完共用几天？并计算商店共盈利或亏损多少元？ 【典例2】某食盐加工厂从所加工的袋装食盐中，抽取了40袋检查质量，质量超出标准质量的用正数表示，质量低于标准质量的用负数表示，结果记录如下表∶ 与标准质量的偏差(单位∶克) 0 袋数 1 4 13 14 7 1 (1)这40袋食盐中，最重的一袋比最轻的一袋重多少克？ (2)这40袋食盐平均每袋的质量比标准质量多或少多少克？ 【变式1】综合与探究 随着科技的迅猛发展，机器人正以前所未有的速度渗透进各行各业，逐渐取代工人承担起诸多重复性、高强度以及危险环境下的工作任务．某钢铁生产车间有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动进行调试设备、检测温度等工作．机器人从点出发，规定向东为正，向西为负，如表是某一段时间内从点出发的行走记录（单位：米）． 第次 第次 第次 第次 第次 (1)机器人第次，走动后所在的位置在出发点的什么方向？与出发点的距离是多少？ (2)该时间段机器人最远处离出发点有多远？ (3)若该机器人每千米耗电千瓦时，在这段行走过程中机器人共耗电多少千瓦时？ 【变式2】某车厂计划平均每天生产童车200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入。如表是某周的生产情况（超产为正、减产为负，单位：辆） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 (1)根据记录可知前三天共生产_____辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产_____辆； (3)该厂实行计件工资制，生产一辆童车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元? 【变式3】某年级进行数学竞赛，评出一等奖4人、二等奖6人、三等奖20人，年级组决定给获奖的学生发奖品，同一等次的奖品相同（不同等次的奖品不相同），并且只能从下表所列物品中选取一件： 品名 足球 排球 羽毛球拍 文具盒 相册 钢笔 圆规 笔记本 圆珠笔 单价/元 32 20 16 10 8 5 4 3 2 (1)如果获奖等次越高，奖品单价就越高，则年级组最少要花多少钱买奖品？ (2)若要求一等奖的奖品单价是二等奖的2倍，二等奖的单价是三等奖的2倍，在总费用不超过200元的前提下，有几种购买方案？花费最多的一种需用多少钱？ 题型十五 有理数的乘方运算 解｜题｜技｜巧 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 【典例1】计算：． 【典例2】计算： 【变式1】计算： 【变式2】计算： ． 【变式3】计算：． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·河北保定·期中）实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北邢台·期中）算式“”的正确读法是（   ） A．5､6､7､2的和 B．减5加6减7减2 C．负5､正6､减7､减2的和 D．负5､正6､负7､负2的和 3．（24-25七年级上·河北唐山·期中）中国空间站位于距离地面约的太空环境中，由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高达零上，其背阳面温度可低至零下，太阳直射空间站表面温度与背阳面的最大温差是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨）本周五天后这种小麦库存（   ）吨 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 0 A．413 B．414 C．415 D．416 5．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）在，，，0，中，负数的个数有 个． 6．（24-25七年级上·河北保定·期中）数轴上点A 表示，点B 表示，则A、B两点之间的所有整数之和是 ． 7．（24-25七年级上·河北保定·期中）定义新运算符号“⊕”如下：，例如：，则 ． 8．（24-25七年级上·河北沧州·期中）规定图形表示运算，图形表示运算，则= ．（直接写出答案） 9．（24-25七年级上·河北张家口·期中）计算： (1) (2) 10．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）计算： (1)在数轴上表示出：、、0、、； (2)将（1）中各数用“<”连接起来； (3)写出（1）中各数的相反数，并用“<”连接起来． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）下列各数中，0，，，，有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如下是嘉淇对一道题的解题过程： ……第①步 ……第②步 ．……第③步 下列判断正确的是（    ） A．第①步运用了乘法交换律 B．第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误 C．第②步的运算结果正确 D．第③步的结果是本题的正确结果 13．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）下列说法中正确的有（   ） ①近似数精确到；②由四舍五入得到的近似数精确到百分位；③近似数和是一样的；④将按四舍五入精确到千位得到的近似数是万 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 14．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）将，，，，这五个数分别填在如图所示的五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数不可以是(   ) A． B． C． D． 15．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）的倒数是 ，比较大小： ． 16．（24-25七年级上·河北承德·期中）写出所有大于而小于的整数的和为 ． 17．（24-25七年级上·河北保定·期中）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”译文：一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1米的木棍，则第8天截取的木棍长为 米． 18．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，孩子已经出生的天数为 天． 19．（24-25七年级上·河北张家口·期中）计算，下面的解法正确吗？若正确，写出每一步的依据；若不正确，请指出错误之处，并给出正确解答． ① ② ③ 20．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）【新情境生产生活】某校举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以5为标准，超过的记为“”，不足的记为“－”．七年级六个班的废纸收集情况如下表所示．统计员小虎不小心将六班的数据弄丢了，但他记得三班收集的废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为4． 班级 一 二 三 四 五 六 质量/kg 0 (1)计算七年级六班同学收集废纸的质量； (2)将本次活动七年级六个班收集的废纸集中卖出，其中有3的硬纸板是元，其余废纸均是元，求卖废纸的总钱数． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25七年级上·河北保定·期中）下列结论：①的底数是；②若有理数a，b互为相反数，那么；③绝对值等于本身的数是0；④倒数等于本身的数是1；⑤式子的最小值是6．其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 22．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，对于下列各式的判断，正确的是（   ） 甲：；乙：；丙： A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲对丙错 D．乙对丙对 23．（24-25七年级下·河北保定·期中）如图所示，已知北京时间2024年10月25日上午8时对应数轴上的数字8，多伦多时间2024年10月24日晚20时对应数轴上的数字，由此推断当纽约时间是2024年10月24日晚19时时，对应数轴上的数字是（   ） A．9 B．7 C． D． 24．已知，，若，则的值为(   ) A． B． C．或 D．或 25．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）在一条不完整的数轴上从左到右有A，B，C三点，其中，，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．若以C为原点，点A对应的数为 ，计算 ． 26．（24-25七年级上·河北唐山·期中）我们平常用的数都是十进制的，如：．表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．电子计算机中用的二进制只有两个数码：0，1．二进制数可以转化为十进制数，如：二进制数，等于十进制数5；二进制数，等于十进制数22，那么二进制数11010等于十进制数 ． 27．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）嘉淇在写作业的时候，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据如图所示的数据，则墨迹遮盖的整数中满足绝对值大于并且小于等于的整数有 个． 28．（24-25七年级上·河北保定·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，第次翻转后，点所对应的数为；则翻转次后，数轴上数所对应的点是 ． 29．（24-25七年级上·河北保定·期中）计算： (1)； (2) (3) (4) 30．（24-25七年级上·河北保定·期中）在数轴上点A在原点的左侧，点C在原点的右侧，点A距离原点2个单位长度，点C距离原点7个单位长度，点B表示的数是最小的正整数， (1)点A、B、C表示的数分别是：________，________，________； (2)点A与点B之间的距离为________，点A与点C之间的距离为________，点B与点C之间的距离为________； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，t秒钟过后，用含t的代数式分别表示点A与点B之间的距离，点A与点C之间的距离以及点B与点C之间的距离； (4)在（3）的条件下，若点B与点C之间的距离用BC表示，点A与点B之间的距离用AB表示，则的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由：若不变，请求其值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $