专题02 几何图形的初步认识（期中复习讲义）（知识必备+16大核心题型+分层验收）七年级数学上学期新教材冀教版

专题02 几何图形的初步认识（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 常见几何体 根据几何体的概念辨别几何图形 常出现在小题中 直线、射线、线段 能区分直线、射线、线段，会画直线、射线和线段； 出现在小题，画图题则会出现在解答题 线段长短的比较 会比较线段的长短 常出现在小题中 两点间的距离 掌握两点之间距离的求解 一般会让求两点之间的距离 线段的和与差 会计算线段的和与差，会用未知数表示线段 重点考查，一般在解答题中 线段中点的有关计算 掌握线段的中点公式，会根据中点概念计算长度 重点考查，一般出现在解答题 角的概念与表示 掌握角的基本概念和表示方法 出现在小题，考查内容简单 角的单位 牢记角的单位度、分、秒 小题考查，单位换算 尺规作角 会利用直尺圆规画角 一般出现在解答题中 角的四则运算 能进行角的四则运算 一般在解答题中出现 角平分线 会利用角平分线的概念解决角度问题 重点考查，一般在解答题中出现 余角 牢记互余的角和为90° 核心内容，和其他知识点一起考查 补角 牢记互补的角和为180° 核心内容，和其他知识点一起考查 平面图形的旋转 掌握旋转的要素和性质 常出现在解答题中 知识点01 丰富的图形世界 简单几何体的分类： 点、线、面、体 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的，面有平面，曲面；线有直线，曲线；面与面相交构成线，线与线相交构成点，点动成线、线动成面、面动成体，常见的一些面动成体的实例如下： 知识点02 图形的运动 翻折(轴对称)，旋转，平移是图形变换的三种基本方式，这三种变换只改变原图形的位置，不改变原图形的形状和大小． 知识点03 图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． 关于长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： 知识点04 三视图 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 知识点05 线段、射线、直线相关概念 正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别： 名称 图形 表示方法 端点 长度 直线 直线AB(或BA) 直线l 无端点 无法度量 射线 射线OM 1个 无法度量 线段 线段AB(或BA) 线段l 2个 可度量长度 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。（两点确定一条直线）. 知识点06 线段的和差 1、线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 2、线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 知识点07 角的表示 角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° 角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位， 1）把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记为1°； 2）把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记为1″； 3）把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，记为1′. 角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″， 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180° 角的换算方法： 1）由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″； 2）由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）：，. 知识点08 余角、补角 余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角． 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角． 　　1．互余、互补是指两个角之间的一种关系． 　　2．互余、互补是指数量关系，与两个角的位置没有关系． 余角补角 （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 知识点09 方位角 以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 知识点10 旋转的概念 1. 旋转的定义： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． 2.旋转的三点注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 3.旋转的性质： 　　旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 4.旋转三要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 题型一 常见的几何体 【典例1】下列物体中，可以抽象为圆锥的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的识别，正确的识别图象是解决本题的关键．根据圆锥的基本图象对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A，抽象出来是球，不合题意； B，抽象出来是圆锥，符合题意； C，抽象出来是圆柱，不合题意； D，抽象出来是长方体，不符合题意； 故选：B． 【典例2】下列说法不正确的是（   ） A．五棱柱有5个面、5条棱 B．圆锥的底面是圆 C．棱柱的上下底面是完全相同的图形 D．长方体与正方体都有六个面 【答案】A 【分析】本题考查棱柱、圆锥等立体图形的特征，根据棱柱和圆锥的特征求解即可． 【详解】解：A、五棱柱有7个面、15条棱，本选项的说法不正确； B、圆锥的底面是圆，本选项的说法正确； C、棱柱的上下底面是完全相同的图形，本选项的说法正确； D、长方体与正方体都有六个面，本选项的说法正确． 故选：A 【变式1】下列几何体的性质：①侧面是平行四边形；②上、下底面形状相同；③上、下底面平行；④棱长相等，是棱柱的性质的有 ．（填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了棱柱的性质，根据棱柱的性质分析即可．棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；直棱柱的各个侧面都是长方形；正棱柱的各个侧面都是全等的长方形，②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形，③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形． 【详解】解：棱柱的侧面是平行四边形，故①正确； 棱柱的上、下底面形状相同，故②正确； 棱柱的上、下底面平行，故③正确； 棱柱只有侧面的棱长相等，故④不正确 综上所述，正确的有①②③ 故答案为：①②③． 【变式2】“十一黄金周”期间，小明和小亮相约去茂名森林公园游玩，中途两人口渴了，于是小明提议通过在地面旋转硬币的方法决定谁去买水，在旋转硬币时小明发现：当硬币在地面某位置快速旋转时，形成了一个几何体，请问这个几何体是 ． 【答案】球 【分析】本题考查了常见几何体的特征，根据常见几何体的特征解答即可求解，熟练掌握常见几何体的特征是解题关键． 【详解】解：当硬币在地面某位置快速旋转时，形成的几何体是球， 故答案为：球． 【变式3】观察如图所示的8个几何体． (1)按序号写出各自几何体的名称： ； ；   ； ； (2)在以上几何体中，是柱体的有 ；含曲面的有 （填序号）． 【答案】(1)圆柱；圆锥；五棱柱；三棱柱； (2)；． 【分析】本题主要考查了认识立体图形，掌握常见几何体的特点是解题的关键． （）根据几何体的特点回答即可； （）根据平面和曲面的区别回答即可． 【详解】（1）解：按序号写出各自几何体的名称：圆柱；圆锥；五棱柱；三棱柱； 故答案为：圆柱；圆锥；五棱柱；三棱柱； （2）解：在以上几何体中，是柱体的有；含曲面的有， 故答案为：；． 题型二 几何体中的点、棱、面 解｜题｜技｜巧 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的，面有平面，曲面；线有直线，曲线；面与面相交构成线，线与线相交构成点，点动成线、线动成面、面动成体 【典例1】若一个棱柱有条棱，则它的底面一定是（  ） A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十二边形 【答案】C 【分析】本题考查认识立体图形，掌握棱柱的顶点、面数和棱的条数是正确判断前提．根据棱柱中棱的条数为，由棱的总条数为，可求出答案． 【详解】解：棱柱有条棱，又，因此底面是八边形， 故选：C． 【典例2】下列说法错误的是（    ） A．棱柱的侧面都是长方形 B．正方体所有棱长都相等 C．棱柱的侧面可能是平行四边形 D．棱柱的上、下底面形状相同 【答案】A 【分析】本题主要考查立体图形的认识，根据棱柱的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A、斜棱柱的侧面是平行四边形，不一定是长方形，故原说法错误，符合题意； B、正方体所有棱长都相等，原说法正确，不符合题意； C、棱柱的侧面可能是平行四边形，原说法正确，不符合题意； D、棱柱的上、下底面形状相同，原说法正确，不符合题意． 故选：A． 【变式1】若一个棱柱有14个顶点，每条侧棱长为，则所有侧棱长的和为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了棱柱的特征．熟记棱柱的特征是解题的关键．根据一个棱柱有14个顶点，该棱柱是七棱柱共有七条侧棱，且都相等，即可求解． 【详解】解：∵一个棱柱有14个顶点， ∴该棱柱是七棱柱， ∴所有侧棱长的和为， 故答案为：14． 【变式2】如图所示的几何体由 个面围成，面与面相交成 条线，其中直线有 条，曲线有 条． 【答案】 4 6 4 2 【分析】本题考查了几何体的面、线的认识，以及直线和曲线的区分，仔细观察几何体的结构特征是解题的关键．观察几何体的结构，分别确定面的数量线的数量即可． 【详解】解：该几何体由4个面围成，面与面相交成6条线，其中直线有4条，曲线有2条． 故答案为：4，6，4，2 【变式3】如图，观察下列几何体并回答问题： (1)n棱柱有__________个面、__________条棱、__________个顶点，n棱锥有__________个面、__________条棱、__________个顶点； (2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人归纳总结发现，多面体的面数F、顶点个数V以及棱的条数E之间存在着一定的数量关系． ①继续观察如图所示多面体，并把表格填写完整： 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E） 图① 图② 图③ ②分析表格中的数据，你能发现F、V、E三者之间有何关系 ． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了棱柱和棱锥， 对于（1），根据棱柱的面数比侧面数多2，棱数是侧面数的3倍，顶点数是侧面数的2倍；再根据棱锥的面数比侧面多1，棱数是侧面数的2倍，顶点数比侧面数多1，可解答； 对于（2），分别数出面数，顶点数，棱数，可解答①，再根据三个数的关系解答②. 【详解】（1）解：n棱柱有个面，条棱，个顶点，n棱锥有个面，条棱，个顶点； 故答案为：；；；；；； （2）解①：图①的面数为7个，顶点数为9个，棱数为14条； 图②的面数为6个，顶点数为8个，棱数为12条； 图③的面数为7个，顶点数为10个，棱数为15条； 列表如下： 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E） 图① 7 9 14 图② 6 8 12 图③ 7 10 15 ②表格中的数据，你能发现F，V，E三者之间的关系为：. 故答案为：. 题型三 平面图形旋转后的立体图形 解｜题｜技｜巧 解决此类题型需要学生充分展现自己的想象力，学会画出旋转后的立体图形； 【典例1】如图的图形绕虚线旋转一周，可以得到的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面图形与立体图形，掌握图形的特点是关键． 根据平面图形的特点，结合旋转后立体图形的特点判定即可． 【详解】解：根据图示，图形绕虚线旋转一周，可以得到的几何体是， 故选：C ． 【典例2】如图所示，在长方形中，．现绕这个长方形的一边所在直线旋转一周得到的几何体的体积为 ．（结果保留） 【答案】或 【分析】本题考查了平面图形旋转得到的立体图形，圆柱的体积公式，熟练掌握圆柱的体积公式是解题的关键．根据题意，分2种情况讨论：①绕这个长方形的长所在直线旋转一周；②绕这个长方形的宽所在直线旋转一周，利用圆柱的体积公式分别求出对应的几何体的体积，即可得出答案． 【详解】解：①若绕这个长方形的长所在直线旋转一周，得到圆柱， 此时圆柱的体积为； ②若绕这个长方形的宽所在直线旋转一周，得到圆柱， 此时圆柱的体积为； 因此，旋转一周得到的几何体的体积为或． 故答案为：或． 【变式1】如图所示，在直角三角形中，以其中一条直角边所在的直线为轴旋转一周，得到几何体的体积为 ．（结果保留） 【答案】或 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据题意判断出几何体的形状为圆锥，然后根据体积公式计算即可，解题的关键是掌握圆锥的体积公式． 【详解】解：由题意得，当以3为直角边所在的直线为轴旋转一周得到几何体为圆锥， ∴圆锥的体积， 当以5为直角边所在的直线为轴旋转一周得到几何体为圆锥， ∴圆锥的体积， 故答案为：或． 【变式2】如图，有一个长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转，可按两种方案进行操作．    方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①． 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②． 请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大．（结果保留） 【答案】方案一所得到的几何体体积大，理由见详解 【分析】本题主要考查圆柱的体积，熟练掌握圆柱的体积公式是解题的关键；由题意易得两个方案所得几何体都是圆柱，其中方案一的底面圆的半径为，方案二的底面圆的半径为，然后根据圆柱体积公式可进行求解． 【详解】解：由题意得： 方案一的体积为； 方案二的体积为； ∵， ∴方案一所得到的几何体体积大． 【变式3】如图，这是一张长方形纸片，的长为，的长为． (1)若将此长方形纸片绕它的一边所在的直线旋转一周，则形成的几何体是________． (2)若将这个长方形纸片绕边所在的直线旋转一周，求形成的几何体的体积（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握圆柱的特征，以及圆柱的体积计算公式是解题的关键． （1）根据面动成体的原理，将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱；据此即可求解． （2）根据题意可得，圆柱的底面半径为，高为，再根据圆柱的体积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：将此长方形纸片绕它的一边所在的直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱； （2）解：由题意，得， 所以形成的几何体的体积． 题型四 线段、射线、直线联系与区别 解｜题｜技｜巧 记住，线段有两个端点，可测量出长度；射线只有一个端点，长度不可测量；直线没有端点，长度不可测量； 注意：射线与直线的长短无法比较； 【典例1】观察图形，下列说法正确的个数是（   ） （1）直线和直线是同一条直线；（2）射线和射线是同一条射线；（3）线段和线段是同一条线段． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段的表示方法，根据直线、射线、线段表示方法逐项判断即可求解，注意直线、线段的表示方法没有方向性，射线表示方法要注意方向． 【详解】解：（1）直线和直线是同一条直线，说法正确，符合题意； （2）射线和射线是同一条射线，说法正确，符合题意； （3）线段和线段是同一条线段，说法正确，符合题意． 综上分析可知：正确的有3个． 故选：D． 【典例2】如图，下列说法错误的是（    ）． A．图中共有2条线段 B．直线与直线表示的是同一条直线 C．射线与射线表示的是同一条射线 D．线段与线段表示的是同一条线段 【答案】A 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A．图中有线段、线段、线段，共3条线段，故错误，符合题意； B．直线与直线表示的是同一条直线，正确，不符合题意； C．射线与射线表示的是同一条射线，正确，不符合题意； D．线段与线段表示的是同一条线段，正确，不符合题意． 故选：A． 【变式1】直线AB，BC，CA的位置关系如图所示，下列语句：①点A在直线BC上；②直线BC经过点B；③直线AC，BC交于点C；④点C在直线AB外；⑤图中共有12条射线．以上表述正确的有 ．（只填写序号） 【答案】②③④⑤ 【分析】根据直线、线段、射线的相关概念可进行求解． 【详解】解：由图可知： ①点A在直线BC外，故原说法错误； ②直线BC经过点B，原说法正确； ③直线AC、BC交于点C，故原说法正确； ④点C在直线AB外，原说法正确； ⑤图中是射线的有：射线BD、射线BE、射线BA、射线BC、射线CM、射线CN、射线CA、射线CB、射线AH、射线AG、射线AB、射线AC共12条，故原说法正确； ∴以上表述正确的有②③④⑤； 故答案为②③④⑤． 【点睛】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【变式2】如图所示，已知线段，根据下列提示画图： (1)延长线段到点，使，在线段外有一点，画直线，射线，射线． (2)在（1）所画的图形中，共有几条线段？把它们分别表示出来． 【答案】(1)见解析； (2)条．线段，，，，，． 【分析】（1）用直尺将线段向端延长，使延长部分，确定点的位置．然后，连接点与点并向两端无限延伸，画出直线．接着，以点为端点，经过点画出射线；以点为端点，经过点画出射线． （2）根据线段的定义，找出图形中所有的线段并计数． 本题主要考查了直线、射线、线段的定义及相关作图，熟练掌握直线、射线、线段的概念是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， （2）解：线段有：线段，线段，线段，线段，线段，线段，共条． 【变式3】读下列语句，画出图形，并回答问题． (1)直线经过，，三点，且点在，两点之间，点是直线外一点，画直线，射线，连接； (2)在（1）的图形中，能用已知字母表示的直线、射线、线段各有几条？写出这些直线、射线、线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查作图，确定图形中的直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是解题的关键． （1）根据直线、射线、线段的定义作图； （2）根据直线、射线、线段的定义解答． 【详解】（1）解：如图 （2）解：直线有2条：直线，直线； 射线有7条：射线，射线，射线，射线，射线，射线，射线； 线段有6条：线段，线段，线段，线段，线段，线段． 题型五 线段、射线、直线的数量、交点问题 解｜题｜技｜巧 直线两两相交，交点的个数为 【典例1】如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的个点表示个车站．在这段路线上往返行车（　　）种车票． A．20 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了线段条数的计算，应按照一定的顺序,才能做到不遗漏，不重复，还需注意每条线段应印2种车票．根据线段的定义找出线段的条数，再根据车票的起始站的不同，乘以2即可得到车票的种数． 【详解】解:图中线段有：， 共（条）， 每条线段应印2种车票， 共需（种）， 故选：A． 【典例2】若两条相交直线与第三条直线（不与相交直线中的任何一条重合）在同一平面，则它们的交点个数是（    ） A．1 B．2 C．3或2 D．1或2或3 【答案】D 【分析】本题涉及直线的相关知识，难度一般，考生需要全面考虑问题 本题中直线的位置关系不明确，应分情况讨论，包括两条相交直线是否是另一条直线平行、相交或交于同一点． 【详解】解：当另一条直线与两条相交直线交于同一点时，交点个数为1； 当另一条直线与两条相交直线中的一条平行时，交点个数为2； 当另一条直线分别与两条相交直线相交时，交点个数为3； 故选D． 【变式1】在同一平面内有不重合的四个点，且这四个点不都在同一条直线上，经过这四个点中的任意两点画直线，则一共可以画 条直线． 【答案】4或6 【分析】本题考查求直线的条数，分四个点中有三个点在一条直线上和四个点都不在同一条直线上两种情况讨论，根据任意两点确定一条直线，进行求解即可． 【详解】解：若这四个点中有三个点在一条直线上，则可以画（条）直线； 若四个点都不在同一条直线上，过任意一个点与剩下的3个点可以画出3条直线， 4个点共可以画出（条）， 因为每个点重复一次， 所以一共可以画（条）直线； 综上，一共可以画4条或6条直线， 故答案为：4或6． 【变式2】一平面内共有10条直线，它们之间的位置关系未知，这10条直线最多有 个交点． 【答案】45 【分析】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法． 由在同一平面内，条直线两两相交，则最多有个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵在同一平面内，条直线两两相交，则最多有个交点， ∴条直线两两相交，交点的个数最多为． 故答案为：45． 【变式3】点A、B、C、D、E是圆上的5个点，在这些点之间连接线段，规则如下：如图，已连接线段，、，． (1)若想增加一条新的线段，共有 种连线方式； (2)至多可以同时增加 条线段，并说明连接方案． 【答案】(1)3 (2)2，同时连接，两条线段 【分析】本题主要考查了线段的定义． （1）根据题中的连线规则进行解答即可； （2）根据题意分情况讨论：①若连接，②若连接，③若连接，即可求解． 【详解】（1）解：∵A、B两点之间已有一条线段，A、B、C之间已有两条线段， ∴A、C不可以连接， ∴A可与D、E各连接一条线段， ∵B、C、D之间已有两条线段， ∴B还可以与E连接一条线段， ∵C、D、E之间已有两条线段， ∴C不能再与其他点连接，而D与E已连接， ∴D也不可再连接，E为最后一个点，也没有可连接的点， ∴共（种）， 故答案为：3； （2）解：①若连接，则A、D、E之间已有两条线段， ∴A、E不可再连接，B、E可以连接， ∴可以连接，，共2条； ②若连接，则A、D、E之间已有两条线段， ∴A、D不可再连接， ∵A、B、E之间已有两条线段， ∴B、E不可再连接， ∴可以连接，共1条； ③若连接，则同①还可以连接A、D，则A、E不可连接， ∴可以连接，，共2条； 综上所述，最多可以增加2条线段， 故答案为：2． 题型六 线段长短的比较 解｜题｜技｜巧 比较线段的长短时，注意单位要统一，数字大的线段长； 【典例1】如图示，从A地去往C地有4条路线，景元同学发现路线③最快，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A．经过一点有无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离 【答案】B 【分析】本题考查了线段的性质：两点之间线段最短，掌握这个性质是关键． 根据线段的性质：两点之间线段最短，即可解答． 【详解】解：从A地去往C地有4条路线，景元同学发现路线③最快，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短； 故选：B． 【典例2】如图所示，某同学的家在处，书店在处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两点之间线段最短的实际运用，读懂题意是解决问题的关键．结合题中图形，根据两点之间线段最短选择路径即可得到答案． 【详解】解：根据两点之间的线段最短，可得两点之间的最短距离是线段的长度， 想尽快赶到书店，一条最近的路线是， 故选：B． 【变式1】下列三个生活生产现象中，可依据“两点之间，线段最短”进行解释的现象有 （填序号）： ①用两个钉子，就可以把一根木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线； ③把弯曲的公路改直，能缩短路程． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了两点之间，线段最短以及两点确定一条直线．根据两点之间，线段最短以及两点确定一条直线，逐项判断，即可求解． 【详解】解：①用两个钉子，就可以把一根木条固定在墙上，依据“两点确定一条直线”； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线，依据“两点确定一条直线”； ③把弯曲的公路改直，能缩短路程，依据“两点之间，线段最短”． 故答案为：③ 【变式2】如果A，B，C在同一条直线上，线段，，则A，C两点间的距离是 ． 【答案】4或8 【分析】本题考查两点间的距离，本题需要分析两种情况，当点在点的右侧时，当点在点的左侧时，分别求解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当点在点的右侧时， ， ∵线段，， ∴， 当点在点的左侧时， ， ∵线段，， ∴， 综上所述，A，C两点间的距离是或， 故答案为：4或8． 【变式3】如图，已知四个点A，B，C，D，按下列要求画图． (1)画直线； (2)画射线，交直线于点； (3)在线段上找一点P，使得最小，其依据是__________________． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)两点之间，线段最短． 【分析】本题考查射线，直线，线段，掌握定义、定理是解决问题的关键． （1）根据题目要求做出图形即可； （2）根据题目要求做出图形即可； （3）在线段上找一点P，使得最小，其依据是两点之间，线段最短． 【详解】（1） 解： （2）见（1） （3）在线段上找一点P，使得最小，其依据是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 题型七 线段的和与差 解｜题｜技｜巧 线段的和与差计算是常考题，关键在于理解线段的和与差概念，如何表示线段的和与差；同时可以利用未知数表示线段的和与差，根据等量关系列出式子，最后算出结果； 【典例1】如图，线段，延长到，若，则、两点之间的距离为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，熟练掌握线段的和差关系是解题的关键．根据线段，可得，再根据线段的和差可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：． 【典例2】已知A、B、C三点在同一条直线上，如果线段，，那么A、C两点间的距离为（  ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和与差，掌握两点间的距离，线段的和差计算是解题的关键． 根据题意，分两种情况画出图形分析：①当点C在点B的左侧时；②当点C在点B的右侧时．根据两点间的距离，线段的和差计算解答即可． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示，当点C在点B的左侧时， ，， ； ②如图所示，当点C在点B的右侧时， ，， ； 综上所述，A、C两点间的距离为或． 故选：C． 【变式1】如图，点为线段上的一点，，、两点分别为、的中点，若线段为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和与差．明确线段之间的数量关系是解题的关键． 由题意知，，由中点可知，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵M、N两点分别为的中点， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：． 【变式2】如图，点B是线段上一点，点D是线段延长线上一点，点B是线段的中点．若，则线段的长为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算，求出是解题的关键．先由B是的中点，得到，从而求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵B是的中点， ∴， ∴． 故答案为：1． 【变式3】如图，已知C为线段中点，点D在线段上，且，若，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了比．根据的比及的长度可求出的长度，从而可求出的长度，再根据C为线段中点即可求得的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 题型八 线段中点的有关计算 解｜题｜技｜巧 记住线段的中点公式：; 【典例1】如图，已知，是线段上任意两点，是的中点，是的中点．若，，则线段的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段的中点，线段的和差，掌握相关知识是解决问题的关键． 首先求出，然后由线段中点的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 【典例2】如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20或10 C．10 D．20或4 【答案】D 【分析】本题考查与线段的中点有关的计算．分点在线段上，点在线段上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，如图： 由题意，得：，， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图： 则，， ∵， ∴， ∴； 综上，线段的长是20或4． 故选：D． 【变式1】如图，已知线段上有两点C、D，且，M、N分别是线段的中点，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先由线段的和差关系可得的长，再由线段中点的定义可得的长，进而可得线段的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵M、N分别是线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】已知线段，延长至点C，使，D是线段的中点，如果，那么的长为 ． 【答案】6 【分析】根据图形中线段之间的和差关系进行计算即可． 本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及图形中线段之间的和差关系是正确解答的关键． 【详解】解：如图， ∵，即， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 【变式3】如图，已知线段，，点M是的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上取一点N，使得，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键． （1）根据线段的和差得到，根据线段中点定义得到； （2）由，得到，根据点M是的中点，求得，于是得到． 【详解】（1）解：，， ， 点M是的中点， ； （2）解：， ， 点M是的中点， ， ． 题型九 线段之间的数量关系 解｜题｜技｜巧 解决此类问题时可以先明确好答案，一般线段的数量关系常见的有加法关系、倍数关系和两者的结合等； 【典例1】如图，线段为线段的中点，下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据线段中点的定义可得，再结合已知和等式的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：A．为线段的中点，， ，，，故A不符合题意； B．，，故B不符合题意； C．，，故C不符合题意； D．点不是的中点，和不一定相等，故选D符合题意； 故选：D． 【典例2】如图，C是的中点，是的中点，下列等式中，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要涉及线段的和差关系以及中点的概念．线段的和差关系：即线段之间可以通过叠加或截取形成新的线段；中点的概念：若点是某条线段的中点，则该点将线段分为两条相等的部分，通过线段之间的加减运算来判断每个选项是否正确． 【详解】解：∵是的中点，是的中点， ∴， ∴，A选项正确，不符合题意； ，B选项正确，不符合题意； ，C选项正确，不符合题意； ，D选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式1】已知线段，延长至点，使，是线段的中点． (1)若，则求的长； (2)试探究线段、间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)，理由见解析； 【分析】本题注意考查线段的和差运算，结合图形，正确的表示出线段的和与差关系是解题的关键． （1）根据题意得到，结合是线段的中点，，得到，最后根据即可得解； （2）由（1）可知，，结合是线段的中点，得到，由，即可得出结论； 【详解】（1）， ， ， 是线段的中点,，， ， ， （2），理由如下 由（1）可知：， 是线段的中点， ， ， ． 【变式2】如图，已知线段，在线段上确定两点，使得，分别是线段的中点． (1)试分析线段的数量关系； (2)求线段的长度． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查求线段长度，数形结合，找准相关线段之间的和差关系是解决问题的关键． （1）由题意，数形结合，得到即可得到答案； （2）由题意，根据中点定义，数形结合，表示出线段之间的和差关系即可得到答案． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴， 又∵分别是线段的中点， ∴，， ∴． 【变式3】已知点，，，，为直线上的点，且 ，，为的中点． (1)如图①，若，则为多少？ 若 ，则与的数量关系是什么？ (2)当点沿直线向左运动至图②的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)， (2)仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查线段的和差，解题的关键是根据题意，得到线段之间的数量关系，进行解答，即可． （1）根据题意，则，根据，求出，根据，即可求出；同理根据，可得，，求出，即可； （2）根据题意，则，根据，可得到，即可． 【详解】（1）解：∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：仍然成立，理由如下： ∵为的中点， ∴， ∴ ， ∴． 题型十 角的相关概念 解｜题｜技｜巧 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．角是由一条线段绕着它的一个端点旋转而形成的图形 B．角的大小和角的开口大小无关 C．由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角 D．角的两边越长，角就越大 【答案】C 【分析】本题考查了角的相关概念，根据角的相关定义逐项分析即可得解，熟练掌握角的相关定义是解此题的关键． 【详解】解：A、角是由一条射线绕着它的一个端点旋转而形成的图形，故原说法错误，不符合题意； B、角的大小和角的开口大小有关，故原说法错误，不符合题意； C、由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角，故原说法正确，符合题意； D、角的大小与两边的长短没有关系，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【典例2】如图，AOE是一条直线，图中的角共有（    ） A．4个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】D 【分析】本题考查对角的定义的理解，数角时注意从一边数，做到不重不漏即可． 【详解】解：图中的角有，共10个， 故选：D． 【变式1】图中以为边的角有几个？请把它们表示出来． 【答案】，， 【分析】此题考查了角的定义，也考查了角的表示，根据角的概念（有公共端点的两条射线组成的图形叫角）写出即可． 【详解】解：图中以为边的角有3个，分别是：，，． 【变式2】（1）把化成用度表示的角； （2）把化成用度、分、秒表示的角． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了度分秒之间的转化，熟练掌握度分秒的关系是解题的关键． （1）先把分化成度，再加上原来的度数即可； （2）把度化成分，即可得到答案． 【详解】解：（1）先把化成度，即，所以． （2）因为，所以，因此． 【变式3】如图，点在的边上，是内部的一条射线． (1)在射线上取一点，使得（尺规作图）； (2)在射线上确定一点，使得最小； (3)写出你完成（2）的作图依据：_____； (4)若，则______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)两点之间，线段最短 (4) 【分析】此题考查了作线段，两点之间，线段最短，度分秒的转化，解题的关键是掌握以上知识点． （1）用圆规在射线截取与射线的交点即为点D； （2）连接与的交点即为点P； （3）根据两点之间，线段最短求解即可； （4）根据度分秒的转化求解即可． 【详解】（1）如图所示，点D即为所求； （2）如图所示，点P即为所求； （3）∵ ∴当点C，P，D三点共线时，最小， ∴依据是两点之间，线段最短； （4）∵ ∴， ∴． 题型十一 角的四则运算 解｜题｜技｜巧 角的计算也是可以直接进行加减乘除计算的，但要注意换算； 角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″， 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180° 角的换算方法： 1）由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″； 2）由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）：，. 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了度分秒的加、减、乘、除运算，解题的关键在于要注意度分秒是进制． （1）相同单位分别相加，满向上一位进即可； （2）先借化为，再借化为，即化为，然后同一单位分别相减即可； （3）先将每一个单位分别乘以，满的部分向上一位进即可； （4）从度开始计算，余数乘以化成下一个单位继续除以进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【典例2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了度、分、秒的减法运算，解题的关键是掌握度、分、秒之间的60进制换算规则，以及当被减数的分或秒小于减数时的借位方法（）． 被减数的分（）小于减数的分（），且被减数无秒数，需先从度借化为，再从分借化为，使被减数的分和秒足够减，最后分别计算度、分、秒的差值． 【详解】解： 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角度的加减运算： （1）根据角度的加减运算法则计算即可； （2）根据角度的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了角度的运算，注意是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）两个度数相减，度与度，分与分对应相减，分的结果若不够减，则借位后再减； （3）进行角的乘法运算，应将度分秒分别与6相乘，然后依次进位； （4）一个度数除以一个数，则从度位开始除起，余数变为分，分的余数变为秒． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据度分秒的减法法则计算即可求解； （）根据度分秒的加法法则计算即可求解； （）先算乘法，再算加法； （）先算乘除法，再算加法； 本题考查了角度的四则运算，熟练掌握运算法则和正确进行度、分、秒之间的换算是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十二 三角板中角度计算问题 【典例1】已知两个分别含有角的一副直角三角板，如图被叠放在一起，使，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，主要利用了三角板的知识，以及同角的余角相等的性质，准确识图是解题的关键．由题意可知：，，结合题意得到，进而求出，由即可解答． 【详解】解：由题意可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【典例2】（1）如图1，将两块不同的三角尺（）的直角顶点叠放在一起． ①若，则　 　；若，则　 　． ②猜想与有何数量关系，并说明理由． （2）如图2，若两个相同的三角尺的角的顶点重合在一起，则与有何数量关系，请说明理由． 【答案】（1）①，；②，理由见解析 （2），理由见解析 【分析】本题考查了角的有关计算，能灵活运用角的和差进行计算是解题的关键． （1）由①可知：根据题意得，即可得出；由题得，进而得到； ②根据计算即可得到答案； （2）由题得，进而得到，即可得到． 【详解】解：（1）①依题意得：， ， ， ； ， ， ； 故答案为：，． ②，理由如下： 由①可知：， ． （2），理由如下： 依题意得：， ， ． 【变式1】如图，将两个直角三角形的直角顶点叠放在一起，其中． (1)若，则_____； 若，则_____． (2)写出与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了三角板的角度计算，熟练掌握角度计算是解题的关键． （）由题意得，然后根据角度和差即可求解； （）由题意得，然后根据角度和差即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， （2）解：，理由， 由题意得：， ∵， ∴． 【变式2】如图1所示，将一副三角板重叠放在一起，使直角的顶点重合于点O． (1)请从图1中找出以点O为顶点且相等的两个角（小于180°的角），并说明相等依据；（找出一对即可） (2)如图1，若．试求的度数； (3)如图1，当三角板绕点O适当旋转（保持两三角板有重合部分）时，与之间具有什么样的数量关系？请直接写出答案； (4)当三角板绕点O适当旋转（保持两三角板无重合部分）时，如图2所示，那么与之间又有什么样的数量关系？请直接写出答案． 【答案】(1)，见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，角的和差． （1）一副三角板中，两个三角板均为直角三角形，或同角的余角相等即可求解； （2）根据已知可得，进而根据，即可求解； （3）表示出，可得． （4）根据，，即可得出． 【详解】（1）解：，一副三角板中，两个三角板均为直角三角形； 因为， 所以， 所以； 故相等的角有两对：或（答案任写一对即可） （2）解：因为，， 所以， 所以； （3）解：； 因为， 所以， 所以， （4）解： 因为，， 所以． 【变式3】操作：在一张白纸上画一条直线，把一块直角三角板的直角顶点放在直线上． (1)如图（1），当点都在直线上方时，试判断与的度数之和是多少，并说明理由； (2)如图（2），把直角三角板绕点C旋转，使点A在直线的下方，点仍在直线的上方，用测量或分析的方法完成下表，并判断与的数量关系．结论：______； 的度数 的度数 与的差 (3)如图（3），继续把直角三角板绕点C旋转，使点A和点B都在直线的下方，你发现与又有什么样的数量关系呢？请直接写出结论：______． 【答案】(1)，理由见解析 (2)表格见解析 (3) 【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，三角板中角的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握各个角之间的数量关系． （1）根据进行解答即可； （2）根据图形，求出，然后根据平角再求出即可； （3）根据，，进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 的度数 的度数 与的差 （3）解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 题型十三 几何图形角度计算 【典例1】已知：如图，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的定义，角的和差计算，首先求出，，然后由角平分线得到，进而求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为平分， 所以， 所以， 所以． 【典例2】如图，已知，平分，平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线，角的运算；根据角平分线的性质得到，，再结合，计算即可． 【详解】解：∵平分，， 所以． 因为平分，， 所以． 又因为， 所以． 【变式1】如图，已知射线分别是和的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角的有关计算和角平分线定义，能够求出是解此题的关键，求解过程类似． （1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论； （3）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：射线分别是和的平分线， ， ， ． （2）射线分别是和的平分线， ， ， ． （3）射线分别是和的平分线， ， ， ． 【变式2】已知直线与直线交于点O，过点O作． (1)如图1，为内的一条射线，若，求证：． (2)如图2，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，找准角度之间的和差关系，是解题的关键： （1）由垂直的定义得到，得到，进而推出，得到，即可证明； （2）平角的定义，求出，由垂直的定义得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】如图，，点C为内部一点，平分，平分． (1)如果，依题意补全图形； (2)在（1）的条件下，写出求∠EOC的度数的思路（不必写出完整的推理过程）； (3)如果，直接用含α的代数式表示的度数． 【答案】(1)见详解 (2)，见解析 (3)∠EOC＝ 【分析】本题考查了角平分线定义、角的和差关系及角度计算等知识点，解题的关键在于理解并应用角平分线将角分为两个相等部分的性质，通过逐步计算各相关角度，最终求得目标角度． （1）根据角度关系补全图形； （2）要明确通过角平分线和角的和差关系推导的思路； （3）则用含α的代数式表示，需分情况讨论角度大小以确定绝对值形式。 【详解】解：（1）如图所示， （2）① 利用与的度数差，求出：； ② 由平分，根据角平分线定义，得； ③ 计算：； ④ 由平分，根据角平分线定义，得； ⑤ 最后通过与的差求出：． （3）， , 平分， ； ； 平分， ； 如图，当在内部时，， 如图，当在外部时， ． 题型十四 角平分线有关计算 解｜题｜技｜巧 角平分线的相关计算，解决此类问题关键要会设未知数，将角平分线的角设出来，再用这个角去表示其他的角；如果出现多个角平分线的话，可以设两个未知数； 【典例1】如图，是的平分线，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，熟知各角之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．先求出的度数，然后根据角平分线定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴． 【典例2】如图，O为直线上一点，平分． (1)直接写出的余角是 ； (2)是的平分线吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的有关计算和定义，余角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由平分得到，再由即可得到的余角； （2）根据同角的余角相等得到即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的余角是， 故答案为：； （2）解：是，理由如下： 由（1）得，， ∴， ∴是的平分线． 【变式1】如图所示，为一条直线，是的平分线，在内，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，由角平分线的定义得，即可得，求出进而即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】如图，，射线在平面内． (1)若与互补，则 ； (2)射线在直线的上方时，射线的反向延长线与射线形成的夹角是α（），平分． ①若，求的度数为 ； ②是否存在α的值，使得与互余，若存在，求出α；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)①；②或 【分析】本题主要考查了余角、补角，角平分线，解题的关键是读懂题意，确定射线位置，分情况讨论解决问题． 对于（1），根据题意可知的位置有两种情况，分情况讨论计算 的值； 对于（2）①，读懂题意，确定 的位置，根据角平分线定义，角的和差，计算的度数； ②读懂题意，根据的两种位置，分情况计算α的值． 【详解】（1）解： 如图，∵与互补， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，∵与互补， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的值为或； 故答案为：或； （2）解：① ∵， ∴， ∴. ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； ②存在，理由如下： ∵与互余， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵与互余， ∴. ∵， ， ∴， ∴， ∴的值为或． 【变式3】如图，射线在的内部，，分别是，的平分线． (1)若，，则 度； (2)若的度数为，的度数为β，则是多少度？（用α，β表示） (3)请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)40 (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义和角度的和差倍分计算，根据图形得出角之间的关系是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求得及的度数，再由角之间的和差关系计算即可； （2）同（1）的方法，即可求解； （3）根据角平分线的定义表示出及，再由角之间的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，分别是，的平分线，且，， ∴，， ∴， 故答案为：40； （2）解：∵，分别是，的平分线，且，， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵射线在的内部，，分别是，的平分线， ∴， ∴． 题型十五 余角、补角有关计算 解｜题｜技｜巧 记住余角、补角的概念，做题时千万不能这一角的关系： 余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角． 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角． 【典例1】如图，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了余角和补角，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． 先根据已知条件求出，再根据和已知条件，求出，从而求出即可． 【详解】解：，， ∴， ， ， ， ，， ， ． 故选：B． 【典例2】将两块三角板（）的直角顶点O重合如图放置在桌面上，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（请将正确的结论序号填在横线上） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了与余角、补角有关的角度计算，正确运用角的和差计算是解题的关键． 根据角的和差关系，逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵不一定是的角平分线， ∴不一定等于，故②错误； ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①④． 故答案为：①④． 【变式1】如图所示，点在直线上，，． (1)图中除、外，还有哪个角是直角？为什么？ (2)图中哪两个锐角相等？为什么？ 【答案】(1)是直角，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了直角，平角，余角的性质，仔细看图找到角之间的关系是解题的关键． （1）根据直角的定义即可求解； （2）根据同角的余角相等即可求解； 【详解】（1）解：还有是直角；理由如下： ∵， ∴， ∴图中除外，还有是直角； （2）．理由如下： ∵，即； ，即． ∴． 【变式2】如图，O是直线上一点，在的内部，是的平分线 (1)若，求的度数． (2)若与互余，请说明是的平分线 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）由题意得到的度数，结合角平分线定义，得到结果； （2）由已知条件，得到，利用等角的余角相等，得到，即可证得结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的平分线， （2）解：∵与互余， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线． 【变式3】如图，与互为余角，且． (1)求； (2)若，平分，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得出，根据，得出，进而即可求解； （2）根据，得出，根据角平分线的定义得出． 【详解】（1）解： ∵与互为余角， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴． 【点睛】本题考查了余角补角相关的计算，角平分线的应用，几何图形中的角度计算，数形结合是解题的关键． 题型十六 平面图形的旋转 解｜题｜技｜巧 旋转的性质： 　　旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 旋转三要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 【典例1】如图，是我们平常所用的两把三角尺，将绕着点C沿逆时针（箭头方向）旋转一周．在旋转过程中，当是钝角时，旋转角度α的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查三角尺，图形的旋转，大于90度小于180度的角是钝角，分，，三种情况，分别判断即可． 【详解】解：由题意知，旋转前，，，， 当时，，是钝角； 当时，，是锐角； 当时，，是钝角； 故当是钝角时，旋转角度α的取值范围是或， 故选D． 【典例2】如图，将绕点A顺时针旋转一定角度得到，若线段，则的长等于 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由旋转的性质可直接进行求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：； 故答案为5． 【变式1】如图，将绕点A逆时针旋转至的位置，若，，则旋转角的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】由题意得，由旋转得，则，即可知旋转角的度数为 本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 【详解】解：由旋转得， ， ， ， 旋转角的度数为 故答案为：． 【变式2】定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．已知，把一块含有角的三角板如图1叠放，将三角板绕顶点O以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图2），射线构成内半角，则旋转时间为 秒． 【答案】5，45，135，175 【分析】本题主要考查的是新定义、角度计算等知识点，根据题意构建方程是解题的关键． 根据新定义角的内半角定义，分情况讨论三角板在运动过程中形成的内半角，得出时间t即可． 【详解】解：设t秒时，射线构成内半角，分情况讨论． 如图①：当 由旋转的性质可得：， ∴， ∵， ∴，解得：； 如图②：当, 由旋转的性质可得：， ∴，， ∵， ∴，解得：； 如图③：当, 由旋转的性质可得：， ∴，， ∵， ∴，解得：； 如图④：当, 由旋转的性质可得：， ∴， ∵， ∴，解得：． 综上，旋转时间为5，45，135，175． 故答案是：5，45，135，175． 【变式3】如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使得，将一个含有角的直角三角板的直角顶点放在点O处，使边在射线上，另一边在直线的下方，将图中的三角板绕点O按顺时针方向旋转． (1)在三角板旋转的过程中，当时，三角板旋转的角度为________； (2)当所在的射线恰好平分时，三角板旋转的角度为________； (3)若三角板绕点O按每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点O按每秒的速度顺时针旋转，当与射线重合时，同时停止运动，请计算三角板的直角边所在射线恰好平分时，三角板运动的时间． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】（1）根据，求出旋转角即可； （2）根据，利用补角性质求出，根据所在的射线恰好平分，得出，再求出旋转角即可； （3）设三角板运动的时间为t秒，当平分时，根据的一半与旋转角相等，列方程，当平分时，根据的一半与旋转角相等，列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵在射线上，三角板绕点О按顺时针方向旋转，， 旋转角， 三角板旋转的角度为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵所在的射线恰好平分， ∴， ∴旋转角， 故答案为：； （3）解：设三角板运动的时间为t秒，则，， 当平分时，，如图： ， 解得； 当平分时，，如图： ， 解得； 综上可知，三角板运动的时间为秒或秒． 【点睛】本题考查旋转的性质，补角的性质，角平分线定义，图形中的角度计算，一元一次方程的应用，熟练运用分类讨论思想是解题的关键． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·河北沧州·期中）如图，把一副三角板按图中所示位置叠放在上，则的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板的特点，正确得出是解题的关键．根据三角板的特点可得，结合选项即得答案． 【详解】解：由图可得，， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，，，E，F分别是，的中点，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D．8.5 【答案】B 【分析】根据已知条件可以求出，的长度，再根据中点的定义，可以求出，的值，再由即可求解． 本题考查的是线段和差定义，中点的性质，利用线段和差表示线段是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， 故选：B． 3．在正常情况下，射击时要保证瞄准的那只眼在由准星和缺口确定的直线上才能射中目标（如图），这样做的数学依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．三点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本事实：两点确定一条直线，充分理解这句话的意义是解决问题的关键． 【详解】解：由“两点确定一条直线”基本事实可知： 选项 A，C，D错误，不符合题意；选项B正确，符合题意， 故选：B 4．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，将绕点逆时针方向旋转得，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，理解图示，掌握旋转的性质，找出旋转角，确定角度关系是解题的关键． 根据旋转得到，由旋转的性质得到，由即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针方向旋转得， ∴，， ∴， 故选：B ． 5．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，一副直角三角板摆放在一起，射线平分，平分，则的度数为 ，的度数为 ．    【答案】 /120度 /45度 【分析】根据三角板的度数求出的度数，再根据角平分线的定义求出与的度数，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可知， ∴， ∵射线平分，平分， ∴，， ∴． 故答案为：，． 6．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则其补角是 ．（结果用度表示） 【答案】 【分析】本题考查了补角的定义和角的计算，注意角的度数进制是60进制．利用补角的含义列式计算即可. 【详解】解：，则的补角为 ， 故答案为：. 7．（24-25七年级上·河北保定·期中）下列四种实践方式：①木匠弹墨线；②打靶瞄准；③弯曲公路改直；④拉绳插秧．其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（填序号） ． 【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了直线的性质以及线段的性质，正确把握相关性质是解题关键．接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案． 【详解】解：①木匠弹墨线；②打靶瞄准；④拉绳插秧，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，③弯曲公路改直，利用的是“两点之间，线段最短”的知识． 故答案为：①②④． 8．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）一副三角板与如图摆放，，平分，平分，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了角的和差，角平分线，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 根据角平分线的定义分别表示出∠，再根据角之间的关系求出，即可求出的度数． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·河北沧州·期中）已知，点A、B、C在同一直线上，且，，点E、F分别是线段、的中点，求线段的长． 【答案】线段EF的长为或 【分析】本题考查线段中点的性质以及线段的和差计算，解题的关键是根据点相对于线段的不同位置进行分类讨论，再利用线段中点性质求出相关线段长度，进而得出EF的长度． 先根据线段中点性质求出和的长度，再分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，通过线段的和差关系计算的长度． 【详解】解：因为点E、F分别是线段、的中点，，， 所以，， ①当点C在线段AB上时，如图1， ； ②当点C在线段的延长线上时，如图2， ． 所以线段的长为或． 10．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，已知平面上的两点，． (1)作直线； (2)在（1）的基础上，用尺规在直线的上方找到一点C，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)在（1）、（2）的基础上，作射线，．用量角器测量出与的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了画直线，射线，线段，度量角度； （1）过作直线，即可求解； （2）分别以为圆心，的长为半径作圆，在的上方交于点，点即为所求； （3）作射线，，并用量角器测量出与的度数，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示， （3）解：用量角器测量出， 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25七年级下·河北保定·期中）一个角的余角是45度，则它的补角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个角的补角和余角，熟练掌握补角和余角的定义是关键．根据一个角的余角是45度求出这个角，再求这个角的补角即可． 【详解】解：一个角的余角是45度，则这个角为， 那么它的补角的度数是：． 故选：B． 12．（24-25七年级下·河北保定·期中）如图，若，，则的理由为（    ） A．同角的余角相等 B．对顶角相等 C．角平分线定义 D．同角的补角相等 【答案】A 【分析】本题考查了余角的性质，掌握同角的余角相等是解题的关键． 根据同角的余角相等即可求解． 【详解】∵，， ∴ ∴ ∴， ∴的理由为同角的余角相等． 故选：A． 13．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，在三角形中，，将三角形在平面内绕点A旋转到三角形的位置，若则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可求旋转角的度数． 【详解】解：∵将在平面内绕点A旋转到的位置， ∴旋转角的度数， 故选：D． 14．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，直线和相交于点O，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键． 根据得到，再由平角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 15．（24-25七年级上·河北沧州·期中）若，则的补角为 ． 【答案】 【分析】本题考查补角的概念以及度分秒的换算，解题的关键是明确补角的定义为两角之和为，并掌握度分秒之间的换算关系． 根据补角的定义，用减去的度数，在计算过程中注意度分秒的换算． 【详解】的补角为：， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图，点是直线上一点，射线，分别平分、．若，则 ． 【答案】/62度 【分析】本题考查了角平分线的意义，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据角平分线的定义得出，再根据角的和差得出，最后根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，点在线段上． （1）图中有 条线段，以为端点的线段有 条； （2）若是线段的中点，点在点的右侧，且，，则线段的长为 ． 【答案】 6 3 5 【分析】本题主要考查了线段的条数问题，与线段中点有关的线段和差计算； （1）根据两点确定一条线段找出所有线段；进而求出以A为端点的线段； （2）先由线段中点的定义得到，则，据此可得． 【详解】解：（1）图中的线段有共6条线段，其中以A为端点的线段有3条； 故答案为：6，3； （2）∵D是线段的中点，， ∴． ∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 18．（24-25七年级上·河北衡水·期中）如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线下方．将图中三角板绕点逆时针旋转，使得直线恰好平分，则 ． 【答案】或 【分析】根据题意，得，继而得到，分直线平分和直线恰好平分，两种情况解答即可． 本题考查了角的平分线的计算，角的和差计算，熟练掌握分类思想是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∴， 当直线平分时， 根据题意，得， ∴， ∴； 当直线恰好平分时， 根据题意，得， ∴； 故答案为：或． 19．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，点是线段上一点，分别是线段的中点，当时，求线段的长． (1)下面是小丽的解答过程，请你补充完整． 解：因为点分别是线段的中点，所以，_____． 所以__________________； (2)小丽进行题后反思，提出新的问题：如果点运动到线段的延长线上，的长是否会发生变化，并说明理由． 【答案】(1)，，， (2)没有发生变化，理由见解析 【分析】本题考查了线段的和差、与线段中点有关的计算． （1）由线段中点的定义可得①，②，再由计算即可得解； （2）由线段中点的定义可得，，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：因为点分别是线段的中点， 所以，． 所以；（即） 故答案为：，，，6； （2）解：没有发生变化．理由如下： 因为点分别是线段的中点， 所以，， 所以， 所以没有发生变化． 20．（24-25七年级上·河北唐山·期中）请把下列解答过程补充完整： 如图，已知与互余，，．求的度数． 解：因为与互余，所以______． 因为，所以______， 因为，所以______， 所以______，因为， 所以____________． 【答案】 【分析】本题考查了互余的定义，角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据互余得出，再根据角之间的关系进而求解即可． 【详解】解：因为与互余，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，因为， 所以， 故答案为：． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了度分秒的换算，掌握度分秒的换算是解题的关键． 本题考查了度分秒的换算，掌握，是解题的关键． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算正确，故此选项符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B 22．（24-25八年级上·河北张家口·期中）一个正五边形与一个正方形的边长正好相等，在它们相接的地方，有一个完整的“苹果”图案（如图）．如果让正方形沿着正五边形的四周滚动，并且始终保持正方形和正五边形有两条边相接，那么第一次恢复“苹果”的图形时，正方形要绕正五边形滚动的圈数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了图形的变化与正方形的性质．由正方形有4条边，根据旋转的性质，可得当正方形要绕五边形转4圈时，第一次恢复“苹果”的图形． 【详解】解：∵正方形有4条边，分别记作：1号，2号，3号，4号边，且当1号边与五边形重合时，出现“苹果”的图形， ∵当滚动一周后，是2号边与五边形的边重合，当滚动二周后，是3号边与五边形的边重合，当滚动三周后，是3号边与五边形的边重合，当滚动四周后，又是1号边与五边形的边重合， ∴要使第一次恢复“苹果”的图形时，正方形要绕五边形转4圈． 故选：B． 23．如图，是直线上一点，平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中结论正确的序号是（   ） A．①④ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，理解题意，弄清各角之间的关系是解题关键．根据余角的定义，角平分线的定义，角度之间的和差关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴与互为余角；故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故③正确； 当时，；故④正确； 无法得到，故②错误． 故选：B． 24．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离的应用，熟练掌握两点间的距离的应用是解题的关键； 设，则，分为两种情况：①当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段，②当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段，再根据各段绳子中最长的一段为列出方程，求出每个方程的解，代入求出即可．解此题的关键是能根据题意求出符合条件的两个方程进行求解． 【详解】解：设，则， ①当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段， 则绳子最长时，，解得：； 即绳子的原长是； ②当为对折点，则剪断后，有长度为，，， 则绳子最长时，，解得：； 即绳子的原长是； 这根绳子原来的长度为或， 故选：C 25．（24-25七年级上·河北保定·期中）已知和互补，且，则有下列式子：①；②；③；④；⑤．其中，表示的余角的式子有 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查余角和补角相关计算以及余角和补角的定义，熟练进行式子的变形是解题的关键． 根据余角和补角的定义，把式子进行变形即可确定答案． 【详解】解：∵和互补， ∴， ∴，． ①表示的余角，根据余角定义可知①正确； ②，所以②正确， ③=，故③错误， ④，故④正确， ⑤，故⑤错误； 故答案为：①②④． 26．（24-25七年级上·河北邢台·期中）一位同学利用如图所示的量角器、采用如图1所示的方法测量锐角的度数，其中量角器有两条刻度线分别在射线、上、则的度数为 ，另外一位同学用同样的方法，测量的余角的度数，如图2所示，已知射线所指示的度数为，则射线所指示的度数为 ． 【答案】 /50度 或 【分析】本题考查了量角器中的角度计算，互余等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 根据图1可得，射线所对的数字为、所对的数字为，即可求出的度数，从而得出的余角的度数，再根据射线所指示的度数为，即可求解． 【详解】解：根据图1可得，射线所对的数字为、所对的数字为， ∴， 则的余角的度数为， 根据图2可得，射线所指示的度数为， ∴射线所指示的度数为，射线所指示的度数为， 故答案为：或． 27．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，点在线段上，图中共有三条线段，和BC，若线段的长度是其中一条线段长度的倍，则称是线段 的“好点”． （1）线段的中点 这条线段的“好点”；（填“是”或“不是”） （2）若，是线段的“好点”，则的长为 ． 【答案】 不是； 或． 【分析】（）根据“好点”的定义即可求解； （）分，两种情况讨论，分别求解即可； 本题考查线段的和差倍分，能理清题意，并根据题意进行判断及能分情况讨论是解题的关键． 【详解】（）若是中点， 则， 不符合“好点”的定义， 故答案为：不是； （）当， ∴ ； 当， ∴ ； ∴， 故答案为：或． 28．（24-25七年级上·河北张家口·期中）如图，有公共端点C的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点D把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“折中点”． 若为线段中点，，，则的长为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差运算，线段中点，新定义折中点等知识，分两种情况：点D在线段上与点D在线段上，利用中点的意义及折中点的含义即可求解，分类讨论，结合图形利用线段的和差倍分关系是解题的关键． 【详解】解：当点D在线段上时， 则， ∴； ∵E为线段中点，， ∴， ∴； 当点D在线段上时，如图，      则， ∴； ∵E为线段中点，， ∴， ∴； 综上，的长为或； 故答案为：或． 29．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，分别在射线，上，且，．． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为______度； (2)继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，若，求的度数； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质、角之间的和差关系，读懂题意是解题的关键； （1）的度数就是旋转的角度； （2）先求出的度数，则可求解． 【详解】（1）解， 三角板旋转的角度为， 故答案为：； （2）解：，， ． ， ． 30．已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长． 【答案】(1)， (2)①6.5；②或． 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点以及倍数相关的计算．掌握线段和差的计算，利用数形结合思想是解题的关键． （1）观察图形可知，，由已知，可得出，即可求出的长，进而得出的长； （2）①根据题意，画出图形，同（1）方法求出，，，根据点E是的中点，可得出，由，再根据计算即可得出结果； ②根据题意，分两种情况，画出图形，（i）当点F在点C左侧时，（ii）当点F在点C的右侧时，利用线段的和差倍分计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，已知点C在上，． ∵，，， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：①如图所示． ∵，， ∴， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ②分两种情况： （i）如图1所示，当点F在点C右侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （ii）如图2所示，当点F在点C左侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 几何图形的初步认识（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 常见几何体 根据几何体的概念辨别几何图形 常出现在小题中 直线、射线、线段 能区分直线、射线、线段，会画直线、射线和线段； 出现在小题，画图题则会出现在解答题 线段长短的比较 会比较线段的长短 常出现在小题中 两点间的距离 掌握两点之间距离的求解 一般会让求两点之间的距离 线段的和与差 会计算线段的和与差，会用未知数表示线段 重点考查，一般在解答题中 线段中点的有关计算 掌握线段的中点公式，会根据中点概念计算长度 重点考查，一般出现在解答题 角的概念与表示 掌握角的基本概念和表示方法 出现在小题，考查内容简单 角的单位 牢记角的单位度、分、秒 小题考查，单位换算 尺规作角 会利用直尺圆规画角 一般出现在解答题中 角的四则运算 能进行角的四则运算 一般在解答题中出现 角平分线 会利用角平分线的概念解决角度问题 重点考查，一般在解答题中出现 余角 牢记互余的角和为90° 核心内容，和其他知识点一起考查 补角 牢记互补的角和为180° 核心内容，和其他知识点一起考查 平面图形的旋转 掌握旋转的要素和性质 常出现在解答题中 知识点01 丰富的图形世界 简单几何体的分类： 点、线、面、体 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的，面有平面，曲面；线有直线，曲线；面与面相交构成线，线与线相交构成点，点动成线、线动成面、面动成体，常见的一些面动成体的实例如下： 知识点02 图形的运动 翻折(轴对称)，旋转，平移是图形变换的三种基本方式，这三种变换只改变原图形的位置，不改变原图形的形状和大小． 知识点03 图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． 关于长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： 知识点04 三视图 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 知识点05 线段、射线、直线相关概念 正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别： 名称 图形 表示方法 端点 长度 直线 直线AB(或BA) 直线l 无端点 无法度量 射线 射线OM 1个 无法度量 线段 线段AB(或BA) 线段l 2个 可度量长度 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。（两点确定一条直线）. 知识点06 线段的和差 1、线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 2、线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 知识点07 角的表示 角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° 角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位， 1）把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记为1°； 2）把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记为1″； 3）把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，记为1′. 角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″， 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180° 角的换算方法： 1）由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″； 2）由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）：，. 知识点08 余角、补角 余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角． 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角． 　　1．互余、互补是指两个角之间的一种关系． 　　2．互余、互补是指数量关系，与两个角的位置没有关系． 余角补角 （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 知识点09 方位角 以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 知识点10 旋转的概念 1. 旋转的定义： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． 2.旋转的三点注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 3.旋转的性质： 　　旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 4.旋转三要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 题型一 常见的几何体 【典例1】下列物体中，可以抽象为圆锥的是（   ） A．   B．   C．   D．   【典例2】下列说法不正确的是（   ） A．五棱柱有5个面、5条棱 B．圆锥的底面是圆 C．棱柱的上下底面是完全相同的图形 D．长方体与正方体都有六个面 【变式1】下列几何体的性质：①侧面是平行四边形；②上、下底面形状相同；③上、下底面平行；④棱长相等，是棱柱的性质的有 ．（填写序号） 【变式2】“十一黄金周”期间，小明和小亮相约去茂名森林公园游玩，中途两人口渴了，于是小明提议通过在地面旋转硬币的方法决定谁去买水，在旋转硬币时小明发现：当硬币在地面某位置快速旋转时，形成了一个几何体，请问这个几何体是 ． 【变式3】观察如图所示的8个几何体． (1)按序号写出各自几何体的名称： ； ；   ； ； (2)在以上几何体中，是柱体的有 ；含曲面的有 （填序号）． 题型二 几何体中的点、棱、面 解｜题｜技｜巧 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的，面有平面，曲面；线有直线，曲线；面与面相交构成线，线与线相交构成点，点动成线、线动成面、面动成体 【典例1】若一个棱柱有条棱，则它的底面一定是（  ） A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十二边形 【典例2】下列说法错误的是（    ） A．棱柱的侧面都是长方形 B．正方体所有棱长都相等 C．棱柱的侧面可能是平行四边形 D．棱柱的上、下底面形状相同 【变式1】若一个棱柱有14个顶点，每条侧棱长为，则所有侧棱长的和为 ． 【变式2】如图所示的几何体由 个面围成，面与面相交成 条线，其中直线有 条，曲线有 条． 【变式3】如图，观察下列几何体并回答问题： (1)n棱柱有__________个面、__________条棱、__________个顶点，n棱锥有__________个面、__________条棱、__________个顶点； (2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人归纳总结发现，多面体的面数F、顶点个数V以及棱的条数E之间存在着一定的数量关系． ①继续观察如图所示多面体，并把表格填写完整： 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E） 图① 图② 图③ ②分析表格中的数据，你能发现F、V、E三者之间有何关系 ． 题型三 平面图形旋转后的立体图形 解｜题｜技｜巧 解决此类题型需要学生充分展现自己的想象力，学会画出旋转后的立体图形； 【典例1】如图的图形绕虚线旋转一周，可以得到的几何体是（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图所示，在长方形中，．现绕这个长方形的一边所在直线旋转一周得到的几何体的体积为 ．（结果保留） 【变式1】如图所示，在直角三角形中，以其中一条直角边所在的直线为轴旋转一周，得到几何体的体积为 ．（结果保留） 【变式2】如图，有一个长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转，可按两种方案进行操作．    方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①． 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②． 请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大．（结果保留） 【变式3】如图，这是一张长方形纸片，的长为，的长为． (1)若将此长方形纸片绕它的一边所在的直线旋转一周，则形成的几何体是________． (2)若将这个长方形纸片绕边所在的直线旋转一周，求形成的几何体的体积（结果保留） 题型四 线段、射线、直线联系与区别 解｜题｜技｜巧 记住，线段有两个端点，可测量出长度；射线只有一个端点，长度不可测量；直线没有端点，长度不可测量； 注意：射线与直线的长短无法比较； 【典例1】观察图形，下列说法正确的个数是（   ） （1）直线和直线是同一条直线；（2）射线和射线是同一条射线；（3）线段和线段是同一条线段． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【典例2】如图，下列说法错误的是（    ）． A．图中共有2条线段 B．直线与直线表示的是同一条直线 C．射线与射线表示的是同一条射线 D．线段与线段表示的是同一条线段 【变式1】直线AB，BC，CA的位置关系如图所示，下列语句：①点A在直线BC上；②直线BC经过点B；③直线AC，BC交于点C；④点C在直线AB外；⑤图中共有12条射线．以上表述正确的有 ．（只填写序号） 【变式2】如图所示，已知线段，根据下列提示画图： (1)延长线段到点，使，在线段外有一点，画直线，射线，射线． (2)在（1）所画的图形中，共有几条线段？把它们分别表示出来． 【变式3】读下列语句，画出图形，并回答问题． (1)直线经过，，三点，且点在，两点之间，点是直线外一点，画直线，射线，连接； (2)在（1）的图形中，能用已知字母表示的直线、射线、线段各有几条？写出这些直线、射线、线段． 题型五 线段、射线、直线的数量、交点问题 解｜题｜技｜巧 直线两两相交，交点的个数为 【典例1】如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的个点表示个车站．在这段路线上往返行车（　　）种车票． A．20 B．11 C．12 D．13 【典例2】若两条相交直线与第三条直线（不与相交直线中的任何一条重合）在同一平面，则它们的交点个数是（    ） A．1 B．2 C．3或2 D．1或2或3 【变式1】在同一平面内有不重合的四个点，且这四个点不都在同一条直线上，经过这四个点中的任意两点画直线，则一共可以画 条直线． 【变式2】一平面内共有10条直线，它们之间的位置关系未知，这10条直线最多有 个交点． 【变式3】点A、B、C、D、E是圆上的5个点，在这些点之间连接线段，规则如下：如图，已连接线段，、，． (1)若想增加一条新的线段，共有 种连线方式； (2)至多可以同时增加 条线段，并说明连接方案． 题型六 线段长短的比较 解｜题｜技｜巧 比较线段的长短时，注意单位要统一，数字大的线段长； 【典例1】如图示，从A地去往C地有4条路线，景元同学发现路线③最快，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A．经过一点有无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离 【典例2】如图所示，某同学的家在处，书店在处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列三个生活生产现象中，可依据“两点之间，线段最短”进行解释的现象有 （填序号）： ①用两个钉子，就可以把一根木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线； ③把弯曲的公路改直，能缩短路程． 【变式2】如果A，B，C在同一条直线上，线段，，则A，C两点间的距离是 ． 【变式3】如图，已知四个点A，B，C，D，按下列要求画图． (1)画直线； (2)画射线，交直线于点； (3)在线段上找一点P，使得最小，其依据是__________________． 题型七 线段的和与差 解｜题｜技｜巧 线段的和与差计算是常考题，关键在于理解线段的和与差概念，如何表示线段的和与差；同时可以利用未知数表示线段的和与差，根据等量关系列出式子，最后算出结果； 【典例1】如图，线段，延长到，若，则、两点之间的距离为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【典例2】已知A、B、C三点在同一条直线上，如果线段，，那么A、C两点间的距离为（  ） A． B． C．或 D．不能确定 【变式1】如图，点为线段上的一点，，、两点分别为、的中点，若线段为，则的长为 ． 【变式2】如图，点B是线段上一点，点D是线段延长线上一点，点B是线段的中点．若，则线段的长为 ． 【变式3】如图，已知C为线段中点，点D在线段上，且，若，求的长． 题型八 线段中点的有关计算 解｜题｜技｜巧 记住线段的中点公式：; 【典例1】如图，已知，是线段上任意两点，是的中点，是的中点．若，，则线段的长是（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20或10 C．10 D．20或4 【变式1】如图，已知线段上有两点C、D，且，M、N分别是线段的中点，若，则线段的长为 ． 【变式2】已知线段，延长至点C，使，D是线段的中点，如果，那么的长为 ． 【变式3】如图，已知线段，，点M是的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上取一点N，使得，求线段的长． 题型九 线段之间的数量关系 解｜题｜技｜巧 解决此类问题时可以先明确好答案，一般线段的数量关系常见的有加法关系、倍数关系和两者的结合等； 【典例1】如图，线段为线段的中点，下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图，C是的中点，是的中点，下列等式中，错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知线段，延长至点，使，是线段的中点． (1)若，则求的长； (2)试探究线段、间的数量关系，并说明理由． 【变式2】如图，已知线段，在线段上确定两点，使得，分别是线段的中点． (1)试分析线段的数量关系； (2)求线段的长度． 【变式3】已知点，，，，为直线上的点，且 ，，为的中点． (1)如图①，若，则为多少？ 若 ，则与的数量关系是什么？ (2)当点沿直线向左运动至图②的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 题型十 角的相关概念 解｜题｜技｜巧 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．角是由一条线段绕着它的一个端点旋转而形成的图形 B．角的大小和角的开口大小无关 C．由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角 D．角的两边越长，角就越大 【典例2】如图，AOE是一条直线，图中的角共有（    ） A．4个 B．8个 C．9个 D．10个 【变式1】图中以为边的角有几个？请把它们表示出来． 【变式2】（1）把化成用度表示的角； （2）把化成用度、分、秒表示的角． 【变式3】如图，点在的边上，是内部的一条射线． (1)在射线上取一点，使得（尺规作图）； (2)在射线上确定一点，使得最小； (3)写出你完成（2）的作图依据：_____； (4)若，则______． 题型十一 角的四则运算 解｜题｜技｜巧 角的计算也是可以直接进行加减乘除计算的，但要注意换算； 角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″， 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180° 角的换算方法： 1）由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″； 2）由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）：，. 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例2】计算：． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十二 三角板中角度计算问题 【典例1】已知两个分别含有角的一副直角三角板，如图被叠放在一起，使，求的度数． 【典例2】（1）如图1，将两块不同的三角尺（）的直角顶点叠放在一起． ①若，则　 　；若，则　 　． ②猜想与有何数量关系，并说明理由． （2）如图2，若两个相同的三角尺的角的顶点重合在一起，则与有何数量关系，请说明理由． 【变式1】如图，将两个直角三角形的直角顶点叠放在一起，其中． (1)若，则_____； 若，则_____． (2)写出与的大小关系，并说明理由． 【变式2】如图1所示，将一副三角板重叠放在一起，使直角的顶点重合于点O． (1)请从图1中找出以点O为顶点且相等的两个角（小于180°的角），并说明相等依据；（找出一对即可） (2)如图1，若．试求的度数； (3)如图1，当三角板绕点O适当旋转（保持两三角板有重合部分）时，与之间具有什么样的数量关系？请直接写出答案； (4)当三角板绕点O适当旋转（保持两三角板无重合部分）时，如图2所示，那么与之间又有什么样的数量关系？请直接写出答案． 【变式3】操作：在一张白纸上画一条直线，把一块直角三角板的直角顶点放在直线上． (1)如图（1），当点都在直线上方时，试判断与的度数之和是多少，并说明理由； (2)如图（2），把直角三角板绕点C旋转，使点A在直线的下方，点仍在直线的上方，用测量或分析的方法完成下表，并判断与的数量关系．结论：______； 的度数 的度数 与的差 (3)如图（3），继续把直角三角板绕点C旋转，使点A和点B都在直线的下方，你发现与又有什么样的数量关系呢？请直接写出结论：______． 题型十三 几何图形角度计算 【典例1】已知：如图，平分，，，求的度数． 【典例2】如图，已知，平分，平分，求的度数． 【变式1】如图，已知射线分别是和的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，直接写出的度数． 【变式2】已知直线与直线交于点O，过点O作． (1)如图1，为内的一条射线，若，求证：． (2)如图2，若，求的度数． 【变式3】如图，，点C为内部一点，平分，平分． (1)如果，依题意补全图形； (2)在（1）的条件下，写出求∠EOC的度数的思路（不必写出完整的推理过程）； (3)如果，直接用含α的代数式表示的度数． 题型十四 角平分线有关计算 解｜题｜技｜巧 角平分线的相关计算，解决此类问题关键要会设未知数，将角平分线的角设出来，再用这个角去表示其他的角；如果出现多个角平分线的话，可以设两个未知数； 【典例1】如图，是的平分线，，若，求的度数． 【典例2】如图，O为直线上一点，平分． (1)直接写出的余角是 ； (2)是的平分线吗？请说明理由． 【变式1】如图所示，为一条直线，是的平分线，在内，，，求的度数． 【变式2】如图，，射线在平面内． (1)若与互补，则 ； (2)射线在直线的上方时，射线的反向延长线与射线形成的夹角是α（），平分． ①若，求的度数为 ； ②是否存在α的值，使得与互余，若存在，求出α；若不存在，请说明理由． 【变式3】如图，射线在的内部，，分别是，的平分线． (1)若，，则 度； (2)若的度数为，的度数为β，则是多少度？（用α，β表示） (3)请写出与的数量关系，并说明理由． 题型十五 余角、补角有关计算 解｜题｜技｜巧 记住余角、补角的概念，做题时千万不能这一角的关系： 余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角． 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角． 【典例1】如图，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【典例2】将两块三角板（）的直角顶点O重合如图放置在桌面上，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（请将正确的结论序号填在横线上） 【变式1】如图所示，点在直线上，，． (1)图中除、外，还有哪个角是直角？为什么？ (2)图中哪两个锐角相等？为什么？ 【变式2】如图，O是直线上一点，在的内部，是的平分线 (1)若，求的度数． (2)若与互余，请说明是的平分线 【变式3】如图，与互为余角，且． (1)求； (2)若，平分，求． 题型十六 平面图形的旋转 解｜题｜技｜巧 旋转的性质： 　　旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 旋转三要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 【典例1】如图，是我们平常所用的两把三角尺，将绕着点C沿逆时针（箭头方向）旋转一周．在旋转过程中，当是钝角时，旋转角度α的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【典例2】如图，将绕点A顺时针旋转一定角度得到，若线段，则的长等于 ． 【变式1】如图，将绕点A逆时针旋转至的位置，若，，则旋转角的度数为 ． 【变式2】定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．已知，把一块含有角的三角板如图1叠放，将三角板绕顶点O以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图2），射线构成内半角，则旋转时间为 秒． 【变式3】如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使得，将一个含有角的直角三角板的直角顶点放在点O处，使边在射线上，另一边在直线的下方，将图中的三角板绕点O按顺时针方向旋转． (1)在三角板旋转的过程中，当时，三角板旋转的角度为________； (2)当所在的射线恰好平分时，三角板旋转的角度为________； (3)若三角板绕点O按每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点O按每秒的速度顺时针旋转，当与射线重合时，同时停止运动，请计算三角板的直角边所在射线恰好平分时，三角板运动的时间． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·河北沧州·期中）如图，把一副三角板按图中所示位置叠放在上，则的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，，，E，F分别是，的中点，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D．8.5 3．在正常情况下，射击时要保证瞄准的那只眼在由准星和缺口确定的直线上才能射中目标（如图），这样做的数学依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．三点确定一条直线 D．垂线段最短 4．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，将绕点逆时针方向旋转得，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，一副直角三角板摆放在一起，射线平分，平分，则的度数为 ，的度数为 ．    6．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则其补角是 ．（结果用度表示） 7．（24-25七年级上·河北保定·期中）下列四种实践方式：①木匠弹墨线；②打靶瞄准；③弯曲公路改直；④拉绳插秧．其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（填序号） ． 8．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）一副三角板与如图摆放，，平分，平分，则的度数为 ． 9．（24-25七年级上·河北沧州·期中）已知，点A、B、C在同一直线上，且，，点E、F分别是线段、的中点，求线段的长． 10．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，已知平面上的两点，． (1)作直线； (2)在（1）的基础上，用尺规在直线的上方找到一点C，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)在（1）、（2）的基础上，作射线，．用量角器测量出与的度数． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25七年级下·河北保定·期中）一个角的余角是45度，则它的补角的度数是（　　） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·河北保定·期中）如图，若，，则的理由为（    ） A．同角的余角相等 B．对顶角相等 C．角平分线定义 D．同角的补角相等 13．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，在三角形中，，将三角形在平面内绕点A旋转到三角形的位置，若则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，直线和相交于点O，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级上·河北沧州·期中）若，则的补角为 ． 16．（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图，点是直线上一点，射线，分别平分、．若，则 ． 17．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，点在线段上． （1）图中有 条线段，以为端点的线段有 条； （2）若是线段的中点，点在点的右侧，且，，则线段的长为 ． 18．（24-25七年级上·河北衡水·期中）如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线下方．将图中三角板绕点逆时针旋转，使得直线恰好平分，则 ． 19．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，点是线段上一点，分别是线段的中点，当时，求线段的长． (1)下面是小丽的解答过程，请你补充完整． 解：因为点分别是线段的中点，所以，_____． 所以__________________； (2)小丽进行题后反思，提出新的问题：如果点运动到线段的延长线上，的长是否会发生变化，并说明理由． 20．（24-25七年级上·河北唐山·期中）请把下列解答过程补充完整： 如图，已知与互余，，．求的度数． 解：因为与互余，所以______． 因为，所以______， 因为，所以______， 所以______，因为， 所以____________． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·河北张家口·期中）一个正五边形与一个正方形的边长正好相等，在它们相接的地方，有一个完整的“苹果”图案（如图）．如果让正方形沿着正五边形的四周滚动，并且始终保持正方形和正五边形有两条边相接，那么第一次恢复“苹果”的图形时，正方形要绕正五边形滚动的圈数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 23．如图，是直线上一点，平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中结论正确的序号是（   ） A．①④ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 24．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（   ） A． B． C．或 D．或 25．（24-25七年级上·河北保定·期中）已知和互补，且，则有下列式子：①；②；③；④；⑤．其中，表示的余角的式子有 （填序号）． 26．（24-25七年级上·河北邢台·期中）一位同学利用如图所示的量角器、采用如图1所示的方法测量锐角的度数，其中量角器有两条刻度线分别在射线、上、则的度数为 ，另外一位同学用同样的方法，测量的余角的度数，如图2所示，已知射线所指示的度数为，则射线所指示的度数为 ． 27．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，点在线段上，图中共有三条线段，和BC，若线段的长度是其中一条线段长度的倍，则称是线段 的“好点”． （1）线段的中点 这条线段的“好点”；（填“是”或“不是”） （2）若，是线段的“好点”，则的长为 ． 28．（24-25七年级上·河北张家口·期中）如图，有公共端点C的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点D把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“折中点”． 若为线段中点，，，则的长为 ．    29．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，分别在射线，上，且，．． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为______度； (2)继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，若，求的度数； 30．已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $