专题06 与角（动角）有关的几何问题10大题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材冀教版

专题06 与角（动角）有关的几何问题 题型1 角的单位与角度制 题型6 实际问题中角度计算问题 题型2 角的四则运算（常考点） 题型7 角平分线的有关计算（重点） 题型3 角的大小比较 题型8 角n等分线的有关计算 题型4 三角板中角度计算问题（重点） 题型9 与余角、补角有关的计算（常考点） 题型5 几何图形中角度计算问题（重点） 题型10 角的旋转问题（动角）（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 角的单位与角度制（共4小题） 1．用度、分、秒表示为（　　） A． B． C． D． 2． ； 3．计算： (1)把化为度、分、秒的形式． (2)把化成度的形式． 4．计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 题型二 角的四则运算（共4小题） 5．计算． (1)； (2)． 6．计算： (1)； (2) 7．计算 (1) (2) 8．计算： (1)； (2)． 题型三 角的大小比较（共4小题） 9．若，则下面说法正确的是（　　） A． B． C． D．互不相等 10．若，，，则（    ） A． B． C． D． 11．比较大小：，则 ．（填“”“”或“”） 12．如图，点是射线外一点．按下列语句画图并回答问题： (1)画射线； (2)在射线上截取； (3)连接； (4)根据图形可得： （用“”，“”或“”填空）； (5)与的大小关系是： （用“”，“”或“”填空） 题型四 三角板中角度计算问题（共4小题） 13．如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)若，则 ； (2)若，则 ； (3)若，求的度数． 14．如图，将一副直角三角尺的顶点叠在一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线 (1)求的度数； (2)如图2，若保持三角尺不动，三角尺绕点O逆时针旋转（且）时，其他条件不变，求的度数； (3)直接写出绕点O逆时针旋转（且）时的值； (4)在旋转的过程中，当时，直接写出的值． 15．如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角板（）的直角顶点放在点处，且直角三角板在直线的上方．设． (1)当时，求的大小； (2)当恰好平分时，求的值； (3)当时，嘉嘉认为与的差为定值，淇淇认为与的和为定值，老师说，两人的说法都正确，但是需要对分别附加条件．请你补充完整下面的信息： 当时，__________； 当时，__________． 16．如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边在射线上，另一直角边在直线的下方， (1)将图①中三角板绕点O逆时针方向旋转至图②，使边在内部，且恰好平分，求大小； (2)将图①中的三角板绕点O逆时针方向旋转至图③． ①如果恰好是的角平分线，则的度数为______； ②如果始终在的内部，的度数不会变化，请猜测出的度数并说明理由． 题型五 几何图形中角度计算问题（共4小题） 17．如图所示，，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)如果，那么等于多少？ (3)如果，那么等于多少呢？ 18．如图①，已知线段，点为上的一个动点，点，分别是和的中点． (1)若点恰好是中点，则的长是多少？（直接写出结果） (2)若，求的长． (3)试说明不论取何值（不超过），的长不变． (4)知识迁移：如图②，已知，过角的内部任一点画射线，若，分别平分和，试求出的大小，并说明的大小与射线的位置是否有关？ 19．已知是内部的一条射线，M，N分别是边、上的点，线段、分别以、的速度同时绕点逆时针旋转． (1)如图①，若，当、逆时针旋转时，分别到、处，求的值； (2)如图②，若、分别在内部旋转时，总有，求的值； (3)如图③，C是线段上的一点，点M 从点A 出发沿线段向点C 运动，同时点N 从点C 出发沿线段向点 B 运动，M，N两点的速度比是．若在运动过程中始终有，求的值． 20．综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段 在线段上运动，E，F 分别是 ，的中点． 【知识探究】 （1）若，则 ； （2）当线段在线段上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请 求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和， ①若，则 ． ②试判断的大小是否发生变化？如果不变，请确定的大小，如果变化，请说明理由． 题型六 实际问题中角度计算问题（共4小题） 21．游乐园的摩天轮深受学生们的喜爱，如图1是某游乐园的摩天轮的结构图，16个座舱均匀分布在圆形转轮边缘，摩天轮以固定的速度绕中心逆时针方向转动，转一周需要30分钟．如图2是摩天轮的主视图，座舱与圆形转轮边缘的连接点按顺时针依次标注为表示的是摩天轮的支架，且． (1)摩天轮每分钟转动____________°，____________°； (2)如图2，在某一时刻，连接点转动到的内部，此时． ①求此时的的度数； ②求当第一次平分时，摩天轮的转动时间以及此时的度数； ③设摩天轮转动的时间为t，在连接点到达到最高处前，是否存在的时刻？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 22．如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 23．如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为 24．已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 题型七 角平分线的有关计算（共4小题） 25．如图，两个直角共顶点，下列结论：①；②；③若平分，则平分；④的平分线与的平分线是同一条射线．其中不正确的个数有（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 26．如图，将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分，，将三角板绕点O旋转（旋转过程中与均大于且小于）一周，的度数为 （用含的代数式表示）． 27．现有纸板三角形，其中，点在直线上，过点作一条射线，使， (1)当纸板的位置如图①所示，恰好平分，求的度数； (2)当纸板的位置如图②所示，作射线、分别平分和，请直接写出的度数为___________； (3)若纸板旋转到时，求的度数． 28．如图：两个特殊三角板和三角板，， ，O为直角顶点，两直角顶点重合，A，O，D在同一直线上，，重合，平分，平分． (1)求的度数； (2)若三角板与三角板位置如图（2）所示，满足，求的度数； (3)在图（1）的情形下，三角板固定不动，若三角板绕着O点旋转（旋转角度小于），，直接写出的度数（用含的式子表示）． 题型八 角n等分线的有关计算（共4小题） 29．已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 30．定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为 ． 31．阅读理解：已知一个锐角，从这个角的顶点出发，在角的外部作一条射线，分别与这个角的两边组成两个角，若这两个角互为余角，则称该射线为“外邻余线”，例如，如图，已知，射线在外部，射线分别与的两边所组成的两个角是和，若和互为余角，则称射线是的“外邻余线”． (1)如图，已知是的“外邻余线”．求的度数． (2)如图，已知是的“外邻余线”，是的“外邻余线”，且，试判断是否为的三等分线？并说明理由． (3)如图，已知点在同一条直线上，平分平分和分别是和的“外邻余线”，求的度数（用含的式子表示）． 32．定义：在同一平面内有，，三条射线．若分别与，形成的角的度数成2倍关系，即或，则称射线是的“倍距线”．如图①，若，，满足，则是的一条“倍距线”． (1)若，是的一条“倍距线”，则的度数为______°．（写出一个答案即可） (2)如图②，点O在直线上，，． ①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒（，当t为何值时，是的“倍距线”？ ②如图③，将一直角三角板一个顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒，若是的“倍距线”，则______． 题型九 与余角、补角有关的计算（共4小题） 33．已知，直线相交于点O，，是的平分线． (1)如图1所示，求的度数； (2)如图2所示，作的平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，请你过点O作射线，使得为的余角的2倍，求的度数． 34．探究三角尺中的学问： 已知点C为直线上一点，，． (1)如图1，若，图中与互余的角有_________． (2)如图2，已知射线是的平分线，且．求的度数． (3)如图3，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，使三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放．当，直接写出此时三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数． 35．根据以下素材，探索完成任务． 探究三角尺中的学问 素材1 已知点C为直线上一点，，． 素材2 如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，按三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放． 问题解决 任务1 问题1：如图1，若，图中哪些角与互余？ 任务2 问题2：如图2，已知射线是的平分线，且，求的度数； 任务3 问题3：探究当，求三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数，请直接写出探究结论，不必写出探究过程． 36．一副三角尺（分别含和）按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为s． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是_____度； (2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转． ①当为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 题型十 角的旋转问题（动角）（共5小题） 37．【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，； 在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点C转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 38．如图1，点为直线上一点，过点作射线、、．始终在的右侧，，．       (1)如图1，当．平分时，求的度数： (2)如图2、当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转、使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒： (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 39．已知是直线上的一点，是直角． (1)如图，若平分，当时，求的度数； (2)如图，平分，平分，求的度数； (3)如图，若，此时的边与重合，当绕点逆时针方向旋转，旋转过程中始终平分，请求出与之间的数量关系． 40．将一副三角板按如图1所示摆放，点A，C，O在直线上，现将三角板进行下面的操作． 操作一：保持三角板位置不动，将三角板绕点顺时针旋转（如图2，图3），当三角板的边第一次与直线重合为止． 思考并回答下列问题： （1）当_____时，是的一条三等分线． （2）如图2，当，位于直线的两侧时，与的数量关系是_____． （3）如图3，当，位于直线的同侧时，（2）中结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由． 操作二：在三角板绕点顺时针开始旋转的同时，另一个三角板也绕点顺时针旋转，当三角板的边第一次与直线重合时，两三角板同时停止旋转． （4）若在旋转过程中，始终是的2倍，请直接写出与的数量关系． 41．如图1，将两块直角三角板（一块含有、角，另一块含角）摆放在直线上，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转．当第一次与射线重合时三角板停止转动，设旋转时间为秒． (1)当秒时，___________，___________，___________； (2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动． ①射线和射线重合前，当时，求出相应的的值； ②整个旋转过程中，当满足时，直接写出相应的的值___________． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题06 与角（动角）有关的几何问题 题型1 角的单位与角度制 题型6 实际问题中角度计算问题 题型2 角的四则运算（常考点） 题型7 角平分线的有关计算（重点） 题型3 角的大小比较 题型8 角n等分线的有关计算 题型4 三角板中角度计算问题（重点） 题型9 与余角、补角有关的计算（常考点） 题型5 几何图形中角度计算问题（重点） 题型10 角的旋转问题（动角）（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 角的单位与角度制（共4小题） 1．用度、分、秒表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了度、分、秒间的换算，注意相邻两个单位间的进率是． 根据度、分、秒之间的换算关系进行计算即可． 【详解】解：，， ， 故选：A． 2． ； 【答案】 35 9 0 12.26 【分析】根据度分秒的进制，根据，进行计算即可解答． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：35，9，0，12.26． 3．计算： (1)把化为度、分、秒的形式． (2)把化成度的形式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角度的换算，回忆度、分、秒之间的换算关系，解题时要熟练掌握它们之间的换算关系并灵活运用． （1）根据度、分、秒之间的换算关系换算即可； （2）根据度、分、秒之间的换算关系换算即可． 【详解】（1）解：根据得：， 根据得：， 所以； （2）因为，， 所以． 4．计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据度分秒的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【点睛】本题主要考查了度分秒的计算，掌握度分秒的运算法则是解答本题的关键． 题型二 角的四则运算（共4小题） 5．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了度分秒的计算． （1）按照度与度，分与分，秒与秒相加，根据度分秒之间的换算进制，把满60的单位向它前面的单位进1，进行计算即可； （2）按照度与度，分与分，秒与秒相加减，根据度分秒之间的换算进制，把满60的单位向它前面的单位进1，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 6．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查以度、分、秒为单位的角的度量；掌握度、分、秒是60进制是解题关键． （1）根据，计算求值； （2）先算乘法，再根据，计算求值 【详解】（1）解： ； （2）解： 7．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角度的运算，掌握角度是60进制和相关运算法则是解题的关键． （1）根据角度是60进制和角度的加减运算求解即可． （2）根据角度是60进制和角度的乘法运算求解即可． 【详解】（1） （2） 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是考查了角度制中的度分秒计算，解题关键是掌握度分秒是六十进制． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）两个度数相减时，度与度，分与分对应相减，应先算最后一位，后面的位上的数不够减时向前一位借数； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型三 角的大小比较（共4小题） 9．若，则下面说法正确的是（　　） A． B． C． D．互不相等 【答案】C 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算规则是解题的关键．将进行换算，即可得到答案． 【详解】解：， 故， 故选C． 10．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先∠1、∠2已经是度、分、秒的形式，故将∠3化为度、分、秒的形式；再根据三个角的度数进行大小比较，即可得到结论． 【详解】∵，，=25°， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握同一角的单位比较角的大小并灵活运用是解决本题的关键． 11．比较大小：，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算以及大小比较，注意，，先统一单位，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴． 故答案为：． 12．如图，点是射线外一点．按下列语句画图并回答问题： (1)画射线； (2)在射线上截取； (3)连接； (4)根据图形可得： （用“”，“”或“”填空）； (5)与的大小关系是： （用“”，“”或“”填空） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 (4) (5) 【分析】本题考查作图—复杂作图，直线，射线，线段，角的大小比较， （1）根据射线的定义画出图形； （2）根据线段的定义画出图形； （3）根据线段的定义画出图形； （4）根据两点之间线段最短判断即可； （5）利用度量法判断即可； 解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． 【详解】（1）解：如图，射线即为所作； （2）如图，线段即为所作； （3）如图，线段即为所作； （4）， 故答案为：； （5）如图，， 故答案为：． 题型四 三角板中角度计算问题（共4小题） 13．如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)若，则 ； (2)若，则 ； (3)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了角的运算． （1）根据和，可以求出，再根据即可求出结果； （2）根据和，即可求出，再根据，即可求出的度数； （3）设，，又因为，即可得到：，因为，即可得到，解方程求出的值，即可得到的度数． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， 设，， 由题意得，， ， ， ， 解得：， ． 14．如图，将一副直角三角尺的顶点叠在一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线 (1)求的度数； (2)如图2，若保持三角尺不动，三角尺绕点O逆时针旋转（且）时，其他条件不变，求的度数； (3)直接写出绕点O逆时针旋转（且）时的值； (4)在旋转的过程中，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或． 【分析】此题考查了角平分线的定义、角的和差等知识． （1）根据角平分线的定义得到，即可得到答案； （2）根据角平分线的定义得到，，即可求出答案； （3）根据角平分线的定义即可求出答案； （4）分两种情况求出答案即可． 【详解】（1）解：∵，，射线、分别是、的角平分线， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵射线、分别是、的角平分线， ∴，， ∴； （3）解：当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，， ∴， ∴， 综上可知，的度数恒为，与旋转角度无关； （4）解：当时， 由叠合可得， ∴． 由（3），当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴（舍去）， ∴的值为或． 15．如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角板（）的直角顶点放在点处，且直角三角板在直线的上方．设． (1)当时，求的大小； (2)当恰好平分时，求的值； (3)当时，嘉嘉认为与的差为定值，淇淇认为与的和为定值，老师说，两人的说法都正确，但是需要对分别附加条件．请你补充完整下面的信息： 当时，__________； 当时，__________． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（）先求出，再根据角的和差关系即可求解； （）由角平分线的定义可得，进而根据角的和差关系即可求解； （）根据的取值范围，分别画出图形，利用角的和差关系解答即可； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∵， ∴； （2）解：当恰好平分时，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． 16．如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边在射线上，另一直角边在直线的下方， (1)将图①中三角板绕点O逆时针方向旋转至图②，使边在内部，且恰好平分，求大小； (2)将图①中的三角板绕点O逆时针方向旋转至图③． ①如果恰好是的角平分线，则的度数为______； ②如果始终在的内部，的度数不会变化，请猜测出的度数并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了角的和差运算的应用，角平分线的性质等知识点，熟练掌握其性质，结合图形，用所求的角表示未知的角是解决此题的关键． （1）平分，可求得，再由互余关系即可求得结果； （2）①首先求出，然后由角平分线得到，进而利用角的和差求解即可； ②由且，即可得出两角的关系； 【详解】（1）解：∵平分， ， ， ； （2）解：①∵ ∴ ∵恰好是的角平分线 ∴ ∴ ∴； ②，理由如下， ∵ ， ∴， ，， ， ， 即与的数量关系为：． 题型五 几何图形中角度计算问题（共4小题） 17．如图所示，，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)如果，那么等于多少？ (3)如果，那么等于多少呢？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线定义可知，，再根据计算，即得答案； （2）根据，，求出结果即可； （3）根据，，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线， ，， ， ∵， ． （2）解：根据解析（1）可知：， ∵， ∴； （3）解：根据解析（1）可知：， ∵， ∴． 18．如图①，已知线段，点为上的一个动点，点，分别是和的中点． (1)若点恰好是中点，则的长是多少？（直接写出结果） (2)若，求的长． (3)试说明不论取何值（不超过），的长不变． (4)知识迁移：如图②，已知，过角的内部任一点画射线，若，分别平分和，试求出的大小，并说明的大小与射线的位置是否有关？ 【答案】(1) (2) (3)说明见解析 (4)，的大小与射线的位置无关，理由见解析． 【分析】本题主要考查了线段中点和角平分线的性质，熟练掌握线段中点及角平分线的性质是解题的关键． （1）利用线段中点的性质先求出，，再利用线段中点的性质求出与即可； （2）先求出，再利用线段中点的性质求出与即可； （3）利用线段中点的性质证明即可； （4）利用双角平分线的性质证明即可． 【详解】（1）解：点是中点，， ， 点，分别是和的中点， ，， ； （2）解：，， ， 点，分别是和的中点， ，， ； （3）解：点，分别是和的中点， ，， ， 不论取何值（不超过），的长不变； （4）解：，分别平分和， ，， ， ， ， ∴的大小与射线的位置无关． 19．已知是内部的一条射线，M，N分别是边、上的点，线段、分别以、的速度同时绕点逆时针旋转． (1)如图①，若，当、逆时针旋转时，分别到、处，求的值； (2)如图②，若、分别在内部旋转时，总有，求的值； (3)如图③，C是线段上的一点，点M 从点A 出发沿线段向点C 运动，同时点N 从点C 出发沿线段向点 B 运动，M，N两点的速度比是．若在运动过程中始终有，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角的计算，两点间的距离，读懂题目信息，准确识图并表示出相关的角度，然后列出方程是解题的关键． （1）先求出、，再表示出、，然后相加并根据计算即可得解； （2）设旋转时间为，表示出、，然后列方程求解得到、的关系，再整理即可得解； （3）设运动时间为，点、的速度分别为、，然后表示出、，再列出方程求解即可． 【详解】（1）解：线段、分别以、的速度绕点逆时针旋转， ，， ，， ， ， ； （2）解：设旋转时间为，则， ， ， ， ， ； （3）解：解：因为两点的速度比是， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 20．综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段 在线段上运动，E，F 分别是 ，的中点． 【知识探究】 （1）若，则 ； （2）当线段在线段上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请 求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和， ①若，则 ． ②试判断的大小是否发生变化？如果不变，请确定的大小，如果变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的长度不变，，理由见解析；（3）①；②的大小不会变化，． 【分析】（1）根据线段中点分别求解，，从而可得的长度； （2）根据，再根据中点进行推导即可； （3）①根据再结合角平分线进行计算；②由①可以得到结论． 【详解】解：（1）解：∵，，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∴， 故答案为：； （2）的长度不变，，理由如下： ∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∴ ； （3）①∵，分别平分和 ∴，． ∴ ∵ ∴ ， 故答案为：； ②的大小不会变化，理由如下： 由①知， ∴的大小不会变化，且． 【点睛】本题主要考查线段中点的含义，线段的和差，角平分线的定义，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． 题型六 实际问题中角度计算问题（共4小题） 21．游乐园的摩天轮深受学生们的喜爱，如图1是某游乐园的摩天轮的结构图，16个座舱均匀分布在圆形转轮边缘，摩天轮以固定的速度绕中心逆时针方向转动，转一周需要30分钟．如图2是摩天轮的主视图，座舱与圆形转轮边缘的连接点按顺时针依次标注为表示的是摩天轮的支架，且． (1)摩天轮每分钟转动____________°，____________°； (2)如图2，在某一时刻，连接点转动到的内部，此时． ①求此时的的度数； ②求当第一次平分时，摩天轮的转动时间以及此时的度数； ③设摩天轮转动的时间为t，在连接点到达到最高处前，是否存在的时刻？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)12；45 (2)①；②转动时间为， ；③存在，t的值为或 【分析】本题考查角度的和差计算，一元一次方程的几何应用，角平分线的相关计算等知识，理解各角之间的数量关系和正确表示出各角是解题的关键． （1）利用转动一周的时间和周角的大小即可求出摩天轮每分钟转动的角度，根据周角平分成16份，而占其中的两份即可得解； （2）①结合图形，利用角度的和差关系即可得解； ②作的角平分线交于，则，从而求出转动的角度，继而求出转动时间，同时转动的角度也是，从而求出； ③用t表示出和，再利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：摩天轮每分钟转动的角度是：，， 故答案为：12；45； （2）①∵，， ∴， 又∵， ∴； ②作的角平分线交于， 则， ∴，即转动的角度是， ∴转动时间为，转动的角度也是， ∴等于转动的角度减去原来的角度， 即； ③存在，t的值为或，理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴点到达到最高处时，时间为：， ∴． 依题意得：，， ∵，即， 解得：或， ∴存在，t的值为或． 22．如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)90 (2)正确，代数式的值为； (3)①；②当时，；当时，． 【分析】（1）由A，O，B三点共线，可得出，再由两角相等，可得出； （2）由，设，则，分别表达和，再求比值，可得结论； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点C，O，A共线前，和共线后两种状态，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90； （2）∵， 设，则， ∴，， ∴． ∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为； （3）解：∵， ∴，， 设运动时间为，则，则． ①运动停止时，即时，OA旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点C，O，A三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，， ， ∴． 综上，当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查角的和差的相关计算，发现图形中角之间的和差关系是解题关键． 23．如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 24．已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 【答案】C 【分析】由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B、D的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误． 【详解】解：由题意知，；当时，；当时，； 令，即，解得秒， ∴存在的情况； 故A错误，不符合题意； 令，即，解得秒， 令，即，解得秒， ∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒； 故B、D错误，不符合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴射线恰好平分， 故C正确，符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度． 题型七 角平分线的有关计算（共4小题） 25．如图，两个直角共顶点，下列结论：①；②；③若平分，则平分；④的平分线与的平分线是同一条射线．其中不正确的个数有（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． ①依题意得，则，由此可对该结论进行判断； ②假设，则，进而得，根据已知条件无法判定，由此可对该结论进行判断； ③根据平分得，则，进而得，然后根据角平分线的定义可对该结论进行判断； ④设平分，则，再根据得，则平分，由此可对该结论进行判断；综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵和都是直角， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ②假设， ， ， ∴， ， 根据已知条件无法判定， 故结论②不正确， ③∵平分，， ， 又， ， ， ∴平分， 故结论③正确； ④设平分，如图所示： ， ， ， ， ∴平分， 即的平分线与的平分线是同一条射线， 故结论④正确， 故选：A． 26．如图，将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分，，将三角板绕点O旋转（旋转过程中与均大于且小于）一周，的度数为 （用含的代数式表示）． 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角板中角度的计算，余角和补角，熟练掌握角平分线定义是解题的关键．分两种情况：当点C在上方时以及当点在下方时，根据补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，结合三角板的度数计算即可． 【详解】解：当点C在上方时，如图， ， ， 平分， ， ； 当点在下方时，如图， 同理可得， ， ， 故答案为：或． 27．现有纸板三角形，其中，点在直线上，过点作一条射线，使， (1)当纸板的位置如图①所示，恰好平分，求的度数； (2)当纸板的位置如图②所示，作射线、分别平分和，请直接写出的度数为___________； (3)若纸板旋转到时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差计算，解题的关键是掌握分类讨论的思想． （1）根据角平分线得到，再由求解即可； （2）根据角平分线可设，则，化简得到，再由即可求解； （3）分两种情况讨论，在直线上方以及当在直线下方，利用角的和差计算即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵、分别平分和， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图， ①当在直线上方时， ， ∴； ②当在直线下方时， ， 综上：的度数为或． 28．如图：两个特殊三角板和三角板，， ，O为直角顶点，两直角顶点重合，A，O，D在同一直线上，，重合，平分，平分． (1)求的度数； (2)若三角板与三角板位置如图（2）所示，满足，求的度数； (3)在图（1）的情形下，三角板固定不动，若三角板绕着O点旋转（旋转角度小于），，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义及和角关系即可求得结果； （2）根据角平分线的定义及和角与差角关系即可求得结果； （3）分两种情况讨论：顺时针旋转与逆时针旋转，根据角平分线的定义及和角、差角关系即可求得结果． 【详解】（1）∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； （2）由题意可知， ∵平分，平分， ∴， ， ∵，， ∴； （3）由题意可知， ∵平分，平分， ∴， ， 当旋转是顺时针时，如图（2）， 则； 当旋转是逆时针时，如图， 则； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差关系，把一个角表示为几个角的和差形式是解答本题的关键． 题型八 角n等分线的有关计算（共4小题） 29．已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知或． 故选：A． 30．定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角三等分线的有关计算，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：①当时；②当时；分别根据角三等分线的定义及角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时， 如图， ，为的三等分线， ， ， ； ②当时， 如图， ，为的三等分线， ， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 31．阅读理解：已知一个锐角，从这个角的顶点出发，在角的外部作一条射线，分别与这个角的两边组成两个角，若这两个角互为余角，则称该射线为“外邻余线”，例如，如图，已知，射线在外部，射线分别与的两边所组成的两个角是和，若和互为余角，则称射线是的“外邻余线”． (1)如图，已知是的“外邻余线”．求的度数． (2)如图，已知是的“外邻余线”，是的“外邻余线”，且，试判断是否为的三等分线？并说明理由． (3)如图，已知点在同一条直线上，平分平分和分别是和的“外邻余线”，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)或 (2)是三等分线，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了余角的定义及性质，角平分线的定义，角的三等分线，掌握余角的定义和性质是解题的关键． ()根据“外邻余线”的定义得，考虑到的不同位置分两种情况讨论即可求解； ()根据“外邻余线”及余角性质得，进而可得，得到 ，即可求解； ()由平角定义得，进而由角平分线的定义得，，再根据“外邻余线”的定义得，即得，即可求解； 【详解】（1）解：∵是的“外邻余线”， ∴， 情况在远离的一侧 此时． 设，则， ∴，得， ∴． 情况在远离的一侧 此时． 设，则， ∴，解得， 综上的度数为或． （2）解：是三等分线，理由如下： ∵是的“外邻余线”， 即与互余， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵是的“外邻余线”， 即与互余， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴是的三等分线； （3）解：∵点在同一条直线上，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的“外邻余线”，是的“外邻余线”， ∴， ∴． 即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 32．定义：在同一平面内有，，三条射线．若分别与，形成的角的度数成2倍关系，即或，则称射线是的“倍距线”．如图①，若，，满足，则是的一条“倍距线”． (1)若，是的一条“倍距线”，则的度数为______°．（写出一个答案即可） (2)如图②，点O在直线上，，． ①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒（，当t为何值时，是的“倍距线”？ ②如图③，将一直角三角板一个顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒，若是的“倍距线”，则______． 【答案】(1)（或或或） (2)①或或   ②3或4或8 【分析】本题考查了角度的计算，新定义，一元一次方程的应用； （1）根据新定义可得当在的外部时，，当在的内部时，为的三等分线，进而分类讨论，即可求解； （2）根据新定义按照（1）的方法，分类讨论，即可求解． ②同（1）的方法，得出当在的内部时，当在的外部时，分别列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的一条“倍距线”， ∴或， 如图所示，当在的外部时，， 当在的内部时，为的三等分线， ∵， 当在的外部时，，则 当在的内部时，为的三等分线，则或 综上，的度数为或或或； 故答案为：（或或或）． （2）解：①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒 ∴ ∵，． ∴ ∵是的“倍距线” 由（1）可得当在的内部时，或 即或 解得：或 当在的外部时， 即 解得： 综上， 或或． ②∵是的“倍距线”， ∴或， 当在的内部时， 或 即或 解得：或 当在的外部时， ，则 ∴ 解得： 综上：或4或8 故答案为：3或4或8． 题型九 与余角、补角有关的计算（共4小题） 33．已知，直线相交于点O，，是的平分线． (1)如图1所示，求的度数； (2)如图2所示，作的平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，请你过点O作射线，使得为的余角的2倍，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】此题考查了角平分线定义和角度的和差计算． （1）求出，求出是平分线，求出即可； （2）求出，根据角平分线的定义求出； （3）求出，内部画和在内部画，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵是的平分线， ∴ ∴ （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵是的平分线 ∴ ∴ ∵平分， ∴ 答：的度数是． （3）解：∵， ∴的余角是， ∴ ①∵， ∴在内部画，则 ∵ ∴ ②同理在内部画， 答：的度数是或． 34．探究三角尺中的学问： 已知点C为直线上一点，，． (1)如图1，若，图中与互余的角有_________． (2)如图2，已知射线是的平分线，且．求的度数． (3)如图3，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，使三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放．当，直接写出此时三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数． 【答案】(1)和 (2) (3)或或或． 【分析】本题考查了角的互余、角平分线的性质、角的和差计算以及三角尺中角度的关系，解题的关键是利用平角（）、直角（）的度数特征，结合角的和差与比例关系建立等量关系． （1）根据互余定义，结合直角和平角性质，找出和为的角． （2）设比例系数，利用角平分线性质表示角，结合平角和直角列方程求解． （3）利用三角尺②的直角特征和的度数，结合的度数计算夹角，分四种情况讨论． 【详解】（1）解：∵， 即， ∴与互余； ∵直角三角形中， 则， 又∵， ∴与互余； （2）解：设，， ∵平分， ∴， ∴； ∵，， ∴， 解得； ∴， ∴； （3）解：分四种情况讨论： ①当与边的夹角，且在下方时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴； ②当与边的夹角，且在上方时，如图： ∵，，， ∴； ③当与边的夹角时，且在下方时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴； ④当与边的夹角时，且在上方时，如图： ∵，，， ∴； 综上所述，另一条直角边与边的夹角可能是或或或． 35．根据以下素材，探索完成任务． 探究三角尺中的学问 素材1 已知点C为直线上一点，，． 素材2 如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，按三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放． 问题解决 任务1 问题1：如图1，若，图中哪些角与互余？ 任务2 问题2：如图2，已知射线是的平分线，且，求的度数； 任务3 问题3：探究当，求三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数，请直接写出探究结论，不必写出探究过程． 【答案】问题1：和 问题2： 问题3：或后或． 【分析】本题考查了角的互余、角平分线的性质、角的和差计算以及三角尺中角度的关系，解题的关键是利用平角（）、直角（）的度数特征，结合角的和差与比例关系建立等量关系． 问题1：根据互余定义，结合直角和平角性质，找出和为的角． 问题2：设比例系数，利用角平分线性质表示角，结合平角和直角列方程求解． 问题3：利用三角尺②的直角特征和的度数，结合的度数计算夹角，分四种情况讨论． 【详解】解：任务 1（问题 1）：∵，即， ∴与互余； ∵直角三角形中，则， 又∵， ∴与互余； 任务2（问题2）：设，， ∵平分， ∴， ∴； ∵，， ∴， 解得； ∴， ∴； 任务3（问题3）：分四种情况讨论： ①当与边的夹角，且在下方时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴； ②当与边的夹角，且在上方时，如图： ∵，，， ∴； ③当与边的夹角时，且在下方时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴； ④当与边的夹角时，且在上方时，如图： ∵，，， ∴； 综上所述，另一条直角边与边的夹角可能是或后或． 36．一副三角尺（分别含和）按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为s． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是_____度； (2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转． ①当为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)85 (2)①；②存在，或 【分析】本题主要考查了旋转的性质、角平分线的定义、角度的和差、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想，是解此题的关键． （1）根据三角尺绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针旋转，进行计算； （2）①由旋转知，，由角平分线的定义可得，再由列方程求解； ②分两种情况，当在左侧时，当在右侧时，分别进行计算可得到答案． 【详解】（1）当时，绕点P顺时针旋转了， 又， 边经过的量角器刻度线对应的度数为． （2）①如图1所示： 由旋转知，， 平分，， ， 又， ， ， 解得， 当时，边平分． ②当或时，，理由如下： 由旋转知，， 当在左侧时，如图2， ， ， ， 若，则， 解得． 当在右侧时，如图3， ， ， ， 若，则， 解得． 综上可知，当或时，． 题型十 角的旋转问题（动角）（共5小题） 37．【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，； 在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点C转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【答案】（1）②③，④；（2）①，② 【分析】本题主要考查几何图形中角的计算，角平分线定义，三角板中角的计算，补角的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，注意进行分类讨论． （1）分别求出图1中各个图中、的关系，然后进行判断即可； （2）①根据角平分线定义得出，然后再求出结果即可； ②根据角平分线定义得出，，根据，求出结果即可； 【详解】解：（1）图①中； 图②中； 图③中， ∴； 图④中； ∴与相等的摆法是②③；与互补的摆法是④； （2）①∵平分， ∴， ∴； ②∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ 38．如图1，点为直线上一点，过点作射线、、．始终在的右侧，，．       (1)如图1，当．平分时，求的度数： (2)如图2、当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转、使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒： (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)旋转一共用了或 (3)n为或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的性质，分类讨论思想等，根据射线ON的位置不确定，进行分类讨论是解题关键． （1）由角平分线的性质可得的度数，再根据可得结论； （2）需要分两种情况进行讨论，①当点在的右侧时；②当点在的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可； （3）根据题意分两种情况，当和时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知， 设旋转时间为， ①当点在的右侧时，， ∴， ∴； ∴； ②当点在的左侧时，， ∴； ∴； 综上，旋转一共用了或； （3）解：当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，解得； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，解得； 综上，n为或． 39．已知是直线上的一点，是直角． (1)如图，若平分，当时，求的度数； (2)如图，平分，平分，求的度数； (3)如图，若，此时的边与重合，当绕点逆时针方向旋转，旋转过程中始终平分，请求出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先角平分线的定义得出，再利用平角的定义可得答案； （2）先证明，，再利用角的和差运算可得答案； （3）①当时，如图，由题意可得，表示，可得结论；②当时，由题意可得，表示，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵是直角， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵是直角， ∴， ∴， ∴的度数为； （3）①当时，． 理由：如图， ∵绕点逆时针方向旋转， ∴， ∴， ∵始终平分， ∴， ∴， ∴； ②当时，． 理由：如图， ∵绕点逆时针方向旋转， ∴， ∴， ∵始终平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与之间的数量关系为或． 【点睛】本题考查几何图形中角度计算问题，角平分线的定义，角的和差运算，角的动态定义的理解，熟练利用角的和差运算进行计算是解题的关键． 40．将一副三角板按如图1所示摆放，点A，C，O在直线上，现将三角板进行下面的操作． 操作一：保持三角板位置不动，将三角板绕点顺时针旋转（如图2，图3），当三角板的边第一次与直线重合为止． 思考并回答下列问题： （1）当_____时，是的一条三等分线． （2）如图2，当，位于直线的两侧时，与的数量关系是_____． （3）如图3，当，位于直线的同侧时，（2）中结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由． 操作二：在三角板绕点顺时针开始旋转的同时，另一个三角板也绕点顺时针旋转，当三角板的边第一次与直线重合时，两三角板同时停止旋转． （4）若在旋转过程中，始终是的2倍，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）15或30；（2）；（3）成立，理由见解析；（4） 【分析】本题考查了动角问题，角的和差等；能熟练利用角的和差表示出所求的角，并能根据角的不同位置进行分类讨论是解题的关键． （1）分类讨论：当时，当时，即可求解； （2）由角的和差得，，即可求解； （3）由角的和差得，，即可求解； （4）分类讨论：①当，位于直线的两侧时，由角的和差得，，即可求解；②如图，当，位于直线的同侧时，同理可求； 【详解】解：（1）如图，当时， 则； 如图，当时， 则； 所以； 故答案为：或； （2）因为，， 所以，， 所以； 故答案为：； （3）成立； 理由如下： 如图， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； （4） ①如图，当，位于直线的两侧时， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以 ， 所以； ②如图，当，位于直线的同侧时， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以 ， 所以， 综上：． 41．如图1，将两块直角三角板（一块含有、角，另一块含角）摆放在直线上，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转．当第一次与射线重合时三角板停止转动，设旋转时间为秒． (1)当秒时，___________，___________，___________； (2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动． ①射线和射线重合前，当时，求出相应的的值； ②整个旋转过程中，当满足时，直接写出相应的的值___________． 【答案】(1)135；120；75 (2)①或；②4或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及角的计算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用各角的度数=初始度数-每秒旋转的度数×旋转时间，即可求出结论； （2）利用时间路程速度，可求出各节点的时间． ①当时，，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； ②分，，及四种情况考虑，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：当秒时，； ； ． 故答案为：105，120，75； （2）解：（秒），（秒），（秒），（秒）． ①当时，，， ∴， 即或， 解得：或． 答：t的值为3或； ②当时，，， ∴，舍去； 当时，，， ∴， 即或， 解得：或； 当时，，， ∴，舍去； 当时，，， ∴，舍去． 综上所述，t的值为4或． 故答案为：4或． $