精品解析：黑龙江省佳木斯市桦川县桦川县第二中学、第四中学联合2025-2026学年八年级上学期9月月考数学试题

桦川县第二中学、第四中学2025—2026学年度上第一次月考 八年级数学质量检测题 考生注意： 1.考试时间120分钟 2.全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 如图，与相交于点，，，不添加辅助线，判定的依据是（　　） A. SSS B. SAS C. HL D. AAS 2. 有下列说法，其中正确的有　(　 　) ①只有两个三角形才能完全重合； ②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同； ③两个正方形一定是全等图形； ④面积相等的两个图形一定是全等图形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列结论中正确的有（ ） ①全等三角形对应边相等；②全等三角形对应角相等；③全等三角形周长相等； ④全等三角形面积相等．⑤全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等； A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 4. 如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在与中，已知，添加一个条件，不能使得的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，则AF的长度为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1.5 7. 下列说法不正确的是（  ） A. 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 C. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 D. 有一个角是的两个等腰三角形不一定全等 8. 如图，，，，则下列结论中错误的是（  ） A. B. C. D. 9. 如图，点在上，点在上，与相交于点，且，，则判定的依据是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，中，，，于，于，，，则的长为（  ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 如图，已知，，，若，则________． 12. 如图，，，，则________． 13. 如图，，，则判定的依据是________． 14. 如图，点、、、在同一直线上，，，，若，则________． 15. 如图，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，…．依此类推，第2025个图中共有三角形________个． 三、解答题（满分72分） 16. 已知，如图，点、、、在同一直线上，、相交于点，，垂足为，，垂足为，且，． 求证：． 17. 如图，在中，于，于，与交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 如图，在方格纸中，每个小正方形边长为，点、、在格点上． （1）画出中边上的高； （2）画出中边上的中线； （3）求的面积． 19. 如图，已知，，，点在上，点在延长线上． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 20. 如图，中，，，点在上，且，点在延长线上，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 21. 如图，点在线段上，和均为等边三角形，与交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 22. 如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒． （1）用含的式子表示、； （2）当为何值时，为等腰直角三角形？ 23. 如图，点为等边外一点，且，，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桦川县第二中学、第四中学2025—2026学年度上第一次月考 八年级数学质量检测题 考生注意： 1.考试时间120分钟 2.全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 如图，与相交于点，，，不添加辅助线，判定的依据是（　　） A. SSS B. SAS C. HL D. AAS 【答案】D 【解析】 【分析】由“AAS”可证． 【详解】在和中， ， ∴（AAS）， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 2. 有下列说法，其中正确的有　(　 　) ①只有两个三角形才能完全重合； ②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同； ③两个正方形一定是全等图形； ④面积相等的两个图形一定是全等图形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】要根据全等形的概念进行判定，与之相符合的是正确的，反之，是错误的，如②是正确的，①③④是错误的． 【详解】解：①错误，不是三角形的图形也能全等； ②正确，两个图形全等，它们一定重合，所以它们的形状和大小一定都相同； ③错误，边长不同的正方形不全等； ④错误，面积相等的两个图形边数不一定相等，也不一定是全等图形． 所以正确的只有一个. 故选A． 【点睛】本题考查全等形的概念和特点，做题时要根据定义进行判断． 3. 下列结论中正确的有（ ） ①全等三角形对应边相等；②全等三角形对应角相等；③全等三角形周长相等； ④全等三角形面积相等．⑤全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等； A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：①全等三角形对应边相等，此结论正确； ②全等三角形对应角相等，此结论正确； ③全等三角形周长相等，此结论正确； ④全等三角形面积相等，此结论正确； ⑤全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等，此结论正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等，全等三角形的周长相等，面积相等，解题的关键是牢记性质． 4. 如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ， ∴当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，无法证明； 故选：D． 5. 如图，在与中，已知，添加一个条件，不能使得的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要证明，由已知条件，，再加一个条件，可以根据，来判断． 【详解】解：根据三角形全等的判定定理， A，，，，符合，能使得成立，不符合题意； B，，，，符合，能使得成立，不符合题意； C，，，，符合，能使得成立，不符合题意； D，，，，不能使得成立，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了证明三角形全等的判断定理，解题的关键是：熟练应用三角形全等的判定定理：． 6. 如图，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，则AF的长度为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1.5 【答案】C 【解析】 【分析】利用ASA证明△ACD≌△BFD，得DF＝DC，再根据三角形面积可得CD的长，从而可得答案． 【详解】∵AD，BE是△ABC的高线， ∴∠ADB＝∠ADC＝∠AEB＝90°， ∵∠BFD＝∠AFE， ∴∠DBF＝∠CAD， 在△ACD和△BFD中， ， ∴△ACD≌△BFD（ASA）， ∴DF＝DC， ∵△ACD的面积为12， ∴， ∴CD＝4， ∴DF＝4， ∴AF＝AD﹣DF＝2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 7. 下列说法不正确的是（  ） A. 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 C. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 D. 有一个角是的两个等腰三角形不一定全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的全等，掌握相关知识是解决问题的关键．根据全等三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】A．利用可判定两直角三角形全等，原说法正确，故本选项不符合题意； B．利用可判定两直角三角形全等，原说法正确，故本选项不符合题意； C．仅两角相等，无边对应相等，不能判定全等，原说法错误，故本选项符合题意； D．有一个角是的等腰三角形为等边三角形，等边三角形角都相等，但这两个等边三角形不一定边相等，所以这两个等边三角形不一定全等，原说法正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 8. 如图，，，，则下列结论中错误的是（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）是解题的关键．通过角的关系推导，结合已知边相等，利用全等三角形判定定理（）判断三角形全等，进而分析各选项结论． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即， 又∵ ，， ∴ （），故A项正确，不符合题意； ∴ ，，，故B、C项正确，不符合题意；D选项错误，符合题意． 故选：D． 9. 如图，点在上，点在上，与相交于点，且，，则判定的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定（），熟练掌握全等三角形的判定定理（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）是解题的关键． 梳理与的已知角和边，匹配全等三角形的判定定理． 【详解】解：在和中， ，，， ， 故选：． 10. 如图，中，，，于，于，，，则的长为（  ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识． 由于，于，得，由，，得，而，即可根据“”证明，进一步即可得出结论． 【详解】解：∵于，于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 如图，已知，，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质（），解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据判定，再根据全等三角形的性质得出． 【详解】解：， ， 即， 又，， ， ， 故答案为：． 12. 如图，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，理解全等三角形的对应边相等是解决问题的关键．根据全等三角形的性质得，进而得． 【详解】解：， ． ， ． 故答案为：3 13. 如图，，，则判定的依据是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的全等，掌握相关知识是解决问题的关键．两个直角三角形一条直角边和斜边对应相等，则两直角三角形全等，据此解答即可． 【详解】解：∵， 在和中， ， ∴（） 故答案为：． 14. 如图，点、、、在同一直线上，，，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质综合，平行线的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用证明，再根据全等三角形的性质得出． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 又， ∴ ∴， 故答案为：． 15. 如图，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，…．依此类推，第2025个图中共有三角形________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是图形的变化类的规律，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．根据图形中三角形的个数总结规律，根据规律即可得结论． 【详解】解：第1个图中有1个，即（个）三角形， 第2个图中共有5个，即（个）三角形， 第3个图中共有9个，即（个）三角形， ．．．， 所以第n个图中共有个三角形， 则第2025个图中共有（个）． 故答案为：． 三、解答题（满分72分） 16. 已知，如图，点、、、在同一直线上，、相交于点，，垂足为，，垂足为，且，． 求证：． 【答案】 证明：，， ， ，， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】根据，，得到，根据，得到，结合，则可根据判定． 【详解】略 【点睛】本题考查三角形全等的判定，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． 17. 如图，在中，于，于，与交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴ ； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的定义及余角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由垂线的定义得，再由同角的余角相等可得，再根据AAS，即可得出结论； （2）由（1）可得，从而可得，，，即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴，， ∴ ． 18. 如图，在方格纸中，每个小正方形边长为，点、、在格点上． （1）画出中边上的高； （2）画出中边上的中线； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图即为边上的高； （2）如图即为边上的中线； （3）. 【解析】 【分析】本题主要考查了借助网格作图、求三角形的面积． 借助网格，过点作所在的直线的垂线交直线于点，点与垂足之间的线段即为中边上的高； 借助网格，线段经过的格点，即为线段的中点，连接即为边上的中线 过点作，借助网格可知，，根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如下图所示，过点作， 由网格可知，， ． 19. 如图，已知，，，点在上，点在延长线上． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，， ， ∴（）． （2） 解：． 理由：∵， ∴由绕点C顺时针旋转得到，旋转角度为的度数， ∴与为对应边， ∴与也旋转了的度数， 又 ∴． 【解析】 【分析】（1）利用直接证明； （2）先判断由绕点C顺时针旋转得到，旋转角度为的度数，再说明与垂直． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等的性质和SAS综合（SAS），全等三角形的性质，判断由一个图形旋转而成的图形，根据旋转的性质求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 20. 如图，中，，，点在上，且，点在延长线上，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先证明是等腰直角三角形，从而可得，再求得，然后求得，从而可求； （2）先根据等量关系得出，根据线段的和差关系得出，即可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形，． ∵， ∴， 在中，， ∴． 同理可得：， ∴， ∴， ∴． ∴． 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，点在线段上，和均为等边三角形，与交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键． （1）先由和是等边三角形，可知，故可得出，，根据定理可知，由全等三角形的性质即可得出结论； （2）由（1）知，得，求出，得，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， 又 ∴， ∴， ∴ 22. 如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒． （1）用含的式子表示、； （2）当为何值时，为等腰直角三角形？ 【答案】（1）， （2）当秒时，为等腰直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了列代数式， 等腰三角形的性质和判定，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据运动，分别用t表示出、，即可用t表示出； （2）由为等腰直角三角形，得到关于t的方程求解． 【小问1详解】 解：∵动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动， ∴，， ∴， 【小问2详解】 若为等腰直角三角形，则且∠C=90°， ∴，解得：， 此时满足条件． 故当秒时，为等腰直角三角形． 23. 如图，点为等边外一点，且，，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴，． 又，， ∴． ∴． 同理可得：． 在与中， ，，， ∴， ∴， ∴AD平分∠BDC． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据等边三角形的性质，得出，．再根据等边对等角得到，从而可得，同理可得，再利用证明，根据全等三角形的性质可得，从而可说明结论成立； （2）先根据对称性，得到在中垂线上，再求得，．然后利用含有度角的直角三角形的性质和勾股定理，从而可利用线段和求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ， ∴与关于直线对称， ∴在中垂线上， 设中点为M， ∵，为等边三角形， ∴平分，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质综合（），含有度角的直角三角形的性质，勾股定理，中垂线的判定与性质，轴对称的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $