1.3勾股定理的应用 同步提升练习 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

1.3勾股定理的应用 同步提升练习 一．选择题 1．生活中，可以用身体上的尺子：肘、拃、步长等来估计距离．某校教室新安装了一批屏幕为矩形的多媒体设备，某同学想知道屏幕有多大，他用手掌测量得多媒体屏幕的长是12拃，宽是5拃，请你帮他计算出多媒体屏幕的对角线长度大约是（1拃≈20cm）（　　） A．100cm B．240cm C．260cm D．340cm 2．如图，已知一架梯子（AB）斜靠在墙OM（MO⊥ON）上，OA＝1.5米，OB＝2米．现将梯子的底端B沿水平地面ON向左滑动到D，梯子的顶端从A滑到C．若BD＝1.3米，则AC的长为（　　） A．1.1米 B．1米 C．0.9米 D．0.7米 3．如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（　　） A．4 B．5 C．7 D．25 4．如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆，地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离AB是（　　）米． A．6 B．7 C．8 D．9 5．如图，一根长为20cm的牙刷置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（　　） A．7≤h≤8 B．8＜h≤12 C．7≤h≤12 D．7＜h＜12 6．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为（　　） A．4 B．5 C．10 D．25 7．如图，直线上有三个正方形甲、乙、丙，若甲、乙的面积分别为5和13，则丙的面积为（　　） A．4 B．8 C．12 D．18 8．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送3m（水平距离BC＝3m）时，踏板离地的垂直高度BF＝1.5m，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索AD的长度是（　　） A．3m B．4m C．5m D．6m 9．如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地ABCD，测得∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，则这块菜地的面积是（　　） A．104m2 B．114m2 C．118m2 D．122m2 10．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．13m B．17m C．18m D．26m 二．填空题 11．若一个直角三角形的三边分别为x，4，5，则x2＝　 　 ． 12．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝3，BC＝9，则AB2+CD2的值为 　 　 ． 13．一艘船由A港沿北偏东60°方向航行24km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行32km至C港，则A，C两港之间的距离为 　 　 km． 14．如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m，则BB'的长为 　 　 m． 15．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′（示意图如图，则水深为　 　 尺． 16．如图1为停车场出入口的车辆识别道闸，机箱AM高8分米，与墙面GH的距离MH＝26分米，静止时档杆ABCD为长方形．当车辆通行时，档杆升起降下，各边长度保持不变，如图2所示，当档杆升至点E恰好与点A高度相同时，点F到地面的距离为15分米，则BM＝　 　 分米．当档杆升至E1离地距离为16分米时，E1F1到GH的距离为EF到GH距离的3倍，则BC＝　 　 分米． 三．解答题 17．山青林场准备对一块四边形空地ABCD进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m，从点A修一条垂直BC的小路AE（垂足为点E），AE＝12m，点E恰好是BC的中点． （1）求BC边的长； （2）求空地ABCD的面积． 18．为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我校校园里现有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：∠BAD＝90°，AD＝3m，AB＝4m，BC＝13m，CD＝12m．根据你所学过的知识解决下列问题： （1）求证：∠BDC＝90°； （2）求四边形ABCD的面积． 19．【问题解决】 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间．已知云梯最多只能伸长到25m，即AA′＝BB′＝25m，消防车高4m，救人时云梯伸长至最长． 【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成A′处、B′处两处个求救点的救援． 【前期工作】勘察A′处与B′处离地面M的高度分别为A′M＝19m，B′M＝24m． 【解决问题】消防车到达A处后，已经完成A′处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离AB为多少米才能把完成B′处救援任务？ 20．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，∠BAC＝90°）． 请解答： （1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是　 　 ． （2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是　 　 ，请说明理由． （3） 如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠BCD＝90°，BC＝2AD，分别以AB、CD、AD为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系式为　 　 ，请说明理由． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B C A D B C B B 二．填空题 11．41或9． 12．90． 13．40． 14．2． 15．12． 16．1；25． 三．解答题 17．解：（1）∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴△ABE是直角三角形， 在Rt△ABE中，AB＝15m，AE＝12m， 由勾股定理得：BE9m， ∵E是BC的中点， ∴BC＝2BE＝18m； （2）AE⊥BC，E是BC的中点，如图，连接AC， ∴AE是BC的垂直平分线， ∴AC＝AB＝15m， ∵AD＝17m，CD＝8m， ∴CD2+AC2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD18×1215×8＝168（m2）， 答：空地ABCD的面积为168m2． 18．（1）证明：∵∠BAD＝90°，AD＝3m，AB＝4m， ∴BD5（m）， ∵BC＝13m，CD＝12m， ∴BD2+CD2＝52+122＝169，BC2＝132＝169， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴△BCD是直角三角形， ∴∠BDC＝90°； （2）解：四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积 AD•ABBD•CD 3×45×12 ＝6+30 ＝36． 19．解：AA′＝BB′＝25m，消防车高4m，A′M＝19m，B′M＝24m．如图，过点A作AD⊥A′M， ∴DM＝4m，A，B，D三点在同一直线上． ∴∠ADA′＝90°，A′D＝A′M﹣DM＝19﹣4＝15（m）， B′D＝B′M﹣DM＝24﹣4＝20（m）． 在Rt△AA′D中，由勾股定理，得． 在Rt△BB′D中，由勾股定理，得 ∴AB＝AD﹣BD＝20﹣15＝5（m）． 答：消防车需要向着火楼房靠近的距离AB为5m才能把完成B′处救援任务． 20．解：设直角三角形ABC的三边AB、CA、BC的长分别为a、b、c，则c2＝a2+b2 （1）S1+S2＝S3，证明如下： ∵S3，S1，S2 ∴S1+S2S3； （2）S1+S2＝S3．证明如下： ∵S3，S1，S2 ∴S1+S2S3； （3）过D点作DE∥AB，交BC于E，设梯形的边AB、DC、AD的长 分别为a、b、c，可证EC＝AD＝c，DE＝AB＝a， ∠EDC＝180°﹣（∠DEC+∠BCD）＝180°﹣（∠ABC+∠BCD）＝90°， 则c2＝a2+b2 ∵S1＝a2、S2＝b2、S3＝c2，表示，则S1+S2＝S3． 故答案为：S1+S2＝S3；S1+S2＝S3；S1+S2＝S3． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/7 11:11:38；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $