专题03 图形的相似（期中复习讲义）（知识必备+12大核心题型+分层验收）九年级数学上学期冀教版

专题03 图形的相似 核心考点 复习目标 考情规律 比例线段与比例基本性质 能算线段比，用比例性质变形 基础小题 平行线分线段相关定理 能用定理列比例式解题 高频考点，易错找错对应线段 相似三角形的判定 能选恰当方法证三角形相似 解答题核心，易错漏夹角条件 相似三角形的性质应用 能用相似三角新的性质进行计算 多题型覆盖，易错面积比关系 位似图形的概念与性质 能判位似，用性质算或作图 基础考点，易错坐标位似方向 知识点01比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段长度分别是，那么就说这两条线段的比是，或写成 2．成比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若，则； （2）若，则（称为的比例中项）． 知识点02黄金分割比 1.黄金分割的定义：点把线段分割成和两段,如果,那么线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比. 注意：(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段，按照如下方法作图： （1）经过点作，使. （2）连接，在上截取. （3）在上截取.则点为线段的黄金分割点. 注意：一条线段的黄金分割点有两个. 知识点03平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 如图一:直线.直线分别交于，若.则 拓展： ①如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等； 如图一:直线，直线分别交于.且距离为,若,则 ②经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边； 如图二:在中，为中点，交于点，则 ③经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 如图三:在梯形中，为中点，交于点，则 知识点04平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 如左图，在中，,则 如右图，在中，交延长线于,则 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 如左图，在中，，则 如右图，在中，交延长线于，则 知识点05相似三角形的相关概念 在和中，如果，，我们就说与相似，记作，就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意：①书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即，则说明点的对应点是，点的对应点是，点的对应点是； ②对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 知识点06相似三角形的判定 1.判定方法（1）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似； 2.判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 3.判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 4.判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 5.要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似 知识点07 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一：，则 由比例性质可得： 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，，则分别作出与的高和，则 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 知识点08位似图形 1．定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心 2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3．画图步骤： （1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 题型一 比例的性质 【例1】已知，若，则 ． 【例2】已知，，求． 【变式1-1】已知（a，b均不为0），则下列比例式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若，则的值是 ． 【变式1-3】若，则 ． 题型二 比例线段 【例3】下列四组线段中，不是成比例线段的是（   ） A． B． C． D． 【例4】已知线段a、b、c，其中c为a、b的比例中项，，，则 ． 【变式2-1】下列线段能成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式2-2】下列各组中的四条线段，不成比例线段的是（    ） A．1，2，2，4 B．3，4，9，12 C．7，5，3，2 D．1，，， 【变式2-3】如果，是a、c的比例中项，那么 ． 解｜题｜技｜巧 先根据题目条件（如线段平行、相似图形对应边）确定四条线段的比例顺序，避免顺序混淆。将已知线段长度代入比例式，用“交叉相乘”转化为整式方程，求解未知线段长度。 题型三 黄金分割 【例5】勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（   ） A． B． C． D． 【例6】如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点C和D分别放在琴弦的黄金分割点上，则C、D之间距离为 （保留根号）． 【变式3-1】在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，将雕像分为上下两部分，其中C为的黄金分割点，即．已知为2米，则的长为 米．（结果保留根号） 【变式3-2】古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地． 若古筝上有一根弦，支撑点C是靠近点A的一个黄金分割点，则为 ．（结果保留根号） 【变式3-3】宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 题型四 平行线分线段成比例 【例7】如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【例8】如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则 ． 【变式4-1】如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】在中，，，点D在直线上，且，过点D作交边所在直线于点E，则的长为 ． 【变式4-3】已知：如图，在的斜边上任取一点，过点分别作、的平行线，交于点，交于点． (1)求证：； (2)是否平行？若能，此时与有什么关系？ 题型五 相似图形 【例9】如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 【例10】如图，有三个矩形，其中是相似图形的是 ． 【变式5-1】某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【变式5-2】如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（   ） A．0.618 B． C． D．2 【变式5-3】如图，梯形中，，E是上的一点，，并且将梯形分成的两个梯形相似，若，求．    题型六 相似多边形的性质 【例11】如图，四边形四边形，则 ． 【例12】如图，四边形四边形，求的大小和的长度． 【变式6-1】如图，在矩形纸片中，，，截去矩形．若剩下的矩形与矩形相似，则的长为 ． 【变式6-2】如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开的基础上得到的．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，以此类推，如果各种开本的矩形都相似，那么与的比值是多少？ 【变式6-3】如图，四边形四边形． (1)_________度； (2)求边x，y的长． 题型七 相似三角形的判定 【例13】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为（   ） A．4 B．2 C．1 D．3 【例14】如图，在中，，是边上高，若，． (1)求证：； (2)求的长． 【变式7-1】如图，点、、分别在等边的三边、、上，且，求证：． 【变式7-2】如图，在中，，，是内一点，且．求证：． 【变式7-3】如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，且，过点作于点，连接、、，．求证：． 题型八 相似三角形的性质 【例15】如图，，和分别是和的高，若，，则值为（    ） A． B． C． D． 【例16】已知，和是它们的对应角平分线，若，的周长为16，则的周长是 ． 【变式8-1】已知，和是它们的对应高线，若，，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在中，点D，E分别在边上，，那么 ． 【变式8-3】如图，，，，，，点在上由点向点方向移动，当和相似时，为多少？ 解｜题｜技｜巧 通过角的位置、边的顺序（如，对应对应）明确对应边和对应角，避免混淆。 ①若求边长/周长：对应边比=相似比，周长比=相似比，列比例式计算； ②若求面积：面积比=相似比的平方，先找相似比，再算面积或面积比； ③若求角度：直接用对应角相等，结合三角形内角和等知识求解。 题型九 相似三角形的判定与性质 【例17】如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与、分别交于点、．对于下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【例18】如图，已知在中，点D，E，F分别在上，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【变式9-1】如图，在中，平分，于点，为的中点，连接延长交于点．若，，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式9-2】如图，，是的高，与相交于点，若，且， （1）的面积为 ； （2）若，则 ． 【变式9-3】如图，在正方形中，对角线，交于点O，点E，F分别在线段上，且，连接并延长交于点，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 题型十 相似三角形的应用 【例19】《九章算术》中有一测井深的问题：今有井径5尺，不知其深，立5尺木于井上，从木末梢，入径4寸，问井深几何？今译为：如图所示，有一口水井，井口直径为5尺，现竖立一根5尺长的木杆在井口，视线交井口于点E，入经的长为4寸，则水面距井口距离为 寸．（注：1尺寸） 【例20】如图，小明同学晚上由路灯A下的B处走到C处时，测的影子的长为米，继续往前走3米到达E处时，测的影子的长为米，已知小明同学的身高是米，求路灯的高度． 【变式10-1】如图，一根直立于水平地面的木杆在灯光下形成影子，当木杆绕点按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知，在旋转过程中，影长的最大值为，最小值为，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯的高度为 m． 【变式10-2】如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为 米． 【变式10-3】小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆相交于点O，B、D两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且，过点O作于点G，交于点H，经测量与比对，有，，，，． (1)连接，求证：； (2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上后是否会碰到地面？请通过计算说明． 题型十一 作图-相似变换 【例21】如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， 的顶点都在格点上，以A为位似中心，按把放大后得到． (1)画出的位似图形． (2)直接写出与四边形面积的比_______． 【例22】如图，顶点均在方格的格点上，按要求作图求解题． (1)作关于y轴对称的图形； (2)在第一象限内，作出关于原点的位似图形，位似比为； (3)作出边上的高交于H． 【变式11-1】在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在网格中画出关于轴成轴对称的． (2)若能在网格中画出以为位似中心，位似比为的，请画出来，若不能在网格中画出来，请写出三个点的坐标． 【变式11-2】图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中的线段上找一点，线段上找一点，连结，使是的中位线． (2)在图②中，以点为位似中心，作的位似，使． 【变式11-3】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，． (1)以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，画出． (2)在所给图形中，以原点为位似中心，位似比为，画出放大后的图形； (3)与的周长比是___________；面积比是___________． 题型十二 位似变换 【例23】如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（   ） A．32 B．18 C．6 D．4 【例24】如图，四边形与四边形位似，点是它们的位似中心，若，则四边形与四边形的周长比为（   ）    A．4:25 B．2:5 C．2:3 D．4:9 【变式12-1】如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式12-2】如图，与位似，点为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【变式12-3】如图，四边形和是以点O为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为 ． 解｜题｜技｜巧 1.通过连接两组对应点，延长线的交点即为位似中心，注意区分内位似（中心在图形间）和外位似（中心在图形同侧）。 2.用性质算边长/坐标 算边长：根据“对应边比=位似比”，结合已知边长列比例式求解； 算坐标：若在直角坐标系中，以位似中心为基准，用“对应点坐标比=位似比（注意正负，区分方向）”计算。 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列各图形的变化只能通过相似变化得到的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值是（   ） A． B． C． D．2 3．如图，中，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点；②作直线，分别交于点，连接．若，则的周长是（    ） A． B． C．12 D．18 5．一天晚上，身高米的小康在广场上散步，看见广场上有一路灯A，已知路灯距离地面米，这时小康站在离路灯A的底部B点5米的C处（即米），此时小康的影子为．若小康沿着所在的直线行走到点E处，此时小康的影子比之前的影子增加了3米，则小康行走的路程 米． 6．如图，G是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E，P，Q分别是和的重心，长为12，则的长为 ． 7．如图，已知四边形与四边形相似，点A，B，C，D的对应点分别为，，，． (1)_______； (2)求边x，y的长度． 8．如图网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均在格点上，利用无刻度的直尺，按要求画图（不要求写出画法，保留作图痕迹．） (1)画出关于对称的； (2)在边上找一点D，在边上找一点E，使得，且相似比为． 9．已知如图，在矩形中，，点E从A点出发，以每秒的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒的速度向C点前进，若移动的时间为t，且．则以点D、E、F为顶点的三角形能否与相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是平行四边形边上一动点，点分别为的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的边上的高；④和的面积和；⑤的大小．其中会随点P的移动而变化的是（   ） A．②③ B．②⑤ C．④⑤ D．①③④ 3．如图，在正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具——桔槔（jié gāo）的结构简图，图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，代表固定支架，点，点分别代表水桶和重物，是固定长度的麻绳，绳长米，杠杆米，，当水桶的位置低于地面0.5米时（如图3），支架与绳子之间的距离是1.2米，则这个桔槔支架的高度为 米． 5．如图，，，于点，于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 6．如图，在中，，点D、E分别是的中点，连接． (1)若的面积为3，求的面积； (2)延长至点F，使，并连接，补全图形后判断四边形的形状，并加以证明； 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形的相似 核心考点 复习目标 考情规律 比例线段与比例基本性质 能算线段比，用比例性质变形 基础小题 平行线分线段相关定理 能用定理列比例式解题 高频考点，易错找错对应线段 相似三角形的判定 能选恰当方法证三角形相似 解答题核心，易错漏夹角条件 相似三角形的性质应用 能用相似三角新的性质进行计算 多题型覆盖，易错面积比关系 位似图形的概念与性质 能判位似，用性质算或作图 基础考点，易错坐标位似方向 知识点01比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段长度分别是，那么就说这两条线段的比是，或写成 2．成比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若，则； （2）若，则（称为的比例中项）． 知识点02黄金分割比 1.黄金分割的定义：点把线段分割成和两段,如果,那么线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比. 注意：(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段，按照如下方法作图： （1）经过点作，使. （2）连接，在上截取. （3）在上截取.则点为线段的黄金分割点. 注意：一条线段的黄金分割点有两个. 知识点03平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 如图一:直线.直线分别交于，若.则 拓展： ①如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等； 如图一:直线，直线分别交于.且距离为,若,则 ②经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边； 如图二:在中，为中点，交于点，则 ③经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 如图三:在梯形中，为中点，交于点，则 知识点04平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 如左图，在中，,则 如右图，在中，交延长线于,则 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 如左图，在中，，则 如右图，在中，交延长线于，则 知识点05相似三角形的相关概念 在和中，如果，，我们就说与相似，记作，就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意：①书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即，则说明点的对应点是，点的对应点是，点的对应点是； ②对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 知识点06相似三角形的判定 1.判定方法（1）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似； 2.判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 3.判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 4.判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 5.要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似 知识点07 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一：，则 由比例性质可得： 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，，则分别作出与的高和，则 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 知识点08位似图形 1．定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心 2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3．画图步骤： （1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 题型一 比例的性质 【例1】已知，若，则 ． 【答案】15 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． 故答案为： ． 【例2】已知，，求． 【答案】 【详解】解：由得， 由得， 所以． 【变式1-1】已知（a，b均不为0），则下列比例式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，， ∴四个选项中，只有C选项中的式子正确， 故选：C． 【变式1-2】若，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴设（），则，，， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】若，则 ． 【答案】 【详解】设，则， ∴． 故答案为：． 题型二 比例线段 【例3】下列四组线段中，不是成比例线段的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.， ∴该四条线段成比例，不符合题意； B. ， ∴该四条线段成比例，不符合题意； C.∵任意两线段之比都不相等， ∴该四条线段不成比例，符合题意； D. ， ∴该四条线段成比例，不符合题意； 故选：C． 【例4】已知线段a、b、c，其中c为a、b的比例中项，，，则 ． 【答案】3 【详解】解：∵c是a、b的比例中项，，， ∴， ∴或（负数舍去）． 故答案为：3． 【变式2-1】下列线段能成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【详解】解：A、，故四条线段不成比例，不符合题意； B、，故四条线段成比例，符合题意； C、，故四条线段不成比例，不符合题意； D、，故四条线段不成比例，不符合题意； 故选：B． 【变式2-2】下列各组中的四条线段，不成比例线段的是（    ） A．1，2，2，4 B．3，4，9，12 C．7，5，3，2 D．1，，， 【答案】C 【详解】解：A．，成比例； B．，成比例； C．，不成比例； D．，成比例． 故选：C． 【变式2-3】如果，是a、c的比例中项，那么 ． 【答案】 【详解】解：是a、c的比例中项， , ． 故答案为：． 解｜题｜技｜巧 先根据题目条件（如线段平行、相似图形对应边）确定四条线段的比例顺序，避免顺序混淆。将已知线段长度代入比例式，用“交叉相乘”转化为整式方程，求解未知线段长度。 题型三 黄金分割 【例5】勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点（），， ∴， ∴的长为． 故选：D． 【例6】如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点C和D分别放在琴弦的黄金分割点上，则C、D之间距离为 （保留根号）． 【答案】/ 【详解】解：∵点C，点D是的黄金分割点， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，将雕像分为上下两部分，其中C为的黄金分割点，即．已知为2米，则的长为 米．（结果保留根号） 【答案】 【详解】解：由得， ， 解得或（舍去）， 故答案为：． 【变式3-2】古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地． 若古筝上有一根弦，支撑点C是靠近点A的一个黄金分割点，则为 ．（结果保留根号） 【答案】 【详解】解：∵点C是靠近点A的一个黄金分割点， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 【答案】 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 即该黄金矩形的宽是． 题型四 平行线分线段成比例 【例7】如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 即 故选：B． 【例8】如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，过点作交于点． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，作于点F，交于点E． 由已知可得，，， ， ， ∵， ∴． ∵四边形是矩形，， ∴， ∴． 故选A． 【变式4-2】在中，，，点D在直线上，且，过点D作交边所在直线于点E，则的长为 ． 【答案】8或16/16或8 【详解】解：如图①，当点D在边上时， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 如图②，当点D在边的延长线上时， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； ∴的长为8或16． 故答案为：8或16． 【变式4-3】已知：如图，在的斜边上任取一点，过点分别作、的平行线，交于点，交于点． (1)求证：； (2)是否平行？若能，此时与有什么关系？ 【答案】(1)见解析 (2)能平行， 【详解】（1）证明：， ． ， ． ； （2）解：能平行． 若，则． ， ． ， ． ，即， 所以． 题型五 相似图形 【例9】如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 【答案】D 【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件； 正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件； 故选：． 【例10】如图，有三个矩形，其中是相似图形的是 ． 【答案】甲和丙 【详解】解：由题图可知，甲、乙、丙都是矩形， 每个内角都为． 甲和乙不相似． 甲和丙相似． 乙和丙不相似 故答案为：甲和丙． 【变式5-1】某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【答案】C 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，过点作交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即 同理可得，， ∴， ∵，， ∴， 同理，， ∴， ∴； 如图所示，延长交于点，延长交于点，延长交于点，延长交于点， ∵四边形是正方形，边长为，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，且对应角都是，都相等， ∴正方形∽正方形； 如图所示，矩形，， 计算方法同上述正方形， ∴矩形，， ∴， ∴矩形于矩形不是相似图形； 综上所述，新图形和旧图形是相似多边形的有2组， 故选：C ． 【变式5-2】如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（   ） A．0.618 B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：由题知，，， 各种开本的矩形都相似， ， ， ， ； 故选：B． 【变式5-3】如图，梯形中，，E是上的一点，，并且将梯形分成的两个梯形相似，若，求．    【答案】 【详解】解：∵四边形与四边形相似， ∴， 又∵，， ∴ 又∵， ∴， ∴ ． 题型六 相似多边形的性质 【例11】如图，四边形四边形，则 ． 【答案】 【详解】四边形四边形， ， 四边形内角和为， ， 故答案为：． 【例12】如图，四边形四边形，求的大小和的长度． 【答案】，， 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，∠A=∠E=118°， 在四边形中，， ∵四边形四边形， ∴， ∴， 解得， ∴． 【变式6-1】如图，在矩形纸片中，，，截去矩形．若剩下的矩形与矩形相似，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：为矩形， ， 矩形与矩形相似， ，即， 解得：， 故答案为：． 【变式6-2】如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开的基础上得到的．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，以此类推，如果各种开本的矩形都相似，那么与的比值是多少？ 【答案】 【详解】解：∵矩形的面积是矩形面积的2倍， ∵各种开本的矩形都相似， ∴， ∴． 答：AB与AD的比值是． 【变式6-3】如图，四边形四边形． (1)_________度； (2)求边x，y的长． 【答案】(1)70 (2)， 【详解】（1）解：四边形四边形，， ， 四边形内角和为，，， ， 故答案为：70； （2）解：四边形四边形， ， 即， 解得，． 题型七 相似三角形的判定 【例13】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为（   ） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【详解】解：设网格的边长为1．则． 连接， ． ∵， ∴． 同理可找到，和相似． 故选：D． 【例14】如图，在中，，是边上高，若，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式7-1】如图，点、、分别在等边的三边、、上，且，求证：． 【答案】见解析 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ． 【变式7-2】如图，在中，，，是内一点，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：，， ． 即． ， ． ． ， ． 【变式7-3】如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，且，过点作于点，连接、、，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、直角三角形两锐角互余、相似三角形的判定、矩形的判定、熟记矩形的判定与性质、掌握“一线三垂直模型”判定两个三角形相似是解决问题的关键． 题型八 相似三角形的性质 【例15】如图，，和分别是和的高，若，，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，和分别是和的高， ∴， ∴， 故选：D． 【例16】已知，和是它们的对应角平分线，若，的周长为16，则的周长是 ． 【答案】12 【详解】解：∵，和是它们的对应角平分线，若， ∴与的周长比为， ∵的周长为16， ∴的周长是12， 故答案为：12． 【变式8-1】已知，和是它们的对应高线，若，，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：和是它们的对应高线，若，， ， ， 和的相似比是， ． 故选：A． 【变式8-2】如图，在中，点D，E分别在边上，，那么 ． 【答案】 【详解】解：， ， （负值舍去）， ， ， 故答案为： ． 【变式8-3】如图，，，，，，点在上由点向点方向移动，当和相似时，为多少？ 【答案】或或 【详解】解：①当时，则，即， ， 解得：， ②当时，则，即， ∴， 即， 解得：或； 综上所述，的长为或或． 解｜题｜技｜巧 通过角的位置、边的顺序（如，对应对应）明确对应边和对应角，避免混淆。 ①若求边长/周长：对应边比=相似比，周长比=相似比，列比例式计算； ②若求面积：面积比=相似比的平方，先找相似比，再算面积或面积比； ③若求角度：直接用对应角相等，结合三角形内角和等知识求解。 题型九 相似三角形的判定与性质 【例17】如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与、分别交于点、．对于下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：，是等腰直角三角形，， ，， ． ∵， ∴， ∴， 所以①正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ， ∴， 所以②正确； 设与相交于， 则． ∵， ∴， ∴． 是等腰直角三角形， ， ， ∴正确的有①②③， 故选：D． 【例18】如图，已知在中，点D，E，F分别在上，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【变式9-1】如图，在中，平分，于点，为的中点，连接延长交于点．若，，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：，为的中点， ， ， 平分， ， ． ， ，， ， ， ， ， 故选：C． 【变式9-2】如图，，是的高，与相交于点，若，且， （1）的面积为 ； （2）若，则 ． 【答案】 /0.6 【详解】解：（1） ，是的高， ． ，． ． 在和中， ． ． ，， ． ． ． 故答案为：． （2） 由（1）知， ． ，， ． ． ，，， ． ． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角形面积公式，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式9-3】如图，在正方形中，对角线，交于点O，点E，F分别在线段上，且，连接并延长交于点，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形 ∴，，， ∵， ∴ 即， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴是菱形； （2）解：∵四边形是正方形 ∴，， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴， ∴． 题型十 相似三角形的应用 【例19】《九章算术》中有一测井深的问题：今有井径5尺，不知其深，立5尺木于井上，从木末梢，入径4寸，问井深几何？今译为：如图所示，有一口水井，井口直径为5尺，现竖立一根5尺长的木杆在井口，视线交井口于点E，入经的长为4寸，则水面距井口距离为 寸．（注：1尺寸） 【答案】 【详解】解：如图： ∵井口直径为5尺， ∴尺寸， ∵寸， ∴寸， ∵竖立一根5尺长的木杆在井口， ∴尺寸， ∵， ∴， ∴，即，解得寸． 故答案为：． 【例20】如图，小明同学晚上由路灯A下的B处走到C处时，测的影子的长为米，继续往前走3米到达E处时，测的影子的长为米，已知小明同学的身高是米，求路灯的高度． 【答案】高度为6米 【详解】解：设路灯的高度为米，的长度为米． ∵小明身高为米，且，，， ∴米，，． ∵， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形对应边成比例），即①． ∵， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形对应边成比例）， 又∵， ∴②． 联立①②，由①得，代入②：， 交叉相乘得：， 展开：， 移项合并：，则． 答：路灯的高度为6米． 【变式10-1】如图，一根直立于水平地面的木杆在灯光下形成影子，当木杆绕点按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知，在旋转过程中，影长的最大值为，最小值为，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯的高度为 m． 【答案】12 【详解】解：如图 当旋转到达地面时，为最短影长，等于， ∵最小值， ∴， ∵影长最大时，木杆与光线垂直，如图 ： 即， 在中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：； 故答案为：． 【变式10-2】如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为 米． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ， ，， ， ， 设，则，， ， 解得， ，， 故答案为：． 【变式10-3】小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆相交于点O，B、D两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且，过点O作于点G，交于点H，经测量与比对，有，，，，． (1)连接，求证：； (2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上后是否会碰到地面？请通过计算说明． 【答案】(1)见解析 (2)小红的连衣裙会碰到地面，说明见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）小红的连衣裙会碰到地面，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴小红的连衣裙会碰到地面． 题型十一 作图-相似变换 【例21】如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， 的顶点都在格点上，以A为位似中心，按把放大后得到． (1)画出的位似图形． (2)直接写出与四边形面积的比_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：根据题意，得，相似比为， ∴， ∴， 又， ∴， ∴与四边形面积的比， 故答案为：． 【例22】如图，顶点均在方格的格点上，按要求作图求解题． (1)作关于y轴对称的图形； (2)在第一象限内，作出关于原点的位似图形，位似比为； (3)作出边上的高交于H． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，即为所求． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是边上的高． 【变式11-1】在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在网格中画出关于轴成轴对称的． (2)若能在网格中画出以为位似中心，位似比为的，请画出来，若不能在网格中画出来，请写出三个点的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)不能画出来，，，或，， 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：不能画出来．当和在原点同侧时，，，，即，，； 当和在原点异侧时，，，，即，，； 综上，，，或，，． 【变式11-2】图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中的线段上找一点，线段上找一点，连结，使是的中位线． (2)在图②中，以点为位似中心，作的位似，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图①，点D，E即为所求； （2）解：由题意得，，相似比为，点M在上，点N在上， ∴， ∴． 如图②，即为所求． 【变式11-3】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，． (1)以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，画出． (2)在所给图形中，以原点为位似中心，位似比为，画出放大后的图形； (3)与的周长比是___________；面积比是___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)； 【详解】（1）解：如图，即为所求作： （2）解：如图，即为所求作： （3）解：∵与的位似比为， ∴与的周长比是，面积比是． 故答案为：；． 题型十二 位似变换 【例23】如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（   ） A．32 B．18 C．6 D．4 【答案】A 【详解】解：∵和是位似图形，点O为位似中心，， ∴位似比， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积为：． 故选：A． 【例24】如图，四边形与四边形位似，点是它们的位似中心，若，则四边形与四边形的周长比为（   ）    A．4:25 B．2:5 C．2:3 D．4:9 【答案】C 【详解】解析：四边形与四边形关于点位似， ， ， 四边形ABCD与四边形的周长比为． 故选：C． 【变式12-1】如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与是以为位似中心的位似图形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴与的相似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标是． 故选：B． 【变式12-2】如图，与位似，点为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵与位似， ∴，且， ∵的周长等于周长的， ∴相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式12-3】如图，四边形和是以点O为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为 ． 【答案】 【详解】此题考查了位似图形和相似的性质，熟练掌握相似形的面积比等于相似比的平方是解题的关键，根据位似图形的性质和得到四边形和的相似比为，即可得到答案． 【分析】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形，， ∴四边形和的相似比为， ∴四边形与四边形的面积比为， 故答案为：. 解｜题｜技｜巧 1.通过连接两组对应点，延长线的交点即为位似中心，注意区分内位似（中心在图形间）和外位似（中心在图形同侧）。 2.用性质算边长/坐标 算边长：根据“对应边比=位似比”，结合已知边长列比例式求解； 算坐标：若在直角坐标系中，以位似中心为基准，用“对应点坐标比=位似比（注意正负，区分方向）”计算。 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列各图形的变化只能通过相似变化得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移变换、旋转变换、轴对称、相似变换的定义．由一个图形到另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小方向和位置可变），这样的图形改变叫做图形的相似变换．解答本题的关键是掌握相似变换的概念．根据相似变换的定义解答即可． 【详解】解：结合图形可知： 选项A可以通过平移变换得到，不符合题意； 选项B图象大小发生了变换，只能通过相似变换得到，不符合题意； 选项C可以通过旋转变换得到，不符合题意；； 选项D可以通过轴对称变换得到，不符合题意；． 故选：B． 2．若，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查比例的性质，根据已知条件设，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 故选：C． 3．如图，中，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点；②作直线，分别交于点，连接．若，则的周长是（    ） A． B． C．12 D．18 【答案】D 【分析】本题考查作图—垂直平分线的作法、直线平行的性质、平行直线分线段成比例定理、含角的直角三角形的性质．根据作图方法可知垂直平分线段，从而可得，根据可得，再结合即可求得答案． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：D． 5．一天晚上，身高米的小康在广场上散步，看见广场上有一路灯A，已知路灯距离地面米，这时小康站在离路灯A的底部B点5米的C处（即米），此时小康的影子为．若小康沿着所在的直线行走到点E处，此时小康的影子比之前的影子增加了3米，则小康行走的路程 米． 【答案】7.5 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．设米，证明，得到，从而求出，则米，设米，证明，得到，求出，即可得解． 【详解】解：设米，则米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为米． ∴米， 设米， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为米． 6．如图，G是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E，P，Q分别是和的重心，长为12，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质．三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．连接，延长交于F点，连接，由G是的重心，可证是的中位线，从而可得．利用三角形重心的定义和性质得到，，得到，再证明得即可． 【详解】解：连接，延长交于F点，连接，如图， ∵G是的重心， ∴、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵P，Q分别是和的重心， ∴点为的中点，， ∴点在中线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，已知四边形与四边形相似，点A，B，C，D的对应点分别为，，，． (1)_______； (2)求边x，y的长度． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了相似多边形的性质，四边形的内角和； （1）相似多边形的对应角相等，可得，再由四边形内角和为，可求得； （2）相似多边形的对应边成比例，可求得边x，y的长度. 【详解】（1）解：∵四边形与四边形相似 ∴ ∵四边形内角和为，，， ∴ 故答案为：. （2）解：∵四边形与四边形相似 ∴ ∵，，，，，， ∴，， 解得，. 故答案为：，. 8．如图网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均在格点上，利用无刻度的直尺，按要求画图（不要求写出画法，保留作图痕迹．） (1)画出关于对称的； (2)在边上找一点D，在边上找一点E，使得，且相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了格点图形中的轴对称作图和相似三角形的无刻度直尺作图，解题的关键是利用正方形格点的坐标或边长特征确定对称点位置，以及结合网格等分线段和构造平行线实现相似比要求． （1）通过观察格点中的位置，利用对称点到的格点距离相等的特征，在另一侧找到B的对称点，连接、完成轴对称作图； （2）先根据网格确定的格点长度，按的相似比在上找到点D，使，则，再利用格点中与平行的连线与交于点E，于是满足． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）如图，点D、E即为所求． 9．已知如图，在矩形中，，点E从A点出发，以每秒的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒的速度向C点前进，若移动的时间为t，且．则以点D、E、F为顶点的三角形能否与相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由． 【答案】能，或 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：能， ∵矩形， ∴，， 由题意，得， ∴， 当时，， ∴，解得； 当时，， ∴，解得； 综上：当或时，点D、E、F为顶点的三角形能与相似． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项进行判断即可． 【详解】解：设每个小正方形的边长为，则在中，，，， A、在中，，，， ，，， ， ，故A选项不符合题意； B、在中，，，， ，，， ， 和不相似，故B选项符合题意； C、在中，，，， ，，， ， ，故C选项不符合题意； D、在中，，，， ，，， ， ，故D选项不符合题意； 故选：B ． 2．如图，是平行四边形边上一动点，点分别为的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的边上的高；④和的面积和；⑤的大小．其中会随点P的移动而变化的是（   ） A．②③ B．②⑤ C．④⑤ D．①③④ 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先证明出是的中位线，得到，，即可判断①；得到的周长，即可判断②；证明出，得到的边上的高边上的高，即可判断③；求出和的面积和即可判断④；由三角形内角和定理即可判断⑤． 【详解】解：①∵是平行四边形边上一动点，点分别为的中点， ∴是的中位线 ∴， ∴线段的长不会随点P的移动而变化； ②∵点分别为的中点， ∴，， ∴的周长 ∵，会随点P的移动而变化 ∴的周长会随点P的移动而变化； ③∵ ∴ ∴边上的高边上的高 ∴的边上的高边上的高， ∵边上的高是平行线和间的距离，不会随点P的移动而变化 ∴的边上的高不会随点P的移动而变化； ④∵ ∴和的面积和 ∴和的面积和不会随点P的移动而变化； ⑤∵，会随点P的移动而变化 ∴的大小会随点P的移动而变化． 综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤． 故选：B． 3．如图，在正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理，相似三角形判定与性质等知识．添加合适辅助线，构造平行线是解题的关键． 如图：作，交于N，交于M.设，则，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：如图：作，交于N，交于M． 四边形是正方形， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 设，则， ， ， 又 是的中位线， ， ． 故选：C． 4．图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具——桔槔（jié gāo）的结构简图，图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，代表固定支架，点，点分别代表水桶和重物，是固定长度的麻绳，绳长米，杠杆米，，当水桶的位置低于地面0.5米时（如图3），支架与绳子之间的距离是1.2米，则这个桔槔支架的高度为 米． 【答案】5.2 【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形的应用，解题关键是通过作辅助线构造相似三角形．利用相似三角形的对应边成比例来求解桔槔支架的高度． 【详解】解：米， 米，米， 如图所示，过点作交的延长线于点，交于点，则， 米，米， （米）． ， ， ∴即， 解得米， 米， 又（米）， （米）． 故答案为：5.2． 5．如图，，，于点，于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余． 根据直角三角形的两个锐角互余，可证，根据垂直定义可证，利用可证； 根据全等三角形的性质可得：，，利用对顶角相等可知，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可证：，根据相似三角形的性质可得：，设，则，从而可得：，解方程求出的值，即为的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 又，， ， 在和中，， ； （2）解：由可知， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得：， ． 6．如图，在中，，点D、E分别是的中点，连接． (1)若的面积为3，求的面积； (2)延长至点F，使，并连接，补全图形后判断四边形的形状，并加以证明； 【答案】(1)12 (2)图见解析，四边形是矩形，证明见解析 【分析】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）易得为的中位线，进而得到，证明，根据面积比等于相似比的平方，即可得出结果； （2）根据题意，补全图形，先证明四边形为平行四边形，再证明，根据对角线相等的平行四边形为矩形，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点D、E分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：补全图形如图： 四边形为矩形，理由如下： ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， 由（1）知：， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形； 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $