专题06 圆（期中复习讲义）（知识必备+11大核心题型+分层验收）九年级数学上学期冀教版

专题06 圆 核心考点 复习目标 考情规律 圆的定义及相关概念 能识别弦、弧、直径等概念 基础小题，易错优弧劣弧混淆 过三点的圆 能确定圆及找三角形外心 基础题，易错外心位置判断 圆心角与圆周角定理及推论 能运用定理求角度、证相等 高频考点，易错忽略同圆条件 垂径定理及推论应用 能借定理求弦长、半径 解答题常考，易错漏辅助线 扇形弧长与面积计算 能代入公式算弧长、面积 计算必考点，易错记错公式 知识点01 圆的定义及有关概念 1.圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆.这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径. 2.圆的表示方法：以点为圆心的圆记作，读作圆. 3.圆的有关概念 弦 连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的). 直径 经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的）. 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以为端点的弧记作，读作圆弧或弧. 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 优弧 在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧. 劣弧 在一个圆中小于半圆的弧叫做劣弧. 知识点02 过三点的圆 （一）圆的确定 1.经过一点作圆：以点以外的任意一点为圆心，以该点与点的距离为半径作圆，则经过点的圆可以作无数个，如图所示： 2.经过两点作圆：以线段垂直平分线上任意一点，这点与点的距离为半径作圆，则经过的圆可以作无数个，如图所示： 3.过不在同一条直线上的三点作圆：圆心在线段、线段的垂直平分线的交点处，以点为圆心，以为半径作圆即可，这样的圆有且只有一个，如图所示： 重要结论：不在同一条直线上的三点确定一个圆. （二）三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，如图所示： 是的外接圆，为的一个内接三角形，点O为△ABC的外心. 1.锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外部，如图所示： 2.一个三角形只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形； 知识点03 圆心角和圆周角的概念 1.圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 3.圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理及推论 具体内容 图示 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 （即：圆周角=圆心角） 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径 推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 4.圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 证明：在⊙中，∵四边是内接四边形 ∴， 知识点04 垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1： ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法： ①过圆心，作垂线，连半径，造直角三角形，用勾股，求长度；②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点05 扇形 （一）扇形的弧长和面积计算 （1）扇形弧长公式：； （2）扇形面积公式： 其中：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 注意： （1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； （2）公式中的表示1°圆心角的倍数，故和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； （3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. （4）对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即； （5）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. （二）扇形与圆柱、圆锥之间联系 立体图 侧面展开图 表面积公式 体积公式 圆柱 = 圆锥 = 题型一 圆的基本概念 【例1】下列哪句话是错误的（    ） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．圆上各点到圆心的距离相等 D．长度相等的两段弧是等弧 【例2】下列说法正确的是（   ） A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 【变式1-1】说法错误的有（   ） ①经过点P的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为且经过点P的圆有无数个；④以点P为圆心，为半径的圆有无数个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】“转化”是一种重要的解决问题策略，在我们数学学习中经常会运用到．例如探索圆的面积计算公式时，许多同学会将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的平行四边形（如图①），然后推导出圆的面积计算方法．小亮在研究时，将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的梯形（如图②）．请仔细观察拼成的这个梯形，梯形的上底与下底的和与梯形的高分别是（    ） A．圆周长，圆的半径 B．圆周长，圆的直径 C．圆周长的一半，圆的半径 D．圆周长的一半，圆的直径 【变式1-3】如图，为的弦，，则等于（   ） A． B． C． D． 题型二 圆的周长和面积 【例3】在推导圆面积计算公式时，将一个圆平均分成32等份，拼成一个近似的长方形；量得长方形宽3厘米，这个长方形长 厘米，这个圆的面积为 平方厘米． 【例4】滚铁环有助于提高人体的平衡性、肢体的协调性以及眼力，可以提高四肢活动能力．如图，直径为4分米的铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点，则 分米．    【变式2-1】如图，个正方形的边长均为，则涂色部分的面积是的图有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2-2】甲、乙两个圆，甲圆的面积是，乙圆的周长是，甲、乙两圆的半径之比是（　　） A． B． C． 【变式2-3】如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（    ）    A． B． C． D．不能确定 題型三 三角形的外接圆问题 【例5】已知的两直角边分别是和，则其外接圆半径为 ． 【例6】如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　）    A．4 B．5 C． D． 【变式3-1】如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则的外心坐标是 ． 【变式3-3】如图是由6个边长为1的小正方形组成的图形，若点A，B，C在同一个圆上，则圆的半径为（    ） A．5 B． C． D． 題型四 圆的尺规作图 【例7】如图，在中，，边上的中线． (1)请用尺规作图法，求作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的外接圆的半径． 【例8】如图，是半圆的直径，是半圆上的一点． (1)作的平分线交半圆于点． (2)在（1）的作图下，连接，求证：． 【变式4-1】如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上．    (1)在图1中画出将绕点A逆时针旋转而成的图形． (2)在图2中画一点E，点E是的外心． 【变式4-2】如图，以已知线段为弦作⊙O，使其经过已知点C．利用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不必写出作法）． 【变式4-3】如图，在中，，作的外接圆；作的角平分线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 题型五 弧、弦、角的关系 【例9】如图，四边形是的内接四边形，连接，延长至点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【例10】如图所示，以的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点E，F，延长交于G． (1)求证：； (2)若劣弧所对圆心角的度数为，求的度数． 【变式5-1】如图，是的直径，，，则的度数为 ． 【变式5-2】如图，A、B、C是上的三点，点B是劣弧的中点，，则的度数等于 ． 【变式5-3】如图，已知是半圆的直径，半径垂直于弦，垂足为点，联结，． (1)求的度数； (2)求的值． 题型六 圆周角定理的有关计算 【例11】如图，点A，B，C，D四点均在上，，，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【例12】如图，是的外接圆，直径，，求的长． 【变式6-1】如图，中，是直径，弧弧弧，，，则= ． 【变式6-2】如图，在中，，．求的度数． 【变式6-3】如图，内接于圆，，点，分别在和上，若，求和的度数． 題型七 圆周角定理的有关证明 【例13】如图，为的内接三角形，，垂足为D，直径平分，交于点F，连接．求证：． 【例14】如图，为的直径，是的弦，的平分线交于点D，连接，； (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式7-1】 如图，四边形内接于，点E在的延长线上，垂直平分，连接． (1)求证：． (2)连接 ，若，，，求的长． 【变式7-2】如图，是的直径，于，平分交于点，交于点． (1)求证：； (2)作，垂足为，若，求的长． 【变式7-3】如图，是的外接圆，弦，交于点E，点D，F关于对称，连接并延长交于点G，交于点H． (1)连接，若，则 °； (2)求证：； (3)求证：． 題型八 圆内接四边形 【例15】如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为， E是圆上一点，，则圆心C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例16】如图，是四边形的外接圆，过点B作，交于点E．若，则的度数为 ． 【变式8-1】如图，四边形内接于，为直径，，连接．若，则的度数为 ． 【变式8-2】如图，四边形内接于，点为弧上任意一点（点不与点D，C重合），连接交于点．若，则的度数可能为（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】如图，中，为的直径，分别交于点D，E，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型九 垂径定理 【例17】如图，在中，直径，弦，且于点，，，则的半径是（   ） A． B．2 C． D．3 【例18】如图，是的直径，弦垂直于于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，求的直径； (2)若，求的度数． 【变式9-1】如图，已知为的直径，为的弦，且．若，则的长是 ． 【变式9-2】如图，点都在圆上，是的直径，交于点E．且． (1)求证：； (2)若，，求． 【变式9-3】如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接． (1)若，，求的直径； (2)若，求的度数． 題型十 扇形的弧长和面积公式 【例19】如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（    ） A． B． C． D． 【例20】若一个扇形的半径为 厘米，比它的弧长大 ，则此扇形的面积为 平方厘米． 【变式10-1】如图，一块含的直角三角板的顶点落在上，边，分别交于，，若的半径为，则劣弧的长为 ． 【变式10-2】如图，以点为圆心的两个同心圆中，点，在大圆上，点，在小圆上， 和的长度分别是．若，则扇形的面积与扇形的面积的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式10-3】如图，一个的正方形，以为圆心，为半径的在形内经过七个单位正方形，则这七个单位正方形在 内侧部分减去外侧部分的面积差是： ． 題型十一 求弓形面积及不规则形状面积 【例21】如图，为半圆的直径，是半圆上一点，且，设扇形、、弓形的面积为、、，则它们的关系是（   ） A． B． C． D． 【例22】如图，在中，是直径，弦，垂足为点，连接，． (1)求证：． (2)若，，求弓形的面积． 【变式11-1】如图，在扇形中，圆心角，半径，将扇形绕半径的中点顺时针旋转，得到扇形，连接，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式11-2】如图，在等腰直角三角形中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是 ． 【变式11-3】如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求； (1)求弧的长； (2)求阴影部分的面积． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图．已知A、B、C三点在上，点C在劣弧上，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 3．若分别是圆上的两段劣弧，且，则弦与弦之间的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 4．如图，菱形的边长为，，将菱形绕点顺时针旋转，使与重合，则在旋转过程中，点所走的路径的长为 （结果不取近似值） 5．已知扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的弧长是 ． 6．如图，是的直径，、是圆上的两点不与、重合，已知，，则 ． 7．如图，破残的圆形轮片上有三点A，B，C． (1)请用直尺和圆规画出该轮片的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 8．已知A，B，C，D是上四点，满足，平分，点F是弦的中点，延长交于E．求证：． 9．如图，是三角形的外接圆，是的直径，于点． (1)求证：； (2)若长为8，，求的半径长． 10．如图，内接于，平分交于D点，交于点E，连接． (1)写出一个与相等的角______． (2)若平分交于点F，求证：． (3)在（2）的条件下，连接，若．且，求的长． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，B，C，D是半径为6的⊙O上的三点，已知的长2π，且，则的长为（   ）    A． B． 6 C． D． 12 2．如图，点A在半径为2的上， ，以为边作等边，则的最大值为（ ） A． B． C．4 D． 3．如图，扇形中，点C在弧上，连接，P为中点，若，点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．如图，是圆O的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为 ． 5．如图，矩形中，，以点为圆心，长为半径的圆弧与以为直径的半圆相交于点，若的度数为，则直径长为 ． 6．如图，为的直径，为弦，于点E，连接并延长交于点F，连接交于点G，，连接． (1)求证：； (2)若，求和的长． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06圆 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 圆的定义及相关概念 能识别弦、弧、直径等概念 基础小题，易错优弧劣弧混淆 过三点的圆 能确定圆及找三角形外心 基础题，易错外心位置判断 圆心角与圆周角定理及推论 能运用定理求角度、证相等 高频考点，易错忽略同圆条件 垂径定理及推论应用 能借定理求弦长、半径 解答题常考，易错漏辅助线 扇形弧长与面积计算 能代入公式算弧长、面积 计算必考点，易错记错公式 记·必备知识 同知识点01圆的定义及有关概念 1.圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆. 这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径 2.圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O,读作圆O. 3.圆的有关概念 弦 连结圆上任意两点的线段叫做弦（例如：右图中的AB), 直径 经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD) 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以A,B为端点的 弧 弧记作AB,读作圆弧AB或弧AB 0 等孤 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧 半圆 都叫做半圆。 优孤 在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧 劣弧 在一个圆中小于半圆的弧叫做劣弧 圆知识点02 过三点的圆 （一)圆的确定 1经过一点A作圆：以点A以外的任意一点为圆心，以该点与点A的距离为半径作圆，则经过点A的圆可 1/57 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以作无数个，如图所示： 0 03 2经过两点A、B作圆：以线段AB垂直平分线上任意一点，这点与点A的距离为半径作圆，则经过A、B 的圆可以作无数个，如图所示： B 3.过不在同一条直线上的三点A、B、C作圆：圆心在线段AB、线段BC的垂直平分线的交点O处，以点 O为圆心，以OA为半径作圆即可，这样的圆有且只有一个，如图所示： B 重要结论：不在同一条直线上的三点确定一个圆 (二)三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，如图所示： B ⊙O是△ABC的外接圆，△ABC为⊙O的一个内接三角形，点O为△ABC的外心 1.锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外 部，如图所示： 2/57 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.一个三角形只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形： 受知识点3圆心角和圆周角的概念 1圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等， 所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量分别相等。 3圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理及推论 具体内容 图示 条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 圆周角定理 (即：圆周角= 圆心角) 2 同弧或等弧所对的圆周角相等。 推论1 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直 推论2 径 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角 推论3 三角形 4.圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 证明：在⊙O中，，四边ABCD是内接四边形 3/57 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠C+∠BAD=180°，∠B+∠D=180° ∠DAE=∠C 局知识点4垂径定理 1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1： ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧： ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法： ①过圆心，作垂线，连半径，造直角三角形，用勾股，求长度；②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 同知识点05扇形 (一)扇形的弧长和面积计算 (1)扇形弧长公式：1=rR 180 (2)扇形面积公式：S=rR 1 =lR 3602 其中n:圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 1:扇形弧长 S:扇形面积 注意： (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 360,即3×2πR=rR 1 360 180 (2)公式中的n表示1°圆心角的倍数，故n和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三 个量 (4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积 360,即1 360 ×πR2=πR2 180 (5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可 以求出第三个量 4/57 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (二)扇形与圆柱、圆锥之间联系 立体图 侧面展开图 表面积公式 体积公式 圆柱 S表=S侧+2S底=2πrh+2πr2 V=πr2h 圆锥 S表=S侧+S底=πRr+πr2 破·重难题型 巴题型一 圆的基本概念 【例1】下列哪句话是错误的() A.直径是圆中最长的弦 B.半圆是弧 C.圆上各点到圆心的距离相等 D.长度相等的两段弧是等弧 【答案】D 【详解】解：A、直径是圆中最长的弦，正确，故本选项不符合题意； B、半圆是弧，正确，故本选项不符合题意； C、圆上各点到圆心的距离相等，正确，故本选项不符合题意： D、在同圆或等圆中，长度相等的两段弧是等弧，原说法错误，故本选项符合题意， 故选：D 【例2】下列说法正确的是() A.过圆心的直线是圆的直径 B.直径是弦，弦是直径 C.半圆是轴对称图形 D.长度相等的两条弧是等弧 【答案】C 【详解】解：A.过圆心的弦是圆的直径，所以A选项不符合题意； B.直径是弦，过圆心的弦是直径，所以B选项不符合题意： 5/57 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.半圆是轴对称图形，所以C选项符合题意； D.在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以D选项不符合题意； 故选：C 【变式1-1】说法错误的有() ①经过点P的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个：③半径为3cm且经过点P的圆有无数个；④以 点P为圆心，3cm为半径的圆有无数个。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【详解】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.则： ①经过一个点P的圆有无数个，正确： ②以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确： ③半径为3cm且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确： ④以点P为圆心，以3cm为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误： 综上，错误的为④，即1个 故选：A 【变式1-2转化”是一种重要的解决问题策略，在我们数学学习中经常会运用到.例如探索圆的面积计算 公式时，许多同学会将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的平行四边形（如图①），然后推导出圆的面 积计算方法.小亮在研究时，将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的梯形（如图②）.请仔细观察拼成 的这个梯形，梯形的上底与下底的和与梯形的高分别是() 图① 图② A.圆周长，圆的半径 B.圆周长，圆的直径 C.圆周长的一半，圆的半径 D.圆周长的一半，圆的直径 【答案】D 【详解】解：由图可得梯形的上底与下底的和为圆周长的一半，梯形的高为圆的直径， 故选：D, 【变式1-3】如图，MN为⊙0的弦，∠M0N=120°，则∠M等于() 6/57 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.30° B.60° C.90° D.120° 【答案】A 【详解】解：OM=ON, ∠M=∠N, ∠M0N=120°， ∠M=(180°-∠M0N÷2=30°， 故选：A. 题型二 圆的周长和面积 【例3】在推导圆面积计算公式时，将一个圆平均分成32等份，拼成一个近似的长方形；量得长方形宽3 厘米，这个长方形长厘米，这个圆的面积为平方厘米 【答案】 3π 9π 【详解】解：将一个圆平均分成32份，拼成一个近似的长方形， 长方形的宽为圆的半径，即圆的半径为3厘米， 2×3π÷2=3元（厘米）， 3π=9元（平方厘米）， 即这个长方形长3π厘米，这个圆的面积为9π平方厘米 故答案为：3π，9π. 【例4】滚铁环有助于提高人体的平衡性、肢体的协调性以及眼力，可以提高四肢活动能力.如图，直径为 4分米的铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动)到达点O，则00'=分米. O(0) 【答案】4π 【详解】铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点O°， “.00'=4π分米 7/57 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：4π 【点晴】本题考查圆的周长，正确理解题意，理解圆的周长的公式是解题的关键。 【变式2-1】如图，4个正方形的边长均为2r,则涂色部分的面积是2r×2r-π2的图有() 2r A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】①涂色部分的面积是2r×2r-π2，符合题意： ②涂色部分的面积是2r×2r-πr2,符合题意； ③涂色部分的面积是2r×2r-πr2,符合题意： ④涂色部分的面积是πr2,不符合题意： 即涂色部分的面积是2r×2r-πr2的图有3个， 故选：C. 【变式2-2】甲、乙两个圆，甲圆的面积是12.56cm2,乙圆的周长是62.8cm,甲、乙两圆的半径之比是() A.1:5 B.1:4 C.2:5 【答案】A 【详解】解：由题意得 3.14×=12.56 解得：用=2， 2×3.14×2=62.8 解得：2=10， 所以2：10=1：5， 故选：A 【点晴】本题考查了圆的面积和周长公式，掌握公式是解题的关键 【变式2-3】如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化 园地的面积为（) 8/57 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 绿化园 A.2πR2 B.4nR2 C.πR2 D.不能确定 【答案】C 【详解】解：因为四边形内角和为360°， 所以四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积， 即这四个喷水池占去的绿化园地的面积为πR. 故选：C 【点睛】本题主要考查了四边形的内角和以及圆面积公式，解答本题的关键是根据四边形的内角和为360°。 得到四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积 它题型三三角形的外接圆问题 【例5】已知RIAABC的两直角边分别是6和8，则其外接圆半径为， 【答案】5 【详解】解：：RtAABC的两直角边分别是6和8， :斜边的长为√62+82=10， .RIAABC的外接圆半径为5. 故答案为：5. 【例6】如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点 上另外找两点B、C,使得ABC的外心为O,求BC的长度为() A.4 B.5 C./10 D.√20 【答案】D 【详解】解：~ABC的外心为O, 9/57 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.0B=0C=0A, 0A=V12+32=10, ∴OB=OC=V10, B、C是方格纸格线的交点， B、C的位置如图所示， BC=V22+42=V20. 故选：D, 【变式3-1】如图，点A,B,C,D均在直线1上，点P在直线1外，则经过其中任意三个点，最多可画出 圆的个数为() P A B c b A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【详解】解：过以下三点可以画出一个圆：A、B、P;A、C、P;A、D、P;B、C、P;B、D、 P;C、D、P. 最多可画出圆的个数为6个. 故选：D. 【点晴】本题考查确定圆的条件，掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A(0,1,B(4,1),C(5,6,则ABC的外心坐标 是 10/57