专题4.1 等可能条件下的概率（高效培优讲义）数学苏科版九年级上册

专题4.1 等可能条件下的概率 教学目标 1.理解概率的定义，掌握概率公式及适用条件； 2.能根据试验因素数量，选择列举法、列表法或树形图法求概率； 3.明确概率与事件发生可能性的关系 教学重难点 1.教学重点：概率的定义与计算公式；三种求概率方法的正确运用 2.教学难点：根据试验因素数量选择合适的求概率方法 知识点01 概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率，记为_______． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率. （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的_______ 2.概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为_______． （1）一般地，所有情况的总概率之和为_______; （2）在一次实验中,可能出现的结果_______; （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性_______; （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近_______；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近_______; （5）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 【即学即练】 1．天气预报信息显示，明天最高气温是 ，最低气温是，降水概率为，根据此信息判断，下列说法中正确的是（   ） A．明天一定下雨 B．明天不可能下雨 C．明天下雨的可能性较小 D．明天下雨的可能性较大 2．在单词中任意选择一个字母，则选择字母“a”的概率为（   ） A． B． C． D． 知识点02 求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较_______时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性_______时使用.等可能性事件的概率可以用列举法而求得. （2）列表法：当一次实验要涉及_______因素，并且可能出现的结果数目较_______时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及_______的因素时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 【即学即练】 1．从长度分别为1，3，4，6，7的五条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 2．某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则甲选择跳绳、乙选择韵律操的概率是（   ） A． B． C． D． 题型01 概率的意义理解 【例1】东东投掷3次硬币，有2次正面朝上，1次反面朝上．那么他投掷第4次时（    ）． A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．正、反两面朝上的可能性相同 D．无法判断哪个面朝上的可能性大 【变式1-1】班级图书角有文学类、历史类、哲学类、自然类图书，扎西可随机从四类图书中任选两类阅读，他的选法有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【变式1-2】有一个经过特殊处理的骰子，这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，但掷出6的概率是掷出1的概率的两倍，则他掷出6的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】请你判断以下四位同学说法正确的是（　　） A．甲说打开电视机，正在播放广告是随机事件 B．乙说掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6是不可能事件 C．丙说某彩票的中奖概率是，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 D．丁说做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 【变式1-4】下列说法正确的是（   ） A．概率很大的事件一定会发生 B．“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件 C．两组身高数据的方差分别是，，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖 题型02 根据概率公式计算 【例2】有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在．现有以下三个结论：①估计绿色卡片有14张；②估计红色卡片有8张；③随机摸一次卡片，摸到绿色卡片的概率为．其中正确的结论是 ．（填序号） 【变式2-1】从标有号码1到100的100张卡片中，随意地抽出一张，其号码是3的倍数的概率是（    ） A． B． C． D．不确定 【变式2-2】如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过，则称该三位数为“友好数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“友好数”的概率为 ． 【变式2-3】一个不透明的口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外完全相同，充分摇匀后随机摸出一球，发现是白球． (1)如果将这个白球放回，摇匀后再摸出一球是白球的概率是多少？ (2)如果将这个白球不放回，再加入个红球，将口袋摇匀后，摸出一球是白球的概率是多少？ 【变式2-4】某校师生为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制统计表： 零花钱数额/元 5 10 15 20 学生人数/名 a 15 20 5 根据表格中信息，回答下列问题： (1)求a的值． (2)求这50名学生每人一周内零花钱数额的中位数． (3)随机抽查一名学生，抽到一周内零花钱数额不大于10元的同学概率为多少？ 题型03 已知概率求数量 【例3】一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除颜色外都相同．随机从中摸1个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 个绿球． 【变式3-1】在一个不透明的口袋中，装有2个白球，3个黄球，若干个红球，它们除颜色外没有任何区别．经过大量重复试验，发现充分搅匀后随机摸出一球，恰好是白球的概率稳定在，则口袋中红球的个数是 【变式3-2】在一个不透明的盒子中，装有个除颜色外其他均相同的小球．已知从盒中任意摸出一球是白球的概率为，若将这一事件的概率提升至，则需要增加白球的个数为 【变式3-3】在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则 ． 【变式3-4】在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的3个红色乒乓球和若干个白色乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为，那么盒子内白色乒乓球有 个 题型04 几何概率 【例4】如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖次(假设每次飞镖均落在游戏板上)，击中飞镖游戏板空白部分的概率是 ． 【变式4-1】如图是由个相同的小正方形和个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，小明有一个边长为的正方形靶盘，其中点，分别是靶盘相邻两边的中点．若小明随意向该靶盘投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为 【变式4-3】如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此他可以估计不规则图案的面积为 ． 【变式4-4】如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为 ． 题型05 列表法或树状图法求概率 【例5】如图，甲、乙两个可以自由转动的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘甲的扇形上分别标有数字，，8，转盘乙的扇形上分别标有数字，5，7（两个转盘除标有的数字不同外，其他完全相同）．转动转盘，待转盘自动停止后，其指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为指针指向的数字（若指针恰好停留在分界线上，则重新转动一次）． (1)转动转盘甲，转盘甲的指针指向负数的概率是 ； (2)分别转动甲、乙两个转盘，待转盘自动停止后，记录各指针指向的数字，请用列表或画树状图的方法，求记录的两数字之和为正数的概率． 【变式5-1】梅县松口，惠州博罗，顺德杏坛，潮汕澄海并称“岭南四大古镇”，是岭南文化的重要传承地．李明一家打算在五一假期随机选择其中3个去游玩，则同时选择梅县松口和惠州博罗的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】在一个不透明的口袋中装有个球，分别标记为，，，，它们除数字外无其他差别，小明从口袋中随机摸出一个球后不放回，再由小红从剩余的球中随机摸出一个球，则摸到的数字小红比小明大的概率是 ． 【变式5-3】小明将1枚质地均匀的硬币朝水平地面抛3次，记三次中恰有1次正面朝上的概率为，小华将3枚质地均匀的硬币朝水平地面同时抛出，记三枚硬币中恰有1枚正面朝上的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】小明和小刚做摸纸牌游戏，如图，两组相同的纸牌，每组三张，牌面数字分别是3，4，5．将两组纸牌背面朝上，洗匀后从每组纸牌中各摸出一张，称为一次游戏．当摸出的两张纸牌的牌面数字之和为奇数时，小明获胜；否则小刚获胜．求小明获胜的概率． 题型06 游戏的公平性 【例6】“五・一”假期，宇宙公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题： (1)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B地车票的概率为______； (2)若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷1次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？ 【变式6-1】甲、乙两人用两个骰子做游戏，两个骰子同时抛出，如果出现两个5点，那么甲赢；如果出现一个4点和一个6点，那么乙赢；如果出现其他情况，那么重新抛掷．你对这个游戏公平性的评价是（    ） A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法评价 【变式6-2】有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 【变式6-3】小强和小兵两位同学设计了一个游戏：将4张正面分别写有数的卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取2张，若数字之差的绝对值为偶数，则小强胜；若数字之差的绝对值大于1，则小兵胜．你认为这个游戏规则是否公平？请说明理由． 【变式6-4】有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张． (1)直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率； (2)小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由． 一、单选题 1．我省普通高考实行“”模式，“3”是指语文，数学，外语三门必考科目，“1”是指在物理，历史2门中必须选1门，“2”是指在剩余的思想政治，地理，化学，生物学4门课程中再任选2门课程学习．这样，高考方案中最多能出现（   ）种考试科目组． A．6 B．16 C．12 D．32 2．下列说法正确的是（   ） A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点 B．可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生 C．天气预报说明天下雨的概率是，意思是说明天将有一半时间在下雨 D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 3．如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从A口进入，从E口离开的概率是（   ） A． B． C． D． 4．从，，这三个数中任取两个数作为点的坐标，则点在第二象限的概率是（   ） A． B． C． D． 5．班级趣味运动会上，老师准备以抽签的方式将男生随机分为若干组进行拔河比赛．抽签方式：老师将数字1，2，3分别写在3张相同的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后每位男生从中一次抽出两张纸条，抽到两张纸条上的数字和相同的分为一组，下列描述正确的是（   ） A．抽到数字和为2的概率为 B．抽到数字和为5的概率为 C．抽到数字和为3的概率为 D．这种方式抽到数字和为4的可能性较大 6．物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有 种张开方式． 8．有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字，，0，2，把这四张卡片背面朝上，随机抽取1张将上面的数字记作a，则的概率是 ． 9．关于概率有下列几种说法，其中正确的说法是 ．（填序号） ①“明天下雨的概率是”表示明天全国有的地方下雨； ②“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上； ③若某种活动的中奖率是，则参加这种活动10次可能有3次中奖； ④“某彩票中奖的概率是”表示买100张该种彩票一定中奖． 10．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止后，指针落在白色区域的概率是 ． 11．一个不透明的袋子中装有除颜色外其他完全相同的若干个红球和黄球，从袋子中随机摸出一个小球，摸出的小球是红球的概率为，若袋子中有9个黄球，则袋子中红球的个数为 ． 12．在古代，我们常用抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号“☰”表示刚毅，符号“☱”表示愉快．若符号中的“⚋”代表“阴”，“⚊”代表“阳”，且每行出现阴、阳的可能性相同，则随机画一个三行符号，出现一阴两阳的概率是 ． 13．如果三位数（表示百位数字为，十位数字为，个位数字为的三位数），且满足或，则称这个三位数为“凹数”．那么，从所有三位数中任意取出一个恰好是“凹数”的概率是 ． 三、解答题 14．如图所示的一个转盘，黄色和蓝色所在扇形的圆心角都为． (1)转动转盘，指针指向红色区域的概率是___________． (2)自由转动这个转盘两次；能配成紫色（红色和蓝色可配成紫色）的概率是多少？（利用树状图或列表法说明） 15．将一副扑克牌中点数为“2”、“3”、“4”、“6”的四张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，记录下牌面点数为x，再从余下的3张牌中抽出1张牌，记录下牌面点数为y．设点P的坐标为，请用树状图或列表的方法求点P在直线上的概率． 16．京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有四张不透明卡片（如图），正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案不同外其余都相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放在桌上． (1)“从这四张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上印有‘生’角色的卡通人物”这一事件属于______事件；（填“随机”“必然”或“不可能”） (2)洗匀后从中随机抽取一张卡片，记下图案后放回，记作随机抽卡片1次．随机抽取卡片10次，其中抽到印有“生”角色卡通人物的卡片2次，则这10次抽卡片中，抽到印有“生”角色卡通人物的卡片的频率为______； (3)从这四张卡片中随机抽取一张，求抽到的卡片上恰好印有“净”角色的卡通人物的概率． 17．一个不透明的袋子中装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同．芳芳从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图．根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)摸到黑球的频率约为____________________；（精确到0.1） (2)估计袋子中黑球的个数． 18．某班有名同学，其中男生人，女生人． (1)若从名同学中随机选取人作为某次活动的记录员，求选到男生的概率； (2)若只在甲、乙两人中选人，准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取张，若牌面数字之和为奇数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请用树状图说明理由； (3)在（）中，只将四张牌面数字分别为的扑克牌中牌面数字为的换为，其余都不变，请直接回答：这个游戏（填“公平”或“不公平”）． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 等可能条件下的概率 教学目标 1.理解概率的定义，掌握概率公式及适用条件； 2.能根据试验因素数量，选择列举法、列表法或树形图法求概率； 3.明确概率与事件发生可能性的关系 教学重难点 1.教学重点：概率的定义与计算公式；三种求概率方法的正确运用 2.教学难点：根据试验因素数量选择合适的求概率方法 知识点01 概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率，记为． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率. （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值. 2.概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1; （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个; （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等; （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0; （5）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 【即学即练】 1．天气预报信息显示，明天最高气温是 ，最低气温是，降水概率为，根据此信息判断，下列说法中正确的是（   ） A．明天一定下雨 B．明天不可能下雨 C．明天下雨的可能性较小 D．明天下雨的可能性较大 【答案】C 【详解】解：降水概率为，那么明天下雨的可能性较小． 故选：C． 2．在单词中任意选择一个字母，则选择字母“a”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵单词中，一共有11个字母，其中字母“a”有2个， ∴在单词中任意选择一个字母，则选择字母“a”的概率为， 故选：B． 知识点02 求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用.等可能性事件的概率可以用列举法而求得. （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 【即学即练】 1．从长度分别为1，3，4，6，7的五条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：从五条线段中任意选取三条，所有可能有： ， ， ， ， ， ， 其中构成三角形的有共3种， ∴能构成三角形的概率是， 故选：D． 2．某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则甲选择跳绳、乙选择韵律操的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将跳绳、踢毽子、韵律操分别记为A，B，C，画树状图如图． 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中甲选择跳绳、乙选择韵律操的结果有种， 甲选择跳绳、乙选择韵律操的概率是． 故选：A． 题型01 概率的意义理解 【例1】东东投掷3次硬币，有2次正面朝上，1次反面朝上．那么他投掷第4次时（    ）． A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．正、反两面朝上的可能性相同 D．无法判断哪个面朝上的可能性大 【答案】C 【详解】解：因为投掷硬币每一面出现的可能性相同，所以东东投掷第4次时正、反两面朝上的可能性相同． 故选：C． 【变式1-1】班级图书角有文学类、历史类、哲学类、自然类图书，扎西可随机从四类图书中任选两类阅读，他的选法有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【详解】解：由题意，他的选法有：文学类、历史类；文学类、哲学类；文学类，自然类；历史类、哲学类；历史类、自然类；哲学类、自然类，共6种； 故选：C． 【变式1-2】有一个经过特殊处理的骰子，这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，但掷出6的概率是掷出1的概率的两倍，则他掷出6的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是， ∴这个骰子掷出1和6的概率之和为， ∵掷出6的概率是掷出1的概率的两倍， ∴他掷出6的概率是． 故选：D 【变式1-3】请你判断以下四位同学说法正确的是（　　） A．甲说打开电视机，正在播放广告是随机事件 B．乙说掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6是不可能事件 C．丙说某彩票的中奖概率是，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 D．丁说做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 【答案】A 【详解】解：A、甲说打开电视机，正在播放广告是随机事件，正确，故A符合题意； B、乙说掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6是必然事件，原说法错误，故B不符合题意； C、丙说某彩票的中奖概率是，那么如果买100张彩票不一定会有5张中奖，原说法错误，故C不符合题意； D、丁说做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是，是不正确的，因为试验次数太少，不能确定钉尖朝上的概率，故D不符合题意； 故选：A． 【变式1-4】下列说法正确的是（   ） A．概率很大的事件一定会发生 B．“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件 C．两组身高数据的方差分别是，，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖 【答案】B 【详解】解：A、概率很大的事件发生的可能性大，不一定会发生，故A选项错误，不符合题意； B、“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件，正确，符合题意； C、∵， ∴甲组的身高更整齐，故C选项错误，不符合题意 ； D、某抽奖活动的中奖概率为，则抽奖10次不一定就有1次中奖，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 题型02 根据概率公式计算 【例2】有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在．现有以下三个结论：①估计绿色卡片有14张；②估计红色卡片有8张；③随机摸一次卡片，摸到绿色卡片的概率为．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】②③/③② 【详解】∵经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在， ∴抽到红色卡片的概率为， ∴红色卡片有（张），绿色卡片有（张），抽到绿色卡片的概率为， ∴①错误，②正确，③正确． 故答案为：②③． 【变式2-1】从标有号码1到100的100张卡片中，随意地抽出一张，其号码是3的倍数的概率是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】一共有100种可能，号码是3的倍数的有3，6，9，…，99，共33种， ∴号码是3的倍数的概率是． 故选：A． 【变式2-2】如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过，则称该三位数为“友好数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“友好数”的概率为 ． 【答案】 【详解】解：用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数出现的等可能结果有：246、264、426、462、624、642， 其中恰好是“友好数”的有246、642， 所以恰好是“友好数”的概率为， 故答案为：． 【变式2-3】一个不透明的口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外完全相同，充分摇匀后随机摸出一球，发现是白球． (1)如果将这个白球放回，摇匀后再摸出一球是白球的概率是多少？ (2)如果将这个白球不放回，再加入个红球，将口袋摇匀后，摸出一球是白球的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：放回白球：第一次摸出白球后放回，口袋中仍为个白球和个红球，总球数为， 概率计算：第二次摸球时，白球数量未变，因此概率为：； （2）不放回白球：第一次摸出白球后，剩余白球数为，红球数仍为， 加入个红球：总红球数变为， 总球数变为， 剩余白球数为，总球数为，因此概率为：． 【变式2-4】某校师生为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制统计表： 零花钱数额/元 5 10 15 20 学生人数/名 a 15 20 5 根据表格中信息，回答下列问题： (1)求a的值． (2)求这50名学生每人一周内零花钱数额的中位数． (3)随机抽查一名学生，抽到一周内零花钱数额不大于10元的同学概率为多少？ 【答案】(1)10 (2)元 (3) 【详解】（1）解：； （2）解：共50人，中位数应该是排序后第25人和第26人的平均数， 故中位数为元； （3）解：∵共50人，零花钱数额不大于10元的有25人， ∴随机抽查一名学生，抽到一周内零花钱数额不大于10元的同学概率为：=． 题型03 已知概率求数量 【例3】一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除颜色外都相同．随机从中摸1个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 个绿球． 【答案】4 【详解】解：∵一个袋子中有若干个白球和绿球，随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是， ∴袋子中至少有4个绿球， 故答案为：4． 【变式3-1】在一个不透明的口袋中，装有2个白球，3个黄球，若干个红球，它们除颜色外没有任何区别．经过大量重复试验，发现充分搅匀后随机摸出一球，恰好是白球的概率稳定在，则口袋中红球的个数是 【答案】 【详解】解：设红球个数为个， ∵摸到白色球的频率稳定在左右， ∴口袋中得到白色球的概率为， ∴， 解得：， 故红球的个数为个． 故答案为：． 【变式3-2】在一个不透明的盒子中，装有个除颜色外其他均相同的小球．已知从盒中任意摸出一球是白球的概率为，若将这一事件的概率提升至，则需要增加白球的个数为 【答案】 【详解】解：设需要增加白球个， 由题意可得，， 解得， 经检验：是原方程的解， ∴需要增加白球个． 故答案为：． 【变式3-3】在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则 ． 【答案】 【详解】∵在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 【变式3-4】在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的3个红色乒乓球和若干个白色乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为，那么盒子内白色乒乓球有 个 【答案】5 【详解】解：∵白色乒乓球的概率为， ∴红色乒乓球的概率为， 盒子内乒乓球的个数为（个）， 白色乒乓球的个数（个）， 故答案为：5． 题型04 几何概率 【例4】如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖次(假设每次飞镖均落在游戏板上)，击中飞镖游戏板空白部分的概率是 ． 【答案】 【详解】解：设小正方形的边长为，则总面积为， 其中阴影部分的面积为， 则空白部分的面积为， ∴击中飞镖游戏板空白部分的概率是； 故答案为：． 【变式4-1】如图是由个相同的小正方形和个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设小正方形的边长为，则大正方形的边长为， ∴总面积为， 阴影部分的面积为， ∴点落在阴影部分的概率为， 故选：B． 【变式4-2】如图，小明有一个边长为的正方形靶盘，其中点，分别是靶盘相邻两边的中点．若小明随意向该靶盘投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为 【答案】 【详解】解：∵正方形的面积为， 阴影部分的面积为， ∴飞镖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 【变式4-3】如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此他可以估计不规则图案的面积为 ． 【答案】4.2 【详解】解：根据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为0.35，长方形的面积为， 则不规则图案的面积为：， 故答案为：4.2． 【变式4-4】如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知：和关于点中心对称， ， ， 飞镖恰好落在阴影区域的概率． 故答案为：． 题型05 列表法或树状图法求概率 【例5】如图，甲、乙两个可以自由转动的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘甲的扇形上分别标有数字，，8，转盘乙的扇形上分别标有数字，5，7（两个转盘除标有的数字不同外，其他完全相同）．转动转盘，待转盘自动停止后，其指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为指针指向的数字（若指针恰好停留在分界线上，则重新转动一次）． (1)转动转盘甲，转盘甲的指针指向负数的概率是 ； (2)分别转动甲、乙两个转盘，待转盘自动停止后，记录各指针指向的数字，请用列表或画树状图的方法，求记录的两数字之和为正数的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中转盘甲指针指向负数的结果有2种， ∴转盘甲指针指向负数的概率是， 故答案为：； （2）解：列表如下： 8 4 5 4 13 7 1 6 15 由表可得共有9种等可能的结果，其中记录的两个数字之和为正数的结果有6种， ∴． 【变式5-1】梅县松口，惠州博罗，顺德杏坛，潮汕澄海并称“岭南四大古镇”，是岭南文化的重要传承地．李明一家打算在五一假期随机选择其中3个去游玩，则同时选择梅县松口和惠州博罗的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将梅县松口，惠州博罗，顺德杏坛，潮汕澄海分别记作A、B、C、D， 画树状图如下： ∴共有24种等可能结果，其中同时选择梅县松口和惠州博罗的情况有12种， ∴同时选择梅县松口和惠州博罗的概率为． 故选：D． 【变式5-2】在一个不透明的口袋中装有个球，分别标记为，，，，它们除数字外无其他差别，小明从口袋中随机摸出一个球后不放回，再由小红从剩余的球中随机摸出一个球，则摸到的数字小红比小明大的概率是 ． 【答案】 【详解】解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中摸到的数字小红比小明大的结果有：，，，，，，共种， 摸到的数字小红比小明大的概率为． 故答案为：． 【变式5-3】小明将1枚质地均匀的硬币朝水平地面抛3次，记三次中恰有1次正面朝上的概率为，小华将3枚质地均匀的硬币朝水平地面同时抛出，记三枚硬币中恰有1枚正面朝上的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将1枚质地均匀的硬币朝水平地面抛3次，三次情况如下： 共有8种情况，1次正面向上、2次反面向上的情况共有3种， ； 将3枚质地均匀的硬币朝水平地面同时抛出，三枚硬币情况如下： 共有8种情况，1枚正面向上、2枚反面向上的情况共有3种， ； ． 故选：B． 【变式5-4】小明和小刚做摸纸牌游戏，如图，两组相同的纸牌，每组三张，牌面数字分别是3，4，5．将两组纸牌背面朝上，洗匀后从每组纸牌中各摸出一张，称为一次游戏．当摸出的两张纸牌的牌面数字之和为奇数时，小明获胜；否则小刚获胜．求小明获胜的概率． 【答案】 【详解】解：列表如下： 3 4 5 3 6 7 8 4 7 8 9 5 8 9 10 由表格知，总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同， 其中摸出的两张纸牌的牌面数字之和为奇数的结果有4种， 则小明获胜的概率为． 题型06 游戏的公平性 【例6】“五・一”假期，宇宙公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题： (1)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B地车票的概率为______； (2)若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷1次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？ 【答案】(1) (2)不公平 【详解】（1）解：员工小王抽到去地车票的概率为， 故答案为：． （2）解：不公平， 画树状图如下： 由此可知，共有16种等可能结果． 其中小张掷得数字比小李掷得数字大的有6种：，，，，，． 所以小张掷得数字比小李掷得数字大的概率为． 则小张掷得数字不小于小李掷得数字的概率为， ， 不公平． 【变式6-1】甲、乙两人用两个骰子做游戏，两个骰子同时抛出，如果出现两个5点，那么甲赢；如果出现一个4点和一个6点，那么乙赢；如果出现其他情况，那么重新抛掷．你对这个游戏公平性的评价是（    ） A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法评价 【答案】C 【详解】根据题意列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 由表可知，共有36种等可能的结果，其中出现两个5点的结果有1种，出现一个4点和一个6点的结果有2种， 甲赢的概率为，乙赢的概率为， 这个游戏对乙有利． 故选：C. 【变式6-2】有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 【答案】A 【详解】解：画树状图如下： A、由树状图可知，共有16可能的结果，其中在直线上的点有、、、，在直线上的点有、、， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 而，故选项A符合题意； B、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积不大于15的结果有8种，乘积大于15的结果有8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项B不符合题意； C、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积大于等于20时甲得5分的结果有6种，乙得3分的结果有10种，， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项C不符合题意； D、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中得到的和为奇数的结果8种，得到的和为偶数的结果8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项D不符合题意； 故选：A． 【变式6-3】小强和小兵两位同学设计了一个游戏：将4张正面分别写有数的卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取2张，若数字之差的绝对值为偶数，则小强胜；若数字之差的绝对值大于1，则小兵胜．你认为这个游戏规则是否公平？请说明理由． 【答案】不公平．理由见解析 【详解】解：不公平．理由如下： 列表为： 1 2 - 1 3 4 1 - 2 3 1 3 2 - 1 2 4 3 1 - 共有12种等可能的结果，其中数字之差的绝对值为偶数的结果有4种，数字之差的绝对值大于1的结果有8种， （数字之差的绝对值为偶数）（数字之差的绝对值大于1）． ， 游戏规则不公平． 【变式6-4】有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张． (1)直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率； (2)小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由． 【答案】(1)小丽取出的卡片恰好是的概率为 (2)这个游戏不公平，对小明有利，理由见解析 【详解】（1）解：小丽取出的卡片恰好是的概率为． （2）解：小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下： 小丽 小明 数字之积 ∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种， ∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率， ∵， ∴这个游戏不公平，对小明有利． 一、单选题 1．我省普通高考实行“”模式，“3”是指语文，数学，外语三门必考科目，“1”是指在物理，历史2门中必须选1门，“2”是指在剩余的思想政治，地理，化学，生物学4门课程中再任选2门课程学习．这样，高考方案中最多能出现（   ）种考试科目组． A．6 B．16 C．12 D．32 【答案】C 【详解】解：根据题意得，可能出现的情况有： 语文，数学，外语，物理，化学，生物； 语文，数学，外语，物理，化学，思想政治； 语文，数学，外语，物理，化学，地理； 语文，数学，外语，物理，生物，思想政治； 语文，数学，外语，物理，生物，地理； 语文，数学，外语，物理，思想政治，地理； 语文，数学，外语，历史，化学，生物； 语文，数学，外语，历史，化学，思想政治； 语文，数学，外语，历史，化学，地理； 语文，数学，外语，历史，生物，思想政治； 语文，数学，外语，历史，生物，地理； 语文，数学，外语，历史，思想政治，地理； ∴最多出现12种情况． 故选：C． 2．下列说法正确的是（   ） A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点 B．可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生 C．天气预报说明天下雨的概率是，意思是说明天将有一半时间在下雨 D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 【答案】D 【详解】解：A、每个点数出现的机会是相同的， 故错误； B、可能性很小的事件，只是出现的机会比较小，也可能发生，故错误； C、天气预报说明天下雨的概率是，是指降雨这件事发生的可能性是，并不表示下雨的时间占总时间的一半，故错误； D、由于图钉的结构不对称，钉尖触地和钉尖朝上不是等可能事件，所以它们的概率不相等，故正确． 故选：D． 3．如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从A口进入，从E口离开的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：列表 出口入口 由列表可知，共有种等可能的结果． 其中从口进入，从口离开的结果只有种，即． 所以． 故选：A． 4．从，，这三个数中任取两个数作为点的坐标，则点在第二象限的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 故选：A． 5．班级趣味运动会上，老师准备以抽签的方式将男生随机分为若干组进行拔河比赛．抽签方式：老师将数字1，2，3分别写在3张相同的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后每位男生从中一次抽出两张纸条，抽到两张纸条上的数字和相同的分为一组，下列描述正确的是（   ） A．抽到数字和为2的概率为 B．抽到数字和为5的概率为 C．抽到数字和为3的概率为 D．这种方式抽到数字和为4的可能性较大 【答案】B 【详解】解：根据题意，可画树状图如下： ∴抽到数字和为2的概率为0，故A选项错误； 抽到数字和为5的概率为，故B选项正确； 抽到数字和为3的概率为，故C选项错误； 抽到数字和为4的概率为，与抽到和为3、5的概率相同，故D选项错误； 故选：B． 6．物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：列表如下： - - - - 由表可知，共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种， 灯泡发光的概率为， 故选：A． 二、填空题 7．在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有 种张开方式． 【答案】10 【详解】解：设5指分别为1，2，3，4，5 根据题意得，可能的情况有： ①1，2，3；②1，2，4；③1，2，5；④1，3，4；⑤1，3，5；⑥1，4，5； ⑦2，3，4；⑧2，3，5；⑨2，4，5；⑩3，4，5． ∴一共有10种张开方式． 故答案为：10． 8．有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字，，0，2，把这四张卡片背面朝上，随机抽取1张将上面的数字记作a，则的概率是 ． 【答案】 【详解】解： 四张标有数字，，0，2，的卡片，摸到每一张的可能性是均等的， ∵所有等可能的结果有4种，其中的有3种， ∴随机抽取1张将上面的数字记作a，则的概率是． 故答案为：． 9．关于概率有下列几种说法，其中正确的说法是 ．（填序号） ①“明天下雨的概率是”表示明天全国有的地方下雨； ②“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上； ③若某种活动的中奖率是，则参加这种活动10次可能有3次中奖； ④“某彩票中奖的概率是”表示买100张该种彩票一定中奖． 【答案】③ 【详解】解：①“明天下雨的概率是”表示明天下雨的可能性很大，故原说法错误，不符合题意； ②“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上，此说法错误，不符合题意； ③若某种活动的中奖率是，则参加这种活动10次可能有3次中奖，此说法正确，符合题意； ④“某彩票中奖的概率是”表示买100张该种彩票一定中奖，此说法错误，不符合题意； 其中正确的说法是③， 故答案为：③． 【点睛】考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题的关键． 10．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止后，指针落在白色区域的概率是 ． 【答案】 【详解】解：由图可知，指针落在白色区域的概率为； 故答案为： 11．一个不透明的袋子中装有除颜色外其他完全相同的若干个红球和黄球，从袋子中随机摸出一个小球，摸出的小球是红球的概率为，若袋子中有9个黄球，则袋子中红球的个数为 ． 【答案】6 【详解】解：设袋子中红球的个数为． 由题意，可知， 解得， 即袋子中红球的个数为6． 故答案为：6． 12．在古代，我们常用抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号“☰”表示刚毅，符号“☱”表示愉快．若符号中的“⚋”代表“阴”，“⚊”代表“阳”，且每行出现阴、阳的可能性相同，则随机画一个三行符号，出现一阴两阳的概率是 ． 【答案】 【详解】解：因为每行出现阴、阳的可能性相同，且每行有2种情况，所以三行符号的所有可能结果有： （阴，阴，阴）、（阴，阴，阳）、（阴，阳，阴）、（阴，阳，阳）、 （阳，阴，阴）、（阳，阴，阳）、（阳，阳，阴）、（阳，阳，阳）， 共8种． 其中出现一阴两阳的结果有：（阴，阳，阳）、（阳，阴，阳）、（阳，阳，阴），共3种． 根据概率公式，出现一阴两阳的概率是． 故答案为：． 13．如果三位数（表示百位数字为，十位数字为，个位数字为的三位数），且满足或，则称这个三位数为“凹数”．那么，从所有三位数中任意取出一个恰好是“凹数”的概率是 ． 【答案】 【详解】解：∵若，a可从这9个数字中任取1个，有9种选择，c可从这10个数字中任取1个，有10种选择：此时，凹数个数小计90个：； 若，a可从这9个数字中任取1个，有9种选择，c从这10个数字中任取1个，但要排除110、111这2个，此时，凹数个数小计88个：； 若，a可从这9个数字中任取1个，有9种选择，c从这10个数字中任取1个，但要排除120、121、122、220、221、222这6个，此时，凹数个数小计84个：； 若b=3，a可从这9个数字中任取1个，有9种选择，c从这10个数字中任取1个，但要排除130、131、132、133、230、231、232、233、330、331、332、333这12个，此时，凹数个数小计78个：； … 若b=9，凹数个数小计0个：； ∴在100～999这900个三位数中，凹数总个数为； 所以从所有三位数中任意取出一个恰好是“凹数”的概率是：． 故答案为：． 三、解答题 14．如图所示的一个转盘，黄色和蓝色所在扇形的圆心角都为． (1)转动转盘，指针指向红色区域的概率是___________． (2)自由转动这个转盘两次；能配成紫色（红色和蓝色可配成紫色）的概率是多少？（利用树状图或列表法说明） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵黄色和蓝色所在扇形的圆心角都为， ∴红色所在扇形的圆心角为， ∴指针指向红色区域的概率为：； 故答案为：． （2）解：树状图如下： 共种等可能的结果，其中能配成紫色的结果有种， 其中能配成紫色（红色和蓝色可配成紫色）的概率为：． 15．将一副扑克牌中点数为“2”、“3”、“4”、“6”的四张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，记录下牌面点数为x，再从余下的3张牌中抽出1张牌，记录下牌面点数为y．设点P的坐标为，请用树状图或列表的方法求点P在直线上的概率． 【答案】 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果；只有在直线上， ∴点在直线上的结果数为2， ∴点在直线上的概率是． 16．京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有四张不透明卡片（如图），正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案不同外其余都相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放在桌上． (1)“从这四张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上印有‘生’角色的卡通人物”这一事件属于______事件；（填“随机”“必然”或“不可能”） (2)洗匀后从中随机抽取一张卡片，记下图案后放回，记作随机抽卡片1次．随机抽取卡片10次，其中抽到印有“生”角色卡通人物的卡片2次，则这10次抽卡片中，抽到印有“生”角色卡通人物的卡片的频率为______； (3)从这四张卡片中随机抽取一张，求抽到的卡片上恰好印有“净”角色的卡通人物的概率． 【答案】(1)随机 (2) (3) 【详解】（1）解：“从这四张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上印有‘生’角色的卡通人物”这一事件属于随机事件； （2）解：抽到印有“生”角色卡通人物的卡片的频率为； （3）解：从这四张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上恰好印有“净”角色的卡通人物的概率为． 17．一个不透明的袋子中装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同．芳芳从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图．根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)摸到黑球的频率约为____________________；（精确到0.1） (2)估计袋子中黑球的个数． 【答案】(1)0.5 (2)20个 【详解】（1）解：观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.5附近， 故摸到黑球的频率约为0.5， 故答案为：0.5． （2）解：（个）， 估计袋子中黑球的个数为20个． 18．某班有名同学，其中男生人，女生人． (1)若从名同学中随机选取人作为某次活动的记录员，求选到男生的概率； (2)若只在甲、乙两人中选人，准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取张，若牌面数字之和为奇数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请用树状图说明理由； (3)在（）中，只将四张牌面数字分别为的扑克牌中牌面数字为的换为，其余都不变，请直接回答：这个游戏（填“公平”或“不公平”）． 【答案】(1) (2)不公平，见解析 (3)公平 【详解】（1）解：∵这个班有名同学，其中男生人，女生人， ∴从名同学中随机选取人作为某次活动的记录员， 选到男生的概率是：； （2）树状图如下： 由树状图可得：从，，，四张扑克牌中任取张，一共有种等可能的结果， 其中牌面数字之和为奇数的结果有种，牌面数字之和为偶数的结果有种， 故牌面数字之和为奇数的概率是：， 牌面数字之和为偶数的概率是， ∵， ∴甲能参加的概率大于乙能参加的概率 ， ∴这个游戏不公平； （3）树状图如下： 由树状图可得：从，，，四张扑克牌中任取张，一共有种等可能的结果， 其中牌面数字之和为奇数的结果有种，牌面数字之和为偶数的结果有种， 故牌面数字之和为奇数的概率是：， 牌面数字之和为偶数的概率是：， ∴甲能参加的概率等于乙能参加的概率， ∴这个游戏公平； 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $