3.3.2 抛物线的简单几何性质（第1课时）（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线的简单几何性质，系统讲解范围、对称性、顶点、离心率等核心内容。通过复习椭圆与双曲线性质及抛物线定义、标准方程，类比引出研究方向，构建从定义到性质的知识学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，类比椭圆双曲线性质研究方法培养数学思维，结合待定系数法求方程、弦长公式推导等例题发展推理能力，总结表格与步骤助学生系统掌握，教师可直接用于教学，提升课堂效率与学生学习效果。

3.3.2抛物线的简单几何性质 (第1课时) 第三章 圆锥曲线的方程 人教A版2019选择性必修第一册·高二 1 章节导读 3.1 椭圆 3.2 双曲线 3.3 抛物线 椭 圆 及 其 标 准 方 程 椭 圆 的 简单几何性质 双曲线 及 其 标 准 方 程 双曲线 的 简单几何性质 抛物线 及 其 标 准 方 程 抛物线 的 简单几何性质 1、理解抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； 2、掌握抛物线标准方程中的几何意义，会根据抛物线的几何性质确定抛物线的标准方程； 3、运用类比椭圆、双曲线性质的研究方法，提高学生类比推理的能力； 重点：抛物线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率） 难点：运用抛物线的几何性质解决相关的综合问题 学习目标 如果动点到定点的距离与到定直线(不过点)的距离之比为. ＊当时，点的轨迹为椭圆； ＊当时，点的轨迹为抛物线； ＊当时，点的轨迹为双曲线； 新知导入（复习回顾） 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 焦点到准线的距离 焦点看一次项所对应的轴，一次项系数为正，则在正半轴；为负，则在负半轴. 新知导入（复习回顾） 问题1：前面已经学习了抛物线的概念与抛物线的标准方程，按照解析几何研究几何图形的内在逻辑，接下去我们应该研究什么？ 确定椭圆研究问题：范围、对称性、顶点、离心率. 确定双曲线研究问题：范围、对称性、顶点、离心率、渐近线. 抛物线的几何性质 问题2：类比对椭圆、双曲线几何性质的研究，你认为应该研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 确定抛物线研究问题：范围、对称性、顶点、离心率. 新知探究 思考：观察平面直角坐标系中的抛物线，它有怎样的范围？你能利用它的方程给出证明吗？ 1、范围： 解：对于抛物线上的点，，， 当时，抛物线在轴的右侧， 开口方向与轴的正方向相同； 当的值增大时，的值也增大， 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. ， 以为例 新知生成 解：●以代，方程不变，当点在双曲线上时，它关于轴的对称点 也在双曲线上，所以双曲线关于轴对称. 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 思考：观察抛物线的形状，可以发现抛物线是轴对称图形，如何利用方程说明抛物线的对称性？ 2、对称性： 关于x轴对称 新知生成 3、顶点： 思考：你认为抛物线上哪些点比较特殊？为什么？如何得到这些点的坐标？ 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点. 在方程中，当时，， 因此抛物线的顶点就是原点. 新知生成 4、离心率： 抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示.由抛物线的定义可知，. 新知生成 标准方程 图形 范围 对称性 关于轴对称 顶点 关于轴对称 关于轴对称 关于轴对称 归纳总结 1、判断正误 (1)抛物线有一条对称轴为轴.( ) (2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.( ) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.( ) (4)抛物线是双曲线的一支，也有渐近线.( ) × √ √ √ 习题演练 例1：已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，求它的标准方程. 解：因为抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， 所以可设它的标准方程为. 因为点在抛物线上，所以，解得. 因此，所求抛物线的标准方程是. 追问：求顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程. 典例分析 追问：求顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程. 有两条，抛物线的标准方程是(同例题)或 解：因为抛物线的顶点在原点，对称轴是轴， 所以可设它的标准方程为. 因为在抛物线上，所以，解得. 因此，所求抛物线的标准方程是. 典例分析 归纳总结 用待定系数法求抛物线方程的步骤 寻关系 得方程 根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向 定位置 设方程 根据焦点和开口方向设出标准方程 根据条件列出关于的方程 解方程，将代入所设方程为所求 归纳总结 教材P136 练习 1、求适合下列条件的抛物线的标准方程 (1)关于轴对称，并且经过点； (2)关于轴对称，准线经过点； (3)准线在轴的右侧，顶点到准线的距离是； (4)焦点在轴负半轴上，经过横坐标为16的点，且平行于准线 习题演练 练习：如图，已知边长为2的等边，为坐标原点，⊥轴. (1)求以为顶点且过的抛物线的标准方程； (2)求抛物线的焦点坐标，准线方程及离心率. 习题演练 思考：直线与抛物线有怎样的位置关系？ ①相交； ②相切； ③相离. 1个公共点 2个公共点 与对称轴平行或重合 1个公共点 0个公共点 新知生成 例题：已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线只有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？ 思考：怎样判断直线与抛物线的位置关系？ 联立直线与抛物线的方程 解：由题意，直线的方程为， 由方程组可得.① 当时，解得， 把代入，得，这时直线与抛物线只有一个公共点， 当时，，解得或， 综上所述，当或或时，直线与抛物线只有一个公共点. 典例分析 例题：已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线只有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？ 思考：怎样判断直线与抛物线的位置关系？ 联立直线与抛物线的方程 解：由题意，直线的方程为， 由方程组可得.① 当时，，解得， 综上所述，当且时，直线与抛物线有2个公共点. 典例分析 例题：已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线只有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？ 思考：怎样判断直线与抛物线的位置关系？ 联立直线与抛物线的方程 解：由题意，直线的方程为， 由方程组可得.① 当时，，解得或， 综上所述，当或时，直线与抛物线没有公共点. 典例分析 判断直线与抛物线位置关系的操作程序 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与抛物线的 对称轴平行 相交（一个交点） 计算判别式 相交 相切 相离 归纳总结 22 3、过点作斜率为1的直线，交抛物线于两点，求. 教材P136 练习 解：设直线：，， 消去，得， 解得，，所以. 4、垂直于轴的直线交抛物线于两点，且，求直线的方程. 习题演练 题型探究：一、根据几何性质求抛物线的标准方程 例1、以轴为对称轴，顶点为原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（　C　） A. B. C. 或 D. 或 解析：依题意设抛物线方程为 .因为焦点与原点之间的距离为2，所以 ，所以，所以抛物线方程为或. C 例2、已知边长为1的等边三角形 ， 为原点， 轴，则以 为顶点且过，的抛物线方程是（　C　） A. y2＝ x B. y2＝－ x C. y2＝± x D. y2＝± x 解析：设抛物线方程为. 又 （取点 在 轴上方），则有 ＝± ，解得 ± ， 所以抛物线方程为± x .故选C. C 题型探究：一、根据几何性质求抛物线的标准方程 例3：斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长. 解：，设直线：，， 由消去，得 解得，， 所以 思考：你还有别的做法嘛？ 题型探究：二、抛物线的弦长 例3：斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长. 解：由题意，准线为，设， 两点到准线的距离分别为，， 由抛物线的定义，可知， ， 于是， 又由消去，得，则，于是 思考：如果直线不经过焦点，还等于吗？ 题型探究：二、抛物线的弦长 解：设直线经过轴上任意一点，其中，则直线：. 直线与抛物线的的两个交点为， 显然. 消去，得， 解得，， 所以，长度与紧密关联. 思考：如果直线不经过焦点，还等于吗？ 题型探究：二、抛物线的弦长 ①两点距离： ②弦长公式： 过抛物线的一个焦点且与对称轴垂直的弦叫做通径，通径长为. 弦长公式 设斜率为的直线与圆锥曲线相交于，. 过抛物线焦点的弦. 题型探究：二、抛物线的弦长 思考：在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并思考抛物线的开口受什么影响？ ； ； ； ； 教材P133 练习 P越大,开口越开阔 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图. 题型探究：二、抛物线的弦长 例4、过抛物线 的焦点作直线交抛物线于， 两点，如果 ，那么 A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 解析：由题意知，抛物线 的准线方程是 ∵过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 ，两点，∴. 又∵ ，∴.故选B. B 题型探究：二、抛物线的弦长 例5：已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的纵坐标是（　D　） A.1 B. 2 C. D. 解析：设线段 的中点为，分别过三点作准线 l 的垂线，垂足分别为，由题意得 ，又， D 题型探究：二、抛物线的弦长 标准方程 图形 焦半径 焦点弦 通径 (越大，开口越开阔) 归纳总结：直线与抛物线相交于，. 题型探究：二、抛物线的弦长 练习：如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，求. 追问：则的面积为____________. T5 解：过点作垂直于准线， 过点作，由抛物线的定义可知， 所以， 即， 所以. 题型探究：二、抛物线的弦长 归纳总结：如图，若，是抛物线的焦点弦，直线的倾斜角为， _________， _________， _________， _________. 题型二：抛物线的弦长 抛物线的简单几何性质： 标准 方程 的几何意义：焦点到准线的距离 图 象 范围 对称轴 轴 轴 顶点 (0,0) 离心率 课堂小结 感谢聆听! 解：(1)如图，设轴于点E，则由可得 设抛物线方程为，则，， ∴抛物线的标准方程为. (2)由(1)知，∴， ∴抛物线的准线方程为， 焦点坐标为，离心率. $