第22讲 抛物线的简单几何性质（思维导图+4知识点+6考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第22讲 抛物线的简单几何性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．依据抛物线的方程、图形研究抛物线的几何性质； 2．能解决与抛物线的简单几何性质相关的简单问题； 3．能综合利用抛物线的几何性质解决相关的综合问题. 知识点 1 抛物线的几何性质 1、抛物线的几何性质 （1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点． （4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． 2、四种标准方程对应的抛物线的性质比较 标准方程 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 知识点 2 焦半径公式 1、焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． 2、用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线，． （2）抛物线，． （3）抛物线，． （4）抛物线，． 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． 3、焦半径公式的应用：利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷．一般来说，涉及到过焦点的直线与抛物线的交点问题，利用此公式解决较为简单． 知识点 3 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 3、直线与抛物线相交弦长问题 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）中点弦斜率：, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. （3）中点弦直线方程：直线的方程为． 知识点 4 抛物线的焦点弦性质 1、焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦． 2、焦点弦长：如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）. （4）若直线的倾斜角为，则. （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. （6）为定值. 考点一：由抛物线方程研究几何性质 例1．（22-23高二上·江苏苏州·期末）抛物线上一点到其对称轴的距离为（    ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】把代入抛物线方程中，得， 因为该抛物线的对称轴为纵轴， 所以抛物线上一点到其对称轴的距离为4，故选：A 【变式1-1】（23-24高二上·山东·月考）已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 【答案】D 【解析】因为是上一点，所以，所以， 由抛物线的定义可得到的距离为， 点到的对称轴的距离为， 则，解得或.故选：D. 【变式1-2】（23-24高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点， 另外两个顶点在抛物线上， 可设另外两个顶点的坐标分别为， ，解得， 故这个等边三角形的边长为.故选：A. 【变式1-3】（23-24高二下·广东湛江·开学考试）已知点F是抛物线的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为4，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，且，到准线的距离为， 则，解得， 则，，.故选：A 考点二：由几何性质求抛物线的方程 例2.（23-24高三上·山东青岛·开学考试）设抛物线：的焦点为，在上，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】抛物线的开口向上， 由于在上，且， 根据抛物线的定义可知， 所以抛物线的方程为.故选：A 【变式2-1】（23-24高二上·云南昭通·期末）若抛物线上一点到其焦点的距离等于3，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因抛物线上一点，所以， 因此抛物线的准线方程为：， 由抛物线上一点到其焦点的距离等于3， 故根据抛物线定义得：，解得.故选：A. 【变式2-2】（23-24高二上·全国·专题练习）边长为1的等边，O为坐标原点，x轴，以O为顶点且过的抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设抛物线方程为.设， 由题意得，，解得，， 取点A在x轴上方，故，代入抛物线中， 则有，解得， 所以抛物线方程为.故选：C 【变式2-3】（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是周长为12的正三角形.则抛物线的方程为 . 【答案】 【解析】由是周长为12的等边三角形，得， 又由抛物线的定义可得.设准线与轴交于，则， 从而， 在中，，即. 所以抛物线的方程为. 故答案为： 考点三：直线与抛物线的位置关系 例3.（23-24高二上·全国·课后作业）直线与抛物线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】B 【解析】因为直线与抛物线的对称轴平行， 故直线与抛物线只有一个公共点．故选：B. 【变式3-1】（23-24高二下·江西·月考）直线与抛物线：的图象相切，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，消去整理得， 由，解得或（舍去）， 所以抛物线：，则的准线方程为.故选：A 【变式3-2】（23-24高二下·上海·月考）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】因为点不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线斜率时，易知满足条件； 当直线斜率存在且时，设直线方程为， 由，整理得到， 由，解得. 综上所述：满足条件的直线有条.故选：D 【变式3-3】（23-24高二上·北京西城·月考）“”是“直线与抛物线有唯一公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】联立与得，， 当时，，只有一个根，满足要求， 当时，令，解得， 故直线与抛物线有唯一公共点”时，或， 故是“直线与抛物线有唯一公共点”的充分不必要条件.故选：A 考点四：直线与抛物线焦点及弦长 例4.（23-24高二下·湖南邵阳·期中）设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于M，N两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线为：， 联立，消去可得：，解得, 不妨令,则, 故．故选：C. 【变式4-1】（23-24高二下·湖南·月考）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线在第一象限交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，， 直线与抛物线在第一象限交于点 ，解得或， 由于在第一象限，故的横坐标为1，则.故选：B 【变式4-2】（23-24高二上·四川绵阳·期末）过抛物线焦点的直线交于，两点，线段中点M到轴距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，由抛物线，得， 设，， 由线段中点M到轴距离为， 可知，所以， 又由抛物线定义可知，故选：B. 【变式4-3】（23-24高二下·吉林长春·月考）已知直线过抛物线的焦点，与相交于两点，且．若线段的中点的横坐标为3，直线的斜率为 ． 【答案】 【解析】抛物线的焦点，如图1，令， 由，可得， 又，则，则，此时抛物线，其焦点． 由题意可得直线的斜率存在，则其方程可设为， 由整理得，则 则，即， 即，解得． 故答案为：. 考点五：抛物线的中点弦问题 例5.（23-24高二上·山东枣庄·月考）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（    ） A． B．2 C．或2 D．以上都不是 【答案】B 【解析】设，因为中点的横坐标为，则， 可得， 又由，两式相减得到，可得， 可得，解得或， 联立方程组，整理得， 由，解得，所以.故选：B. 【变式5-1】（23-24高二上·河北邯郸·期中）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，线段中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由抛物线得焦点， 设，，则， 两式相减得，即， 因为线段中点的纵坐标为1，即， 所以，即， 所以直线的方程为，即，显然此时直线与抛物线有两交点， 所以到直线的距离，故选：A． 【变式5-2】（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知抛物线，过点作一条直线l与抛物线交于两点，恰使得点平分，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】设直线与抛物线的两个交点分别为，，将两点代入抛物线方程得 ，两式作差可得， 即，所以直线的斜率， 所以直线方程为，即. 故答案为： 【变式5-3】（23-24高二上·重庆·月考）已知点P到的距离与它到x轴的距离的差为4，P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于A，B两点，且弦中点的横坐标为，求的斜率. 【答案】(1)或；(2). 【解析】（1）设，由题意可知：， 两边同时平方，得 所以的方程为或. （2）由题可知曲线为， 设，，则. 由得， 所以的斜率为. 考点六：抛物线的综合应用 例6.（23-24高二上·山东潍坊·期末）如图，已知抛物线的焦点为F，点M在其准线上，，直线MF的倾斜角为，且与C交于A，B两点，O为坐标原点 (1)求C的方程； (2)求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为直线的倾斜角为，记准线与x轴交点为K， 易知为等腰直角三角形，且， 所以焦点到准线的距离为2，即， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）可得，， 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即的方程为， 联立可得， 所以 所以， 又点到直线AB的距离， 所以的面积. 【变式6-1】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，中恰有两个点在抛物线上． (1)求的标准方程 (2)若点，在上，且，证明：直线过定点． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】（1）因为点，关于轴对称，抛物线也关于轴对称， 所以点，在上， 将点代入抛物线得，，即， 所以抛物线的方程为：； （2）由题意可知，直线的斜率一定存在，则设直线的方程为， 由消得：， 由韦达定理得， 所以直线，显然恒过定点． 【变式6-2】（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）设点P的坐标，由题设及抛物线的定义可知， 点P的轨迹为以焦点，准线方程为的抛物线， 故点P的轨迹C的方程为：． （2）证明：由（1）得，曲线C的方程为：． 由题设可知，直线l的斜率必不为0，故设， 由得：，， 设，，则，． 所以，，故即． 【变式6-3】（23-24高二上·山西太原·期末）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，过点的直线交抛物线于、两点，求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意点为抛物线：的焦点， 点在抛物线上，且，得，解得， 故抛物线的方程为. （2）证明：设直线的方程为，，， 由，得，，. ， ，即直线关于x轴对称，故. 1．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【解析】依题意，由抛物线的定义知，点到抛物线焦点的距离即点到准线的距离， 即.故选：B. 2．（23-24高三上·湖北·期末）抛物线的方程为，过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】显然直线的斜率存在，设其方程为，， 由消去y并整理得，则， 所以.故选：C 3．（23-24高二下·安徽芜湖·月考）直线与抛物线交于 两点，则 （    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解析】联立，消去可得， 设，，所以， 又因为抛物线 的焦点在直线上，.故选：B. 4．（23-24高二下·安徽·月考）已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于P，Q两点，若，则直线l倾斜角的正弦值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解析】 过P，Q分别作，垂直于准线，垂足分别为，，过Q作，垂足为R， 设，则，，．故选：A. 5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 【答案】C 【解析】联立直线和抛物线方程可得， 整理可得， 直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根， 当时，方程为仅有一解，符合题意； 当时，一元二次方程仅有一解， 即，解得， 所以满足题意得直线有三条，即，和.故选：C 6．（23-24高三下·安徽·月考）已知抛物线，过C的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，线段AB的中点为W，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】设， 则两式相减，可得， 所以，即， 所以，所以， 代入直线，得， 所以，所以，解得.故选：B 二、多选题 7．（23-24高二上·河北邢台·月考）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线没有离心率 B．抛物线的离心率为1 C．若直线与抛物线只有一个交点，则该直线与抛物线相切 D．抛物线一定有一条对称轴，一个顶点，一个焦点 【答案】BD 【解析】抛物线上的点M到焦点F的距离和点M到准线的距离d的比，叫作抛物线的离心率， 所以由抛物线的定义可知抛物线的离心率为1，故A不正确，B正确； 若直线与抛物线的对称轴平行，则直线与抛物线也只有一个交点， 此时直线与抛物线相交，所以C不正确； 抛物线有且仅有一条对称轴，一个顶点，一个焦点，所以D正确．故选：BD. 8．（23-24高三上·重庆·月考）设抛物线C: 的焦点为F， 准线为. 点A，B是抛物线C上不同的两点，且，则（    ） A． B．以线段为直径的圆必与准线相切 C．线段的长为定值 D．线段的中点 E 到准线的距离为定值 【答案】AD 【解析】依题意，抛物线的焦点，方程为，则，A正确； 令，显然，即， 取，则，即点，此时， 以线段为直径的圆的圆心为，该圆心到准线的距离为4，不等于圆半径， 因此该圆与准线不相切，B错误； 以点为端点的线段长，当直线垂直于x轴时，， 此时，C错误； 线段的中点E的横坐标为3，点E到准线的距离为，D正确.故选：AD 三、填空题 9．（23-24高二上·浙江金华·月考）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于A，B两点，的中垂线分别交l与x轴于D，E两点（D，E在的两侧）.若四边形为菱形，则 【答案】/ 【解析】由题意，四边形为菱形，则，且 由抛物线定义知：，故为等边三角形， 由对称性不妨设直线， 与联立得， 设，则， 故. 故答案为： 10．（23-24高二上·安徽合肥·月考）已知抛物线的弦斜率为1，则弦中点的轨迹方程 . 【答案】（） 【解析】设直线的方程为， 联立， 由于，所以， 设,则故 因此， 设， 由于，则， 故的轨迹方程为，（） 故答案为：（） 11．（23-24高二上·辽宁·期末）已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为 . 【答案】或 【解析】当过的直线斜率不存在时，方程为，与相切，满足要求， 当过的直线斜率存在时，设切线方程为，联立得， ， 令，解得， 故，即. 故答案为：或 四、解答题 12．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线，定点． (1)过点且过抛物线的焦点的直线，交抛物线于、两点，求； (2)求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线方程． 【答案】(1)；(2)或或 【解析】（1）由题意可得，直线的方程为,即， 联立解方程组,可得， 设,,,，则， ， （2）当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立，得， 当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点， 当时，则，解得，直线方程为 13．（23-24高二上·陕西榆林·期末）已知抛物线：（）的焦点关于其准线的对称点为. (1)求抛物线的方程； (2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，求的面积. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）抛物线：的焦点关于其准线的对称点为， 于是，解得：， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）知，直线的方程为，设，， 由消去x得：，则， 所以的面积. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22讲 抛物线的简单几何性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．依据抛物线的方程、图形研究抛物线的几何性质； 2．能解决与抛物线的简单几何性质相关的简单问题； 3．能综合利用抛物线的几何性质解决相关的综合问题. 知识点 1 抛物线的几何性质 1、抛物线的几何性质 （1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点． （4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． 2、四种标准方程对应的抛物线的性质比较 标准方程 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 知识点 2 焦半径公式 1、焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． 2、用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线，． （2）抛物线，． （3）抛物线，． （4）抛物线，． 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． 3、焦半径公式的应用：利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷．一般来说，涉及到过焦点的直线与抛物线的交点问题，利用此公式解决较为简单． 知识点 3 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 3、直线与抛物线相交弦长问题 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）中点弦斜率：, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. （3）中点弦直线方程：直线的方程为． 知识点 4 抛物线的焦点弦性质 1、焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦． 2、焦点弦长：如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）. （4）若直线的倾斜角为，则. （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. （6）为定值. 考点一：由抛物线方程研究几何性质 例1．（22-23高二上·江苏苏州·期末）抛物线上一点到其对称轴的距离为（    ） A．4 B．2 C． D．1 【变式1-1】（23-24高二上·山东·月考）已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 【变式1-2】（23-24高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二下·广东湛江·开学考试）已知点F是抛物线的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为4，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 考点二：由几何性质求抛物线的方程 例2.（23-24高三上·山东青岛·开学考试）设抛物线：的焦点为，在上，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·云南昭通·期末）若抛物线上一点到其焦点的距离等于3，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·全国·专题练习）边长为1的等边，O为坐标原点，x轴，以O为顶点且过的抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是周长为12的正三角形.则抛物线的方程为 . 考点三：直线与抛物线的位置关系 例3.（23-24高二上·全国·课后作业）直线与抛物线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【变式3-1】（23-24高二下·江西·月考）直线与抛物线：的图象相切，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二下·上海·月考）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-3】（23-24高二上·北京西城·月考）“”是“直线与抛物线有唯一公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 考点四：直线与抛物线焦点及弦长 例4.（23-24高二下·湖南邵阳·期中）设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于M，N两点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二下·湖南·月考）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线在第一象限交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·四川绵阳·期末）过抛物线焦点的直线交于，两点，线段中点M到轴距离为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二下·吉林长春·月考）已知直线过抛物线的焦点，与相交于两点，且．若线段的中点的横坐标为3，直线的斜率为 ． 考点五：抛物线的中点弦问题 例5.（23-24高二上·山东枣庄·月考）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（    ） A． B．2 C．或2 D．以上都不是 【变式5-1】（23-24高二上·河北邯郸·期中）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，线段中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知抛物线，过点作一条直线l与抛物线交于两点，恰使得点平分，则直线的方程为 . 【变式5-3】（23-24高二上·重庆·月考）已知点P到的距离与它到x轴的距离的差为4，P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于A，B两点，且弦中点的横坐标为，求的斜率. 考点六：抛物线的综合应用 例6.（23-24高二上·山东潍坊·期末）如图，已知抛物线的焦点为F，点M在其准线上，，直线MF的倾斜角为，且与C交于A，B两点，O为坐标原点 (1)求C的方程； (2)求的面积. 【变式6-1】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，中恰有两个点在抛物线上． (1)求的标准方程 (2)若点，在上，且，证明：直线过定点． 【变式6-2】（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：． 【变式6-3】（23-24高二上·山西太原·期末）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，过点的直线交抛物线于、两点，求证：. 1．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 2．（23-24高三上·湖北·期末）抛物线的方程为，过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·安徽芜湖·月考）直线与抛物线交于 两点，则 （    ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（23-24高二下·安徽·月考）已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于P，Q两点，若，则直线l倾斜角的正弦值为（    ） A． B． C．2 D．3 5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 6．（23-24高三下·安徽·月考）已知抛物线，过C的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，线段AB的中点为W，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 7．（23-24高二上·河北邢台·月考）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线没有离心率 B．抛物线的离心率为1 C．若直线与抛物线只有一个交点，则该直线与抛物线相切 D．抛物线一定有一条对称轴，一个顶点，一个焦点 8．（23-24高三上·重庆·月考）设抛物线C: 的焦点为F， 准线为. 点A，B是抛物线C上不同的两点，且，则（    ） A． B．以线段为直径的圆必与准线相切 C．线段的长为定值 D．线段的中点 E 到准线的距离为定值 三、填空题 9．（23-24高二上·浙江金华·月考）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于A，B两点，的中垂线分别交l与x轴于D，E两点（D，E在的两侧）.若四边形为菱形，则 10．（23-24高二上·安徽合肥·月考）已知抛物线的弦斜率为1，则弦中点的轨迹方程 . 11．（23-24高二上·辽宁·期末）已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为 . 四、解答题 12．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线，定点． (1)过点且过抛物线的焦点的直线，交抛物线于、两点，求； (2)求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线方程． 13．（23-24高二上·陕西榆林·期末）已知抛物线：（）的焦点关于其准线的对称点为. (1)求抛物线的方程； (2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，求的面积. ( 9 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$