专题05 勾股定理的应用重难点题型专训（3个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题05 勾股定理的实际应用重难点题型专训 （3个知识点+12大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 梯子滑落高度问题 题型二 旗杆高度问题 题型三 小鸟飞行距离问题 题型四 大树折断前高度问题 题型五 水杯中筷子问题 题型六 航海距离问题 题型七 河宽问题 题型八 台阶上地毯长度问题 题型九 汽车是否超速问题 题型十 是否受台风影响问题 题型十一 选址问题 题型十二 最短路径问题 拓展训练一 受影响问题综合应用 拓展训练二 蚂蚁爬行距离综合 拓展训练三 勾股定理的最值训练 知识点一：勾股定理的应用 1.用勾股定理解决一般问题的步骤 （1）由题意画出符合要求的直角三角形，把实际问题转化为数学问题； （2）将待求的量看成直角三角形的一条边； （3）利用勾股定理求解. 2.求直角三角形边长的方法 若已知两边长，可直接由勾股定理求第三边长，若已知一边及另外两边的关系，可设未知数根据勾股定理求解. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海长宁·单元测试）如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为（    ） A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米 2．（2025·上海虹口·模拟预测）（数学文化）我国古代著作《九章算术》中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．”其大意为：有一水池一丈见方，池中间生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边平齐（如图），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺，设水深为尺，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 知识点二：利用勾股定理解决最短路线问题 1.求长方体表面上两点间最短路线的方法： 需将长方体相应几个面展开，从而将长方体表面上两点间的距离转化为求平面内两点间的距离，构造直角三角形，通过勾股定理求解； 2.求几何体表面上最短路线长的方法 应用转化思想，将空间问题转化为平面问题，将曲面转化为平面，将曲线转化为直线，连接起点与终点所得到的线段作为三角形的一条边，从而构造直角三角形，然后利用勾股定理求出最短路线长. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，则它爬行的最短距离为 ．    知识点三：利用勾股定理解决航海类问题 常见的航海问题有避险、抵御台风等，解决这类问题要先确定方位角，然后由方位角正确作出几何图形，通过添加辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为与勾股定理有关的几何问题. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（　　） A．70m B．80m C．90m D．100m 2．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，船位于船正东方向5 km处．现在船以2 km/h的速度朝正北方向行驶，同时船以1 km/h的速度朝正西方向行驶，当两船相距最近时，行驶了 h． 【经典例题一 梯子滑落高度问题】 【例1】（24-25八年级上·上海青浦·期末）一架梯子长米，靠在墙上，梯子底端离墙米． (1)求梯子顶端到地面的高度； (2)若梯子顶端下滑米，底端将水平滑动多少米？ 1．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也下滑，则梯子的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度，，，则滑梯的水平距离的长度为 ． 3．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）某中学的办学理念是“让孩子走向世界，让世界走进学校”并将该办学理念做成宣传牌悬挂在教学楼上．保洁阿姨搬来一架梯子靠在垂直于地面的墙的点A处，梯子底端落在地面的点处，固定好后开始擦拭宣传牌，过了一会移动梯子使顶端下滑至点处，已知点A与地面的距离，梯子的长度，梯子的底端向外移动的距离是多少米？ 4．（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明和同桌小聪在课后自主复习时，对一道思考题进行了探索．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时点到墙底端的距离为．如果梯子的顶端沿墙下滑，那么点将向外移动多少米． (1)请你将小明对思考题的解答补充完整： 解：设点将向外移动，即． 则，． 在中，，，可得方程 ， 解方程，得 ， 答：点将向外移动 (2)解完思考题后，小聪提出了下面两个问题： ①在思考题中，将“下滑”改为“下滑”，那么该题的答案会是吗？为什么？ ②在思考题中，梯子的顶端从点处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？为什么？ 请你解答小聪提出的这两个问题． 【经典例题二 旗杆高度问题】 【例2】（25-26八年级上·上海青浦·开学考试）强大的台风使得一根旗杆在离地面5处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12处，旗杆折断之前的高度是多少米？ 1．（24-25八年级上·上海静安·期末）为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 2．（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）如图，有一直立旗杆，它的上部被风从点A处吹折，旗杆顶点B落地，离杆脚6米，修好后又被风吹折，因新断处点D比上一次高1米，故杆顶E着地点比上次近2米，则原旗杆的高度为 米． 3．（24-25八年级上·上海金山·期末）（1）如图，于点D，于点G，，试判断与的位置关系，并说明理由． （2）如图，王鹏将升旗的绳子拉到旗杆底部，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6米处，发现此时绳子底端距离打结处约2米，求旗杆的高度． 4．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）国旗是一个国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大，心中充满了自豪和敬仰．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：×××    组员：×××，×××，××× 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 1米 图2中的长度 5.4米 … … (1)根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度； (2)该校礼仪队要求旗手在不少于45秒且不超过50秒的时间内将五星红旗从旗杆底部处升至顶部处，已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为96厘米，求五星红旗升起的平均速度取值范围（计算结果精确到0.01）． 【经典例题三 小鸟飞行距离问题】 【例3】（24-25八年级上·上海虹口·期中）如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）在水平地面上有一棵高米的大树， 和一棵高米的小树，两树之间的水平距离是米，一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行(   )    A．12米 B．13米 C．9米 D．17米 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为 ． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？ 4．（24-25八年级上·上海长宁·期中）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【经典例题四 大树折断前高度问题】 【例4】（24-25八年级上·上海静安·期末）一竖直的木杆在离地面的C处折断，木杆顶端B落在离木杆底端的A处．求木杆折断之前高度． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，一棵高为16m的大树被台风刮断．若树在地面6m处折断，则树顶端落在离树底部（    ）处．    A．5m B．7m C．7.5m D．8m 2．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，山坡上，树甲从点A处折断，其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4m，BC＝10m，已知两棵树的水平距离为6m，则树甲原来高 ． 3．（24-25八年级上·上海普陀·期末）一棵高12的大树被折断，折断处A距地面的距离（点为大树顶端着地处）．在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部的距离为6.5，点在的延长线上，求大树顶端着地处到小轿车的距离． 4．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点处吹断，那么行人在距离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？ 【经典例题五 水杯中筷子问题】 【例5】（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，一根长的牙刷放置于底面半径是，高为的圆柱水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，求． 1．（24-25八年级上·上海长宁·期末）如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为、、，现有一长为的吸管插入盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面30cm．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60cm，则水深是 cm． 3．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？    4．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺） 解决下列问题： （1）示意图中，线段AF的长为　 　尺，线段EF的长为　 　尺； （2）求芦苇的长度． 【经典例题六 航海距离问题】 【例6】（24-25八年级上·上海青浦·期末）轮船A以16海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，轮船B在同时同地以12海里/时的速度向西北方向航行．试求两船离开港口O一个半小时后的距离． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（   ） A．20海里 B．24海里 C．30海里 D．32海里 2．（24-25八年级上·上海松江·期中）如图，一艘轮船以每小时15海里的速度自东向西航行，在A处测得小岛P位于西北方向（北偏西方向），2小时后轮沿到达B处，在B处测得小岛P位于其北偏东方向，则此时船与小岛P的距离的长为 海里．（结果保留根号）． 3．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）某日我海防巡逻艇在A处探测到在它正东方向距它30海里的B处有一艘可疑船只，该船只正以每小时36海里的速度沿北偏西方向行驶，巡逻艇立即沿北偏东的方向前往拦截，半小时后恰好在C处拦截到该船只． (1)求巡逻艇的速度为每小时多少海里？ (2)求此时该船只所在处C与的距离为多少海里？ 4．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，台风中心位于点O 处，并沿东北方向（北偏东），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O 的正东方向，距离 千米的地方有一城市A．    (1)A市是否会受到此台风的影响，为什么？ (2)在点O的北偏东方向，距离80千米的地方还有一城市B，B市是否会受到此台风的影响？为什么？ (3)若A 市或B 市受到影响，请求出受影响的时间．   【经典例题七 河宽问题】 【例7】（24-25八年级上·上海宝山·开学考试）如图，明明在距离河面高度为的岸边C处，用长为的绳子拉点B处的船靠岸，若明明收绳后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？    1．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）游泳员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲达到点B60米，结果他在水中实际游了100米，这条河宽为(      )． A．80米 B．100米 C．72米 D．112米 2．（24-25八年级上·上海青浦·期中）某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行） ． 3．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，为了测量湖泊两侧点A和点B间的距离，数学活动小组的同学过点A作了一条的垂线，并在这条垂线的点C处设立了一根标杆（即）．量得，，求点A和点B间的距离． 4．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知________（填“”“”“”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 【经典例题八 台阶上地毯长度问】 【例8】（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）如图，要修建一个育苗棚，棚高h=5 m，棚宽a=12 m，棚的长d为12m，现要在矩形的棚顶上覆盖塑料薄膜， 试求需要多少平方米塑料薄膜? 1．（24-25八年级上·上海虹口·期中）如图所示：某商场有一段楼梯，高BC＝6m，斜边AC是10米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是（　　） A．8m B．10m C．14m D．24m 2．（24-25八年级上·上海静安·期中）如图，要为一段高为6米，长为10米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米长. 3．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）如图，测得某楼梯的长为5m，高为3m，宽为2m，计划在表面铺地毯，若每平方米地毯50元，你能帮助算出至少需要多少钱吗？ 4．（24-25八年级上·上海崇明·期中）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？ 【经典例题九 汽车是否超速问题】 【例9】（24-25八年级上·上海闵行·期中）某段公路限速是．“流动测速小组”的小王在距离此公路的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从处行驶后到达处，测得，若．求出速度并判断可疑汽车是否超速？ 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为 2．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 3．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米． (1)求小汽车6秒走的路程； (2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？ 4．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．    (1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？ (2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由．            【经典例题十 是否受台风影响问题】 【例10】（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）一艘轮船以10海里/时的速度由西向东航行，某台风中心正以20海里/时的速度由南向北移动，距台风中心50海里（包括边界）的圆形区域都属台风影响区．如图，当轮船行至处时，接到台风警报；台风中心正位于处正南方向的处，且海里．从接到台风警报开始，最早经过多长时间轮船就会进入台风影响区？ 1．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（    ）小时． A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25八年级上·上海闵行·期末）某地产开发商在笔直的公路旁有一块山地正在施工，现有工地一处需要小型爆破，经测量，已知点与公路上的停靠站的距离为30米，与公路上的另一停靠站的距离为40米．且．为了安全起见，已知进入爆破点周围半径25米范围内有危险．问在进行爆破时，公路段是否因有危险而需要暂时封锁？答： ． 3．（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）如图，一艘轮船以的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以的速度由南向北移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属于台风区域．当轮船航行到点A处时，测得台风中心已经移动到位于点A正南方向的点B处，且．若这艘轮船自点A处按原速度继续航行，在途中是否会遇到台风？若会，请求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由． 4．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域处，在沿海城市的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．（提示：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 试问： (1)城市是否会受到台风影响？ (2)若会受到台风影响，该城市受到台风影响的最大风力为几级？ (3)若会受到影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 【经典例题十一 选址问题】 【例11】（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA＝CD，求物品中转站与车站之间的距离． 1．（24-25八年级·上海静安·阶段练习）如图，要在距离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑到符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2米，L2=6.1米，L3=7.8米，L4=10米四种备用材料中，拉线AC最好选用（　　） A．L1 B．L2 C．L3 D．L4 2．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD分别为500 m和300 m，且C、D两处的距离为600 m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水再赶回家，那么牧童最少要走 m. 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住A，小川家住B．两家相距10公里，小渝家A在一条笔直的公路AC边上，小川家到这条公路的距离BC为6公里，两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等，求小渝家A到见面地点D的距离． 4．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）（1）探索：请你利用图（1）验证勾股定理．    （2）应用：如图（2），已知在中，，，分别以AC，BC为直径作半圆，半圆的面积分别记为，，则______.（请直接写出结果）． （3）拓展：如图（3），MN表示一条铁路，A，B是两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为千米，千米，且千米．现要在CD之间建一个中转站O，求O应建在离C点多少千米处，才能使它到A，B两个城市的距离相等． 【经典例题十二 最短路径问题】 【例12】（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，圆柱高为15cm，底面半径为，蚂蚁爬行的最短路线长为多少？   1．（24-25八年级上·上海长宁·单元测试）如图，在中，有一点P在上移动，若，，则的最小值为（    ） A．8 B．8.8 C．9.8 D．10 2．（24-25八年级上·上海长宁·期末）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线长为．在母线上的点A处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离为 ． 3．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看成长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘．小诚是一名滑板爱好者，若他从点处滑到点处，他滑行的最短距离是多少米？（边缘部分的厚度忽略不计） 4．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）如图，长方体的长，宽，高，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发到点处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁乙的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁丙的行走路径为翻过棱后到达点处（即）． (1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？ (2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？ 【拓展训练一 受影响问题综合应用】 1．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）如图，居民楼与公路相距60米，在距离汽车100米处就会受到汽车噪音影响，在公路上以20米/秒的速度行驶的汽车，会给楼的居民带来多长时间的噪音影响？ 2．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）某船正以每小时20海里的速度向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向． (1)求A、D两点间的距离； (2)当船行驶到D处时，船长收到预警信息，在北偏东方向，离船20海里的点M处，形成了热带风暴中心，该热带风暴影响距它中心海里的圆形海域，假设该船不改变航行路线，问：该船会不会受到影响，如果会，求出受到影响的时长；如果不会，请说明理由． 3．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点向点行驶，已知点处为一所学校，点与直线上两点，的距离分别为和，，吊车周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数； (2)学校会受噪声影响吗？为什么？ (3)若吊车的行驶速度为每分钟，则噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？ 【拓展训练二 蚂蚁爬行距离综合】 1．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，长方体的长和宽分别为和，高为．若一只蚂蚁从点开始经过4个侧面爬行一圈到达点，求蚂蚁爬行的最短路径的长度． 2．（24-25八年级上·上海青浦·期末）（1）问题情境一：如图①，一只蚂蚁在一个长为100cm，宽为50cm的长方形地毯上爬行，请在图①中画出蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路径，依据是 ． （2）问题情境二：如图②，在情境一中的地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于地毯的宽，木块从正面看是一个边长为10cm的等边三角形，求这只蚂蚁从点处出发，翻越木块后到达点处需要走的最短路程． 3．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 【拓展训练三 勾股定理的最值训练】 1．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．    (1)用含的代数式表示的长； (2)请问点满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． 2．（25-26八年级上·上海金山·期末）某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________． 3．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）张同学在深入研究课本82页第2题时发现：如图（1），一架梯子斜靠在竖直墙上，梯子底端点B距离墙角O的距离是，此时梯子到达的垂直高度是，通过计算可以得到梯子的长为______m，爱动脑筋的张同学发现，梯子的中点为M，当梯子底端从B向右滑动到点D的过程中，中点M到O的距离______．（填变大、不变、变小）张同学继续研究发现，在梯子沿着墙滑动过程中，的角平分线 交于点H． （1）如图（2），过点B作，交的延长线于点E，连接，在滑动的过程中，线段，有何数量关系，并说明理由； （2）在滑动的过程中，面积的最大值为______． 1．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会．班长搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（    ）米 A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.4 2．（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）如图，一枝长的花插在圆柱形花瓶中（壁厚不计），花瓶底面直径为，高为，则这枝花露在花瓶外面部分的长度最短为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（　　） A．35海里 B．50海里 C．60海里 D．40海里 4．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（   ） A．10米 B．12米 C．16米 D．20米 5．（24-25八年级上·上海金山·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 6．（24-25八年级上·上海崇明·期中）甲轮船以每小时海里的速度从港口出发向东北方向航行，同时乙轮船以每小时海里的速度从港口出发向西北方向航行，小时后，甲乙两轮船之间距离为 海里 7．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，一只蚂蚁从楼梯上的点处沿楼梯台阶的表面爬到点处，它爬行的最短距离为 m． 8．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为 米． 9．（24-25八年级上·上海青浦·期中）暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝，他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为 km． 10．（24-25八年级上·上海松江·期中）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 11．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离． 12．（25-26八年级上·上海长宁·期中）如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，求的长． 13．（2025八年级上·上海嘉定·专题练习）为了加快我市经济社会发展，实现全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少． 14．（24-25八年级上·上海闵行·期中）若图是一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯． （1）求地毯的长是多少米？ （2）如果地毯的宽是2米，地毯每平方售价是10元，铺这个楼梯一共需要多少元？ 15．（24-25八年级上·上海静安·期末）如图，一个无盖长方体容器，其底面是一个边长为的正方形，高为． (1)一只蚂蚁在点（容器外部）发现容器的外部距离顶部处的点有一滴蜂蜜，它想沿长方体侧面以最短的路程到达处．请问蚂蚁走的最短路程是多少？ (2)小明想用一根彩带从容器底面点开始绕长方体四个侧面缠绕1周到达点（假设彩带完美贴合长方体的表面，彩带宽度不计）．请问彩带的长度最短是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 勾股定理的实际应用重难点题型专训 （3个知识点+12大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 梯子滑落高度问题 题型二 旗杆高度问题 题型三 小鸟飞行距离问题 题型四 大树折断前高度问题 题型五 水杯中筷子问题 题型六 航海距离问题 题型七 河宽问题 题型八 台阶上地毯长度问题 题型九 汽车是否超速问题 题型十 是否受台风影响问题 题型十一 选址问题 题型十二 最短路径问题 拓展训练一 受影响问题综合应用 拓展训练二 蚂蚁爬行距离综合 拓展训练三 勾股定理的最值训练 知识点一：勾股定理的应用 1.用勾股定理解决一般问题的步骤 （1）由题意画出符合要求的直角三角形，把实际问题转化为数学问题； （2）将待求的量看成直角三角形的一条边； （3）利用勾股定理求解. 2.求直角三角形边长的方法 若已知两边长，可直接由勾股定理求第三边长，若已知一边及另外两边的关系，可设未知数根据勾股定理求解. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海长宁·单元测试）如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为（    ） A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米 【答案】D 【分析】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解决此题的关键．先根据题意求得，再求得，，，从而利用勾股定理求得的长；然后再利用勾股定理求得的长，进而利用线段的和差关系，求得即可． 【详解】解：如图，，，，， 在中， ∵， ∴， ∴ ∴，即小巷的宽度为2.7米． 故选：D． 2．（2025·上海虹口·模拟预测）（数学文化）我国古代著作《九章算术》中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．”其大意为：有一水池一丈见方，池中间生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边平齐（如图），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺，设水深为尺，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理建立方程即可得． 【详解】解：如图，由题意得：尺，尺，尺，尺，， 则在中，由勾股定理得：，即， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理、列一元一次方程，熟练掌握勾股定理是解题关键． 知识点二：利用勾股定理解决最短路线问题 1.求长方体表面上两点间最短路线的方法： 需将长方体相应几个面展开，从而将长方体表面上两点间的距离转化为求平面内两点间的距离，构造直角三角形，通过勾股定理求解； 2.求几何体表面上最短路线长的方法 应用转化思想，将空间问题转化为平面问题，将曲面转化为平面，将曲线转化为直线，连接起点与终点所得到的线段作为三角形的一条边，从而构造直角三角形，然后利用勾股定理求出最短路线长. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是把平面展开，在根据勾股定理，即可． 【详解】平面展开，如下： ∴在中，（）， ∴蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度为：． 故选：C．    2．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，则它爬行的最短距离为 ．    【答案】13m/13米 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示，    台阶平面展开图为长方形，，， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：， 即， ， 故答案为：m． 【点睛】本题主要考查了平面展开图—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 知识点三：利用勾股定理解决航海类问题 常见的航海问题有避险、抵御台风等，解决这类问题要先确定方位角，然后由方位角正确作出几何图形，通过添加辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为与勾股定理有关的几何问题. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（　　） A．70m B．80m C．90m D．100m 【答案】D 【分析】根据题意可得∠APB=180°-30°-60°=90°，，，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠APB=180°-30°-60°=90°， ，， ∴， 即20s后他们之间的距离为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，船位于船正东方向5 km处．现在船以2 km/h的速度朝正北方向行驶，同时船以1 km/h的速度朝正西方向行驶，当两船相距最近时，行驶了 h． 【答案】1 【分析】利用勾股定理表示出两船的距离，然后利用配方法求出两船的距离的最小值即可． 【详解】设时两船相距为，则，， 由题意可知：， 故当时，即时两船相距最近， 故答案为：1 【点睛】本题考查了二次函数的应用、勾股定理的知识，解答本题的关键是表示出两船之间的距离表达式，注意掌握配方法求二次函数最值的应用． 【经典例题一 梯子滑落高度问题】 【例1】（24-25八年级上·上海青浦·期末）一架梯子长米，靠在墙上，梯子底端离墙米． (1)求梯子顶端到地面的高度； (2)若梯子顶端下滑米，底端将水平滑动多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（）设梯子顶端到地面的高度为米，根据勾股定理列出方程解答即可求解； （）设底端将水平滑动米，根据勾股定理列出方程解答即可求解； 本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设梯子顶端到地面的高度为米， 由勾股定理得，， 解得， 答：梯子顶端到地面的高度为米； （2）解：设底端将水平滑动米， 由题意得，， 解得， 答：底端将水平滑动米． 1．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也下滑，则梯子的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先根据题意可得，，，，再设，则，利用勾股定理求出，然后根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， 设，则， ∴，， 又∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度，，，则滑梯的水平距离的长度为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意设出未知数，结合图形中的等量关系列出方程求解． 设滑梯的水平距离的长度为x米，由米可得米；因为将滑梯水平放置与一样长，所以米；在直角三角形中，根据勾股定理代入已知数据列出方程求解． 【详解】设滑梯的水平距离的长度为x米． 因为米，所以米． 又因为将滑梯水平放置与一样长，所以米． 在中，，米，根据勾股定理可得： 展开方程得： 移项化简得： 解得． 故答案为：4． 3．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）某中学的办学理念是“让孩子走向世界，让世界走进学校”并将该办学理念做成宣传牌悬挂在教学楼上．保洁阿姨搬来一架梯子靠在垂直于地面的墙的点A处，梯子底端落在地面的点处，固定好后开始擦拭宣传牌，过了一会移动梯子使顶端下滑至点处，已知点A与地面的距离，梯子的长度，梯子的底端向外移动的距离是多少米？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 在中，利用勾股定理得出，再在中，利用勾股定理可求出，即可求出． 【详解】解：由题意可得：， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：梯子的底端向外移动的距离是米． 4．（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明和同桌小聪在课后自主复习时，对一道思考题进行了探索．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时点到墙底端的距离为．如果梯子的顶端沿墙下滑，那么点将向外移动多少米． (1)请你将小明对思考题的解答补充完整： 解：设点将向外移动，即． 则，． 在中，，，可得方程 ， 解方程，得 ， 答：点将向外移动 (2)解完思考题后，小聪提出了下面两个问题： ①在思考题中，将“下滑”改为“下滑”，那么该题的答案会是吗？为什么？ ②在思考题中，梯子的顶端从点处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？为什么？ 请你解答小聪提出的这两个问题． 【答案】(1)，0.8，（舍去），0.8 (2)①不会是，理由见解析；②有可能，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理正确列出方程是解题的关键． （1）仔细审题，根据已知的解答步骤可知的长度，只要将其代入中即可得到方程，求解即可解答问题，注意x的取值范围； （2）①只需将（1）中的长度变为0.9米，列方程求解即可解答；②假设有可能相等，设这个相等的距离为x，根据勾股定理列出关于x的方程，然后进行求解，看得到的解是否有意义即可完成解答． 【详解】（1）解：设点将向外移动，即． 则，． 在中，，， 可得方程， 解方程，得，（舍去） 答：点将向外移动 故答案为：，0.8，（舍去），0.8； （2）解：①不会是0.9米．理由如下： 设点B将向外移动x米，即． 则，． 在中，，， 可得方程， 解方程，得，（舍去） 点将向外移动，不是； ②设下滑的距离与向外移动的距离均为x米， 则，， ∵米，米，米，， ∴， 解得或（舍去）， 故当梯子的顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米， 即梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等． 【经典例题二 旗杆高度问题】 【例2】（25-26八年级上·上海青浦·开学考试）强大的台风使得一根旗杆在离地面5处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12处，旗杆折断之前的高度是多少米？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 用勾股定理求出折断部分的长度，加上未折断的长度即可求出旗杆折断之前的高度． 【详解】解：折断部分的长度为 旗杆折断之前的高为 1．（24-25八年级上·上海静安·期末）为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵ ∴， 在中，米，米。 ∴， 米 ， 故选：A． 2．（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）如图，有一直立旗杆，它的上部被风从点A处吹折，旗杆顶点B落地，离杆脚6米，修好后又被风吹折，因新断处点D比上一次高1米，故杆顶E着地点比上次近2米，则原旗杆的高度为 米． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，列方程组解决几何问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 假设旗杆高度为，利用勾股定理列出方程，然后联立方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，，则， 假设旗杆高度为， ∵， 由勾股定理得， ∴， 整理得①， 同理，由勾股定理得， 整理得②， 得，， ∴， ∴原旗杆的高度为10米， 故答案为：10． 3．（24-25八年级上·上海金山·期末）（1）如图，于点D，于点G，，试判断与的位置关系，并说明理由． （2）如图，王鹏将升旗的绳子拉到旗杆底部，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6米处，发现此时绳子底端距离打结处约2米，求旗杆的高度． 【答案】（1），理由见解析（2）旗杆的高度为8米 【分析】本题考查平行线的判定和性质，勾股定理的实际应用： （1）根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到，得到，进而得到，即可得出结论； （2）设旗杆的高度为米，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）旗杆的高度为米，由勾股定理，得：， 解得：； 答：旗杆的高度为8米． 4．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）国旗是一个国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大，心中充满了自豪和敬仰．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：×××    组员：×××，×××，××× 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 1米 图2中的长度 5.4米 … … (1)根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度； (2)该校礼仪队要求旗手在不少于45秒且不超过50秒的时间内将五星红旗从旗杆底部处升至顶部处，已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为96厘米，求五星红旗升起的平均速度取值范围（计算结果精确到0.01）． 【答案】(1)14.08米 (2)五星红旗升起的速度不小于0.26米/秒且不大于0.29米/秒 【分析】本题考查了勾股定理的应用、有理数的混合运算，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）根据速度路程时间，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米， 设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 由图2可得，在中，，即， 解得， 答：旗杆的高度为米． （2）解：96厘米米， （米）， （米/秒）， （米/秒）． 答：五星红旗升起的速度不小于米/秒且不大于米/秒． 【经典例题三 小鸟飞行距离问题】 【例3】（24-25八年级上·上海虹口·期中）如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作于，连接，由题意得：，，，求出，最后由勾股定理计算即可，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，连接， ， 由题意得：，，， ， ． 即：无人机飞行的最短距离为． 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）在水平地面上有一棵高米的大树， 和一棵高米的小树，两树之间的水平距离是米，一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行(   )    A．12米 B．13米 C．9米 D．17米 【答案】B 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】如图，设大树高为AB=9m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，    ∴EB=4m，EC=12m，AE=AB-EB=9-4=5m， 在Rt△AEC中，． 故小鸟至少飞行13m． 故选：B. 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为 ． 【答案】5m 【分析】由题意根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC=AC，设BC=AC=xm，根据勾股定理求出x的值即可． 【详解】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等， ∴BC=AC， 设BC=AC=xm， 则OC=（9-x）m， 在Rt△BOC中， ∵OB2+OC2=BC2， ∴32+（9-x）2=x2， 解得x=5． 故答案为：5m． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？ 【答案】6.5 【分析】过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，根据题意直接得出AE，EC的长，再利用勾股定理得出AC的长，进而求出答案． 【详解】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接AC， 由题意可得：EC＝BD＝1.2m，AE＝AB−BE＝AB−DC＝1.3−0.8＝0.5m， ∴AC=m， ∴1.3÷0.2＝6.5s， 答：这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处． 【点睛】本题主要考查勾股定理，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 4．（24-25八年级上·上海长宁·期中）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． （1）过点A作于点E，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点A作于点E，则，，， 在中，， ∴； （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升，如图所示，延长至点F，连接，则， ∴， 在中，， ∵，余线仅剩， ∴， ∴不能上升，即不能成功． 【经典例题四 大树折断前高度问题】 【例4】（24-25八年级上·上海静安·期末）一竖直的木杆在离地面的C处折断，木杆顶端B落在离木杆底端的A处．求木杆折断之前高度． 【答案】木杆折断之前高度为 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，利用勾股定理先求解，再进一步求解即可. 【详解】解：由已知得，，， ， ∴， ， ， 即木杆折断之前高度为. 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，一棵高为16m的大树被台风刮断．若树在地面6m处折断，则树顶端落在离树底部（    ）处．    A．5m B．7m C．7.5m D．8m 【答案】D 【分析】首先设树顶端落在离树底部xm，根据勾股定理可得62+x2=（16-6）2，再解即可． 【详解】设树顶端落在离树底部xm，由题意得： 62+x2=（16-6）2， 解得：x1=8，x2=-8（不符合题意，舍去）． 所以，树顶端落在离树底部8m处． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，山坡上，树甲从点A处折断，其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4m，BC＝10m，已知两棵树的水平距离为6m，则树甲原来高 ． 【答案】(4+6)m 【分析】过C作CD⊥AB于D，由题意知BC=10，CD=6，根据勾股定理可得BD=8，从而得到AD的长，再利用勾股定理可得AC的长，即可得到树原来的高度． 【详解】解：如图作CD⊥AB交AB延长线于D， 由题意知BC=10m，CD=6m， 根据勾股定理得：BD=8m， ∵AB=4m， ∴AD=8+4=12m， AC===6m， ∴这棵数原来的高度=（4+6）m， 故答案为：（4+6）m． 【点睛】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，解题的关键是添加辅助线，正确的计算AC的长． 3．（24-25八年级上·上海普陀·期末）一棵高12的大树被折断，折断处A距地面的距离（点为大树顶端着地处）．在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部的距离为6.5，点在的延长线上，求大树顶端着地处到小轿车的距离． 【答案】大树顶端着地处到小轿车的距离为0.5 【分析】根据题意已知，，然后根据勾股定理求得，即可获得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴． ∴大树顶端着地处到小轿车的距离为0.5． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，运用勾股定理求解是解题关键． 4．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点处吹断，那么行人在距离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1) (2)行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）设长为，则长，由勾股定理可得，解方程即可得到答案； （2）由题意可得，则．利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，， 设长为，则长， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴； 答：旗杆距地面处折断． （2）解：如图， 由题意可得， ∴． 在中，， ∵， ∴， 答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 【经典例题五 水杯中筷子问题】 【例5】（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，一根长的牙刷放置于底面半径是，高为的圆柱水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，求． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并读懂题意是解题的关键．根据勾股定理求出的值，进而即可得出答案． 【详解】解：如图，在中，， 根据勾股定理得 ． 1．（24-25八年级上·上海长宁·期末）如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为、、，现有一长为的吸管插入盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的最长长度；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在杯口外的最短长度． 【详解】①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16−12＝4（cm）； ②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线长==5cm，高为12cm， 由勾股定理可得：杯里面管长=＝13cm，则露在杯口外的长度最短为16−13＝3（cm）， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出露在杯外面吸管最长和最短时，吸管在杯中所处的位置． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面30cm．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60cm，则水深是 cm． 【答案】45 【分析】设水深h厘米，则，，，利用勾股定理计算即可． 【详解】红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长． 设水深h厘米，由题意得：中，，， ， 由勾股定理得：， 即， 解得． 故答案为：45． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确审题，明确直角三角形各边的长是解题的关键． 3．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？    【答案】水池的深度为尺，芦苇的长度为尺 【分析】根据题意，构造直角三角形，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图：设芦苇长为尺，则水深为尺．    ∵芦苇长在水池中央， （尺） 根据勾股定理得：， 则：， 解得：， ， 答：水池水深尺，芦苇长尺． 【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理的内容，勾股题意构造直角三角形，，根据勾股定理列出方程求解是解题的关键． 4．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺） 解决下列问题： （1）示意图中，线段AF的长为　 　尺，线段EF的长为　 　尺； （2）求芦苇的长度． 【答案】（1）5，1；（2）芦苇长13尺． 【分析】（1）直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，且边长为10尺的正方形，F为AB中点，即可得出答案； （2）根据题意，可知AB的长为10尺，则AF=5尺，设芦苇长EG=AG=x尺，表示出水深FG，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：（1）由题意可得：EF=1尺，AF==5尺； 故答案为：5，1； （2）设芦苇长EG=AG=x尺， 则水深FG=（x-1）尺， 在Rt△AGF中， 52+（x-1）2=x2， 解得：x=13， ∴芦苇长13尺． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合以及表示出直角三角形的各边长． 【经典例题六 航海距离问题】 【例6】（24-25八年级上·上海青浦·期末）轮船A以16海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，轮船B在同时同地以12海里/时的速度向西北方向航行．试求两船离开港口O一个半小时后的距离． 【答案】海里 【分析】先根据题意画出示意图，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，由题意得，（海里），（海里）， ∴由勾股定理得：（海里）， ∴两船离开港口O一个半小时后的距离为海里． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确画出示意图是解题的关键． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（   ） A．20海里 B．24海里 C．30海里 D．32海里 【答案】C 【分析】本题考查了方位角，勾股定理的运用，理解方位角的意义，掌握勾股定理的计算是解题的关键．根据方位角可得，由勾股定理即可求解． 【详解】解：“远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行， ∴， ∴， ∵“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里，它们离开港口小时， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）， 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海松江·期中）如图，一艘轮船以每小时15海里的速度自东向西航行，在A处测得小岛P位于西北方向（北偏西方向），2小时后轮沿到达B处，在B处测得小岛P位于其北偏东方向，则此时船与小岛P的距离的长为 海里．（结果保留根号）． 【答案】 【分析】过P作PH⊥AB于H，设PH＝x海里，由已知分别求PB、BH、AH，然后根据BH＋AH＝AB求出x值即可求解． 【详解】解：如图，过点P作PH⊥AB于H， 由题意得：AB＝15×2＝30（海里），∠PBH＝90°﹣60°＝30°，∠PAH＝90°﹣45°＝45°， 则△PHA是等腰直角三角形， ∴AH＝PH， ∴在Rt△PHA中，设AH＝PH＝x海里， ∵在Rt△PBH中，∠PBH＝30°， ∴PB＝2PH＝2x海里， ∴BH＝＝ ∵BH＋AH＝AB， ∴＋x＝30， 解得：， ∴PB＝2x＝（海里）， 答：此时船与小岛P的距离为()海里， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，含30°的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识是解答本题的关键． 3．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）某日我海防巡逻艇在A处探测到在它正东方向距它30海里的B处有一艘可疑船只，该船只正以每小时36海里的速度沿北偏西方向行驶，巡逻艇立即沿北偏东的方向前往拦截，半小时后恰好在C处拦截到该船只． (1)求巡逻艇的速度为每小时多少海里？ (2)求此时该船只所在处C与的距离为多少海里？ 【答案】(1)巡逻艇的速度为每小时48海里 (2)此时该船只所在处C与的距离为海里 【分析】本题考查了利用勾股定理解决航海问题． （1）先求得，在中，由勾股定理求解即可； （2）作于，利用等积法求解即可． 【详解】（1）解：，，， ，， ， ，， ∴在中，由勾股定理得， ， 答：巡逻艇的速度为每小时48海里； （2）解：作于， ， ， 答：此时该船只所在处C与的距离为海里． 4．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，台风中心位于点O 处，并沿东北方向（北偏东），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O 的正东方向，距离 千米的地方有一城市A．    (1)A市是否会受到此台风的影响，为什么？ (2)在点O的北偏东方向，距离80千米的地方还有一城市B，B市是否会受到此台风的影响？为什么？ (3)若A 市或B 市受到影响，请求出受影响的时间． 【答案】(1)A市不会受到此台风的影响，原因见解析 (2)B市会受到此台风的影响，原因见解析 (3)1.5小时 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，等腰三角形的性质： （1）作，利用三角函数求出的长度即可判断； （2）作，利用三角函数求出的长度即可判断； （3）令，则台风从E点开始影响B城市到F点影响结束，利用勾股定理及等腰三角开的性质求出的长度，除以风速即为影响时间． 【详解】（1）解：A市不会受到此台风的影响，原因如下： 作，易知台风中心O与A市的最近距离为的长度，    由题意得：，， ， A市不会受到此台风的影响； （2）解：如图，作于G，    由题意得：，， ， B市会受到此台风的影响； （3）解：如图，令，则台风从E点开始影响B城市到F点影响结束，    在中，由勾股定理得， ，， ， 台风速度为40千米/小时， 影响时间为（小时）． 【经典例题七 河宽问题】 【例7】（24-25八年级上·上海宝山·开学考试）如图，明明在距离河面高度为的岸边C处，用长为的绳子拉点B处的船靠岸，若明明收绳后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？    【答案】向岸A移动了9米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意得到，分别根据勾股定理求出，，即可求出． 【详解】解：由题意得， 在中，， 在中，， ∴． 答：船向岸A移动了9米． 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）游泳员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲达到点B60米，结果他在水中实际游了100米，这条河宽为(      )． A．80米 B．100米 C．72米 D．112米 【答案】A 【分析】实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】根据图中数据，运用勾股定理求得AB=m， 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解这在几何的计算问题中是经常用到的，请同学们熟记并且能熟练地运用它. 2．（24-25八年级上·上海青浦·期中）某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行） ． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，因为游泳爱好者想横渡一条河，所以可知，在中，利用勾股定理可以求出米． 【详解】解：游泳爱好者想横渡一条河， ， ， 在中，米，米， 米． 故答案为：米． 3．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，为了测量湖泊两侧点A和点B间的距离，数学活动小组的同学过点A作了一条的垂线，并在这条垂线的点C处设立了一根标杆（即）．量得，，求点A和点B间的距离． 【答案】点和点间的距离为 【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理计算出AB长即可． 【详解】解：∵． ∴， ∴在中，． ∵，， ∴． 答：点和点间的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 4．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知________（填“”“”“”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)男孩需向右移动的距离为米 【分析】（1）由绳长始终保持不变即可求解； （2）由勾股定理求出、的长，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变， ， （2）解：连接，则点、、三点共线， 在中，（米， （米， 在中，（米， ， （米， 男孩需向右移动的距离为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出、的长是解题的关键． 【经典例题八 台阶上地毯长度问】 【例8】（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）如图，要修建一个育苗棚，棚高h=5 m，棚宽a=12 m，棚的长d为12m，现要在矩形的棚顶上覆盖塑料薄膜， 试求需要多少平方米塑料薄膜? 【答案】156 m2. 【分析】根据勾股定理先求出棚顶的宽，然后根据长方形的面积公式即可求出需要多少塑料薄膜. 【详解】棚高h=5 m，棚宽a=12 m，设棚顶的宽为b， 则m 棚的长d为12m 【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的实际应用能力,理清题意，掌握勾股定理是解题的关键. 1．（24-25八年级上·上海虹口·期中）如图所示：某商场有一段楼梯，高BC＝6m，斜边AC是10米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是（　　） A．8m B．10m C．14m D．24m 【答案】C 【分析】先根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高＝6m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可． 【详解】∵△ABC是直角三角形，BC＝6m，AC＝10m ∴AB＝＝＝8（m）， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝8+6＝14（米）． 故选C 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系 2．（24-25八年级上·上海静安·期中）如图，要为一段高为6米，长为10米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米长. 【答案】14 【分析】根据平移的性质，地毯的长度实际是所有台阶的长加上台阶的高，因此结合题目的条件可得出答案． 【详解】根据平移不改变线段的长度，可得地毯的长=台阶的长+台阶的高， 则红地毯至少要6+=6+8=14米． 故答案为14． 【点睛】本题考查了生活中平移知识的应用，利用勾股定理求出台阶的水平长度是关键． 3．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）如图，测得某楼梯的长为5m，高为3m，宽为2m，计划在表面铺地毯，若每平方米地毯50元，你能帮助算出至少需要多少钱吗？ 【答案】至少需要700元． 【详解】试题分析：将每阶楼梯的横向线段和纵向线段分别向下和向右平移，则横向线段和纵向线段的和分别为直角三角形的两直角边长，根据勾股定理求得直角三角形下面直角边的长为4m，则楼梯表面所铺地毯是一个长为（4＋3）m，宽为2m的长方形，据此即可计算出答案． 试题解析： 解：由勾股定理得：直角三角形下面直角边长为＝4m， 将每阶楼梯的横向线段和纵向线段分别向下和向右平移，则横向线段和纵向线段的和分别为直角三角形的两直角边长， ∴地毯的长度为4＋3＝7（m），地毯的面积为：7×2＝14（m2）， 即：至少要购买地毯14平方米． 需要的费用为：14×50＝700（元）． 答：至少需要700元． 点睛：此题主要考查了生活中的平移现象和勾股定理，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算． 4．（24-25八年级上·上海崇明·期中）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示，    ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是13． 【经典例题九 汽车是否超速问题】 【例9】（24-25八年级上·上海闵行·期中）某段公路限速是．“流动测速小组”的小王在距离此公路的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从处行驶后到达处，测得，若．求出速度并判断可疑汽车是否超速？ 【答案】，超速了 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 先根据勾股定理求出，再根据速度公式求出速度，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∴该汽车的速度为， ∵， ∴可疑汽车超速了． 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为 【答案】/8米 【分析】设有效测温距离为的长，连接、，推理出，过点作于，易知，然后在分别求出、的长，进而可得的长． 【详解】解：设有效测温距离为的长，连接、，过点作于， ∵测温仪的有效测温距离为， ∴， 又测温仪与直线的距离为， 在中，据勾股定理得： ， 同理得， ∴， 即学生沿直线行走时测温的区域长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 【答案】(1) (2)大巴车超速了 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，理解题意是解题关键． （1）在中，根据勾股定理即可求出的长； （2）根据（1）中结果求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ， （2）由（1）得：大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米． (1)求小汽车6秒走的路程； (2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？ 【答案】(1)120米 (2)72千米小时，小汽车超速了 【分析】（1）过点作，可得米，设汽车经过6秒后到达点，连接，则有米，利用勾股定理可求得的长，即小汽车6秒所走的路程； （2）利用速度路程时间，即可判断． 【详解】（1）解：过点作，设汽车经过6秒后到达点，连接，如图所示： 由题意可得：米，米， 在中， （米， 答：小汽车6秒走的路程为120米； （2）解：小汽车6秒中的平均速度为：（米秒）（千米小时）， ， 小汽车超速了． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形． 4．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．    (1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？ (2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)见解析，80米 (2)超速，见解析 【分析】（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度； （2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】（1）过点A作，交l于点D．    ，        在中，， 由勾股定理得 ，     新路长度是80米． （2）该车超速     在中，， 由勾股定理得 ，    该车经过区间用时 ∴该车的速度为   该车超速． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解． 【经典例题十 是否受台风影响问题】 【例10】（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）一艘轮船以10海里/时的速度由西向东航行，某台风中心正以20海里/时的速度由南向北移动，距台风中心50海里（包括边界）的圆形区域都属台风影响区．如图，当轮船行至处时，接到台风警报；台风中心正位于处正南方向的处，且海里．从接到台风警报开始，最早经过多长时间轮船就会进入台风影响区？ 【答案】3 【分析】设最早经过x小时轮船就会进入台风影响区，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连接CE，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设途中会遇到台风，且最初遇到的时间为t 小时,此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连接CE， 则AC＝10t，AE＝AB−BE＝100−20t， ∵． ∴ ， 解得（不合题意舍去）． 答：最早经过3小时轮船就会进入台风影响区． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键． 1．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（    ）小时． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km，求出FH，然后利用时间=路程÷速度，计算即可解决问题． 【详解】解：如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km 在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°， ∴ME=PM=120km， ∴EF=EH==90（km）， ∴FH=180km， ∴受台风影响的时间有180÷45=4（小时）． 故选：A 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期末）某地产开发商在笔直的公路旁有一块山地正在施工，现有工地一处需要小型爆破，经测量，已知点与公路上的停靠站的距离为30米，与公路上的另一停靠站的距离为40米．且．为了安全起见，已知进入爆破点周围半径25米范围内有危险．问在进行爆破时，公路段是否因有危险而需要暂时封锁？答： ． 【答案】需要封锁 【分析】过C作CD⊥AB于D．狗跟勾股定理可得AB=50米，再由，可得CD=24米，即可求解． 【详解】解：公路AB需要暂时封锁．理由如下： 如图，过C作CD⊥AB于D． 根据题意得：BC=40米，AC=30米，∠ACB=90°， ∴米， ∵， ∴米， ∵24米＜25米， ∴有危险，公路段需要暂时封锁． 故答案为：需要封锁 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理． 3．（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）如图，一艘轮船以的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以的速度由南向北移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属于台风区域．当轮船航行到点A处时，测得台风中心已经移动到位于点A正南方向的点B处，且．若这艘轮船自点A处按原速度继续航行，在途中是否会遇到台风？若会，请求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由． 【答案】不会遇到台风．理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的实际运用，找量关系列出方程是解题的关键． 设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t小时，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连接，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：不会遇到台风．理由如下： 如图，假设途中会遇到台风，且最初遇到台风时轮船从点处开始航行了， 此时轮船位于点处，台风中心移动到点处，连接， 则，. ， ， 整理，得． ， 方程无实数根， 轮船在途中不会遇到台风． 4．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域处，在沿海城市的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．（提示：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 试问： (1)城市是否会受到台风影响？ (2)若会受到台风影响，该城市受到台风影响的最大风力为几级？ (3)若会受到影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响 (2)7级 (3)16小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂线段最短，等腰三角形三线合一，熟练掌握勾股定理，理解题意，从实际问题中抽象出直角三角形是解题的关键． （1）根据提示可得到的长度，再由题意求得受台风影响范围的半径，即可判断； （2）风力最大时，台风中心应该位于点，再由题目给出的条件判断出此时是几级台风即可； （3）由（1）可知，受台风影响范围的半径为200千米，则以为圆心，200千米为半径作交于、，然后利用勾股定理求得，从而得到，最后根据时间路程速度，即可求得答案． 【详解】（1）解：城市会受到台风的影响． 理由：在中，，（千米） （千米） 城市受到的风力超过4级，则称受台风影响 受台风影响范围的半径为（千米） 城市会受到台风的影响． （2）解：台风到达时台风中心距离城市最近，（千米） 又 则（级） 答：该城市受到台风影响的最大风力为7级． （3）解：由（1）可知，受台风影响范围的半径为200千米 则以为圆心，200千米为半径作交于、，如图 则（千米） ，（千米） （千米） 则（小时） 答：台风影响该城市的持续时间为16小时． 【经典例题十一 选址问题】 【例11】（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA＝CD，求物品中转站与车站之间的距离． 【答案】千米 【分析】根据题意利用勾股定理易得BD长，设AC=CD=x，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：由题意可得：AB=3，AD=5 ∴在Rt△ABD中， 设AC=CD=x，则BC=4-x 在Rt△ABC中，，解得：x= ∴物品中转站与车站之间的距离CD的长为千米 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解决本题的难点是构造已知长度的线段所在的直角三角形，利用勾股定理求解． 1．（24-25八年级·上海静安·阶段练习）如图，要在距离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑到符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2米，L2=6.1米，L3=7.8米，L4=10米四种备用材料中，拉线AC最好选用（　　） A．L1 B．L2 C．L3 D．L4 【答案】B 【分析】拉线AC=x，根据30°角所对的直角边等于斜边一半可得AD=x，再根据勾股定理列出方程求得x的值，由此即可求解. 【详解】在Rt△ACD中，∠CAD=60°， ∴∠ACD=30°， 设拉线AC=x，则AD=x，由勾股定理求得， x2=（x）2+52， 解得x=≈5.77m，AC=x=-（不合题意舍去）， ∴拉线AC最好选用L2． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际问题的应用，利用30°角所对的直角边等于斜边一半可得AD=AC是解决问题的关键． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD分别为500 m和300 m，且C、D两处的距离为600 m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水再赶回家，那么牧童最少要走 m. 【答案】1000 【分析】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E，则CE=BD，CD=BE，再利用勾股定理求出A′B的长即可． 【详解】解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E， ∵CD=600m，BD=300m，AC=500m， ∴A′C=AC=500m，CE=BD=300m，CD=BE=600m， ∴A′E=A′C+CE=500+300=800m， 在Rt△A′EB中， A′B===1000（m）． 即牧童最少要走1000米． 故答案为1000． 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，解题关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住A，小川家住B．两家相距10公里，小渝家A在一条笔直的公路AC边上，小川家到这条公路的距离BC为6公里，两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等，求小渝家A到见面地点D的距离． 【答案】公里． 【分析】先利用勾股定理求出的长，设公里，从而可得的长，再在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：由题意得：公里，公里，，， （公里）， 设公里，则公里， 在中，，即， 解得（公里）， 答：小渝家到见面地点的距离为公里． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 4．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）（1）探索：请你利用图（1）验证勾股定理．    （2）应用：如图（2），已知在中，，，分别以AC，BC为直径作半圆，半圆的面积分别记为，，则______.（请直接写出结果）． （3）拓展：如图（3），MN表示一条铁路，A，B是两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为千米，千米，且千米．现要在CD之间建一个中转站O，求O应建在离C点多少千米处，才能使它到A，B两个城市的距离相等． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）O应建在离C点52.5千米处． 【分析】（1）此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理即可； （2）根据半圆面积公式以及勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积； （3）设CO=xkm，则OD=（80-x）km，在Rt△AOC和Rt△BOD中，利用勾股定理分别表示出AO和BO的长，根据AO=BO列出方程，求解即可． 【详解】（1）由面积相等可得， ∴， ∴， ∴． （2），， ∴． 故答案为： （3）设千米，则千米． ∵到A，B两个城市的距离相等， ∴，即， 由勾股定理，得， 解得． 即O应建在离C点52.5千米处． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明和勾股定理的应用，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解是解题的关键． 【经典例题十二 最短路径问题】 【例12】（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，圆柱高为15cm，底面半径为，蚂蚁爬行的最短路线长为多少？   【答案】蚂蚁爬行的最短路线长为． 【分析】本题主要考查圆柱的侧面展开图和勾股定理．将圆柱的侧面展开，然后利用勾股定理即可求得最短路线． 【详解】解：展开之后如图，此时的长度即为最短路线长，    此时，， ∴ ， 答：蚂蚁爬行的最短路线长为． 1．（24-25八年级上·上海长宁·单元测试）如图，在中，有一点P在上移动，若，，则的最小值为（    ） A．8 B．8.8 C．9.8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查最短路线问题，勾股定理，确定出P点的位置是解题的关键． 首先根据题意得到当时，最小，过点B作，交于P，设，则，利用勾股定理可得关于x的方程，解即可求x，在中，利用勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：∵有一点P在上移动， ∴ ∴当长度最小时，的值最小 ∴过点B作，交于P， ∴此时长度最小，的值最小 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴ 解得， 在中，， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海长宁·期末）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线长为．在母线上的点A处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离为 ． 【答案】10 【分析】考查了平面展开-最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：， 底面周长， 将圆锥侧面沿剪开展平得一扇形，此扇形的半径，弧长等于圆锥底面圆的周长设扇形圆心角度数为，则根据弧长公式得： 即展开图是一个半圆， 点是展开图弧的中点， 连接，则就是蚂蚁爬行的最短距离， 在中由勾股定理得， 即蚂蚁爬行的最短距离是． 故答案为：10． 3．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看成长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘．小诚是一名滑板爱好者，若他从点处滑到点处，他滑行的最短距离是多少米？（边缘部分的厚度忽略不计） 【答案】他滑行的最短距离是米 【分析】本题考查最短路径，勾股定理．根据题意可知，型池的展开图为长方形，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，长方形是型池的展开图， 根据题意可得， 连接，则的长为滑行的最短距离， 在中，，，， ∴ ∴他滑行的最短距离是米． 4．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）如图，长方体的长，宽，高，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发到点处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁乙的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁丙的行走路径为翻过棱后到达点处（即）． (1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？ (2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？ 【答案】(1)，， (2)蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达 【分析】本题主要考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键． （1）将长方体展开，根据勾股定理解答即可得到结论； （2）根据（1）中的结论，比较三只蚂蚁的行走路径，，的大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：将长方体表面展开， 如图，连接， 在中，， ， 如图，连接， 在中，， ， 如图，连接， 在中，， ， 甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是，，； （2）解：，即， ， 又三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发， 行走路程最小的最先到达，行走路程最大的最后到达， 即：蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达． 【拓展训练一 受影响问题综合应用】 1．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）如图，居民楼与公路相距60米，在距离汽车100米处就会受到汽车噪音影响，在公路上以20米/秒的速度行驶的汽车，会给楼的居民带来多长时间的噪音影响？ 【答案】8秒. 【分析】设汽车行驶到点P′处噪音影响结束，则AP′=AP．由勾股定理得到BP的长，然后求得BP′长，利用速度路程时间之间的关系求得时间即可． 【详解】如图所示，假设汽车行至点时，居民恰好受到噪音影响，行至点时，居民恰好脱离噪音影响. 根据题意，得米. 又因为. 所以和均为直角三角形. 根据勾股定理，得. 所以米. 同理，得米. 因此汽车从点行至点所需时间为（秒）. 即会给楼居民带来8秒的噪音影响. 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于得到BP的长. 2．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）某船正以每小时20海里的速度向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向． (1)求A、D两点间的距离； (2)当船行驶到D处时，船长收到预警信息，在北偏东方向，离船20海里的点M处，形成了热带风暴中心，该热带风暴影响距它中心海里的圆形海域，假设该船不改变航行路线，问：该船会不会受到影响，如果会，求出受到影响的时长；如果不会，请说明理由． 【答案】(1)（海里） (2)会，影响的时间为1小时 【分析】本题主要考查方位角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识的综合，理解图示，掌握勾股定理的运用是关键． （1）根据方位角的定义，结合图形得到，是等腰直角三角形，是等腰三角形，，设，则，由此得到数量关系列式求解即可； （2）如图所示，设圆M与直线相交于点P，Q，作于点H，根据题意，，（海里），则，由含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，，，过点作于点， ∴是等腰直角三角形，是等腰三角形，， 设，则， ∵（海里），， ∴， ∴， ∴（海里）． （2）解：如图所示，设圆M与直线相交于点P，Q，作于点H，根据题意，，（海里），则， ∴圆心M到直线的距离（海里）（海里）， ∴该船会受到影响， ∵，， ∴H为中点，且， ∴， ∴船受到影响时间为小时． 3．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点向点行驶，已知点处为一所学校，点与直线上两点，的距离分别为和，，吊车周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数； (2)学校会受噪声影响吗？为什么？ (3)若吊车的行驶速度为每分钟，则噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？ 【答案】(1) (2)会受噪声影响，理由见解析 (3)2.4分钟 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）依据勾股定理判定是直角三角形，然后得到度数； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出学校C是否会受噪声影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出吊车噪声影响该学校持续的时间． 【详解】（1）解：， ， 是直角三角形，且； （2）解：学校会受噪声影响．理由如下： 如图，过点作于点． ， ． 吊车周围以内为受噪声影响区域，且， 学校会受噪声影响； （3）解：如图，在上取一点，使，连接， ， 当吊车在线段上时产生的噪声会影响学校． ， 在Rt中，， （分钟）． 答：吊车产生的噪声影响该学校持续的时间为2.4分钟． 【拓展训练二 蚂蚁爬行距离综合】 1．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，长方体的长和宽分别为和，高为．若一只蚂蚁从点开始经过4个侧面爬行一圈到达点，求蚂蚁爬行的最短路径的长度． 【答案】蚂蚁爬行的最短路径的长度为 【分析】本题考查勾股定理的应用．长方体的侧面展开图如图所示．连接，则为蚂蚁爬行的最短路径的长度．在中根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：长方体的侧面展开图如图所示．连接，则为蚂蚁爬行的最短路径的长度． 长方体的长为，宽为，高为， ，． 由题意可知， ∴在中，． ∴蚂蚁爬行的最短路径的长度为． 2．（24-25八年级上·上海青浦·期末）（1）问题情境一：如图①，一只蚂蚁在一个长为100cm，宽为50cm的长方形地毯上爬行，请在图①中画出蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路径，依据是 ． （2）问题情境二：如图②，在情境一中的地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于地毯的宽，木块从正面看是一个边长为10cm的等边三角形，求这只蚂蚁从点处出发，翻越木块后到达点处需要走的最短路程． 【答案】（1）图形见解析；两点之间，线段最短. （2） 【分析】本题考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理： （1）根据两点之间，线段最短连接即可； （2）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽，根据勾股定理计算的长即可求解． 【详解】（1）解： 依据：两点之间，线段最短. （2）解： 根据题意得：展开图中的，. 在中，由勾股定理得： ， 即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为. 3．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 【答案】(1)蚂蚁需要爬行的最短路程为； (2)蚂蚁爬行的最短路程为； (3)蚂蚁爬行的最短路程是． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，找出最短路径，用勾股定理来解决路径长，在进行实数大小比较是解题关键． （1）将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求即可； （2）分两种情况讨论：①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求，②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求比较两种方法之下的，确定最短的即可． （3）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，在中，由勾股定理得 ； （2）解：分两种情况讨论： ①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，有． ②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示． 因为， 所以最短路程为，即最短路程为． （3）解：将长方体按下列三种方案展开： 第一种；如图④， , ∴根据勾股定理得 ； 第二种：如图⑤， ,； ∴根据勾股定理得 第三种：如图⑥， ,． ∴根据勾股定理得 ， 蚂蚁爬行的最短路程是． 【拓展训练三 勾股定理的最值训练】 1．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．    (1)用含的代数式表示的长； (2)请问点满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． 【答案】(1) (2)、、三点共线 (3) 【分析】本题考查了勾股定理，两点之间线段最短，数形结合是解题的关键． （1）根据题意，，，设，得到，利用勾股定理求解即可； （2）连接，根据，得到当、、三点共线时，的值最小； （3）根据，构造，，，，当、、三点共线时，最小，最小值为，延长到点，过点作于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：，设， ， ，，，， ，， ； （2）连接， ， 当、、三点共线时，的值最小． 故点满足的条件为、、三点共线； （3）如图所示，根据，构造，，，， 当、、三点共线时，最小，最小值为， 延长到点，过点作于点， 则四边形是长方形， ，，， ， 即的最小值为． 2．（25-26八年级上·上海金山·期末）某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________． 【答案】（1）PA ， PD；（2）（3）7 【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题： （1）利用勾股定理，即可得出结果； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长， 利用勾股定理求出的长即可； （3）构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长，利用（1）的方法进行求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：； 故答案为：；； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）如图，构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为7， ∴的最小值为7． 3．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）张同学在深入研究课本82页第2题时发现：如图（1），一架梯子斜靠在竖直墙上，梯子底端点B距离墙角O的距离是，此时梯子到达的垂直高度是，通过计算可以得到梯子的长为______m，爱动脑筋的张同学发现，梯子的中点为M，当梯子底端从B向右滑动到点D的过程中，中点M到O的距离______．（填变大、不变、变小）张同学继续研究发现，在梯子沿着墙滑动过程中，的角平分线 交于点H． （1）如图（2），过点B作，交的延长线于点E，连接，在滑动的过程中，线段，有何数量关系，并说明理由； （2）在滑动的过程中，面积的最大值为______． 【答案】5；不变；（1）；（2） 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，垂线段最短； 题干由勾股定理求解出，由直角三角形斜边中线的性质得出结论； （1）延长、交于点，证明，得，由直角三角形斜边中线的性质即可得出结论； （2）过点作，由垂线段最短可得，由此得出在滑动的过程中，点与的中点重合时，，面积的最大据此得出结论. 【详解】解：依题意得：，，， 如图： ∴， ∵的中点为M， ∴， 故中点M到O的距离不变； （1）结论： 如图，延长、交于点， ∵， ， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， （2）如图，过点作， ∴，即， ∵， 故在滑动的过程中，点与的中点重合时，，面积的最大， ， 即面积的最大值为. 1．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会．班长搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（    ）米 A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.4 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；因此此题可根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意得：梯脚与墙角距离应为米； 故选A． 2．（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）如图，一枝长的花插在圆柱形花瓶中（壁厚不计），花瓶底面直径为，高为，则这枝花露在花瓶外面部分的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据花瓶内这枝花的长度取值范围得出花瓶外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵将一枝长的花插在底面直径为，高为的圆柱形花瓶中， ∴在花瓶中花最短是等于花瓶的高，最长是等于花瓶斜边长度， ∴当花瓶中花最短是等于花瓶的高时，， 最长时等于花瓶斜边长度是， 此时， ∴h的取值范围是， 即h的最小值是． 故选：C． 3．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（　　） A．35海里 B．50海里 C．60海里 D．40海里 【答案】C 【分析】本题考查了方向角、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），先根据方向角可得，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 离开港口3小时后，（海里），（海里）， ∴海里， 即甲、乙两轮船相距60海里， 故选：C． 4．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（   ） A．10米 B．12米 C．16米 D．20米 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：如图， ∵底面周长约为8米，柱身高约12米， ∴米，（米），\ ∴（米）， 则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少（米）， 故选：D． 5．（24-25八年级上·上海金山·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故选：D． 6．（24-25八年级上·上海崇明·期中）甲轮船以每小时海里的速度从港口出发向东北方向航行，同时乙轮船以每小时海里的速度从港口出发向西北方向航行，小时后，甲乙两轮船之间距离为 海里 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算是解题的关键．根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，根据路程速度时间分别求出、的长，然后利用勾股定理求解的长即可． 【详解】解：如图所示，甲轮船以每小时海里的速度从港口出发向东北方向航行，同时乙轮船以每小时海里的速度从港口出发向西北方向航行， ， 小时后，（海里），（海里）， 在中，（海里）， 即小时后，甲乙两轮船之间距离为海里． 故答案为： ． 7．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，一只蚂蚁从楼梯上的点处沿楼梯台阶的表面爬到点处，它爬行的最短距离为 m． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用．先根据勾股定理求出楼梯的水平长度，将楼梯台阶表面展开得到长方形，蚂蚁爬行的最短路径为该长方形的对角线的长，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：该楼梯的水平长度为， 将楼梯台阶表面展开，如图： 则，， ∴在中，， ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 故答案为： 8．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为 米． 【答案】2.7 【分析】本题主要考查勾股定理，先根据勾股定理求出梯子的长，进而可得出结论． 【详解】解：由题意可得： ， 在中， ∵米， ， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴米， ∴小巷的宽度为（米）． 故答案为：2.7． 9．（24-25八年级上·上海青浦·期中）暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝，他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为 km． 【答案】10 【详解】试题分析：过埋宝藏点作垂线，然后根据勾股定理求出直线距离. 考点：勾股定理 10．（24-25八年级上·上海松江·期中）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 【答案】70 【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案． 【详解】解：如图，设米， ∵，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒）， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 11．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离． 【答案】17米 【分析】已知AB和AC的长度，根据勾股定理即可求出BC的长度，小鸟下降12米，则BD=AB-12，根据勾股定理即可求出CD的长度． 【详解】解：由勾股定理得；， ∴（米）， ∵（米）， ∴在中，由勾股定理得， ∴此时小鸟到地面C点的距离17米． 答； 此时小鸟到地面C点的距离为17米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理的内容是解题的关键． 12．（25-26八年级上·上海长宁·期中）如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，求的长． 【答案】 【分析】该题考查了勾股定理的应用，在中和中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，因为， 所以． 在中， 因为， 所以， 所以． 13．（2025八年级上·上海嘉定·专题练习）为了加快我市经济社会发展，实现全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列方程是解题的关键． 设，则，根据，由勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设，则， 根据题意得， ∴ ， 解得 ∴，． 14．（24-25八年级上·上海闵行·期中）若图是一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯． （1）求地毯的长是多少米？ （2）如果地毯的宽是2米，地毯每平方售价是10元，铺这个楼梯一共需要多少元？ 【答案】（1）7米；（2）140元 【分析】（1）首先利用勾股定理求出AC的长度，然后利用平移的知识即可得出地毯的长； （2）首先计算出地毯的面积，然后用面积乘以10即可得出答案． 【详解】（1）， ， ， ∴地毯的长为7m； （2）地毯的面积为， ∴铺这个楼梯所需的花费为（元）． 【点睛】本题主要考查勾股定理及平移的相关知识，根据勾股定理求出AC的长度是关键． 15．（24-25八年级上·上海静安·期末）如图，一个无盖长方体容器，其底面是一个边长为的正方形，高为． (1)一只蚂蚁在点（容器外部）发现容器的外部距离顶部处的点有一滴蜂蜜，它想沿长方体侧面以最短的路程到达处．请问蚂蚁走的最短路程是多少？ (2)小明想用一根彩带从容器底面点开始绕长方体四个侧面缠绕1周到达点（假设彩带完美贴合长方体的表面，彩带宽度不计）．请问彩带的长度最短是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，把空间问题转化为平面图形问题是解题的关键； （1）将长方体的正面和右侧面展开，连接，则即为蚂蚁走的最短路程，利用勾股定理即可求解． （2）将长方体的侧面沿展开，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：如图，将长方体的正面和右侧面展开，连接，则即为蚂蚁走的最短路程． 在Rt中，， ． 答：蚂蚁走的最短路程是． （2）解：如图，将长方体的侧面沿展开， 则， ． 答：彩带的长度最短是． 学科网（北京）股份有限公司 $