专题04 勾股定理的逆定理重难点题型专训（1个知识点+6大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题04 勾股定理的逆定理重难点题型专训 （1个知识点+6大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 判断三角形的三边能否构成直角三角形 题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点 题型三 在网格中判断直角三角形 题型四 利用勾股定理的逆定理求解 题型五 勾股定理逆定理的实际应用 题型六 勾股定理逆定理的拓展问题 拓展训练一 利用勾股定理的逆定理求长度 拓展训练二 利用勾股定理的逆定理求角度 拓展训练三 利用勾股定理的逆定理求面积 拓展训练四 勾股定理逆定理综合证明 知识点一：勾股定理逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且，那么这个三角形是直角三角形. （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形； （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（不知道角度的情况下） （1）在△ABC中，首先确定最大边（如c）； （2）验证与的关系，若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形，若，则△ABC不是直角三角形. PS：当时，三角形为钝角三角形，当时，三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边. 3.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ANC中，∠C＝90° 在△ABC中， 结论 ∠C＝90° 区别 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”得到“数” 勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”得到“形” 联系 两者都与三角形的三边有关系 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海金山·期末）一个直角三角形的三边长分别6，8，10，对应的角分别为，则直角是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】运用勾股定理的逆定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选C 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理．通过审题把题目中的条件进行转化是解题的关键． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）在中，若，则∠ ． 【答案】 【分析】根据，可得到，根据勾股定理可得到为三角形的斜边，所以． 【详解】解：∵， ∴，故满足勾股定理， ∴为的斜边， ∴， 故填：． 【点睛】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 【经典例题一 判断三角形的三边能否构成直角三角形】 【例1】（24-25八年级上·上海闵行·期末）以下列各组数为边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．1，1，2 B．，2， C．2，，3 D．2，3，4 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴以1，1，2为三边长不能构成三角形，更不可能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴以，2，为三边长不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴以2，，3为三边长能构成直角三角形，故此选项符合题意； D、∵， ∴以2，3，4为三边长不能构成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 1．（25-26八年级上·上海宝山·期末）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握两个定理． 利用勾股定理求出每条边的平方，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：如图，连接， 借助网格和勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∴直角三角形有3个， 故选：B． 2．（25-26八年级上·上海宝山·课后作业）若的三边a，b，c满足，则的面积为 ． 【答案】54 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，绝对值的非负性，熟练掌握勾股定理的逆定理及绝对值的非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性求得，，，然后根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据三角形的面积公式即可． 【详解】解：， ，，， ， ， 的面积为． 故答案为：54． 3．（25-26八年级上·上海宝山·课后作业）已知在中，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 先根据勾股定理的逆定理，推导出是直角三角形，得到，继而推导出，则，得到，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海松江·阶段练习）如图，在中，，点D在边上，连接，且，． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)的长为17 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，熟练掌握相关定理并应用是解题关键． （1）利用股定理逆定理得到，从而求出结果； （2）利用勾股定理求出的长，从而求出结果． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴． （2）在中，由勾股定理得， 所以． 【经典例题二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【例2】（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【答案】D 【详解】当AB是斜边时,则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G. 因而共有6个满足条件的顶点. 故选D. 1．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），点B（2，-3）．在坐标轴上找一点C，使得△ABC为直角三角形，这样的点C共有（   ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】试题解析：（1）∠BAP=90°易得P1（0，2）； （2）∠ABP=90°易得P2（0，-3）； （3）∠BAP=90°； （如图）以AB为直径画⊙O′与x轴，y轴分别交于P3、P4、P5、P6，AB与x轴交于C，过点O′作O′D⊥y轴， 在Rt△OO′p3中易知O′D=2，O′p3=，则P3D=， OP3=P3D-OD=-=1，则P3（0，1）易知P3D=P5D， 则P5（0，-2），连接O′P4，O′P6， 易求出P4（2-，0）P6（2+，0） 综上所述P1（0，2），P2（0，-3），P3（0，1），P4（2-，0），P5（0，-2），P6（2+，0）． 故选B. 考点：1.勾股定理；2.坐标与图形性质． 2．（24-25八年级·上海宝山·单元测试）已知点的坐标为，点在轴上，且，那么点的坐标为 . 【答案】或 【分析】设点B的横坐标为t，利用两点间的距离公式得到，从而可以求出t的值. 【详解】解：设点B的横坐标为t， 根据题意得，即. 所以3-t=12或3-t=-12． ∴t=-9或t=15. 故答案为或. 【点睛】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】7或17 【分析】分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可． 【详解】解：当E在线段AD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF， ∵∠AEF=90°， ∴∠AEC=∠FEC==135°， ∴∠CED=45°， ∴CD=ED=5， ∴AE=AD-ED=12-5=7； 当E在线段BD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF， ∵∠AEF=90°， ∴∠CEF=∠CEA=45°， ∴ED=CD=5， ∴AE=AD+DE=17， 故答案为：7或17． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题． 4．（24-25八年级·上海宝山·课后作业）点在轴上，、，如果是直角三角形，求点的坐标． 【答案】点的坐标为或 【分析】本题考查的是两点距离与勾股定理，根据A、B坐标构造直角三角形，运用勾股定理与两点间距离公式，分类讨论即可求出点P坐标 【详解】设点的坐标为，分两种情况： ①当点为直角顶点时，点在轴正半轴， 作轴于，轴于，轴于，如图所示： 由勾股定理，得， 即，解得， ∴点的坐标为． ②当点为直角顶点时，点在轴负半轴，作轴于，轴于，如图所示： 由勾股定理，得， 即，解得， ∴点的坐标为． 综上所述，如果是直角三角形，那么点的坐标为或． 【点睛】本题的关键是分类讨论点P的情况，并灵活运用勾股定理和两点间距离公式 【经典例题三 在网格中判断直角三角形】 【例3】（2025八年级上·上海宝山·专题练习）如图，若在边长为1的正方形网格中，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意，结合勾股定理可得，然后根据勾股定理的逆定理即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知，， ， ∴， ∴的形状为直角三角形． 故选：A． 1．（25-26八年级上·上海宝山·课后作业）如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键．利用勾股定理，勾股定理的逆定理逐项判断即刻． 【详解】A、在中，由勾股定理，，故本选项不符合题意； B、由勾股定理可求，，，则，由勾股定理逆定理可得，故本选项不符合题意； C、在中，由勾股定理，，故本选项不符合题意； D、在中，由勾股定理，，故本选项符合题意． 故选：． 2．（24-25八年级上·上海虹口·期末）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的定义与性质，先计算，，，再进一步解答即可． 【详解】解：连接， 根据勾股定理可以得到：，，， ∴且， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图所示的是正方形网格，则 （点，，，，为网格线交点）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识并数形结合．在直线上取点，使得，连接，过点作，交的延长线于点，得到，推出，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，结合，即可求解． 【详解】解：如图，在直线上取点，使得，连接，过点作，交的延长线于点， 由图可知，， ， ，， ， 是直角三角形， ， ，即 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海长宁·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的顶点都在格点上． (1)求四边形的周长； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)△ACD是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了网格与勾股定理，勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理分别求出的长，求和即可得到四边形的周长； （2）由勾股定理得，，进而可得是直角三角形． 【详解】（1）解：由题意可知，， 四边形的周长； （2）解：是直角三角形．理由如下： 如图， ，且， ， 是直角三角形． 【经典例题四 利用勾股定理的逆定理求解】 【例4】（24-25八年级上·上海宝山·期中）若一个三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形的面积为（   ） A．12 B．15 C．6 D．7.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆应用和三角形面积的计算，解决此题的关键是合理的利用勾股定理的逆定理，先根据勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，再求出面积即可； 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为3，4，5， 又， ∴这个三角形是直角三角形，且直角边分别为3，4， ∴该三角形的面积为， 故选：C． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 【答案】C 【分析】本题考查正确运用勾股定理，及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，利用勾股定理解出直角三角形的斜边，通过三角形的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差． 【详解】解：如图所示，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ． 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）若是的高,，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形面积公式的应用，解题的关键是先通过勾股定理的逆定理判断为直角三角形，再利用直角三角形面积的两种表示方法列等式求高． 先计算与的和等于，可判断的形状为直角三角形，再分别用两直角边和斜边与斜边上的高表示三角形面积，通过面积相等列等式求解． 【详解】解：∵， ∴，即是直角三角形，且． 又∵， ∴， 解得． 故答案为：． 3．（2025八年级上·上海宝山·模拟预测）如图，在四边形中，，则的度数为 ，四边形的面积为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键．利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论；再由三角形的面积公式即可得出四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵， ∴，， 在中，， ，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴的度数为； 四边形的面积的面积的面积 ， ∴四边形的面积为． 故答案为：， 4．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，O是等边内一点，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段． (1)求的度数． (2)求的面积． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）由旋转的性质可得，可证明是等边三角形，由可证，可得，利用勾股定理的逆定理即可证得是直角三角形，即可求解； （2）作，交延长线于点H，利用的外角得出边上的高，利用面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵等边， ∴． ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴， ∴是等边三角形． ∴； ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴是直角三角形，． ∴． （2）作，交延长线于点H， ∵， ∴边上的高就是， ∴． 【经典例题五 勾股定理逆定理的实际应用】 【例5】（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）如图有一块菜地，经人工测得菜地的四周分别为，，，，则这块菜地的面积为（   ）    A．24 B．30 C．32 D．36 【答案】D 【分析】连接，利用勾股定理求解，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，据此即可求解． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴这块菜地的面积为， 故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理与逆定理的实际应用，熟练掌握定理及灵活运用是解题的关键． 1．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在我国海军某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口同时出发，号舰沿南偏东方向以节（节海里/小时）的速度航行，号舰以节的速度航行，离开港口小时后它们分别到达两点且相距海里，则号舰的航行方向是（    ） A．北偏西 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏西 【答案】D 【分析】本题考查了方向角，勾股定理的逆定理，由题意可得海里，海里，进而由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，即得到，即可求解，由勾股定理的逆定理得到是解题的关键． 【详解】解：由题意得，海里，海里， ∵海里， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， ∴号舰的航行方向是南偏西， 故选：． 2．（25-26八年级上·上海宝山·随堂练习）木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为，宽为，对角线长为，则这个桌面 ．（填“合格”或“不合格”） 【答案】合格 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键在于掌握勾股定理的逆定理； 首先，用桌面长的平方加上宽的平方，看其是否等于对角线的平方； 然后，若其相等则满足勾股定理的逆定理，三者构成直角三角形，桌面合格，否则不合格． 【详解】解：∵长方形桌面的长为，宽为，对角线长为，， ∴，， ， ∴ ∴桌面的角是直角， ∴这个桌面是合格的， 故答案为：合格． 3．（24-25八年级上·上海静安·期末）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．则这片绿地的面积是 ． 【答案】114 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理求出为直角三角形，分割法求出绿地的面积即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴绿地的面积； 故答案为：114． 4．（24-25八年级上·上海金山·期末）如图，在一条东西走向的公路一侧有两个新能源车的充电站A，B，点C处是一个小区，其中．由于道路施工，由点C到A充电站的道路无法正常通行．该小区为了方便居民充电，决定在公路旁的点D处新建一个充电站（点A，B，D在同一条直线上）并新修一条公路，工作人员测得，，． (1)是不是从小区C到公路最近的路？请通过计算说明； (2)新修的公路比原来的公路短多少千米？ 【答案】(1)是最近的路；说明见解析； (2)新路比原路少千米． 【分析】本题考查了垂线段最短、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，并能结合题意列出适当的方程求值是解本题的关键． （1）点到直线的距离，垂线段最短，根据勾股定理，判断是否垂直于即可； （2）根据勾股定理，列方程，算出的值，再求与的差即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴是从小区C到公路最近的路； （2）解：设，则，， 在中，根据勾股定理有， ，即， 解得：， ∴， ∴， ∴新路比原路少千米． 【经典例题六 勾股定理逆定理的拓展问题】 【例6】（24-25八年级上·上海宝山·课后作业）若三角形的三边长分别为，，，且满足，则此三角形中最大的角是（   ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 【答案】B 【分析】因为a、b、c为一个三角形的三边长，化简，可得a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理即可得出该三角形为直角三角形． 【详解】∵， ∴a2+b2=c2， ∴该三角形为直角三角形. 故选B. 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理. 1．（24-25八年级上·上海宝山·期末）下列格点三角形中，与右侧已知格点相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中利用方格点求出的三边长，可确定为直角三角形，排除B，C选项，再由相似三角形的对应边成比例判断A、D选项即可得． 【详解】解：的三边长分别为：， ，， ∵， ∴为直角三角形，B，C选项不符合题意，排除； A选项中三边长度分别为：2，4，， ∴， A选项符合题意， D选项中三边长度分别为：，，， ∴， 故选：A． 【点睛】题目主要考查相似三角形的性质及勾股定理的逆定理，理解题意，熟练掌握运用相似三角形的性质是解题关键． 2．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，已知Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4，∠DAB＝∠CBA＝90°，点P在这两个三角形的边上运动，若，则PA的长为 ． 【答案】1或或． 【分析】根据勾股定理求出AC，再分三种情况：当点P在这AB边上时，当点P在这AD边上时，当点P在这AC边上时，进行讨论即可求解． 【详解】∵Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4， ∴AC＝BD＝＝5， 当点P在这AB边上时，∵，AB＝4， ∴PA＝1； 当点P在这AD边上时，∵， ∴PA2+42＝PB2，即PA2+42＝（3PA）2， 解得PA＝； 当点P在这AC边上时， PE＝AP，AE＝AP，BE＝4﹣AP， ∵， ∴， ∴5PA2+4PA﹣10＝0， 解得PA＝（舍去），PA＝． 故PA的长为1或或． 故答案为：1或或． 【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．注意分类思想的应用． 3．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，为了庆祝祖国70周年大庆，某彩灯工厂设计了一款彩灯.平面上，不同颜色的彩色线段从点发出，恰好依次落到边长为1的小正方形格点上，形成美丽的灯光效果，烘托了快乐的节日氛围.则的长度为 .照此规律，的长度为 . 【答案】 【分析】根据勾股定理分别表示出、、、的长度，然后研究之间存在的规律， 【详解】由图可知，、、、……分别为直角三角形的斜边 == 、== 、== 、== …… 由上式可以看出，= 故答案是：； 【点睛】本题考查了勾股定理的应用和数字规律，解决本题的关键是正确将每条线段的长度用式子表示出来. 4．（24-25八年级上·上海宝山·期末）在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表： 2 3 4 5 6 … … 4 6 8 10 12 … … （1）观察上表，用含（且为整数）的代数式表示，，，则 ， ， ． （2）在（1）的条件下判断：以，，为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论． 【答案】（1）；；  （2）是直角三角形；证明见解析 【分析】（1）根据题意找到规律即可写出； （2）由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：（1）用含（且为整数）的代数式表示，，，为a＝，b＝2n，c＝ 故答案为：；； （2）以a，b，c为边的三角形是直角三角形 证明：∵a＝ n2－1 ，b＝ 2n ，c＝ n2 ＋1     ． ∴a2＝（n2－1）2＝n4－2n2＋1     b2＝（2n）2＝4n2 c2＝（ n2 ＋1）2 ＝n4＋2n2＋1． 又∵ a2＋b2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1 ∴ a2＋b2＝c2 ∴ 以a，b，c为边的三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 【拓展训练一 利用勾股定理的逆定理求长度】 1．（24-25八年级上·上海松江·期中）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可，由勾股定理逆定理得出是直角三角形是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海金山·期末）如图，在中，，，，则的长为 ；若为斜边上的高，点分别是的中点，则的长为 ． 【答案】 10 【分析】本题考查了勾股定理，中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理逆定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）先证明为的中位线，求出，易证都是直角三角形，再根据直角三角形的性质求出，易证是直角三角形，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵在中，，，， ∴， 故答案为：； （2）∵点分别是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵为斜边上的高， ∴， ∴， ∴都是直角三角形， ∵点分别是的中点， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵点分别是的中点， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在正方形中，F为的中点，E为上一点且， (1)求证：； (2)若正方形面积是16，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的长为． 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理． （1）设正方形边长为，可得，，，，，，根据勾股定理及其逆定理，即可证得结论； （2）由正方形的面积可得边长，从而可得，根据勾股定理，解三角形，即可得的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 设正方形边长为，则， ∵F为的中点， ∴， ∵为上一点，且， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：∵正方形面积是16， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴的长为． 【拓展训练二 利用勾股定理的逆定理求角度】 1．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握定理是解题的关键． 连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：C． 2．（2025八年级上·上海宝山·专题练习）如图，P为等边内一点，，，则的度数为 ． 【答案】/105度 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．将绕点A顺时针旋转得到，推出为等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明，据此求解即可． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转得到， 连接．则， 为等边三角形， ，， ， ， ． ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，点D在边上，，． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，求的面积． 【答案】(1)；理由见解析 (2)68 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，熟练掌握相关定理并应用为解题关键． （1）利用股定理逆定理得到，从而求出结果； （2）利用勾股定理求出的长，利用求出的长，最后求三角形面积即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ，，， ， ， ； （2）在中， 由勾股定理得， ， ． 【拓展训练三 利用勾股定理的逆定理求面积】 1．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．体会数形结合的思想的应用．连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和． 【详解】解：连接，如图， ， ， 米，米， 米， 米，米， ， 为直角三角形， 这块草坪的面积， 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，分别以的三边为边长在直线的同侧作等边、等边、等边．若，，，四边形的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，过点F作于M，可证明，则由勾股定理的逆定理可得，由等边三角形的性质可得，则可证明，得到，求出，得到；同理可证明，得到，再证明，得到四边形是平行四边形，则． 【详解】解；如图所示，过点F作于M， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：6． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，点D在中，，，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理及其逆定理，利用所给条件准确运算是解决本题的关键． 利用勾股定理求出长；再根据勾股定理的逆定理求出，进而利用即可得解． 【详解】解：在中，，，， ， 又∵， ∴， ∴． 【拓展训练四 勾股定理逆定理综合证明】 1．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）一辆汽车从点出发沿正东方向行驶到达点，然后转向行驶到达点，最后从点沿方向直接回到出发点．如果汽车从出发到返回共行驶了，那么的方向是（   ） A．正东或正西 B．正南 C．正北 D．正南或正北 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据题意，得到，根据汽车从出发到返回共行驶了，得到，勾股定理逆定理，求出为直角三角形，且，即可得出结论． 【详解】解：由题意，得：， ∵汽车从出发到返回共行驶了， ∴， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵汽车从点出发沿正东方向行驶到达点， ∴的方向是正南或正北方向； 故选D． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，在一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地，若规划图设计中∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24，求绿地的面积为 ． 【答案】96 【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明△ABC为直角三角形，进而根据S阴影＝SRt△ABC−SRt△ACD，利用三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6， ∴AC2＝AD2＋CD2＝82＋62＝100， ∴AC＝10（取正值）． 在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝676，AB2＝262＝676， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形， S阴影＝SRt△ABC−SRt△ACD ＝×10×24−×8×6 ＝96． 故答案为：96． 【点睛】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC为直角三角形． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，在某小区旁有一块四边形空地，其中，，，，． (1)连接，试求的长； (2)经测算，将这块空地打造成公园每平方米的费用为2000元，请你计算将这块地打造成公园需要的费用． 【答案】(1) (2)468000元 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用． （1）直接利用勾股定理求解； （2）利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，进而求出空地的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴. 故的长为； （2）解：∵， ∴. ∴是直角三角形，. ∴该空地的面积为， (元) ． 故将这块地打造成公园需要468000元． 1．（25-26八年级上·上海宝山·期末）将长度分别为6，8，10，15，17的木棒，摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A、，，故选项A不符合题意； B、，，故选项B不符合题意； C、，，故选项C符合题意； D、，，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图，小正方形的边长均为，、、在小正方形的格点上，连接，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数． 【详解】解：根据勾股定理可得： ，， ，即， 是等腰直角三角形． ． 故选：A． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 4．（2025八年级上·上海宝山·专题练习）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何.”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少（1丈＝10尺，1尺＝10寸）？若设门的宽为x寸，则下列方程中，符合题意的是（　　） A．x2+12＝（x+0.68）2 B．x2+（x+0.68）2＝12 C．x2+1002＝（x+68）2 D．x2+（x+68）2＝1002 【答案】D 【分析】1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸，设门的宽为x寸，则门的高度为（x+68）寸，利用勾股定理及门的对角线长1丈（100寸），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解. 【详解】解：1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸. 设门的宽为x寸，则门的高度为（x+68）寸， 依题意得：x2+（x+68）2＝1002. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、由实际问题抽象出一元二次方程，准确计算是解题的关键． 5．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出是直角三角形是解此题的关键．根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，根据三角形的面积公式分别求出和的面积，即可得出答案． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， 四边形的面积 ． 故选：A． 6．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD＋∠CBE的度数为 ．    【答案】45° 【分析】取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，根据网格线可得到∠ABD+∠CBE=∠MAB，再根据勾股定理的逆定理证明△ABM是直角三角形，且AM=BM，即可得解． 【详解】取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，如图， 根据网格线可知NB=1=MF，AN=3，AF=2， 由网格图可知∠CBE=∠FAM，∠ABD=∠NAB， 则∠ABD+∠CBE=∠MAB， 在Rt△ANB中，有， 同理可求得：， ∵， ∴△ABM是直角三角形，且AM=BM， ∴∠MAB=45°， 即：∠ABD+∠CBE=45°， 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了勾股定理即勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识，求得∠ABD+∠CBE=∠MAB是解答本题的关键． 7．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，，，则 . 【答案】30. 【分析】利用勾股逆定理推出∠C=90°，再利用三角形的面积公式，进行计算即可. 【详解】解：∵，， 又∵ ∴ ∴∠C=90° ∴ 故答案为30 【点睛】本题考查了勾股逆定理以及三角形的面积公式，掌握勾股定理是解题的关键. 8．（25-26八年级上·上海宝山·课后作业）如图，在中，以为边分别向外作正方形，记正方形的面积分别为，其中，，则的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了勾股定理的逆应用．根据证明，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即是直角三角形，， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，和的垂直平分线和分别交于点D、E，若，，，则的面积等于 ． 【答案】18 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理，掌握线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 连接、，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接、，如图， 是线段的垂直平分线， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ∴， ∴， ， 故答案为：18． 10．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是2，3，5，4，则最大的正方形的面积是 ． 【答案】14 【分析】根据勾股定理的几何意义，可得的面积为A、B的面积和，的面积为C、D的面积和，E的面积为F、G的面积之和． 【详解】由题意可知，的面积为2，的面积为3，的面积为5，的面积为4， ∴的面积由勾股定理可得为与的面积之和， ∴的面积为5， 故的面积由勾股定理可得为与的面积之和， ∴的面积为9， 同理可得：的面积为：． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 11．（25-26八年级上·上海宝山·课后作业）如图所示，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先根据网格的特点，分别求得、和，然后根据，即可求解； 【详解】解：由题意可得：，，， ∵， ∴； 12．（25-26八年级上·上海宝山·课后作业）在中，，，的对边，，分别为下列长度，请判断该三角形是不是直角三角形．若是，请指出哪一个角是直角，并说明理由． (1)，，． (2)，，． 【答案】(1)是直角三角形．是直角．理由见解析 (2)是直角三角形．是直角．理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． （1）计算较小的两边的平方和，看是否等于较大的边的平方即可； （2）计算较小的两边的平方和，看是否等于较大的边的平方即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，是直角．理由如下： ∵，即， ∴是直角三角形，且 （2）解：是直角三角形，是直角．理由如下： ∵，即， ∴是直角三角形，且． 13．（25-26八年级上·上海金山·阶段练习）第12届世界运动会于2025年8月7日至8月17日在上海金山举行，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．为了方便人们运动，现在对市郊区绿道进行修整．绿道分布具体如下：已知，，，点B在点C的正西方向，点D在点C的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从A飞到D，求线段的长度． 【答案】(1)与的位置关系为，理由见解析； (2)线段的长度为． 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理． （1）由勾股定理可得，根据勾股定理的逆定理可得，从而可得与的位置关系； （2）作，交延长线于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可得线段的长度． 【详解】（1）解：与的位置关系为，理由： 根据题意可知，，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． （2）解：作，交延长线于点，则四边形是长方形， ∴，，， ∴， ∴ ∴线段的长度为． 14．（24-25八年级上·上海长宁·期中）如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了、和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知，，米，米，米． (1)求四边形的面积； (2)小明和小林以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 【答案】(1)四边形的面积为246平方米； (2)线段的长度为6米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据勾股定理求得米，进而根据勾股定理得出米，再根据三角形的面积公式，即可求解； （2）根据题意得出米，设米，则米，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴米， ∵， ∴米， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积为 平方米； （2）解：依题意，米， 设米，则米， 在中，， ∴， 解得：，即线段的长度为米． 15．（24-25八年级上·上海宝山·期末）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点是自来水管的位置，点A和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，A、两处相距6米，两处相距8米，两处相距10米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段铺设3段水管； (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)应选择八（1）班铺设方案，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，求三角形高，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可证明结论； （2）利用等面积法求出，进而求出两个方案中水管的长度即可得到结论． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案， 理由如下：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴八（1）班方案中水管的长度小于八（2）班方案中水管的长度， ∴从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 勾股定理的逆定理重难点题型专训 （1个知识点+6大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 判断三角形的三边能否构成直角三角形 题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点 题型三 在网格中判断直角三角形 题型四 利用勾股定理的逆定理求解 题型五 勾股定理逆定理的实际应用 题型六 勾股定理逆定理的拓展问题 拓展训练一 利用勾股定理的逆定理求长度 拓展训练二 利用勾股定理的逆定理求角度 拓展训练三 利用勾股定理的逆定理求面积 拓展训练四 勾股定理逆定理综合证明 知识点一：勾股定理逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且，那么这个三角形是直角三角形. （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形； （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（不知道角度的情况下） （1）在△ABC中，首先确定最大边（如c）； （2）验证与的关系，若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形，若，则△ABC不是直角三角形. PS：当时，三角形为钝角三角形，当时，三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边. 3.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ANC中，∠C＝90° 在△ABC中， 结论 ∠C＝90° 区别 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”得到“数” 勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”得到“形” 联系 两者都与三角形的三边有关系 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海金山·期末）一个直角三角形的三边长分别6，8，10，对应的角分别为，则直角是（    ） A． B． C． D．不能确定 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）在中，若，则∠ ． 【经典例题一 判断三角形的三边能否构成直角三角形】 【例1】（24-25八年级上·上海闵行·期末）以下列各组数为边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．1，1，2 B．，2， C．2，，3 D．2，3，4 1．（25-26八年级上·上海宝山·期末）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（25-26八年级上·上海宝山·课后作业）若的三边a，b，c满足，则的面积为 ． 3．（25-26八年级上·上海宝山·课后作业）已知在中，，则的长为 ． 4．（25-26八年级上·上海松江·阶段练习）如图，在中，，点D在边上，连接，且，． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，求的长． 【经典例题二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【例2】（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 1．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），点B（2，-3）．在坐标轴上找一点C，使得△ABC为直角三角形，这样的点C共有（   ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25八年级·上海宝山·单元测试）已知点的坐标为，点在轴上，且，那么点的坐标为 . 3．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ． 4．（24-25八年级·上海宝山·课后作业）点在轴上，、，如果是直角三角形，求点的坐标． 【经典例题三 在网格中判断直角三角形】 【例3】（2025八年级上·上海宝山·专题练习）如图，若在边长为1的正方形网格中，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 1．（25-26八年级上·上海宝山·课后作业）如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海虹口·期末）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图所示的是正方形网格，则 （点，，，，为网格线交点）． 4．（24-25八年级上·上海长宁·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的顶点都在格点上． (1)求四边形的周长； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 【经典例题四 利用勾股定理的逆定理求解】 【例4】（24-25八年级上·上海宝山·期中）若一个三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形的面积为（   ） A．12 B．15 C．6 D．7.5 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）若是的高,，则的长为 ． 3．（2025八年级上·上海宝山·模拟预测）如图，在四边形中，，则的度数为 ，四边形的面积为 ． 4．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，O是等边内一点，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段． (1)求的度数． (2)求的面积． 【经典例题五 勾股定理逆定理的实际应用】 【例5】（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）如图有一块菜地，经人工测得菜地的四周分别为，，，，则这块菜地的面积为（   ）    A．24 B．30 C．32 D．36 1．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在我国海军某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口同时出发，号舰沿南偏东方向以节（节海里/小时）的速度航行，号舰以节的速度航行，离开港口小时后它们分别到达两点且相距海里，则号舰的航行方向是（    ） A． 北偏西 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏西 2．（25-26八年级上·上海宝山·随堂练习）木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为，宽为，对角线长为，则这个桌面 ．（填“合格”或“不合格”） 3．（24-25八年级上·上海静安·期末）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．则这片绿地的面积是 ． 4．（24-25八年级上·上海金山·期末）如图，在一条东西走向的公路一侧有两个新能源车的充电站A，B，点C处是一个小区，其中．由于道路施工，由点C到A充电站的道路无法正常通行．该小区为了方便居民充电，决定在公路旁的点D处新建一个充电站（点A，B，D在同一条直线上）并新修一条公路，工作人员测得，，． (1)是不是从小区C到公路最近的路？请通过计算说明； (2)新修的公路比原来的公路短多少千米？ 【经典例题六 勾股定理逆定理的拓展问题】 【例6】（24-25八年级上·上海宝山·课后作业）若三角形的三边长分别为，，，且满足，则此三角形中最大的角是（   ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 1．（24-25八年级上·上海宝山·期末）下列格点三角形中，与右侧已知格点相似的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，已知Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4，∠DAB＝∠CBA＝90°，点P在这两个三角形的边上运动，若，则PA的长为 ． 3．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，为了庆祝祖国70周年大庆，某彩灯工厂设计了一款彩灯.平面上，不同颜色的彩色线段从点发出，恰好依次落到边长为1的小正方形格点上，形成美丽的灯光效果，烘托了快乐的节日氛围.则的长度为 .照此规律，的长度为 . 4．（24-25八年级上·上海宝山·期末）在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表： 2 3 4 5 6 … … 4 6 8 10 12 … … （1）观察上表，用含（且为整数）的代数式表示，，，则 ， ， ． （2）在（1）的条件下判断：以，，为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论． 【拓展训练一 利用勾股定理的逆定理求长度】 1．（24-25八年级上·上海松江·期中）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海金山·期末）如图，在中，，，，则的长为 ；若为斜边上的高，点分别是的中点，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在正方形中，F为的中点，E为上一点且， (1)求证：； (2)若正方形面积是16，求的长． 【拓展训练二 利用勾股定理的逆定理求角度】 1．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·上海宝山·专题练习）如图，P为等边内一点，，，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，点D在边上，，． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，求的面积． 【拓展训练三 利用勾股定理的逆定理求面积】 1．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，分别以的三边为边长在直线的同侧作等边、等边、等边．若，，，四边形的面积是 ． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，点D在中，，，，，，求图中阴影部分的面积． 【拓展训练四 勾股定理逆定理综合证明】 1．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）一辆汽车从点出发沿正东方向行驶到达点，然后转向行驶到达点，最后从点沿方向直接回到出发点．如果汽车从出发到返回共行驶了，那么的方向是（   ） A．正东或正西 B．正南 C．正北 D．正南或正北 2．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，在一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地，若规划图设计中∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24，求绿地的面积为 ． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，在某小区旁有一块四边形空地，其中，，，，． (1)连接，试求的长； (2)经测算，将这块空地打造成公园每平方米的费用为2000元，请你计算将这块地打造成公园需要的费用． 1．（25-26八年级上·上海宝山·期末）将长度分别为6，8，10，15，17的木棒，摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图，小正方形的边长均为，、、在小正方形的格点上，连接，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025八年级上·上海宝山·专题练习）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何.”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少（1丈＝10尺，1尺＝10寸）？若设门的宽为x寸，则下列方程中，符合题意的是（　　） A．x2+12＝（x+0.68）2 B．x2+（x+0.68）2＝12 C．x2+1002＝（x+68）2 D．x2+（x+68）2＝1002 5．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD＋∠CBE的度数为 ．    7．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，，，则 . 8．（25-26八年级上·上海宝山·课后作业）如图，在中，以为边分别向外作正方形，记正方形的面积分别为，其中，，则的度数为 ． 9．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，和的垂直平分线和分别交于点D、E，若，，，则的面积等于 ． 10．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是2，3，5，4，则最大的正方形的面积是 ． 11．（25-26八年级上·上海宝山·课后作业）如图所示，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，求的度数． 12．（25-26八年级上·上海宝山·课后作业）在中，，，的对边，，分别为下列长度，请判断该三角形是不是直角三角形．若是，请指出哪一个角是直角，并说明理由． (1)，，． (2)，，． 13．（25-26八年级上·上海金山·阶段练习）第12届世界运动会于2025年8月7日至8月17日在上海金山举行，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．为了方便人们运动，现在对市郊区绿道进行修整．绿道分布具体如下：已知，，，点B在点C的正西方向，点D在点C的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从A飞到D，求线段的长度． 14．（24-25八年级上·上海长宁·期中）如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了、和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知，，米，米，米． (1)求四边形的面积； (2)小明和小林以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 15．（24-25八年级上·上海宝山·期末）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点是自来水管的位置，点A和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，A、两处相距6米，两处相距8米，两处相距10米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段铺设3段水管； (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $