专题03 勾股定理重难点题型专训（3个知识点+11大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题03 勾股定理重难点题型专训 （3个知识点+11大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 勾股定理与无理数 题型二 勾股数问题 题型三 勾股定理的证明方法 题型四 以弦图为背景的计算题 题型五 用勾股定理解三角形 题型六 已知两点坐标求两点距离 题型七 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型八 勾股定理与网格问题 题型九 勾股定理与折叠问题 题型十 利用勾股定理证明线段平方关系 题型十一 用勾股定理构造图形解决问题 拓展训练一 利用勾股定理求长度 拓展训练二 勾股定理中的面积问题 拓展训练三 勾股定理中的折叠问题 拓展训练四 勾股定理中的最值问题 知识点一：勾股数 1.满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数. 2.勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方. 3.勾股数组的特点 （1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（是正整数）； （2）柏拉图发现的勾股数组：（，且是正整数）. 4.勾股数有无数组，常见的勾股数组如下： ①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15…… 5.一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a、b、c是一组勾股数，那么ma、mb、mc（m为正整数）也是一组勾股数. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）有一个边长为的大正方形，经过次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过次“生长”后，形成的图形如图所示如果继续“生长“下去，它将变得“枝繁叶茂”如图所示，若”生长”了次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键． 根据勾股定理求出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：由题意可得一个边长为的大正方形，经过次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，如图， 正方形的面积为， 由勾股定理得：正方形的面积正方形的面积正方形的面积， “生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 同理可得，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， “生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， ， “生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B的面积分别为5，3，则正方形C的面积是 ．    【答案】8 【分析】分别设三个正方形A，B，C的边长为x，y，z，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设正方形A、B、C的边长分别为x、y、z， 由勾股定理得：， ∴正方形C的面积是8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 知识点二：勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么. 勾股定理的变式：. 1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中； 2.在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情况下，要分类讨论，避免漏解. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海金山·期末）如图，在中，，点D、E分别为中点，若，，则的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，根据中点，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵点D、E分别为中点， ∴， 在中，， ∴； 故选C． 2．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）计算图中线段的长： ， ． 【答案】 12 26 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，，， 故答案为：12；26． 知识点三：勾股定理的证明 1.证法一 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形. 由图示可得，即； 2.证法二 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的正方形. 由图示可得，即； 3.证法三 如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. 由图示可得，即. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海长宁·期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一．下列图形中可以证明勾股定理的有（    ）    A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【详解】解：①，， ∴， 整理得， 故①满足题意； ④或， ∴， ∴， 故④满足题意； ②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意； ③无法证明直角三角三边关系，故③不符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键． 2．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，巧妙地利用面积关系证明了一个定理，这是我国古代数学的骄傲．这个定理就是 定理． 【答案】勾股 【分析】根据题意即可得到这个定理就是勾股定理． 【详解】解：这个定理就是勾股定理， 故答案为勾股． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题关键． 【经典例题一 勾股定理与无理数】 【例1】（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）如图，点 A 表示的实数是（      ）      A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴、勾股定理等知识点，解答本题的关键是求得的长度．根据勾股定理可得的长，再求出的长，然后求得点A所表示的数即可． 【详解】解：如图：    由题意得： ， ∵ ∴点A表示的实数是 故选B． 1．（24-25八年级上·上海崇明·期中）如图，以原点O为圆心，以长为半径画弧，交数轴于点A，则这个点A表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，熟练掌握斜边的求法是解题的关键． 根据勾股定理求出，再根据数轴的特点即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴点A所表示的数是：． 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，在数轴上点A表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点A的位置可得答案． 【详解】解：点A表示的数为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）如图，，，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，点，表示的数分别为0，1．则点表示的数为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴等知识，利用勾股定理依次求出、、的长，从而得出的长，即可得出答案． 【详解】解：在中，， 同理，，， 由题意知，， 点表示的数是． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海静安·期中）用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示数的点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数与数轴的关系、勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键．只需作出以和为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是．然后以原点为圆心，以为半径画弧，和数轴的正半轴的交点即可所求． 【详解】解：如图，点表示的数为． 【经典例题二 勾股数问题】 【例2】（24-25八年级上·上海长宁·期中）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．3，4，7 B．7，24，25 C．，， D．3，-4，5 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义(凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数.)及勾股定理的逆定理计算判断即可． 【详解】A.因为,所以3，4，7不是勾股数； B.因为,所以7，24，25是勾股数； C.因为,所以，，不是勾股数； D.因为勾股数不能为负数，所以3，-4，5不是勾股数； 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，灵活运用平方差公式计算是解题的关键． 1．（24-25八年级上·上海松江·期中）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出，根据数的变化找出变化规律“”，依此规律即可得出结论． 【详解】∵正方形的边长为，为等腰直角三角形， ∴，， ∴． 观察，发现规律：，，，，， ∴， 当时，， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律 “”是关键． 2．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…，分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第6个勾股数组为 ． 【答案】13，84，85 【分析】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得第6组勾股数中间的数为6×（13+1）＝84，进而得出（13，84，85）． 【详解】解：∵第1组：3＝2×1+1，4＝1×（3+1），5＝4+1； 第2组：5＝2×2+1，12＝2×（5+1），13＝12+1； 第3组：7＝2×3+1，24＝3×（7+1），25＝24+1； ∴第n组：2n+1，n(2n+1+1)，n(2n+1+1)+1， ∴第6组：2×6+1＝13，6×（13+1）＝84，84+1＝5． 故答案为：13，84，85． 【点睛】本题考查的是勾股数的规律探究，能够根据题意找到每组勾股数之间的关系是解决本题的关键． 3．（2025·上海金山·模拟预测）如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是 ． 【答案】4． 【分析】根据勾股定理可得两条直角边的平方和等于斜边的平方，即第①个正方形的面积＝第②个正方形面积的两倍；同理，第③个正方形面积是第②个正方形面积的一半，依此类推即可解答． 【详解】解：第①个正方形的面积为16， 由分析可知：第②个正方形的面积为8， 第③个正方形的面积为4， 故答案为：4． 【点睛】本题是图形类的变化规律题，考查了勾股定理与面积的关系及等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 4．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题： 12+1＝2，S1＝，+1＝3，S2＝，+1＝4，S3＝ （1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律． （2）推算出OA10的长． （3）求出S12+S22+S32+…+S1002的值． 【答案】（1）OAn2＝n ，Sn＝；（2）OA10＝；（3） 【分析】（1）利用已知可得OAn2，注意观察数据的变化， （2）结合（1）中规律即可求出OA102的值即可求出， （3）将前10个三角形面积相加，利用数据的特殊性即可求出． 【详解】解：（1）结合已知数据，可得：OAn2＝n；Sn＝； （2）∵OAn2＝n， ∴OA10＝． （3） ＝+… ＝ ＝＝． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．也考查了三角形的面积公式以及图形类规律探究. 【经典例题三 勾股定理的证明方法】 【例3】（24-25八年级上·上海宝山·期中）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的面积为：c2； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4＋(b−a)2＝a2＋b2， ∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理． B、大正方形的面积为：（a＋b）2； 也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2＋b2＋2ab， ∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab， ∴不能证明勾股定理． C、大正方形的面积为：（a＋b）2； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4＋c2＝2ab＋c2， ∴（a＋b）2＝2ab＋c2， ∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理． D、图形的面积两种求法：①2个直角三角形+一个大正方形：2ab＋c2 ②两个正方形+两个直角三角形：a2＋b2+2ab； ∴2ab＋c2＝a2＋b2+2ab， ∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键． 1．（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，在四边形中，，，点在上，若，，，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D．四边形的面积是 【答案】D 【分析】证明，由全等三角形的性质可得出，由图形的面积即可得到结论． 【详解】解：∵，， ， ． 在和中， ， ∴， ，． ， ． ， ， 故A、B不符合题意； ∵，， 四边形的面积是； 故D符合题意； 梯形的面积直角三角形的面积两个直角三角形的面积， ， 故C不符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了梯形，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 2．（24-25八年级上·上海普陀·期中）将边长分别为的两个直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的直角梯形．试用两种方法计算这个图形的面积，并写出一个关于的恒等式： ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 即， 整理得：． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海长宁·期末）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，，斜边的长为，作三个边长分别为，，的正方形，把它们拼成如图所示形状，使，，三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为 ． 【答案】58 【分析】作于点，根据四边形、四边形、四边形都是正方形，得，，，证明，由题意得，，证明，再证明，得出，根据，，通过计算可得，． 【详解】解：如图，作于点，则， 四边形、四边形、四边形都是正方形， ，，， ， ， ，， ，，， ， ，， ，     ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ①， ， ②， 由①②得， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查勾股定理的证明、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、乘法公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 4．（2025八年级上·上海杨浦·专题练习）面积法是最常见的验证勾股定理的方法．用两个全等的直角三角形的纸板拼出如图所示的图形，，设，请结合图形验证勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查勾股定理；结合两个全等的直角三角形，分别列出的式子，再结合，列出等式即可求出结果． 【详解】解：根据题意可得， 所以． 因为，所以， 所以，即， 所以． 因为，易得在中，边上的高与相等， 所以， 所以． 因为， ， 所以， 所以， 整理，得． 【经典例题四 以弦图为背景的计算题】 【例4】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）我国汉代数学家赵爽利用“赵爽弦图”证明了勾股定理，它是由个全等的直角三角形和一个小正方形组成，其中直角三角形的直角边长为，，斜边长为．下列各组数中，满足，，关系的是（    ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，11，12 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理定理，根据勾股定理逐项判定即可得到结论． 【详解】∵，，为直角三角形的三边， ∴， A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选：C． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（    ）． A．24 B．30 C．40 D．50 【答案】B 【分析】本题主要考查了弦图，完全平方公式，设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，根据题意， ，结合已知化简计算即可． 【详解】解：设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b， 根据题意， ， ∵， ∴， ∴ ∴， 即的值是30， 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海静安·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的面积和边长、求算术平方根等知识，根据题意得到大正方形的面积为，利用正方形的面积和算术平方根即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得，大正方形的面积为， ∴图中的大正方形的边长为， 故答案为： 3．（24-25八年级上·上海长宁·期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，若正方形的面积为，，则与的面积差是 ． 【答案】 【分析】本题考查了“赵爽弦图”，多边形的面积，勾股定理等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形全等的性质是解题的关键． 先证明，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设，，根据勾股定理得：，，整体代入可得结论． 【详解】解：正方形的面积为， ， 设， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ，， ， ， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ， ， ， ，， ， ， 则的值是； 故与的面积差为； 故答案为： 4．（2025·上海松江·模拟预测）综合与实践． 【问题驱动】如何验证勾股定理？ 【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成图1． 【探索新知】从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积． 从而得到数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 (1)如图1，若，求小正方形的面积与大正方形的面积的比值； (2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，，求此时空白部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的应用，正方形的性质， （1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可． （2）根据空白部分的面积小正方形的面积个直角三角形的面积计算即可； 掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 又∵用4张全等的直角三角形纸片拼成图1， ∴， ∴小正方形面积为：，大正方形面积为：， ∴小正方形的面积与大正方形的面积的比值：； （2）∵，， ∴， ∴空白部分的面积为：， ∴此时空白部分的面积为． 【经典例题五 用勾股定理解三角形】 【例5】（25-26八年级上·上海金山·开学考试）已知一个直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三边长为（　　） A．或 B．或2 C．或5 D．或5 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．先直接根据勾股定理即可求得斜边的长，注意题中没有指明已知的两边是直角边还是斜边故应该分情况进行讨论． 【详解】解：①当3和4均为直角边时，第三条边， ②当3为直角边，4为斜边时，第三条边， 故选：C． 1．（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，一个底面周长为，高为的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点到点所经过的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将圆柱的侧面沿着点A所在的棱线剪开，得到长方形，得到, ，由此即可以利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路线的长. 【详解】解：如图， 沿着点A所在的棱线剪开，此时, ， ∴蚂蚁爬行的最短路线， 故选：B. 2．（2025八年级上·上海静安·专题练习）如图，在中，已知，，在平面内有一点D，，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求出，再分类讨论，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时，如图： ∵， ∴； 当时，如图： ∵， ∴； ∵， ∴． 综上所述，当是直角三角形时，的长为或， 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）如图所示，四边形中，，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出的形状，根据即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，，， ∴是直角三角形， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，平分，交于点，过点作于点．    (1)求证：； (2)若，，则__________，__________． 【答案】(1)见解析 (2)4， 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定、含度角的直角三角形的性质，三线合一，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的性质定理得出，利用即可证明； （2）由角平分线的性质定理得出，求出，再由含度角的直角三角形的性质求出，勾股定理求出，然后利用三线合一即可求出． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4； 【经典例题六 已知两点坐标求两点距离】 【例6】（2025·上海金山·模拟预测）下列各数表示的点到原点距离最远的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了两点间距离公式，牢记两点间距离公式成为解题的关键． 先根据两点间距离公式求得各点到原点的距离，然后比较即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴表示的点到原点距离最远的是． 故选A． 1．（24-25八年级上·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（  ） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标系中两点距离计算公式，坐标系中点和点的距离为，据此求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到原点的距离为， 故选；D． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，直角坐标系中，经过三点的圆，圆心为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的外接圆的圆心，掌握三角形的外心是三边垂直平分线的交点是正确解答此题的关键．先求得的垂直平分线所在的直线为，可知圆心在直线上，设，根据，可求点M坐标． 【详解】解：，， 的垂直平分线所在直线上， 圆心在直线上，设， ， ， 解得，则． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）如图，点，点，点为第一象限内一动点，且，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，取的中点，根据，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点， ∵， ∴点B在以为直径的圆上， ∵，， ∴， ∵， ∴线段长度的最小值为． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）阅读下列一段文字，然后回答下列问题． 已知在平面内有两点、，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或． (1)已知，试求A、B两点间的距离______； (2)已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为，试求M、N两点的距离为______； (3)已知一个三角形各顶点坐标为，你能判定此三角形的形状吗？说明理由； (4)在（3）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使的长度最短，求的最短长度． 【答案】(1)13 (2)5 (3)为等腰直角三角形，理由见解析 (4) 【分析】本题考查了两点间的距离公式，也考查了等腰三角形的判定和勾股定理．关键是学会用两点间的距离求两点的距离． （1）直接利用两点间的距离公式计算； （2）根据平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同，所以M、N间的距离为两点的纵坐标之差的绝对值； （3）先利用两点间的距离公式计算出，然后即可判断的形状； （4）如图，作F关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则此时，的长度最短，根据两点间距离公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：13； （2）解：因为M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为， 所以，， 故答案为：5； （3）解：为等腰直角三角形．理由如下： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形； （4）解：如图，作F关于x轴的对称点，连接交x轴于P， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短知的最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴的最短长度为． 【经典例题七 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例7】（24-25八年级上·上海奉贤·期中）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，算术平方根的相关计算．根据题意，正方形A的面积与8的和等于14，可得A得面积，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴正方形的边长为， 故选：A． 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）如图字母所代表的正方形的面积是（   ） A．12 B．13 C．144 D．194 【答案】C 【分析】此题主要考查勾股定理．根据已知两个正方形的面积169和25，求出各个的边长，然后再利用勾股定理求出字母所代表的正方形的边长，然后即可求得其面积． 【详解】解：∵， ∴字母所代表的正方形的面积． 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，四边形中，，分别以为直径作半圆，已知各半圆面积为，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是勾股定理及其应用，根据圆的面积公式得到，，根据勾股定理得到，，计算即可． 【详解】解：连接，如图， 由题意得，， ， ， ， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：3． 4．（24-25八年级上·上海长宁·期中）正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，…按此规律继续下去，则的值为                　 【答案】 【分析】本题考查图形规律探究，等腰直角三角形、正方形的性质，勾股定理，总结归纳出规律是解题的关键． 根据题意表示出，，的值，找到规律，根据规律计算即可． 【详解】解：由题意可知，面积为的正方形的边长为1，， 面积为的正方形的边长为，， 面积为的正方形的边长为，， 面积为的正方形的边长为，， ． 一般规律为： ，则． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）．    （一）观察： 从整体看，图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，图2中的大正方形的面积又可以用含字母，b的代数式表示为：______________． 图3中的大正方形的面积又可以用含字母、b、c的代数式表示为：____________． （二）思考：综合图2和图3可以得到一个等式_____________． （（三）应用：请你运用（二）中得到的结论解答： 若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三半圆的面积分别记作、、，且，求的值． （四）延伸： 若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边，，斜边，则表示图中阴影部分面积的数值是______________． 【答案】（一），；（二）；（三）；（四） 【分析】（一）根据正方形的面积的不同计算方法求解即可； （二）由两种表示方法的面积相等，可得答案； （三）可求，，，结合题意以及求出即可； （四）求出，即可求解． 【详解】解：（一）图2中的大正方形的面积又可以用含字母，b的代数式表示为：； 图3中的大正方形的面积可以用含字母、b、c的代数式表示为：； 故答案：，． （二）由（一）得：， ， 故答案：； （三）由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10； （四）由题意得：， ， ． 【点睛】本题主要考查了通过面积法证明勾股定理，掌握面积的不同计算方法是解题的关键． 【经典例题八 勾股定理与网格问题】 【例8】（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）如图，在的方格中，每个小正方形的边长为1，点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，点E所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了网格与勾股定理，实数与数轴，正确理解题意利用勾股定理求得是解题的关键． 根据勾股定理求出，即可得到，进而得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴点E所表示的数是， 故选：D． 1．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，为的网格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点（在格点上），使得为等腰三角形，则点的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，勾股定理．掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 根据格点可得，根据等腰三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；③当时；根据格点中作等腰三角形的方法，图形结合分析即可求解． 【详解】解：如图所示，为等腰三角形，， ①当时，以点A为圆心，以为半径画弧，交格点于点，， ∴，， ∴点，，即为所求； ②当时，以点B为圆心，以为半径画弧，交格点于点， ∴， ∴点即为所求； ③当时，作线段的垂直平分线交格点于点， ∴，，则，符合题意， ，，则，符合题意， ∴点，即为所求； 综上所述：使得为等腰三角形，则点的个数为6个， 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，网格均是边长为1的小正方形，计算图中线段的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意和图形，利用勾股定理可以求得的长． 【详解】解：由图可得， ， 故答案为： 3．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为 【答案】 【详解】解：由题意得 ， ， 设到线段的距离为， ， ， 解得：； 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，请分别画出面积为和的两个正方形： 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质和勾股定理，并能进行推理计算与作图是解决问题的关键．由正方形的面积得出边长，由勾股定理即可得出结果． 【详解】解：面积为的正方形边长为，面积为的正方形边长为，且，， 画出面积为和的两个正方形如图所示：    【经典例题九 勾股定理与折叠问题】 【例9】（25-26八年级上·上海杨浦·随堂练习）如图是长方形纸片，已知，现将纸片折叠，使点D落在边上的点M处，且，折痕为，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、折叠性质，过点作于点，设，利用折叠性质，结合已知条件可得，，，在中，利用勾股定理列方程求解x值即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 设，则，，， 在中，由勾股定理得， ， ， ． 故选：B． 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质、勾股定理是解题的关键．由题意易得，由折叠的性质可得，设，则，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意，得， 由翻折的性质得， 设，则， 在直角三角形中，， 即， 解得， ∴， ∴． 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海崇明·开学考试）如图，在中，，点D，E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在边上．若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的不变性是解题的关键．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知， 设，则， ∵，， ∴，即， 解得， 故答案为：3． 3．（2025八年级上·上海闵行·模拟预测）如图，直角梯形纸片，，，，点、分别在线段、上，将沿翻折，点的落点记为．当落在直角梯形内部时，的最小值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查直角梯形的性质、折叠变换以及勾股定理的应用．通过分析折叠后点的位置，利用勾股定理计算的长度，进而求得的最小值． 【详解】解：如图，当点落在梯形的内部时，，四边形是以为直径的圆内接四边形， ∴只有当直径最大，且点落在上时，最小，此时与点重合， 由题意得：， 由勾股定理得： ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海杨浦·单元测试）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1)3 (2)20 (3) 【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可； （2）过点作于点，在 中，由勾股定理求出的长，即可得的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （3）过点作于点，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠可知 ，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴． （2）解：如图，过点作于点，则． 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点． 在中，，，． 由， 得， ∴． 【经典例题十 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例10】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于在三角形中，由于，所以，根据勾股定理即可得到正确答案． 【详解】解：在中，若， ， 为直角边，为斜边， 根据勾股定理可得， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理，分清楚直角边与斜边是解题的关键． 1．（24-25八年级上·上海杨浦·单元测试）用四个完全一样的直角三角板拼成如图所示的图形，其中每个直角三角板的斜边长都为，两直角边长分别为，，下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】四个一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其中小四边形也为正方形，大正方形的面积可以由边长的平方求出，也可以由四个直角三角形的面积与小正方形面积之和来求，两种方法得出的面积相等，利用完全平方公式展开，合并后即可得到正确的等式． 【详解】解：∵，即， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，根据题意列出相应的等式是解答本题的关键． 2．（24-25八年级上·上海青浦·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是 ．    【答案】64 【分析】由勾股定理，得，于是，代入求解即可. 【详解】解：连接， 由题意得：，，，， ∵， ∴. ∴. ∴.    故答案为：64． 【点睛】本题考查正方形面积计算，勾股定理；由勾股定理得到线段之间的关系是解题的关键． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 4．（24-25八年级上·上海金山·期末）如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．    (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)试说明三者之间的关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）证明即可； （2）根据（1）可得，得到，，得到是直角三角形，根据勾股定理证明即可． 【详解】（1）．理由如下： ∵与都是等腰直角三角形， ∴ ， ∴． ∴， ∴． （2）．理由如下： 由（1）可得， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题综合运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、以及勾股定理，关键是根据全等三角形的性质得出． 【经典例题十一 用勾股定理构造图形解决问题】 【例11】（24-25八年级上·上海松江·期中）如图所示的图形是由两个直角三角形和三个正方形组成的，其中三个正方形阴影部分的面积和是56，大直角三角形一边长为6，则斜边长（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据图形面积，可求出大正方形面积为28，即AB2＝28，由此即可求出AC． 【详解】解：由图形可知，两个小正方形的面积和＝大正方形的面积， ∵三个正方形阴影部分的面积和是56， ∴AB2＝28， ∴AC2＝AB2+BC2＝28+36＝64， ∴AC＝8． 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，以及与正方形面积的关系，灵活用用勾股定理是解题的关键． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图的方式放置在最大正三角形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（    ） A．直角三角形的面积 B．最大正三角形的面积 C．较小两个正三角形重叠部分的面积 D．最大正三角形与直角三角形的面积和 【答案】C 【分析】根据勾股定理得，再由题意得，由次计算即可解题 【详解】解：设三个正三角形面积分别为（不妨设），两个小正三角形的重叠部分的面积为， 由勾股定理得， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理与几何图形面积，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2．（2025·上海虹口·模拟预测）庆祝虎年，小明将一副七巧板拼成了如图的“回头虎”，则图中 ． 【答案】 【分析】由题意根据七巧板可知，,进而利用勾股定理求出CA,然后利用进行计算． 【详解】解：如图， 由七巧板可知，, 可得, 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查七巧板的拼接问题，熟练掌握七巧板中各图形的关系和勾股定理是解题的关键． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，某自动感应门的正上方A处装有一个感应器，离地高度AB=2.7米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．小张身高1.8米（CD=1.8米），当他正对着门缓慢走到离门1.2米的地方时（BC=1.2米），感应门自动打开，则AD= 米． 【答案】1.5 【分析】过点D作DE⊥AB于E，则DE=BC=1.2米，BE=CD=1.8米，利用勾股定理求出AD即可． 【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，则DE=BC=1.2米，BE=CD=1.8米， 在Rt△ADE中，AE=AB-BE=2.7-1.8=0.9米，AD2=AE2+DE2， ∴AD=米， 故答案为：1.5． 【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意熟练运用勾股定理计算是解题的关键． 4．（24-25八年级上·上海宝山·期中）把15只空油桶（每只油桶底面直径均为50cm）如图所示堆在一起，求这堆油桶的最高点距地面的高度． 【答案】这堆油桶的最高点距地面的高度为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设每只油桶底面的直径为，，则，，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，由题意可得每只油桶底面的直径为，， 则，， 这堆油桶的高度为 ． 因此，这堆油桶的最高点距地面的高度为． 【拓展训练一 利用勾股定理求长度】 1．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图折叠，使点A与点B重合，则折痕的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，也考查了勾股定理，综合运用这些知识点是解题关键． 由勾股定理求解，由对折可得，设 则， 利用勾股定理求解，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解： 由折叠可得： 设 则 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）在中，的平分线交于P点．于E点，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，勾股定理，三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．连接，过点作于，于，根据勾股定理求出，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：连接，过点作于，于， 在中，，，， 则， ，的平分线交于点．，，， ， 则， ， 解得：， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）遛狗时牵绳可以保障他人的安全，维护社区和谐．晚饭后小莉和家人一起出门遛狗，其示意图如图．小莉发现，遛狗时当她身体站直，牵绳的手离地面的高度，小狗的脖子上的绳到地面的高度，小狗与小莉的距离．求此时牵狗绳的长（绳子一直是直的）． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键．通过构建直角三角形，利用勾股定理来求解牵狗绳的长度． 【详解】解：由图可知，，，， ∴ 又∵，且， ∴是直角三角形，其中和为直角边，为斜边， ∴ 将，代入可得：， ∵长度不能为负， ∴， 答：此时牵狗绳的长． 【拓展训练二 勾股定理中的面积问题】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，已知，，，，分别以的三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理，含30度角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据含30度角直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，然后根据阴影部分的面积之和为，再求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 由勾股定理得，， 以的三条边为直径作半圆， ∴阴影部分的面积之和为 ． 故选：D． 2．（2025·上海青浦·模拟预测）如图所示，正方形的边长为1，其面积标记为 ，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型——图形的变化类，推导出前几个正方形的面积得出面积变化的规律是解题的关键. 根据勾股定理可得，从而得到，依次类推，即可得到，找出规律，进而得到的值． 【详解】解：在图中标上字母E，如图所示． ∵正方形的边长为1，为等腰直角三角形， ∴， ∴． 观察，发现规律：，， ∴ ． 当 时，． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）如图，于F，且，，． (1)求的长； (2)求正方形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正方形的面积． （1）利用勾股定理求解即可． （2）利用勾股定理求解，再结合正方形的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，． （2）解：∵，， ∴． ∴正方形的面积为． 【拓展训练三 勾股定理中的折叠问题】 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，，，将沿翻折，使点与边上的点重合，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 在中，根据勾股定理得到的长，由折叠的性质得到，，，从而求得的长，设，在中，根据勾股定理求解可得的长，在中，根据勾股定理求解可得的长． 【详解】解：在中，，，， ， 将沿翻折，使点与边上的点重合， ，，， ， 设， ， 在中，， ，解得， 即， 在中，． 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）如图，折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，，，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质是解题的关键． 由矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得、由勾股定理可得、，设，则，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ∵折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，即，解得：， ∴． 故答案为5． 3．（24-25八年级上·上海长宁·期末）（1）如图1，已知是的中线，，把沿所在直线对折，点C落在点E的位置（如图1），则等于　　　度． （2）如图2，有一直角三角形纸片，两直角边，，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【答案】（1）45 （2）的长为 【分析】本题考查了图形折叠的性质（折叠前后对应边相等、对应角相等）、三角形中线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．解题的关键是利用折叠转化线段和角度的等量关系，结合中线或直角三角形的性质建立等式求解． （1）利用中线性质得折叠性质得、，推出且，判定 为等腰直角三角形，进而得的度数． （2）先由勾股定理求的长，利用折叠性质得、设表示在中用勾股定理列方程求解 x． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴（三角形中线平分对边）． ∵沿折叠后点C落在E处， ∴（折叠性质：对应边相等，对应角相等）． ∴，且（等量代换）． ∴中，，即 是等腰直角三角形． ∴（等腰直角三角形的底角为． 故答案为：． （2）解：在中，， 由勾股定理得：． 直角边沿折叠后与重合， ∴（折叠性质）． ∴． 设则． 在 中，，由勾股定理得： 即． 展开得： 化简得：解得 答：的长为 【拓展训练四 勾股定理中的最值问题】 1．（24-25八年级上·上海虹口·期中）如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，若，取的中点．连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的中位线定理，三角形三边之间的关系．取的中点N，连接，则，根据勾股定理求出，由三角形的中位线定理得出，根据三角形三边之间的关系得出，当点B、M、N在同一直线上时，取最大值，即可求解． 【详解】解：取的中点N，连接， ∵点N为中点，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵点M为中点，点N为中点，， ∴， ∴在中，，即， 当点B、M、N在同一直线上时，， 此时取最大值， 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海普陀·期中）如图，在中，，，．点P是内一点，则点P到三个顶点的距离和的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，旋转的性质，以及等边三角形的判定与性质和求线段最值的问题，掌握做辅助线是解题的关键．将绕点A顺时针旋转，得到，连接、，作交的延长线于点N，则，由题意可证是等边三角形，所以，所以当 共线时，最小，求出即可． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转，得到，连接、，作交的延长线于点N， 则，， ∴，， ，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当共线时，最小， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，点D是中点， (1)求证：是等边三角形． (2)点分别是上任意一点，连接，若，则的最小值为_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等边三角形判定，全等三角形判定及性质，勾股定理． （1）证明，再利用全等性质即可得到本题答案； （2）过作于，交于，此时有最小值，且等于，再证明，再利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点D是中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：过作于，交于，此时有最小值，且等于， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）数学活动课上，赵奕用同样的火柴棒摆直角三角形，他摆两条直角边分别用了3根和4根火柴棒，他摆完这个直角三角形共用火柴棒（   ） A．14根 B．12根 C．11根 D．10根 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，是基础知识，比较简单．根据勾股定理即可求得斜边需要的火柴棒的数量，再由三角形的周长公式来求摆完这个直角三角形共用火柴棒的数量． 【详解】解：∵两直角边分别用了3根、4根长度相同的火柴棒， ∴由勾股定理，得到斜边需要：（根）， ∴他摆完这个直角三角形共用火柴棒是：（根）． 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海闵行·开学考试）如图，点所表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，由勾股定理得，， ∴， ∴点所表示的数是， 故选：． 3．（24-25八年级上·上海静安·期中）如图，已知在直角三角形中，以直角边、为边的正方形的面积分别为25、144，则的长为（   ） A．169 B．119 C．13 D．17 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用；解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积，难度一般．由正方形的面积公式可知，，在中，由勾股定理得，即可得出的长． 【详解】解：∵在中，由勾股定理得：，而，， ∴，而， ∴． 故选：C． 4．（25-26八年级上·上海杨浦·课后作业）如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求得，进而可得，根据题意即可得出这个风车的外围周长． 【详解】解：如图， 由题意可知，． ， ． ∴这个风车的外围周长是． 故选：B． 5．（24-25八年级上·上海金山·期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质和折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及间接法求三角形的面积，解题的关键是利用勾股定理正确求出BF的长度． 先证明，得到，设，则，根据勾股定理，求出x，然后利用的面积减去的面积，即可得到答案． 【详解】解：由折叠和矩形的性质可知，，， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得： ， 解得：， ∴； 故选：C． 6．（24-25八年级上·上海崇明·期中）一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况，分别利用勾股定理计算即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵一个直角三角形的两边长分别是3和4， ∴当3和4是两直角边时，第三边的长是； 当是斜边，为直角边时，第三边的长是； 综上所述，第三边的长是或， 故答案为：或． 7．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的面积分别为25和64，则最大正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用． 根据勾股定理，将正方形、的面积相加，即可得最大正方形的面积． 【详解】解：， ∴最大正方形的面积是． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·上海杨浦·随堂练习）一辆装满货物、宽为的卡车想要通过如图所示的单向通行的隧道（隧道截面上侧为半圆，下侧为长方形），则卡车的高必须低于 ． 【答案】4.1 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理求出当时，的长度，从而求出货车的最大高度． 【详解】解:如图,连接, ∵车宽， ∴欲通过隧道，只要比较距中线处的高度与车高， 在中，, ∴， ∴， ∴卡车装满货物后的高度必须低于． 故答案是：． 9．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，．为边上一点，连接．将沿折叠，若点恰好落在线段的延长线上的点处，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质和勾股定理．先由折叠的性质得到，再由勾股定理求出，从而得到，设，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∵在中，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 【答案】625 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 11．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图所示，中， ，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，正确作出辅助线、熟练掌握勾股定理是解题的关键； 作于点D，如图，分别在直角三角形和直角三角形中求出即可解决问题． 【详解】解：作于点D，如图， 则在直角三角形中，∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在直角三角形中，∵， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处， (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，进而即可求出的长． （2）在中，用勾股定理列方程即可求得的长． 【详解】（1）解：，，， 根据翻折的性质可得， 则． （2）解：设，由折叠可知：，， 在中， ∴ 解得： ∴的长为． 13．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称为“勾股定理”．即在直角三角形中（如右图），．两条直角边分别为，，斜边为．则．利用勾股定理解答下列问题： (1)在直角三角形中，，，，求的长． (2)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，每个小格的顶点叫做格点． ①在图中，利用勾股定理求线段的长度． ②在图中，画一条格点线段，使． 【答案】(1)； (2)①；②见详解． 【分析】该题考查了勾股定理． （1）利用勾股定理，求解即可． （2）①利用勾股定理求解即可． ②利用数形结合的思想解决问题即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 因为，所以． （2）解：①，所以． ②如图2中，线段即为所求作． 14．（25-26八年级上·上海青浦·开学考试）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意运用数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点G，连接，则， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为13； 故答案为：13 （2）解：设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点H，连接，则，， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， ∴代数式的最小值为的长， ∵， 即代数式的最小值为． 15．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形． (1)请利用图1推导勾股定理． 已知：中，，，，． 求证：． 证明：（请补充证明过程） (2)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理是解决问题的关键． （1）依据题意得， ，再结合，，正方形边长为，即可解题； （2）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中，则，求出后可列式计算得解． 【详解】（1）证明：由图可知， ∵，，正方形边长为， ∴， 即． （2）解：由题意，如图， ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为， ， 设则， 在中， ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理重难点题型专训 （3个知识点+11大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 勾股定理与无理数 题型二 勾股数问题 题型三 勾股定理的证明方法 题型四 以弦图为背景的计算题 题型五 用勾股定理解三角形 题型六 已知两点坐标求两点距离 题型七 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型八 勾股定理与网格问题 题型九 勾股定理与折叠问题 题型十 利用勾股定理证明线段平方关系 题型十一 用勾股定理构造图形解决问题 拓展训练一 利用勾股定理求长度 拓展训练二 勾股定理中的面积问题 拓展训练三 勾股定理中的折叠问题 拓展训练四 勾股定理中的最值问题 知识点一：勾股数 1.满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数. 2.勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方. 3.勾股数组的特点 （1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（是正整数）； （2）柏拉图发现的勾股数组：（，且是正整数）. 4.勾股数有无数组，常见的勾股数组如下： ①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15…… 5.一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a、b、c是一组勾股数，那么ma、mb、mc（m为正整数）也是一组勾股数. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）有一个边长为的大正方形，经过次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过次“生长”后，形成的图形如图所示如果继续“生长“下去，它将变得“枝繁叶茂”如图所示，若”生长”了次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B的面积分别为5，3，则正方形C的面积是 ．    知识点二：勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么. 勾股定理的变式：. 1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中； 2.在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情况下，要分类讨论，避免漏解. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海金山·期末）如图，在中，，点D、E分别为中点，若，，则的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．8 2．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）计算图中线段的长： ， ． 知识点三：勾股定理的证明 1.证法一 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形. 由图示可得，即； 2.证法二 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的正方形. 由图示可得，即； 3.证法三 如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. 由图示可得，即. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海长宁·期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一．下列图形中可以证明勾股定理的有（    ）    A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 2．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，巧妙地利用面积关系证明了一个定理，这是我国古代数学的骄傲．这个定理就是 定理． 【经典例题一 勾股定理与无理数】 【例1】（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）如图，点 A 表示的实数是（      ）      A． B． C．1 D． 1．（24-25八年级上·上海崇明·期中）如图，以原点O为圆心，以长为半径画弧，交数轴于点A，则这个点A表示的实数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，在数轴上点A表示的实数是 ． 3．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）如图，，，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，点，表示的数分别为0，1．则点表示的数为 ．    4．（24-25八年级上·上海静安·期中）用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示数的点．（保留作图痕迹，不写作法） 【经典例题二 勾股数问题】 【例2】（24-25八年级上·上海长宁·期中）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．3，4，7 B．7，24，25 C．，， D．3，-4，5 1．（24-25八年级上·上海松江·期中）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…，分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第6个勾股数组为 ． 3．（2025·上海金山·模拟预测）如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是 ． 4．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题： 12+1＝2，S1＝，+1＝3，S2＝，+1＝4，S3＝ （1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律． （2）推算出OA10的长． （3）求出S12+S22+S32+…+S1002的值． 【经典例题三 勾股定理的证明方法】 【例3】（24-25八年级上·上海宝山·期中）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，在四边形中，，，点在上，若，，，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D．四边形的面积是 2．（24-25八年级上·上海普陀·期中）将边长分别为的两个直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的直角梯形．试用两种方法计算这个图形的面积，并写出一个关于的恒等式： ． 3．（24-25八年级上·上海长宁·期末）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，，斜边的长为，作三个边长分别为，，的正方形，把它们拼成如图所示形状，使，，三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为 ． 4．（2025八年级上·上海杨浦·专题练习）面积法是最常见的验证勾股定理的方法．用两个全等的直角三角形的纸板拼出如图所示的图形，，设，请结合图形验证勾股定理． 【经典例题四 以弦图为背景的计算题】 【例4】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）我国汉代数学家赵爽利用“赵爽弦图”证明了勾股定理，它是由个全等的直角三角形和一个小正方形组成，其中直角三角形的直角边长为，，斜边长为．下列各组数中，满足，，关系的是（    ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，11，12 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（    ）． A．24 B．30 C．40 D．50 2．（24-25八年级上·上海静安·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形的边长为 ． 3．（24-25八年级上·上海长宁·期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，若正方形的面积为，，则与的面积差是 ． 4．（2025·上海松江·模拟预测）综合与实践． 【问题驱动】如何验证勾股定理？ 【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成图1． 【探索新知】从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积． 从而得到数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 (1)如图1，若，求小正方形的面积与大正方形的面积的比值； (2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，，求此时空白部分的面积． 【经典例题五 用勾股定理解三角形】 【例5】（25-26八年级上·上海金山·开学考试）已知一个直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三边长为（　　） A．或 B．或2 C．或5 D．或5 1．（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，一个底面周长为，高为的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点到点所经过的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·上海静安·专题练习）如图，在中，已知，，在平面内有一点D，，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 3．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）如图所示，四边形中，，，，，，则四边形的面积为 ． 4．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，平分，交于点，过点作于点．    (1)求证：； (2)若，，则__________，__________． 【经典例题六 已知两点坐标求两点距离】 【例6】（2025·上海金山·模拟预测）下列各数表示的点到原点距离最远的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（  ） A． B．4 C． D．5 2．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，直角坐标系中，经过三点的圆，圆心为，则点的坐标为 ． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）如图，点，点，点为第一象限内一动点，且，则线段长度的最小值为 ． 4．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）阅读下列一段文字，然后回答下列问题． 已知在平面内有两点、，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或． (1)已知，试求A、B两点间的距离______； (2)已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为，试求M、N两点的距离为______； (3)已知一个三角形各顶点坐标为，你能判定此三角形的形状吗？说明理由； (4)在（3）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使的长度最短，求的最短长度． 【经典例题七 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例7】（24-25八年级上·上海奉贤·期中）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为（   ） A． B．6 C． D． 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）如图字母所代表的正方形的面积是（   ） A．12 B．13 C．144 D．194 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，四边形中，，分别以为直径作半圆，已知各半圆面积为，，则 ． 4．（24-25八年级上·上海长宁·期中）正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，…按此规律继续下去，则的值为                　 4．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）．    （一）观察： 从整体看，图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，图2中的大正方形的面积又可以用含字母，b的代数式表示为：______________． 图3中的大正方形的面积又可以用含字母、b、c的代数式表示为：____________． （二）思考：综合图2和图3可以得到一个等式_____________． （（三）应用：请你运用（二）中得到的结论解答： 若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三半圆的面积分别记作、、，且，求的值． （四）延伸： 若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边，，斜边，则表示图中阴影部分面积的数值是______________． 【经典例题八 勾股定理与网格问题】 【例8】（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）如图，在的方格中，每个小正方形的边长为1，点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，点E所表示的数是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，为的网格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点（在格点上），使得为等腰三角形，则点的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，网格均是边长为1的小正方形，计算图中线段的长度是 ． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为 4．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，请分别画出面积为和的两个正方形： 【经典例题九 勾股定理与折叠问题】 【例9】（25-26八年级上·上海杨浦·随堂练习）如图是长方形纸片，已知，现将纸片折叠，使点D落在边上的点M处，且，折痕为，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．1.5 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海崇明·开学考试）如图，在中，，点D，E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在边上．若，，则的长为 ． 3．（2025八年级上·上海闵行·模拟预测）如图，直角梯形纸片，，，，点、分别在线段、上，将沿翻折，点的落点记为．当落在直角梯形内部时，的最小值等于 ． 4．（25-26八年级上·上海杨浦·单元测试）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 【经典例题十 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例10】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海杨浦·单元测试）用四个完全一样的直角三角板拼成如图所示的图形，其中每个直角三角板的斜边长都为，两直角边长分别为，，下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海青浦·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是 ．    3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    4．（24-25八年级上·上海金山·期末）如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．    (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)试说明三者之间的关系． 【经典例题十一 用勾股定理构造图形解决问题】 【例11】（24-25八年级上·上海松江·期中）如图所示的图形是由两个直角三角形和三个正方形组成的，其中三个正方形阴影部分的面积和是56，大直角三角形一边长为6，则斜边长（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图的方式放置在最大正三角形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（    ） A．直角三角形的面积 B．最大正三角形的面积 C．较小两个正三角形重叠部分的面积 D．最大正三角形与直角三角形的面积和 2．（2025·上海虹口·模拟预测）庆祝虎年，小明将一副七巧板拼成了如图的“回头虎”，则图中 ． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，某自动感应门的正上方A处装有一个感应器，离地高度AB=2.7米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．小张身高1.8米（CD=1.8米），当他正对着门缓慢走到离门1.2米的地方时（BC=1.2米），感应门自动打开，则AD= 米． 4．（24-25八年级上·上海宝山·期中）把15只空油桶（每只油桶底面直径均为50cm）如图所示堆在一起，求这堆油桶的最高点距地面的高度． 【拓展训练一 利用勾股定理求长度】 1．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图折叠，使点A与点B重合，则折痕的长是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）在中，的平分线交于P点．于E点，则的长是 ． 3．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）遛狗时牵绳可以保障他人的安全，维护社区和谐．晚饭后小莉和家人一起出门遛狗，其示意图如图．小莉发现，遛狗时当她身体站直，牵绳的手离地面的高度，小狗的脖子上的绳到地面的高度，小狗与小莉的距离．求此时牵狗绳的长（绳子一直是直的）． 【拓展训练二 勾股定理中的面积问题】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，已知，，，，分别以的三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（   ） A．3 B． C． D． 2．（2025·上海青浦·模拟预测）如图所示，正方形的边长为1，其面积标记为 ，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则 的值为 ． 3．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）如图，于F，且，，． (1)求的长； (2)求正方形的面积． 【拓展训练三 勾股定理中的折叠问题】 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，，，将沿翻折，使点与边上的点重合，则的长是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）如图，折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，，，则 ． 3．（24-25八年级上·上海长宁·期末）（1）如图1，已知是的中线，，把沿所在直线对折，点C落在点E的位置（如图1），则等于　　　度． （2）如图2，有一直角三角形纸片，两直角边，，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【拓展训练四 勾股定理中的最值问题】 1．（24-25八年级上·上海虹口·期中）如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，若，取的中点．连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海普陀·期中）如图，在中，，，．点P是内一点，则点P到三个顶点的距离和的最小值是 ． 3．（24-25八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，点D是中点， (1)求证：是等边三角形． (2)点分别是上任意一点，连接，若，则的最小值为_______． 1．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）数学活动课上，赵奕用同样的火柴棒摆直角三角形，他摆两条直角边分别用了3根和4根火柴棒，他摆完这个直角三角形共用火柴棒（   ） A．14根 B．12根 C．11根 D．10根 2．（24-25八年级上·上海闵行·开学考试）如图，点所表示的数是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海静安·期中）如图，已知在直角三角形中，以直角边、为边的正方形的面积分别为25、144，则的长为（   ） A．169 B．119 C．13 D．17 4．（25-26八年级上·上海杨浦·课后作业）如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·上海金山·期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．（24-25八年级上·上海崇明·期中）一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长是 ． 7．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的面积分别为25和64，则最大正方形的面积是 ． 8．（25-26八年级上·上海杨浦·随堂练习）一辆装满货物、宽为的卡车想要通过如图所示的单向通行的隧道（隧道截面上侧为半圆，下侧为长方形），则卡车的高必须低于 ． 9．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，．为边上一点，连接．将沿折叠，若点恰好落在线段的延长线上的点处，连接，则的长为 ． 10．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 11．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图所示，中， ，，，求的长． 12．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处， (1)求的长； (2)求的长． 13．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称为“勾股定理”．即在直角三角形中（如右图），．两条直角边分别为，，斜边为．则．利用勾股定理解答下列问题： (1)在直角三角形中，，，，求的长． (2)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，每个小格的顶点叫做格点． ①在图中，利用勾股定理求线段的长度． ②在图中，画一条格点线段，使． 14．（25-26八年级上·上海青浦·开学考试）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 15．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形． (1)请利用图1推导勾股定理． 已知：中，，，，． 求证：． 证明：（请补充证明过程） (2)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $