专题02 角平分线重难点题型专训（2个知识点+7大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题02 角平分线重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 角平分线的性质定理 题型二 角平分线的判定定理 题型三 作角平分线(尺规作图) 题型四 根据角平分线的性质求面积 题型五 根据角平分线的性质求长度 题型六 根据角平分线的性质求角度 题型七 角平分线性质的实际应用 拓展训练一 角平分线的常见辅助线添加 拓展训练二 角平分线的判定与性质多结论问题 拓展训练三 角平分线的判定与性质综合应用 知识点一：角平分线的画法（尺规作图） 如图所示：作∠AOB的角平分线 （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点D、E； （2）分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C； （3）过O、C两点作射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线. 【即时训练】 1．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，下列四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线是的平分线的为（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②③ 2．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）用直尺和圆规作一个角的平分线，示意图如图所示，则能说明是的角平分线的依据是 ．（选填“”、“”、“”、“”） 知识点二：角平分线的性质与判定 1、 角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 2、角的平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 3、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图步骤： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求. 4、三角形的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等。 角平分线的性质定理与判定定理的区别与联系： （1） 角平分线的性质定理中的题设“在角的平分线上的点”，这个点不是一个点，实际上是指角平分线上的任 意一点，或者说是角平分线上的所有点都具有“到角两边的距离相等”的性质。 （2） 角平分线的性质定理与判定定理是两个互逆定理，是两个互逆的真命题。要从题设、条件与结论的关系上 理解它们的区别和联系。点在角平分线上点到这个叫的两边的距离相等。 （3） 角平分线的性质定理与判定定理在应用时的作用不同。性质定理的结论是确定点到角的两边的距离相等的问题。判定定理的结论是判定点是否在角平分线上的问题。 【即时训练】 1．（2025八年级上·上海奉贤·专题练习）如图，平分，于点，若，则到的距离是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在中，，平分，，，则点到的距离为 ． 【经典例题一 角平分线的性质定理】 【例1】（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，已知在中，，平分，交于点D，若，，则的面积为（   ） A．9 B．12 C．18 D．36 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）已知：如图，中，，点为的三条角平分线的交点，, , ,点、、分别是垂足，且, , ，则点到三边、和的距离分别等于（　　） A．2、、 B．3、、 C．4、、 D．2、、 2．（25-26八年级上·上海·阶段练习）如图，已知的周长为36，和分别平分和，于点，且，则的面积是 ． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·课后作业）如图，在中，，是上一点，过点D作于点，，连接．若，，则的长为 ． 4．（25-26八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接，，若，求的长． 【经典例题二 角平分线的判定定理】 【例2】（25-26八年级上·上海奉贤·课后作业）已知，将两个完全一样的三角板按如图所示的方式摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且另一组对应边所对的顶点重合于点M，则点M一定在（ ） A．的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的中线上 D．AB边的中线上 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，O是内一点，且O到三边的距离，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海嘉定·开学考试）如图，点O在内，且到三边的距离相等，，则的度数为 . 3．（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连接并延长．若，则的度数为 ． 4．（25-26八年级上·上海松江·阶段练习）如图：， (1)图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． (2)连接，求证：平分． 【经典例题三 作角平分线(尺规作图)】 【例3】（24-25八年级上·上海宝山·期末）下列尺规作图，能确定的是（    ）． A． B． C． D． 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在中，，以点A为圆心，按照要求进行尺规作图，若的面积是4，，则（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025·上海静安·模拟预测）如图，扇形的半径为2，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，若，则劣弧的长为 （结果保留）． 3．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，．请根据作图痕迹解决下列问题： ；若，则长为 ． 4．（25-26八年级上·上海松江·阶段练习）求证：全等三角形的对应角平分线相等． (1)在图②中，作出相应的角的平分线，保留作图痕迹； (2)请帮助小明同学写出已知条件和证明过程． 已知：如图，___________． 求证：． 【经典例题四 根据角平分线的性质求面积】 【例4】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，已知的周长是20，和分别平分和，于点D，且，则的面积是 A．20 B．25 C．30 D．35 1．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则为（　　） A．11 B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海奉贤·单元测试）如图，在中，平分平分，连接，作，则的面积是 ． 3．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，是的角平分线，延长至E，使，连接，若，若的面积为12，则的面积是 ． 4．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【经典例题五 根据角平分线的性质求长度】 【例5】（2025八年级上·上海奉贤·专题练习）如图，平分交于点，于点，，，，则的长是（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 1．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线，交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（   ） A． B．8 C．6 D．4 2．（24-25八年级上·上海嘉定·开学考试）如图，已知的平分线与的平分线相交于点P，过点P作，交于点E，交于点， 则的长为 ． 3．（25-26八年级上·上海松江·开学考试）如图，在直角中，是的角平分线，若的面积为6，则的长为 ． 4．（24-25八年级上·上海金山·期末）已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长； (3)如图3，过点作于点，点在上，点在上，，试判断，，这三个角之间的数量关系，并说明理由． 【经典例题六 根据角平分线的性质求角度】 【例6】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，平分，，，于D，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，在中，，的平分线交于，平分交于，连接，于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海崇明·期中）已知：如图，，E是的中点，平分，，则的度数是 ． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，中，，，的平分线与外角的平分线交于点E，连接，则的度数为 ． 4．（25-26八年级上·上海普陀·开学考试）如图，点在的平分线上，交于点． 用尺规作图的方法作以为一边的等腰三角形． 小明：如图，以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，则是等腰三角形． 小华：以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，则是等腰三角形． (1)证明：小华所作的是等腰三角形． (2)若，求的度数． 【经典例题七 角平分线性质的实际应用】 【例7】（24-25八年级上·上海松江·期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC＝18，DE＝3，AB＝7，则AC长是（　　） A．5 B．6 C．4 D．7 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，△ABC的三边长分别是6,9,12,其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于（   ） A．1:1:1 B．1:2:3 C．2:3:4 D．3:4:5 2．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）有三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站可建的地点有 个． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，如图，中，，点为的三条角平分线的交点，垂直，，，点、、分别是垂足，且，，，则 ． 4．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）角平分线的轴对称性可以为解题提供思路和方法：    (1)如图1，在的两边上取两点A、B，使，点P为角平分线上任意一点，连接、，根据角的轴对称性易得______； (2)如图2，中，，求证：． 证明：作的平分线交边于点D，在边上截取，连接．（请完成证明） (3)如图3，在中，，为的角平分线，写出、、之间的数量关系并说明理由． 【拓展训练一 角平分线的常见辅助线添加】 1．（24-25八年级上·上海宝山·期末）已知：如图OA平分∠BAC，∠1=∠2． 求证：AO⊥BC． 同学甲说：要作辅助线； 同学乙说：要应用角平分线性质定理来解决： 同学丙说：要应用等腰三角形“三线合一”的性质定理来解决． 请你结合同学们的讨论写出证明过程．    2．（24-25八年级上·上海长宁·期中）（1）如图①，在中，，，平分，交于点．如果作辅助线于点，则可以得到三条线段之间的数量关系为______； （2）如图②，中，平分，交于点，若有．试说明，写出证明过程．（提示：可以在线段上截取的等长线段） 3．（2025·上海长宁·模拟预测）在中，点在直线上，连接，交直线于点，交直线于点，过点作交直线于点．探究线段，，之间的数量关系． (1)当平分时，如图①，求证：． 探究如下：某同学思考这道题时，想通过三角形全等证明，进而再证明三角形全等，最终得出，请写出图①的证明过程； (2)当为的外角平分线，且点在的延长线上时，如图②；当为的外角平分线，且点在的延长线上时，如图③，请直接写出，，之间的数量关系． 【拓展训练二 角平分线的判定与性质多结论问题】 1．（2025·上海静安·模拟预测）如图，、，垂足分别为E、F，若，，则以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 2．（24-25八年级上·上海奉贤·单元测试）已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，、相交于点，，相交于点，则下列五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤连接，则平分，其中，正确的是 ．（填写序号） 3．（24-25八年级上·上海宝山·期末）在学习《生活中的轴对称》时，我们探究了两个重要结论： 结论1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 如图，当，时，则有：． 结论2：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 如图，当平分，，时，则有：． 请利用上述结论，解决下列问题： 如图，在中，，，是的平分线，，垂足为点E，点P为线段上一动点． (1)试说明：； (2)若点P为线段的垂直平分线与的交点，求的度数． 【拓展训练三 角平分线的判定与性质综合应用】 1．（24-25八年级上·上海静安·期末）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海奉贤·课后作业）将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为 ．    3．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）【习题回顾】（1）如下左图，在中，平分平分，则_________．    【探究延伸】在中，平分、平分、平分相交于点，过点作，交于点． （2）如上中间图，求证：； （3）如上右图，外角的平分线与的延长线交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，试说明：． 1．（24-25八年级上·上海奉贤·课后作业）如图，平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（  ） A． B．平分 C． D．垂直平分 2．（25-26八年级上·上海松江·阶段练习）如图，在中，，平分，交于点 D，若，则点D到的距离为（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海静安·期中）在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．（25-26八年级上·上海奉贤·单元测试）如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，，平分交于点，交的延长线于点．则下列结论：①；②；③若，则；④；⑤，其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，中，，平分，，，，则的面积是 ． 7．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，平分交于点，若，则的边上的高为 ． 8．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接，，若，则的长为 ． 9．（25-26八年级上·上海奉贤·阶段练习）在正方形网格中，的位置如图所示，点 M，N在格点上，其中到两边距离相等的点是点 ．（填“M”或“N”） 10．（2025八年级上·上海松江·模拟预测）如图，点E在延长线上，交于点F，且，，比的余角小，P为线段上的一动点，Q为上一点，且满足，为的平分线，则下列结论： ①；②平分；③；④的角度为定值，其中正确的结论有 ． 11．（25-26八年级上·上海金山·阶段练习）如图，平分，，于点M，于点N．求证：． 12．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）电信部门要修建一座电视信号发射塔 P，按照设计要求，发射塔 P 到两城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P 的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 13．（25-26八年级上·上海闵行·开学考试）如图，在四边形中，，，为的中点，连接、，且平分，过点作于点，试判断是否平分？请证明你的结论． 14．（24-25八年级上·上海松江·期末）（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 15．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）如图的三角形纸片中,．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠得到的， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴的周长为． 【知识应用】在中,，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接． （1）如图1，①若，求的面积； ②求证：平分． 【拓展应用】 （2）如图2，过点P作．若，直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 角平分线重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 角平分线的性质定理 题型二 角平分线的判定定理 题型三 作角平分线(尺规作图) 题型四 根据角平分线的性质求面积 题型五 根据角平分线的性质求长度 题型六 根据角平分线的性质求角度 题型七 角平分线性质的实际应用 拓展训练一 角平分线的常见辅助线添加 拓展训练二 角平分线的判定与性质多结论问题 拓展训练三 角平分线的判定与性质综合应用 知识点一：角平分线的画法（尺规作图） 如图所示：作∠AOB的角平分线 （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点D、E； （2）分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C； （3）过O、C两点作射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线. 【即时训练】 1．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，下列四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线是的平分线的为（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对四个图形的作法进行判断即可． 【详解】解：①作图是尺规作图作角的平分线，故①正确； ②作图不能得到射线是的平分线，故②错误； ③作图可以得到射线是的平分线，故③正确； ④作图可以得到是的中线，故④错误； 故选：． 2．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）用直尺和圆规作一个角的平分线，示意图如图所示，则能说明是的角平分线的依据是 ．（选填“”、“”、“”、“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定的应用，培养学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．连接，，根据证，即可推出答案． 【详解】解：连接，，如图所示： 在和中， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故答案为：． 知识点二：角平分线的性质与判定 1、 角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 2、角的平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 3、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图步骤： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求. 4、三角形的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等。 角平分线的性质定理与判定定理的区别与联系： （1） 角平分线的性质定理中的题设“在角的平分线上的点”，这个点不是一个点，实际上是指角平分线上的任 意一点，或者说是角平分线上的所有点都具有“到角两边的距离相等”的性质。 （2） 角平分线的性质定理与判定定理是两个互逆定理，是两个互逆的真命题。要从题设、条件与结论的关系上 理解它们的区别和联系。点在角平分线上点到这个叫的两边的距离相等。 （3） 角平分线的性质定理与判定定理在应用时的作用不同。性质定理的结论是确定点到角的两边的距离相等的问题。判定定理的结论是判定点是否在角平分线上的问题。 【即时训练】 1．（2025八年级上·上海奉贤·专题练习）如图，平分，于点，若，则到的距离是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，根据题意，则到的距离即为， 【详解】∵平分，于点， ∴到的距离即为， ∵， ∴到的距离为， 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在中，，平分，，，则点到的距离为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质，理解“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键． 过点作于点，根据角平分线的性质可得，据此求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， 即点到的距离为6． 故答案为：6． 【经典例题一 角平分线的性质定理】 【例1】（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，已知在中，，平分，交于点D，若，，则的面积为（   ） A．9 B．12 C．18 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 过作于，根据角平分线的性质得出，根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：过作于，如图， ∵平分交于点， ∴， ∴的面积为． 故选：C． 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）已知：如图，中，，点为的三条角平分线的交点，, , ,点、、分别是垂足，且, , ，则点到三边、和的距离分别等于（　　） A．2、、 B．3、、 C．4、、 D．2、、 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，等面积法的应用，熟知角平分线的性质是解题的关键． 连接，，，由角平分线的性质得到，再根据等面积法进行作答，即可求解． 【详解】解：连接，，，如图： ， ∴， 即， 解得：， 即， 即点到三边、和的距离分别等于，，， 故选：A． 2．（25-26八年级上·上海·阶段练习）如图，已知的周长为36，和分别平分和，于点，且，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形面积，证出三角形的面积与周长的关系是解题的关键． 连接，过作于，于，先由角平分线的性质得，，再由三角形面积关系，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过作于，于，于， 、分别平分和， ，， ， ， 即的面积是， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·课后作业）如图，在中，，是上一点，过点D作于点，，连接．若，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】此题考查角平分线的判定和性质，根据，，，得到，由此得到，再根据角平分线的性质得到，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为10． 4．（25-26八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接，，若，求的长． 【答案】6 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，根据，平分，，得出，证明，得出，证明，得出，即可得，从而求出． 【详解】解：∵，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题二 角平分线的判定定理】 【例2】（25-26八年级上·上海奉贤·课后作业）已知，将两个完全一样的三角板按如图所示的方式摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且另一组对应边所对的顶点重合于点M，则点M一定在（ ） A．的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的中线上 D．AB边的中线上 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键． 根据角平分线的判定定理“在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上”可推出在的平分线上，即可得到答案． 【详解】解：如图， ， 点在的平分线上． 故选：A 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，O是内一点，且O到三边的距离，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的判定，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出、分别平分和，再根据三角形的内角和定理求出，然后求出，再次利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵O到三边的距离， ∴、分别平分和， ∴， ∴. 故选D. 2．（25-26八年级上·上海嘉定·开学考试）如图，点O在内，且到三边的距离相等，，则的度数为 . 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质与三角形内角和的计算，熟练掌握角平分线的判定和三角形内角和的计算是解题的关键，根据题意可得，，再利用三角形内角和即可得到答案． 【详解】解：∵点O在内，且到三边的距离相等， 即点O到和的距离相等，点O到和的距离相等， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连接并延长．若，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，把实际问题转化为数学问题求解是解题的关键；根据两把长方形直尺相同，表明点P到射线的距离相等，由角平分线的判定定理知，射线是角平分线，即可求解． 【详解】解：∵两把长方形直尺相同， ∴点P到射线的距离相等， ∴射线是的平分线， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海松江·阶段练习）如图：， (1)图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及角平分线的判定， （1）设交于点G，先证明，进而得出，即可证明结论； （2）作于P，于Q，由全等得出，即可证明结论； 【详解】（1）解：结论：，理由如下：         如图，设交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，                                 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图，作于P，于Q， ∵， ∴（全等三角形对应边上的高相等）， ∵于P，于Q， ∴平分． 【经典例题三 作角平分线(尺规作图)】 【例3】（24-25八年级上·上海宝山·期末）下列尺规作图，能确定的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了尺规作图—基本作图，观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线，角平分线，垂线性质逐项判断即可． 【详解】解：A选项作图痕迹可知，D为中点，即，不能确定； B选项作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，即，不能确定； C选项作图痕迹可知，D在的平分线上，能确定； D选项作图痕迹可知，是边上的高，不能确定． 故选：C． 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在中，，以点A为圆心，按照要求进行尺规作图，若的面积是4，，则（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据题干作图过程，得是的平分线，得，因为的面积是4，，则，故，即可作答． 【详解】解：根据题干作图过程，得是的平分线， 过点作， ∴， ∵， ∴， ∵的面积是4，， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：A． 2．（2025·上海静安·模拟预测）如图，扇形的半径为2，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，若，则劣弧的长为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．由角平分线的性质求出的度数，由弧长公式即可计算． 【详解】解：由作图知：平分， 扇形的半径是2， 故答案为：． 3．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，．请根据作图痕迹解决下列问题： ；若，则长为 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线、作垂线，角平分线的性质定理，直角三角形的性质，由作图可得射线是的角平分线，是线段的垂直平分线，从而可得，，过点作交射线于点，由角平分线的性质定理可得，最后由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：根据作图痕迹可知：射线是的角平分线，是线段的垂直平分线，，． 如图，过点作交射线于点， 由角平分线的性质，得， ，， ． 故答案为：，6． 4．（25-26八年级上·上海松江·阶段练习）求证：全等三角形的对应角平分线相等． (1)在图②中，作出相应的角的平分线，保留作图痕迹； (2)请帮助小明同学写出已知条件和证明过程． 已知：如图，___________． 求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查作图—基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． （1）根据要求作出图形即可． （2）写出已知，求证，证明．证明（），可得结论． 【详解】（1）解：如图②中，线段即为所求． （2）解：已知：，线段，分别是，的角平分线， 求证：． 证明：， ，，， ，分别是，的角平分线， ，， ， （）， ． 【经典例题四 根据角平分线的性质求面积】 【例4】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，已知的周长是20，和分别平分和，于点D，且，则的面积是 A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到的距离都相等即，从而可得到的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可． 【详解】解：如图，连接，过O作于E，于F， 、分别平分和， ， 的周长是20，于D，且， ， ， ． 故选：C． 1．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则为（　　） A．11 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查角平分线的性质，根据三角形的中线求面积，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答． 根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可． 【详解】解：过点作，， 为的角平分线， ， ，， ， 为中点， ， 设，，则， ， ． 故选：B． 2．（25-26八年级上·上海奉贤·单元测试）如图，在中，平分平分，连接，作，则的面积是 ． 【答案】8 【分析】本题考查角平分线的性质，作于点H，于点F，由角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，，进而可得，即可求出的面积． 【详解】解：如图，作于点H，于点F， 平分平分， ，， ， ， 故答案为：8． 3．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，是的角平分线，延长至E，使，连接，若，若的面积为12，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积等知识，过点作于，交延长线于，利用角平分线的性质可得，再运用等高的两个三角形面积比等于底之比即可得出答案． 【详解】解：过点作于，交延长线于， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，的面积为12， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 4．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高，三角形的面积，熟练掌握:角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）过点作于点于点，先通过计算得出，，根据角平分线的判定与性质得，则．由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）根据“的面积的面积的面积”列式求出，得，再求的面积即可． 【详解】（1）证明：，交的延长线于点， ． ， ． ， ． 如图，过点作于点于点， 平分，交的延长线于点， ． ， 平分， ， ． ， 平分； （2）解：的面积的面积的面积， ， ， ， ， ， 的面积． 【经典例题五 根据角平分线的性质求长度】 【例5】（2025八年级上·上海奉贤·专题练习）如图，平分交于点，于点，，，，则的长是（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的面积公式，角平分线的性质定理，作交于，由角平分线的性质定理可得，再由计算即可得解，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，作交于， ， ∵平分交于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 1．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线，交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（   ） A． B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．作于点F，由平分、平分，且于点M，于点N，得，，所以，则平分，再证明，同理，所以，，由 可算出的长度． 【详解】解：作于点F， ∵、的角平分线、交于点P，于点M，于点N， ∴，，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分， 在和中， ， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·开学考试）如图，已知的平分线与的平分线相交于点P，过点P作，交于点E，交于点， 则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性质．解题的关键是作出恰当的辅助线． 过P点作于H，如图，先利用平行线的性质得到，再根据角平分线的性质得到，则，然后利用三角形面积公式计算出，从而得到的长． 【详解】解：过P点作于H，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ， ， ∴． 故答案为：6． 3．（25-26八年级上·上海松江·开学考试）如图，在直角中，是的角平分线，若的面积为6，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过点D作于点E，由角平分线的性质定理可得出，再根据三角形面积即可得出，进而可得出． 【详解】解：过点D作于点E， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 4．（24-25八年级上·上海金山·期末）已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长； (3)如图3，过点作于点，点在上，点在上，，试判断，，这三个角之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)5 (3)，理由见解析 【分析】本题考查角平分线性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是利用角平分线构造全等条件，通过作辅助线创造全等三角形，借助全等实现角和线段关系的转化推导． （1）依据角平分线定义得，结合、，用证，由全等性质得，代入求出． （2）作，由得（等腰三线合一），结合推出，再用证，得． （3）截，用证，得，再用证，推导． 【详解】（1）解：平分， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：过点作于点，如图所示∶ ， ， ， ， ， 又， ， ， 平分，于点，于点， ，， 在和中， ， ； （3），，这三个角之间的数量关系是∶，理由如下∶ 在上截取，连接，如图所示∶ ， ， 即， 平分，于点，于点， ，， 在和中， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【经典例题六 根据角平分线的性质求角度】 【例6】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，平分，，，于D，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 如图，作于T．由，推出即可解决问题． 【详解】解：如图，作于T． ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，在中，，的平分线交于，平分交于，连接，于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的判定与性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，掌握这些知识点是解题的关键．过D作交的延长线于M，于点N，先证明，，， 推导出，则，证明出平分，求出，由三角形的外角得到，即可解答． 【详解】解：过D作交的延长线于M，于点N，如图 ∵平分， ∴，， ， ，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 2．（24-25八年级上·上海崇明·期中）已知：如图，，E是的中点，平分，，则的度数是 ． 【答案】36° 【分析】过点E作于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再求出，根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得是的平分线，然后求出，再根据同角的余角相等求出，从而得解． 【详解】解：如图，过点E作于F， ∵平分，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∵， ， ∴． 故答案为：36°． 【点睛】本题考查了角平分线的性质与角平分线的判定，熟记性质并作出辅助线是解题的关键． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，中，，，的平分线与外角的平分线交于点E，连接，则的度数为 ． 【答案】/37度 【分析】由角平分线的性质可得，进而可证明是的外角平分线，再利用三角形的内角和定理解答即可． 【详解】解：过E点分别作于，作于点G，作于H， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴是的外角平分线， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角平分线和外角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． 4．（25-26八年级上·上海普陀·开学考试）如图，点在的平分线上，交于点． 用尺规作图的方法作以为一边的等腰三角形． 小明：如图，以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，则是等腰三角形． 小华：以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，则是等腰三角形． (1)证明：小华所作的是等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理和判定方法． （1）根据作图痕迹和角平分线的性质证明，即可得到，然后根据平行线和角平分线进行角的等量代换得到，即可得到，进而得到，从而证明结论即可； （2）根据三角形的外角得到，然后根据等边对等角得到，再根据三角形的内角和定理解答即可． 【详解】（1）证明：根据小华的作图可知：， 点在的平分线上， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， ， ， 又， ， ， ， 在中，， 即， 解得， ． 【经典例题七 角平分线性质的实际应用】 【例7】（24-25八年级上·上海松江·期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC＝18，DE＝3，AB＝7，则AC长是（　　） A．5 B．6 C．4 D．7 【答案】A 【分析】先求出△ABD的面积，再得出△ADC的面积，最后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AC边上的高，从而得解． 【详解】∵DE=3，AB=7， ∴△ABD的面积为×3×7＝， ∵S△ABC=18， ∴△ADC的面积=18-=， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， ∴AC边上的高=DE=3， ∴AC=×2÷3=5， 故选A． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，△ABC的三边长分别是6,9,12,其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于（   ） A．1:1:1 B．1:2:3 C．2:3:4 D．3:4:5 【答案】C 【详解】过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F， ∵O是三角形三条角平分线的交点， ∴OD=OE=OF， ∵AB=6，BC=9，AC=12， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=2：3：4， 故选C. 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线很关键． 2．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）有三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站可建的地点有 个． 【答案】4 【分析】根据“要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等”可知加油站需建在题目所给的图形的角平分线的交点上，故问题得解． 【详解】解： 如图所示作出角的平分线包括外角的角平分线，共有4个交点，所以由三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，则加油站需满足在角平分线的交点上，故可建的地点有4个． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，如图，中，，点为的三条角平分线的交点，垂直，，，点、、分别是垂足，且，，，则 ． 【答案】2cm 【分析】连接、、，如图，利用角平分线的性质得，设，则，根据三角形面积公式，利用得到，然后解方程即可． 【详解】解：连接、、，如图， 点为的三条角平分线的交点，垂直，，， ， 设，则， ， ，解得， 即的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 4．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）角平分线的轴对称性可以为解题提供思路和方法：    (1)如图1，在的两边上取两点A、B，使，点P为角平分线上任意一点，连接、，根据角的轴对称性易得______； (2)如图2，中，，求证：． 证明：作的平分线交边于点D，在边上截取，连接．（请完成证明） (3)如图3，在中，，为的角平分线，写出、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据角的轴对称性，即可得到； （2）证明，得到，根据三角形的外角的性质，即可得出结论； （3）在上截取，证明，得到，，利用外角的性质，得到，进而得到，于是，利用即可得出． 【详解】（1）解：∵角关于角平分线所在的直线对称，， ∴点A、B关于直线对称， ∴； 故答案为：； （2）证明：作的平分线交边于点D，在边上截取，连接，则：，    又， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴； （3）；理由如下： 在上截取，连接，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 【拓展训练一 角平分线的常见辅助线添加】 1．（24-25八年级上·上海宝山·期末）已知：如图OA平分∠BAC，∠1=∠2． 求证：AO⊥BC． 同学甲说：要作辅助线； 同学乙说：要应用角平分线性质定理来解决： 同学丙说：要应用等腰三角形“三线合一”的性质定理来解决． 请你结合同学们的讨论写出证明过程．    【答案】见解析 【分析】作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，根据角平分线的性质可得OD=OE，然后根据等角对等边证出OB=OC，然后利用HL证出Rt△ODB≌Rt△OEC，可得∠ABO=∠ACO，再利用等角对等边证出AB=AC，最后根据三线合一即可证出结论． 【详解】解：作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E    ∵AO平分BAC， ∴OD=OE ∵∠1=∠2 ∴OB=OC 在Rt△ODB和Rt△OEC中 ∴Rt△ODB≌Rt△OEC ∴∠ABO=∠ACO 又∵∠1=∠2 ∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC ∵AO平分∠BAC ∴AO⊥BC 【点睛】此题考查的是角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定和全等三角形的判定及性质，掌握角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键． 2．（24-25八年级上·上海长宁·期中）（1）如图①，在中，，，平分，交于点．如果作辅助线于点，则可以得到三条线段之间的数量关系为______； （2）如图②，中，平分，交于点，若有．试说明，写出证明过程．（提示：可以在线段上截取的等长线段） 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】本题综合考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质．全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）根据角平分线的性质以及全等三角形的判定定理知；然后由全等三角形的对应边相等、等腰三角形的两腰相等的性质推知，即； （2）在上截取，连接．证明．可得，证明，可得，再进一步可得结论． 【详解】解：（1）．理由是： ∵，， ∴，是的角平分线， ； 在与中， ， ， ； 又， ， ， ，即； （2）证明：如图，在上截取，连接． ， 又， ， ∵平分， ∴， 在和中 ， ． ， ， ， 又， ， 3．（2025·上海长宁·模拟预测）在中，点在直线上，连接，交直线于点，交直线于点，过点作交直线于点．探究线段，，之间的数量关系． (1)当平分时，如图①，求证：． 探究如下：某同学思考这道题时，想通过三角形全等证明，进而再证明三角形全等，最终得出，请写出图①的证明过程； (2)当为的外角平分线，且点在的延长线上时，如图②；当为的外角平分线，且点在的延长线上时，如图③，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)当点在的延长线上时，，当点在的延长线上时，；理由见解答过程 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）先证明和全等得，根据得，进而可依据“”判定和全等得，则，然后根据即可得出结论； （2）当点在的延长线上时，先证明和全等得，根据得，进而可依据“”判定和全等得，则，然后根据即可得出，，之间的数量关系；当点在的延长线上时，先证明和全等得，根据得，由此可依据“”判定和全等得，则，然后根据即可得出，，之间的数量关系． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ； （2）解：如图②，当点在的延长线上时，，理由如下： 平分， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ； 如图③，当点在的延长线上时，，理由如下： 平分， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ． 【拓展训练二 角平分线的判定与性质多结论问题】 1．（2025·上海静安·模拟预测）如图，、，垂足分别为E、F，若，，则以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法；根据证明，即可判断①；根据，，且，得出平分，即可判断②；根据全等三角形的性质得出，根据，即可等量代换得到，结合即可判断③；通过证明，得出，则，即可得出，即可判断④． 【详解】解： ， 在和中， ， ， ，故正确； 且， 平分，故正确； ∵， ， 又， ， 而， 结论错误； 在和中， ， ， ， ， ， 即，故正确； 综上所述，正确的有①②④． 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海奉贤·单元测试）已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，、相交于点，，相交于点，则下列五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤连接，则平分，其中，正确的是 ．（填写序号） 【答案】①③④⑤ 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质的灵活运用，角的计算及角平分线的判定，熟练掌握三角形全等的证明方法，角平分线的判定及相关辅助线的作法是解决本题的关键． ①根据即可证明；②根据即可证明，从而判断；③根据即可求出；④根据及可知为等边三角形；⑤根据角平分线的性质可知． 【详解】解：①∵和都是等边三角形 ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； ②∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，则； ③∵， 而， ∴， ∴， ∴； ④∵， ∴， 而， ∴为等边三角形； ⑤过C点作于H，于Q，如图 ∵， ∴， ∴平分； 故答案为：①③④⑤． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期末）在学习《生活中的轴对称》时，我们探究了两个重要结论： 结论1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 如图，当，时，则有：． 结论2：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 如图，当平分，，时，则有：． 请利用上述结论，解决下列问题： 如图，在中，，，是的平分线，，垂足为点E，点P为线段上一动点． (1)试说明：； (2)若点P为线段的垂直平分线与的交点，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）由结论2可得，则可证明得到，再证明，则可证明； （2）由三角形内角和定理和角平分线的定义可得，由结论1可得，则，则可得到，再由全等三角形额性质得到，据此可得． 【详解】（1）证明：是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在中，，， ， 是的平分线， ， 点P为线段的垂直平分线与的交点， ∴， ， 是的外角， ， ， ， ． 【拓展训练三 角平分线的判定与性质综合应用】 1．（24-25八年级上·上海静安·期末）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理可得OD=OE=OF=3cm，再由，即可求解． 【详解】解∶如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F， ∵和的角平分线交于点O，， ∴OD=OE，OD=OF， ∴OD=OE=OF=3cm， ∵的周长是， ∴AB+BC+AC=36cm， ∵， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离是解题的关键． 2．（24-25八年级上·上海奉贤·课后作业）将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为 ．    【答案】 【分析】根据题意可得，点是角平分线的交点，根据角平分线的性质可得点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为，根据三角形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∴点是角平分线的交点，如图所示，连接，    ∴点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为， ∴，且的长分别为，， ∴，，， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的折叠，角平分线的性质的综合，掌握角平分线的交点到角两边的距离相等，几何图形面积的计算方法等知识是解题的关键． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）【习题回顾】（1）如下左图，在中，平分平分，则_________．    【探究延伸】在中，平分、平分、平分相交于点，过点作，交于点． （2）如上中间图，求证：； （3）如上右图，外角的平分线与的延长线交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，试说明：． 【答案】（1）122；（2）证明见详解；（3）①，理由见解析；②理由见解析. 【分析】（1）根据三角形内角和为和角平分线的定义，可得，再利用三角形内角和，即可求得的大小； （2）根据根据三角形内角和为和角平分线的定义，可表达出，再用同样的方法表达出，即可证明； （3）①根据角平分线的定义，用等量代换的方法，分别表达出和，再根据内错角相等，两直线平行，即可得到结论； ②根据角平分线的定义，用等量代换的方法，分别表达出和,根据等腰三角形的要相等，即可得到结论. 【详解】（1）在中，平分平分 . （2）平分、平分， ，，          在中， ， 平分， ， ，， ， . （3）①与相平行， 平分， ， 又， ， . ② ， . 【点睛】本题考查三角形内角和、角平分线性质、三角形的外角性质的问题，主要用等量代换的思想，属中档题. 1．（24-25八年级上·上海奉贤·课后作业）如图，平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（  ） A． B．平分 C． D．垂直平分 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定 ，角平分线的性质和定义，先由角平分线的性质可得，再证明得到，根据现有条件，无法证明垂直平分，即可解答． 【详解】解：平分，，， ，故A结论正确，不符合题意； 在和中， ， ， ，故C结论正确，不符合题意； ∴平分，故B结论正确，不符合题意 根据现有条件，无法证明垂直平分，即该结论不一定成立，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海松江·阶段练习）如图，在中，，平分，交于点 D，若，则点D到的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的平分线性质定理解答即可． 本题考查了角的平分线性质定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：，平分，交于点 D， 根据角平分线上的点到角两边的距离相等，为点 D到的距离， 故点D到的距离也为． 故选：B． 3．（24-25八年级上·上海静安·期中）在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．角的平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：在的平分线上，、、不在的平分线上， 到两边距离相等． 故选：C． 4．（25-26八年级上·上海奉贤·单元测试）如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质． 过P作于点H，根据角平分线性质，得，根据垂线段最短即可得最小值． 【详解】解：过P作于点H， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故选：B． 5．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，，平分交于点，交的延长线于点．则下列结论：①；②；③若，则；④；⑤，其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由等腰直角三角形的性质结合角平分线的定义计算可得，再由三角形内角和定理即可判断①；延长、交于点，，得出，证明，得出，即可判断②；根据三角形面积公式计算即可判定③；由全等三角形的性质即可判定④；过点作于，由角平分线的性质定理可得，再由三角形面积公式即可判断⑤． 【详解】解：①在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴，故①正确； ②延长、交于点， ， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∴，故③错误； ④由②可得，， ∴，， ∴，故④正确； ⑤如图，过点作于， ， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②④⑤，共个， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 6．（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，中，，平分，，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点作于，由角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积公式即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，平分交于点，若，则的边上的高为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线性质和直角三角形的性质，解题的关键在于利用角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质．利用角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知条件中，推导中边上的高与的关系，从而求解． 【详解】解：过点D作于E， ， ， 平分， ， ， ，即中边上的高为3． 故答案为：3． 8．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，根据，平分，，得出，证明，得出，证明，得出，即可得，从而求出． 【详解】解：∵，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 9．（25-26八年级上·上海奉贤·阶段练习）在正方形网格中，的位置如图所示，点 M，N在格点上，其中到两边距离相等的点是点 ．（填“M”或“N”） 【答案】M 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质． 根据证明得，进而可求出结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点M在的平分线上， ∴点M到两边距离相等． 故答案为：M． 10．（2025八年级上·上海松江·模拟预测）如图，点E在延长线上，交于点F，且，，比的余角小，P为线段上的一动点，Q为上一点，且满足，为的平分线，则下列结论： ①；②平分；③；④的角度为定值，其中正确的结论有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，余角和补角的性质，准确分析计算是解题的关键． 利用平行线的判定和性质，角平分线的性质，余角和补角的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ， ∵， , ∴， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴ ∵， ∴， ∴平分， 故②正确，符合题意； ③∵， ， ∵比的余角小， 则， ， ， ∴, 故③正确，符合题意； ④∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④正确，符合题意； 故答案为：①②③④． 11．（25-26八年级上·上海金山·阶段练习）如图，平分，，于点M，于点N．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，得出，再根据角平分线的性质定理即可证明． 【详解】证明：平分， ， 在和中， ， ， ， 即平分． 又，， ． 12．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）电信部门要修建一座电视信号发射塔 P，按照设计要求，发射塔 P 到两城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P 的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图---线段的垂直平分线和角平分线，以及线段垂直平分线和角平分线的判定定理，正确掌握尺规作图的方法是解题的关键． 根据线段垂直平分线和角平分线的判定定理可得点为的角平分线与线段的垂直平分线的交点，据此利用尺规作图即可． 【详解】解：如图，点即为所求 13．（25-26八年级上·上海闵行·开学考试）如图，在四边形中，，，为的中点，连接、，且平分，过点作于点，试判断是否平分？请证明你的结论． 【答案】平分，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的判定与性质，熟练掌握角平分线的判定与性质是解答本题的关键． 根据平行线的性质可得，再由角平分线的判定与性质解答即可． 【详解】解：平分，证明如下： ，， ，即， 是的中点， ， 平分，，， ， 平分． 14．（24-25八年级上·上海松江·期末）（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质． （1）直接根据角平分线的性质可判断； （2）过点D作于E，交延长线于F，如图2，先根据角平分线的性质得到，再利用等角的补角相等得到，然后证明得到； （3）过点D作于E，交延长线于F，如图3，先根据角平分线的性质得到，再根据判断，所以，然后根据邻补角的定义计算的度数． 【详解】解：（1）如图1， ∵，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴； 故答案为：； （2）， 如图2，过点D作于E，交延长线于F， 平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ． ∴； （3）如图3，过点D作于E，交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）如图的三角形纸片中,．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠得到的， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴的周长为． 【知识应用】在中,，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接． （1）如图1，①若，求的面积； ②求证：平分． 【拓展应用】 （2）如图2，过点P作．若，直接写出的长． 【答案】（1）①；②见解析；（2） 【分析】本题考查了图形折叠的性质（折叠前后对应边相等、对应角相等）、角平分线的性质与判定、直角三角形的面积公式及面积法的应用，解题的关键是利用折叠性质转化线段与角的关系，借助角平分线性质构造相等的距离，结合面积法建立等式求解． （1）①根据折叠性质得，推出、；将的面积拆分为与的面积和，代入面积公式后，利用整体代入计算，即． ②过点作的垂线，利用折叠性质（）得垂线，再由平分得垂线，从而推出；根据角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角平分线上），证明平分． （2）过点作的垂线，结合（1）②的结论及折叠性质（），得；将的面积拆分为、、的面积和，代入面积公式建立等式，代入数值求解． 【详解】（1）①由题可知，， ∴ ． ②如图，过点P分别作边的垂线，垂足分别为点F，S，M， 由题可知，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）如图，过点P分别作边的垂线，垂足分别为点G，N，连接， 由题可知，， ∴，由②可知， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $