22.3实际问题与二次函数讲义2025-2026学年人教版九年级数学上册

实际问题与二次函数讲义2025-2026学年 人教版九年级上册 【知识梳理】 知识点一：列二次函数解应用题 　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 要点诠释： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 知识点二：建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题． 要点诠释： (1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. (2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： 　　①首先必须了解二次函数的基本性质； 　②学会从实际问题中建立二次函数的模型； 　　③借助二次函数的性质来解决实际问题. 【典型例题与巩固练习】 类型一：利用二次函数求销售（利润）问题中的最大（小）值 【典型例题】 例1.我市某电器商场代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现，在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务． （1）若某月空气净化器售价降低30元，则该月可售出多少台？ （2）试确定月销售量（台）与售价（元/台）之间的函数关系式，并求出售价的范围． （3）当售价（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润（元）最大，最大利润是多少？ 【巩固训练】 1．某店销售一款运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价（　　） A．3元 B．4元 C．5元 D．8元 2．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为　 　元． 3.5G提速了，网络丰富了大家的生活！小石通过某平台进行带货直播销售一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？ (3)每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 类型二：利用二次函数解决抛物线形建筑问题 【典型例题】 例2.如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求:（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？ 【巩固训练】 1．有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m，跨度为40m，现把它的示意图(如图)放在坐标系中，则抛物线的解析式为（　　） A．y＝ x2＋ x B．y＝－ x2＋ x C．y＝－ x2－ x D．y＝－ x2＋ x＋16 2.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　） A．4米 B．5米 C．2米 D．7米 3.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加________．（结果可保留根号） 类型三：利用二次函数求跳水、投篮等实际问题 【典型例题】 例3.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m． （1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围） （2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围． 【巩固训练】 1.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（　　） A．此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5B．篮圈中心的坐标是（4，3.05） C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D．篮球出手时离地面的高度是2m 2.西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（     ） A．y＝－(x－)2＋3 B．y＝－3(x+)2+3 C．y＝－12(x-)2＋3 D．y＝－12(x+)2+3 3.如图，从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是． （1）当小球运动的时间是多少时，小球回落到地面处？ （2）求小球在运动过程中的最大高度． 类型四：利用二次函数求图形面积问题 【典型例题】 例4.如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形养鸡场，设养鸡场的宽AB为xm，面积为ym2． （1）求y与x的函数关系，并写出x的取值范围； （2）当长方形的长、宽各为多少时，养鸡场的面积最大，最大面积是多少？ 【巩固训练】 1．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为22m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为（　　　） A．13 B．12 C．8 D．6 2．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）.如果、分别从、同时出发，那么经过（　　）秒，四边形的面积最小. A．0.5 B．1.5 C．3 D．4 3.某学校在校园开辟了一块劳动教育基地，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米. （1）当围成的矩形养殖园面积为108平方米时，求养殖园的边的长； （2）求矩形养殖园面积的最大值. 【综合训练】 1．如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（     ）    A．2.25m B．9m C．11.25m D．12m 2．如图所示，某桥从正面观察，上面部分是一条抛物线，若，，以所在直线为轴，抛物线的顶点在轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（　　）    A． B． C． D． 3．如图，某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣2x2+8x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是　 　米． 4．如图，一款落地灯的灯柱垂直于水平地面，高度为1.6米，支架部分的形状为开口向下的抛物线，其顶点距灯柱的水平距离为0.8米，距地面的高度为2.4米，灯罩距灯柱的水平距离为1.4米，则灯罩顶端D距地面的高度为 米． 5.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m. 6.如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2.25m，喷泉水流的运动路线是抛物线，水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3m，以B点为原点，地面水平线和AB所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求水流的落地点C到水枪底部B的距离． 7.某商店经营儿童益智玩具，成批购进后，将每件玩具的进价提高后作为售价，已知商店购进60套这种玩具，售完后盈利为600元． (1)设该玩具每件的进价为元和售价为元，求出和的值． (2)调查发现：在（1）的情况下，该玩具每件的售价为元时，月销售量为230件，而每件的售价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件的售价不能高于40元．设每件玩具的售价上涨了元时，月销售利润为元． ①求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． ②当每件玩具的售价定为多少元时，可使月销售利润最大？最大月销售利润为多少？ 【答案】 实际问题与二次函数讲义2025-2026学年 人教版九年级上册 【知识梳理】 知识点一：列二次函数解应用题 　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 要点诠释： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 知识点二：建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题． 要点诠释： (1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. (2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： 　　①首先必须了解二次函数的基本性质； 　②学会从实际问题中建立二次函数的模型； 　　③借助二次函数的性质来解决实际问题. 【典型例题与巩固练习】 类型一：利用二次函数求销售（利润）问题中的最大（小）值 【典型例题】 例1.我市某电器商场代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现，在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务． （1）若某月空气净化器售价降低30元，则该月可售出多少台？ （2）试确定月销售量（台）与售价（元/台）之间的函数关系式，并求出售价的范围． （3）当售价（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润（元）最大，最大利润是多少？ 【答案】 （1）由题意得：（台） 答：该月可售出350台； （2）由题意得： 由供货商对售价和销售量的规定得：，即 解得： 答：所求的函数关系式为，售价的范围为； （3）由题意和（2）可得： 整理得： 由二次函数的性质可知：当时，随x的增大而减小 则当时，取得最大值，最大值为（元） 答：当售价定为330元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润最大，最大利润是71500元． 【巩固训练】 1．某店销售一款运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价（　　） A．3元 B．4元 C．5元 D．8元 【答案】B 2．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为　 　元． 【答案】25 3.5G提速了，网络丰富了大家的生活！小石通过某平台进行带货直播销售一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？ (3)每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】 （1）解：根据题意得：y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数； （2）解：当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520，解得x1＝2，x2＝11（不合题意，舍去）当x＝2时，30+x＝32（元）答：每件文具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元． （3）解：根据题意得：y＝﹣10x2+130x+2300＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5，∵0＜x≤10且x为正整数，∴当x＝6时，30+x＝36，y＝2720（元），当x＝7时，30+x＝37，y＝2720（元），答：每件文具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元． 类型二：利用二次函数解决抛物线形建筑问题 【典型例题】 例2.如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求:（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？ 【答案】 （1）设所求函数的解析式为． 由题意，得函数图象经过点B（3，-5）， ∴-5=9a． ∴． ∴所求的二次函数的解析式为． x的取值范围是． （2）当车宽2.8米时，此时CN为1.4米，对应， EN长为，车高米，∵， ∴农用货车能够通过此隧道． 【巩固训练】 1．有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m，跨度为40m，现把它的示意图(如图)放在坐标系中，则抛物线的解析式为（　　） A．y＝ x2＋ x B．y＝－ x2＋ x C．y＝－ x2－ x D．y＝－ x2＋ x＋16 【答案】B 2.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　） A．4米 B．5米 C．2米 D．7米 【答案】B 3.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加________．（结果可保留根号） 【答案】 类型三：利用二次函数求跳水、投篮等实际问题 【典型例题】 例3.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m． （1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围） （2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围． 【答案】 解：（1）∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出， ∴抛物线y=a（x﹣6）2+h过点（0，2）， ∴2=a（0﹣6）2+2.6， 解得：a=﹣， 故y与x的关系式为：y=﹣（x﹣6）2+2.6， （2）当x=9时，y=﹣（x﹣6）2+2.6=2.45＞2.43， 所以球能过球网； 当y=0时，， 解得：x1=6+2＞18，x2=6﹣2（舍去） 故会出界； （3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得： ， 解得：， 此时二次函数解析式为：y=﹣（x﹣6）2+， 此时球若不出边界h≥， 当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得： 解得：， 此时球要过网h≥ 故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥． 【巩固训练】 1.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（　　） A．此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5B．篮圈中心的坐标是（4，3.05） C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D．篮球出手时离地面的高度是2m 【答案】A 2.西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（     ） A．y＝－(x－)2＋3 B．y＝－3(x+)2+3 C．y＝－12(x-)2＋3 D．y＝－12(x+)2+3 【答案】C 3.如图，从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是． （1）当小球运动的时间是多少时，小球回落到地面处？ （2）求小球在运动过程中的最大高度． 【答案】 【小问1详解】 解：在中，令，则， 解得：，， ， 当小球运动的时间是时，小球回落到地面处； 【小问2详解】 解：， 当时，最大，为， 小球再运动过程中点额最大高度为． 类型四：利用二次函数求图形面积问题 【典型例题】 例4.如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形养鸡场，设养鸡场的宽AB为xm，面积为ym2． （1）求y与x的函数关系，并写出x的取值范围； （2）当长方形的长、宽各为多少时，养鸡场的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】 解：（1）由题意得， ∵24-3x 10， ∴x； ∴（x）； （2）， ∵-3<0，抛物线的对称轴为：直线x=4， ∴当x≥时， y随x的增大而减小， ∴当x=时，即：24-3x=10时，此时面积y有最大值为， ∴长方形的长为10m，宽为m，最大面积为m2． 【巩固训练】 1．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为22m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为（　　　） A．13 B．12 C．8 D．6 【答案】B 2．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）.如果、分别从、同时出发，那么经过（　　）秒，四边形的面积最小. A．0.5 B．1.5 C．3 D．4 【答案】B 3.某学校在校园开辟了一块劳动教育基地，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米. （1）当围成的矩形养殖园面积为108平方米时，求养殖园的边的长； （2）求矩形养殖园面积的最大值. 【答案】 【小问1详解】 解：∵用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米. ∴设养殖园的边的长为， 则， 那么 解得 ∵墙长为16米. ∴ ∴养殖园的边的长为米； 【小问2详解】 解：设矩形养殖园面积为， ∴ ∵ ∴开口向下，在时，有最大值，且平方米． 【综合训练】 1．如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（     ）    A．2.25m B．9m C．11.25m D．12m 【答案】B 2．如图所示，某桥从正面观察，上面部分是一条抛物线，若，，以所在直线为轴，抛物线的顶点在轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（　　）    B． B． C． D． 【答案】A 3．如图，某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣2x2+8x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是　 　米． 【答案】8 4．如图，一款落地灯的灯柱垂直于水平地面，高度为1.6米，支架部分的形状为开口向下的抛物线，其顶点距灯柱的水平距离为0.8米，距地面的高度为2.4米，灯罩距灯柱的水平距离为1.4米，则灯罩顶端D距地面的高度为 米． 【答案】1.95 5.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m. 【答案】 6.如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2.25m，喷泉水流的运动路线是抛物线，水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3m，以B点为原点，地面水平线和AB所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求水流的落地点C到水枪底部B的距离． 【答案】 设抛物线的解析式为y=a(x−1) 2+3. 把A(0 , 2.25)代入解得a=−0.75； 所以y=−0.75 (x−1) 2+3 当y=0时，−0.75 (x−1) 2+3=0 解得x1=−1（舍），x2=3 所以水流的落地点C到水枪底部B的距离为3m. 7.某商店经营儿童益智玩具，成批购进后，将每件玩具的进价提高后作为售价，已知商店购进60套这种玩具，售完后盈利为600元． (1)设该玩具每件的进价为元和售价为元，求出和的值． (2)调查发现：在（1）的情况下，该玩具每件的售价为元时，月销售量为230件，而每件的售价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件的售价不能高于40元．设每件玩具的售价上涨了元时，月销售利润为元． ①求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． ②当每件玩具的售价定为多少元时，可使月销售利润最大？最大月销售利润为多少？ 【答案】（1）解：因该玩具每件的进价为元和售价为元， 由题意得， 解得， ∴； （2）解：①因为每件玩具的销售单价上涨了元时，月销售利润为元，由题意得： 与的函数关系式为：， 的取值范围为：； ②由①得： ，， 当时，有最大值为2722.5， 答：每件玩具的售价定为36.5元时，月获得最大利润，最大的月利润是2722.5元． 学科网（北京）股份有限公司 $