22.3实际问题与二次函数 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.3实际问题与二次函数（拱桥问题） 一、单选题 1．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是时，拱顶到水面的距离是，则当水面宽为时，水面上升了（　　）    A． B．1 C． D． 2．如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（   ）    A． B． C． D． 4．某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于（        ）    A． B． C． D． 5．株洲五桥主桥主孔为拱梁钢构组合体系如图1，小明在五桥观光，发现拱梁的路面部分有均匀排列着根支柱，他回家上网查到了拱梁是抛物线，其跨度为米，拱高(中柱)米，于是他建立如图2的坐标系，将余下的根支柱的高度都算出来了，你认为中柱右边第二根支柱的高度(  )    A．米 B．米 C．米 D．米 6．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（     ）    A．米 B．米 C．7米 D．米 7．如图，一工厂车间大门由抛物线和矩形的三边组成，门的最大高度是，，，若有一个高为，宽为的长方体形状的大型设备要安装在车间，如果不考虑其他因素，设备的右侧离开门边多少米，此设备运进车间时才不会碰到门的顶部（   ） A． B． C． D． 8．如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（   ）　　    A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，某涵洞的截面是抛物线形状，抛物线在如图所示的平面直角坐标系中，对应的函数解析式为，当涵洞水面宽为16m时，涵洞顶点O至水面的距离为 ．    10．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是当水位线在位置时，水面宽为 18米，这时水面离桥顶的高度h是 米． 11．已知某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于 ．    12．苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 ． 13．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度，拱高．其中点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为 ． 三、解答题 14．金溪县实验中学开展“阳光体育”活动，学生们在操场玩跳长绳游戏．如图，在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，以O为原点建立平面直角坐标系（甲位于点O处，乙位于x轴上的点D处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点A，B，且的水平距离为6米，A，B两点到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米． (1)请求出抛物线的解析式． (2)跳绳者小明的身高为米，当绳子甩到最高处时，小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶上方？ 15．3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即米），最高点距地面4.5米．如图所示，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带、的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 16．赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项目，2011年被列入国家级非物质文化遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上各点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距离，主桥拱距离水面的最大高度为． (1)求主桥拱所在抛物线的函数表达式； (2)据测量，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 17．如图是一个横截面近似于抛物线型的拱桥，以水平面所在直线为x轴，桥左边的着地点O为坐标原点建立平面直角坐标系，拱桥所在的抛物线近似的满足函数表达式．政府现要在桥上面建一个防雨棚，计划从距O点正上方3米远的B点开始搭建，到距A点正上方3米远的点C处结束，图中虚线为防雨棚，防雨棚所在抛物线近似的满足函数表达式． (1)求防雨棚所在抛物线的函数表达式； (2)请求出防雨棚最高点到桥面最高点的垂直高度差： 18．如图1，是距离渭河源头鸟鼠山8公里处的渭源县城的一座名为“灞陵桥”的纯木质拱桥，著名的桥梁建筑大师茅以升在他的《桥梁史》中赞评灞陵桥“仅次于河北赵州同济桥”．如图2，桥拱截面可以看作抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽约24米，桥拱顶点到水面的距离为8米．以该时刻水面为轴，桥拱与水面的一个交点为原点，过原点且垂直于水面的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求桥拱部分抛物线的表达式； (2)问题解决：现有两艘宽为8米，高为4米（带货物）的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两艘小舟能否同时从桥下穿过？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是首先建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，进而求出解析式，即可得出水面上升的高度． 【详解】解：如图所示建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为， 由已知抛物线过点，则， 解得：， 抛物线解析式为：， 当，则， 则， 水面上升了：． 故选：D．    2．A 【分析】本题主要考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．建立坐标系，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，又知抛物线过，可求出，把代入函数表达式即可解决问题．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 【详解】解：以地面所在直线为轴，过大门最高点垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 又知抛物线过， ， 解得：， ， 把代入， 解得：， 故两壁灯之间水平距离为． 故选：． 3．B 【分析】本题考查建立平面直角坐标系，待定系数法求抛物线解析式，利用抛物线上点坐标与解析式关系求解是解题的关键． 以拱形桥顶为坐标原点，建立直角坐标系，利用待定系数法可求抛物线解析式，代入解析式解方程即可． 【详解】解：以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系，    则点， 设函数表达式为：， 把点代入得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 设水位下降到B点时，水面宽增加， 则点， 当时，， 则水面应下降的高度是：． 故选：B． 4．B 【分析】根据题意，把直接代入解析式即可解答． 【详解】解：根据题意B的横坐标为10， 将代入得：， ， 即水面与桥拱顶的高度等于， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键． 5．D 【分析】根据直角坐标系中二次函数的位置，设抛物线为，由图知点坐标，就可以求出抛物线解析式，把点横坐标代入，就可以求出点纵坐标，从而求出的高度． 【详解】解：设抛物线的解析式为：， 由已知得的坐标是， 代入解析式，得， ， 抛物线的解析式为：，   ∵拱梁的路面部分有均匀排列着根支柱，其跨度为米， ∴中柱右边第二根支柱到中柱的距离为米， 当时，， 点坐标为， 点坐标为， (米) 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数的解析式是解题的关键． 6．B 【分析】先用待定系数法求解求出该抛物线的表达式，再求出保证过往船只顺利航行时二次函数的函数值，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 该抛物线经过， 设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线解析式为， 把代入得：， ∴此时水深为：（米）， 故选：B． 7．D 【分析】解答此题关键是建立适当的坐标系，求得解析式，再根据题中数据要求代入计算即可． 以为轴，的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出抛物线上三个点的坐标，求得抛物线的解析式，再代入对应数值解答即可． 【详解】解：如图，以为轴，的中点为坐标原点建立平面直角坐标系． 则点坐标为点坐标为点坐标为点坐标为， 设抛物线解析式为：， 把点坐标代入，解得， 所以， 把代入， 解得； 此时设备的右侧离开门边米， 所以为了设备运进车间时才不致于碰门的顶部，， 故选：D． 8．B 【分析】本题考查建立平面直角坐标系，待定系数法求抛物线解析式，利用抛物线上点坐标与解析式关系求解是关键． 以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系，水面宽为与轴交于，水面下降后宽度为与轴交于，由，抛物线的对称轴为轴，可求点利用待定系数法可求抛物线解析式为，设水面下降，可求，，由点在抛物线上，代入解析式解方程即可． 【详解】解：以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系，水面宽为，与轴交于，水面下降后宽度为，与轴交于，    ∵，抛物线的对称轴为轴， ∴点， 设抛物线为． ∵抛物线过点， ， ， ∴抛物线解析式为， 设水面下降， ， ， ∵点在抛物线上， ， 解得：． 故选：B． 9．16 【分析】本题考查二次函数的应用．正确理解题意是关键；根据抛物线的对称性及解析式求解． 【详解】解：依题意，设点坐标为， 代入抛物线解析式得：， 即水面到桥拱顶点的距离为16米． 故答案为：16． 10． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，求水面离桥顶的高度h，由图象可知，实际是求在抛物线解析式中，时，值的绝对值． 【详解】解：∵， ∴由题意知，当时，， 所以，水面离桥顶的高度h是米， 故答案为： 11．/4米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意把直接代入解析式计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得点的横坐标为， 把代入得， ∴， ∴水面与桥拱顶的高度等于， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．根据已知得出直角坐标系，设这条抛物线为，把代入进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：如图，建立直角坐标系，则， 可设这条抛物线为， 把代入得：， 解得：， ， 当时，， 解得：， 水面下降，水面宽度增加． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的抛物线解析式．根据题意可知：点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标，点在该抛物线上，从而可以求出该抛物线的解析式，在矩形框架，，，可得，，即可求得矩形框架的周长． 【详解】解：由题意可得，点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标， ∴可设该抛物线的解析式为， ∵点在该抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点，点的纵坐标都为，且都在抛物线上， ∴， 解得，， 即，， ∴， ∴矩形框架的周长为 故答案为：． 14．(1) (2)2米或4米 【分析】本题考查了求二次函数的表达式，和二次函数的实际应用，利用待定系数法求出二次函数的表达式是解答本题的关键． （1）根据题意，假设出来抛物线的顶点解析式，然后利用待定系数法即可求解； （2）利用函数值，求自变量的值即可． 【详解】（1）解：由题意设抛物线的解析式为， 将点代入中，得， 该抛物线的解析式是． （2）解：将代入， 解得，， 小明站在距甲2米或4米时，绳子刚好过他的头顶上方． 15．(1) (2)米 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）设，把点A的坐标代入求解即可； （2）把代入（1）中所求表达式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 设， 代入，得， ∴， ∴ （2）解：当时，， 解得，， ∴， 答：两条彩带之间的水平距离为米． 16．(1) (2)4条 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法确定函数表达式、解一元二次方程等知识，读懂题意，准确求出二次函数表达式是解决问题的关键． （1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的顶点式，将代入求解即可得到答案； （2）由（1）知，抛物线的表达式为，，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为（为常数，且）， 将点的坐标代入得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为， 当时，， 解得或， 可设计赛道的宽度为， ， 最多可设计龙舟赛道的数量为4条． 17．(1) (2)米 【分析】本题考查了二次函数的应用，分别求得抛物线的表达式是解题的关键； （1）先求得两点坐标分别为和，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）当时，雨棚高度取最大值，即，得出拱桥所在的抛物线当时，拱桥高度取最大值，即，再求差，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 解得，， 两点坐标分别为和． 将点的点坐标分别代入， 得， 解得， 防雨棚顶所在抛物线的函数表达式为． （2）由（1）可知，防雨棚所在抛物线的表达式为， 即当时，雨棚高度取最大值，即， 拱桥所在的抛物线近似的满足函数表达式， 即当时，拱桥高度取最大值，即， （米）． 答：防雨棚最高点到桥面最高点的垂直高度差为米． 18．(1) (2)可以同时从桥下穿过，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意构建二次函数模型是解题的关键． （1）根据题意设出顶点式，利用待定系数法求解； （2）求出时对应的y值，与船的高度比较即可． 【详解】（1）解：， 根据题意得，抛物线顶点，经过点． 设抛物线表达式为． ． ． 桥拱部分抛物线的表达式为； （2）解：． 在中，令， 则． 可以同时从桥下穿过． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.3实际问题与二次函数（销售问题）跟踪练习 一、单选题 1．某种商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为．则这种商品每天的最大利润为（　　） A．0.1元 B．3元 C．25元 D．75元 2．下面的三个问题中都有两个变量： ①将一根长为的铁丝刚好围成一个矩形，矩形的面积y与矩形一条边长x； ②赵老师匀速从家走到学校所走的路程y和行走时间x； ③中秋节后，某超市月饼卖不出去，决定促销，月饼成本价为10元/kg，原价为30元/kg，此时日销量为10kg，当月饼单价每降价1元，每天可以多卖出10kg，月饼利润y与降价x；其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的（　　） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 3．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y（元）与降价x（元）之间的关系是y＝－2x2＋60x＋800，则利润获得最多为（    ） A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元 4．某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额（元）与降价（元）的函数关系为（    ） A． B． C． D． 5．某超市销售一种饮料，每瓶进价为4元，经市场调查表明：每瓶售价每增加1元，日均销售量减少80瓶；当售价为每瓶7元时，日均销售量为400瓶，若要日均毛利润最大，每瓶饮料的售价应是（    ） A．6元 B．7元 C．8元 D．9元 6．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（    ） A．5元 B．10元 C．2元 D．6元 7．某景区旅店有30张床位，每床每天收费10元时，可全部租出．若每床每天收费提高5元，则有1张床位不能租出；若每床每天收费再提高5元，则再有1张床位不能租出；若每次按提高5元的这种方法变化下去，则该旅店每天营业收入最多为（   ） A．3125元 B．2120元 C．2950元 D．1280元 8．新世纪商场销售某种电视，每台进价为6500元，销售价为6900元，平均每天能售出6台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出2台，商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800元，每台电视应该降价多少元?若设每台电视降价元，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元． 10．已知某快餐店卖出盒饭的数量x（单位：盒）与所获利润y（单位：元）满足函数解析式，则当卖出盒饭的数量为 时，获得的利润最大，最大利润为 元． 11．某市新建成的一批楼房都是8层，房子的价格y(元/平方米)是楼层数x(楼)的二次函数．其中一楼价格为4930元/平方米，二楼和六楼均为5080元/平方米，则 楼房子最贵，且价格为 元/平方米． 12．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，为使利润最大，定价应为 ． 13．某西瓜经营户以元千克的价格购进一批西瓜，以元千克售出，每天可售出千克，经调查，售价每降元，每天多卖千克，当定价为 元能获得最大利润． 三、解答题 14．八年级小惠同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着情人节活动赚点零花钱，他以元/朵的价格从爸爸那里购入一批玫瑰花，准备在情人节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种玫瑰花日销售量y（朵）与销售单价x（元）的对应值表： 销售单价x/元 10 12 14 16 日销售量y/朵 36 32 28 24 小惠判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮小惠完成下列问题： (1)求y关于x的函数解析式： (2)当销售单价为多少元时，小惠获得的日销售利润最大？并求出最大利润； (3)爸爸要求小惠日销售利润不低于180元，请直接写出销售单价x的取值范围______． 15．2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 16．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？ 17．某直播平台为备战“618”，准备代销进价为10元/本的精美手账本，根据品牌方要求，销售价不低于进价，且不高于进价的2倍．试销期间的数据显示：若刚好以进价出售，日销量为60本，当价格每提升1元时，日销量则下降2本． (1)直接写出日销量与销售单价的函数解析式； (2)手账本销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大？最大利润是多少？ 18．贵阳贵安谋划推出“爽爽贵阳，繁花似锦”赏花主题活动，为了迎接本次活动，某商店以10元每个的价格购进一批以花为主题的团扇，经过一段时间的销售发现日销量y（把）与单个售价x（元）之间的函数关系如图． (1)根据图象，求出y与x的函数关系式； (2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ (3)若商店决定每销售一把团扇向顾客赠送一件价值为m元的礼物，为确保该种团扇的日销售获得的最大利润为625元，求m的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据二次函数的图像与性质，确定其函数图像的顶点坐标，即可判断这种商品每天的最大利润． 【详解】解：对于该商品每天的销售利润y与单价x之间的函数关系式， 可知其函数图像开口向下，其顶点坐标为， 即当单价元时，该商品每天的最大利润为元． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 2．A 【分析】①将一根长为的铁丝刚好围成一个矩形，求出矩形的面积与矩形一条边长之间的函数关系式即可得出答案；②赵老师爬香山时，路程一定，则所花的时间和平均速度成反比，不是二次函数，即可得出答案；③求出月饼利润与降价之间的函数关系式，即可得出答案．本题主要考查了求函数关系式，二次函数图象，根据题意求出相应的函数解析式，是解题的关键． 【详解】解：①矩形一条边长为x，则另外一条边长为，则矩形的面积为：， ∴矩形的面积y是矩形一条边长为x的二次函数，且二次函数的开口向下，抛物线过原点O，因此变量与变量之间的函数关系可以用图示的图像表示， 故①符合题意； ②赵老师匀速从家走到学校所走的路程y和行走时间x，设速度为m，则 ∴y是x的一次函数，不是二次函数，因此变量与变量之间的函数关系不可以用图示的图像表示， 故②不符合题意； ③根据题意，得，不过原点， ③不符合题意；综上分析可知，变量与变量之间的函数关系可以用图示的图像表示的是①，故A正确． 故选：A． 3．D 【分析】将函数关系式转化为顶点式，然后利用开口方向和顶点坐标即可求出最多的利润． 【详解】解：y＝－2x2＋60x＋800＝－2（x－15）2＋1250 ∵－2＜0 故当x＝15时，y有最大值，最大值为1250 即利润获得最多为1250元 故选：D． 【点睛】此题考查的是利用二次函数求最值，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式求最值是解决此题的关键． 4．B 【分析】根据让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，求得销售量为，根据售价乘以销量得出销售额，据此即可求解． 【详解】解：依题意，每星期的销售额（元）与降价（元）的函数关系为， 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 5．C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意得出对应的函数关系式是解题的关键．设每瓶的售价为元，日均利润为元，根据列出y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设每瓶的售价为元，日均利润为元，由题意得； ； ； ∵； ∴当时，y有最大值； 故选：C． 6．A 【分析】本题考查二次函数的实际应用，设每件需降价x元，则每件的利润为元，每天的销量为件，列出每天获得的利润为y与x的二次函数关系式，化为顶点式，即可求解． 【详解】解：设每件需降价x元，每天获得的利润为y， 则， ， 当时，y取最大值，最大值为3600， 即要使每天获得的利润最大，每件需降价5元， 故选A． 7．D 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式．设每床每晚收费应提高个5元，旅店每天营业收入为元，然后根据题意可得函数解析式：，再根据二次函数的性质即可求得答案． 【详解】解：设每床每晚收费提高个5元，旅店每天营业收入为元， 根据题意得： ， 当时，最大，最大值为1280元， 该旅店每天营业收入最多为1280元， 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程，能够表示出一台电视的利润和销售量增加的部分是解题的关键．根据利润问题公式：总利润单台利润销售数量，单台利润为原售价减进价再减去降价，销售数量随降价增加，即可列出方程． 【详解】解：设每台电视降价元， 降价后单台利润是元，卖出的台数是台， 商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800元， 可列方程为， 故选：B． 9．70 【分析】设降价x元，利润为W，根据题意得出方程，然后求出取最大值时的x值即可得到售价． 【详解】解：设降价x元，利润为W， 由题意得：W=(80-50-x)(200+20x)， 整理得：W=-20x2+400x+6000=-20(x-10)2+8000， ∴当x=10时，可获得最大利润， 此时每顶头盔的售价为：80-10=70（元）， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出式子是解题关键． 10． 600 2400 【分析】将函数解析式化成顶点式，即可得到利润最大时卖出的盒饭数量和最大利润。 【详解】解：函数解析式的二次项系数为 开口向下，有最大值； 当卖出盒饭的数量为600时，获得的利润最大，最大利润为2400元． 故答案为. 【点睛】本题考查的知识点为二次函数的图像与性质以及二次函数的顶点解析式，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键。 11． 四 5200 【分析】可以利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质得解． 【详解】设y＝ax2＋bx＋c，代入(1，4930)，(2，5080)，(6，5080)， 解得y＝－30(x－4)2＋5200， 当x＝4时，y＝5200． 故答案为四；5200． 【点睛】本题考查二次函数的应用，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式是解题关键． 12．65 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确求得函数解析式并灵活利用二次函数的性质成为解题的关键． 设商品的定价为x元/件，总利润为y，根据总利润、单件利润、销售量的关系列出函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设商品的定价为x元/件，总利润为y， 则 ， ∴当时，， 故答案为：65． 13． 【分析】此题考查了列二次函数的应用，二次函数的性质，设每千克定价为元，每天利润为元，则每千克西瓜的利润为元，那么每天的西瓜销售量可表示为千克，然后列出二次函数关系式，再通过二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设每千克定价为元，每天利润为元，则每千克西瓜的利润为元，那么每天的西瓜销售量可表示为千克， ∴ ， ∵， ∴当每千克定价为元时，每天利润最大， 故答案为：． 14．(1)y关于x的函数解析式为 (2)当时，最大，最大值为元 (3)日销售利润不低于180元，销售单价x的取值范围为 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的运用，理解数量关系，掌握待定系数法，二次函数图象的性质是关键． （1）根据表格信息，运用待定系数法求解即可； （2）销售单价x元，则每朵的利润为元，设销售利润为，由此列式，根据二次函数图象的性质求解即可； （3）根据（2）中的利润，当时，，结合二次函数图象即可求解． 【详解】（1）解：y与x是一次函数关系，设， ∴， 解得，， ∴y关于x的函数解析式为： （2）解：销售单价x元，则每朵的利润为元， 设销售利润为， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大值为元； （3）解：∵， ∴当时，， 整理得，， 解得，，即， ∵，函数图象开口向下， ∴日销售利润不低于180元，销售单价x的取值范围为． 15．(1)A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元 (2)；W的最大值为4500元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【详解】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）解：由题意得， ， ∵，， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 16．(1)每件衬衫应降价20元 (2)每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，最多盈利是1250元 【分析】此题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用二次函数求最值是解决此题的关键． （1）若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为元，但每天多售出件即售出件数为件，因此每天赢利为元，进而可根据题意列出方程求解． （2）列出商场平均每天赢利y与衬衫降价x之间的函数关系式，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设每件衬衫应降价x元， 根据题意得， 整理得， 解得，． 因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快， 故每件衬衫应降20元． 答：每件衬衫应降价20元． （2）解：设商场平均每天赢利y元，则 ； ∵， ∴当时，y取最大值，最大值为1250． 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元． 17．(1) (2)手账本单价为20元／本时，所获日销售利润最大，最大利润是400元 【分析】此题考查了二次函数的应用、一次函数的应用等知识，准确列出函数解析式是关键． （1）若以进价出售，日销量为60本，当价格每提升1元时，日销量则下降2本．据此列出函数解析式即可； （2）设利润为，列出二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可； 【详解】（1）解：根据题意可得，，其中， 即． （2）解：设利润为，则， 当时，随的增大而增大， 故当时，有最大值，最大值是400． 则当手账本单价为20元／本时，所获日销售利润最大，最大利润是400元 18．(1) (2)销售单价为40元时，每天获得的利润最大，最大利润是900元 (3) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设与的函数关系式为，利用待定系数法可求出函数解析式； （2）设每天的利润为元，根据利润（销售单价成本单价）销售量可得关于的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得； （3）根据题意得出，根据日销售获得的最大利润为625元，得出，解方程即可． 【详解】（1）解：设（为常数），将点代入得： ， 解得：， 与x的函数关系式为； （2）解：设每天获得的利润为W元，由题意得： ， ，抛物线开口向下， ∴当时，W有最大值，． ∴销售单价为40元时，每天获得的利润最大，最大利润是900元． （3）解：根据题意得： ， ∵日销售获得的最大利润为625元， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， 即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$