第十六讲 待定系数法求 二次函数解析式（3个知识点4大典例）暑假预习讲义2025-2026学年九年级上册数学人教版

2025年新九年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点4大典例） 第十六讲 待定系数法求 二次函数解析式 知识点梳理 知识点1 用一般式确定二次函数解析式 一般式y=ax2+bx+c.（a≠0）代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式. 要点诠释： 已知抛物线上任意三点坐标时使用。  求解步骤 ：将三点坐标代入方程，得到三元一次方程组，解方程组求出a、b、c。 知识点2 用顶点式确定二次函数解析式 顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k，再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 要点诠释： 已知顶点坐标（h, k）或对称轴方程时使用。  求解步骤 ：将顶点坐标代入方程，再代入另一点坐标求a，最后整理成标准形式 知识点3 用交点式确定二次函数解析式 交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 要点诠释 已知抛物线与x轴交点坐标（x1, 0）、（x2, 0）时使用。  求解步骤 ：将交点坐标代入方程，再代入另一点坐标求a，最后整理成标准形式。 待定系数法 是三种形式的核心求解方法，需根据已知条件灵活选择解析式形式。 通过灵活运用这三种形式，可高效解决二次函数解析式相关问题。 典例精讲1 题型1 一般式求二次函数解析式 【例1】．已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示： (1)求二次函数解析式； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是 ． 变式训练1 1．已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求该二次函数图象的顶点坐标； (3)当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？ 2．已知二次函数的图象过点，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)补全表格，画出二次函数的图象； x … … y … … (3)关于该二次函数，下列说法正确的有______． ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，y随x增大而减小； ③当时，y的取值范围为； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6． 3．如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，对称轴为，若点的坐标为，，点为某个动点． (1)直接写出点，的坐标； (2)当点在抛物线上且在对称轴右侧时，设直线的解析式为，依据函数图象试求不等式的解集； (3)如图2，过点作轴的垂线，交抛物线于点，记，求关于的函数解析式． ①当随的增大而增大时，求的取值范围； ②根据的不同取值确定点的个数． 4．一个二次函数的图象经过，，三点．求：这个二次函数的解析式． 5．抛物线（a，b，c是常数，）． (1)若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式； (2)若，，点（）在该抛物线上，求证： 典例精讲2 题型2 顶点式求二次函数解析式 【例2】．已知抛物线的顶点坐标，且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线过点，，求的值． 变式训练2 1．已知抛物线的顶点是，且抛物线过点． (1)求抛物线的表达式． (2)将抛物线向右平移m个单位长度，得到一个新抛物线，使得新抛物线上，当时，y随x的增大而减小；当时 ，y随x的增大而增大．求m的取值范围． (3)点P是抛物线上任意一点，其横坐标为n， 设抛物线上点P左侧的部分为图象G（含点P）．若图象G的最低点的纵坐标为，直接写出n的值． 2．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标是，并且经过点． (1)求抛物线表示的二次函数的解析式； (2)已知点在抛物线上，，且与均为整数，求点的坐标． 3．已知是关于的二次函数，满足下表 … … … … 根据上表数据，完成下列问题： (1)直接写出此图象对称轴表达式 ； (2)写出此二次函数顶点坐标是 ； (3)求此二次函数的解析式． 4．如图，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，点在抛物线上，点的纵坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，交轴于点． (1)求的值，并写出和的数量关系； (2)若的面积是的面积的倍，求抛物线的解析式． 5．若抛物线的顶点坐标为，图像与轴的交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当取何值时，抛物线中随增大而增大． 典例精讲 3 题型3交点式求二次函数解析式 【例3】．已知二次函数与自变量的部分对应值如下表： 0 1 5 0 (1)______． (2)求该二次函数的表达式； (3)当时，的取值范围是______． 变式训练3 1．已知二次函数． (1)求该二次函数图象的顶点坐标． (2)若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点，求该二次函数的表达式． (3)已知，和是该二次函数图象上任意两点，若对，，都满足，求证：． 2．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 2 … y … 8 0 0 … (1)根据以上表格填空：抛物线经过点（3， ），在对称轴右侧，y随x的增大而 ； (2)求抛物线的解析式． 3．已知抛物线，经过，，三点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)当为何值时，函数随的增大而增大？ 4．在平面直角坐标系中，抛物线 过点 (1)请用含 的代数式表示 ． (2)若该抛物线关于 轴对称后的图象经过点，求该抛物线的函数表达式． (3)当 时，对于每一个 的值， 始终成立，试求 的取值范围． 5．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称.       图1                 图2 (1)求线段的长； (2)当时，求的取值范围； (3)如图2，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值. 典例精讲4 题型4 选择适当方法求二次函数解析式 【例4】．已知抛物线交轴于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标． (2)如图，是抛物线上位于直线上方的动点，过点作轴的平行线，交直线于点，当的长度最大时，求点的坐标． 变式训练4 1．已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)求的面积． 2．已知抛物线． (1)求这条拋物线的对称轴； (2)若抛物线的顶点在x轴上，求其表达式； (3)设点，在抛物线上，若，求m的取值范围． 3．已知抛物线图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … (1)求此抛物线的解析式； (2)画出函数图象，结合图象直接写出当时，y的范围． 4．如图，抛物线过点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)设P是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点P的坐标； (3)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． 5．已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为直线l与x轴相交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A、B．设点P的横坐标为m． ①当四边形为正方形时，求m的值； ②根据①的结果，直接写出．时，m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新九年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点4大典例） 第十六讲 待定系数法求 二次函数解析式（解析版） 知识点梳理 知识点1 用一般式确定二次函数解析式 一般式y=ax2+bx+c.（a≠0）代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式. 要点诠释： 已知抛物线上任意三点坐标时使用。  求解步骤 ：将三点坐标代入方程，得到三元一次方程组，解方程组求出a、b、c。 知识点2 用顶点式确定二次函数解析式 顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k，再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 要点诠释： 已知顶点坐标（h, k）或对称轴方程时使用。  求解步骤 ：将顶点坐标代入方程，再代入另一点坐标求a，最后整理成标准形式 知识点3 用交点式确定二次函数解析式 交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 要点诠释 已知抛物线与x轴交点坐标（x1, 0）、（x2, 0）时使用。  求解步骤 ：将交点坐标代入方程，再代入另一点坐标求a，最后整理成标准形式。 待定系数法 是三种形式的核心求解方法，需根据已知条件灵活选择解析式形式。 通过灵活运用这三种形式，可高效解决二次函数解析式相关问题。 典例精讲1 题型1 一般式求二次函数解析式 【例1】．已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示： (1)求二次函数解析式； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，根据函数解析式画函数图形，根据函数自变量求函数取值范围，掌握待定系数法解二次函数解析式，函数图像的性质是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）根据函数解析式，用描点法即可求解； （3）根据自变量的取值范围，结合图象，即可确定函数值的取值范围． 【详解】（1）解：当时，；当时，；当时，， ∴，解得， ∴二次函数解析式为． （2）解：二次函数解析式为，图像如图所示， 函数与轴的交点是，，与轴的交点是，对称轴为直线，符合题意． （3）解：当时， 当时，； 当时，； 当时，． 根据（2）中图象可知，当时，． 变式训练1 1．已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求该二次函数图象的顶点坐标； (3)当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1) (2) (3)当时，y随x的增大而减小 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，求得解析式是解题的关键． （1）将点和代入中，得，进行计算即可得； （2）由表达式即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数的性质得即可得． 【详解】（1）解：将点和代入中，得 解得 则该二次函数表达式为； （2）解：∵ ∴顶点坐标为； （3）解：根据二次函数的性质得，当时，y随x的增大而减小． 2．已知二次函数的图象过点，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)补全表格，画出二次函数的图象； x … … y … … (3)关于该二次函数，下列说法正确的有______． ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，y随x增大而减小； ③当时，y的取值范围为； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6． 【答案】(1) (2)见解答 (3)①④ 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式、二次函数图象的画法及二次函数的性质，正确理解题意、准确计算是解题的关键． （1）由待定系数法求出函数表达式； （2）取点描点连线绘制函数图象即可； （3）根据函数图象和性质逐次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：取点补全表格为： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 如图， （3）解：①，则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为，故①正确，符合题意； ②抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x增大而增大，故②错误，不符合题意； ③从图象看，当时，y的取值范围为，故③错误，不符合题意； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积，故④正确，符合题意； 故答案为：①④． 3．如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，对称轴为，若点的坐标为，，点为某个动点． (1)直接写出点，的坐标； (2)当点在抛物线上且在对称轴右侧时，设直线的解析式为，依据函数图象试求不等式的解集； (3)如图2，过点作轴的垂线，交抛物线于点，记，求关于的函数解析式． ①当随的增大而增大时，求的取值范围； ②根据的不同取值确定点的个数． 【答案】(1)， (2)或 (3)，①当随的增大而增大时，或；②当，点有2个点；当时，点有4个点；当时，点有3个点，时，点有2个点 【分析】本题主要考出了二次函数的性质、二次函数与不等式的综合、二次函数的综合等知识点，掌握数形结合思想以及灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）先由二次函数的对称性可得，再结合即可确定点B的坐标； （2）先求出二次函数解析式，由题意可得，解得或，进而确定，即，再结合函数图象即可解答； （3）①由第（2）问可知：点D在直线上运动，其中，进而可得；再分当或时，；当时，两种情况，分别利用二次函数的增减性解答即可．②分当，点有2个点；当时，点有无数个点；当时，点有3个点，时，点有无数个点得解． 【详解】（1）解：抛物线交轴于，两点，交轴于点，对称轴为，若点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：抛物线交轴于，两点，交轴于点， 将点，点，点的坐标代入得： ， 解得：， ∴函数解析式为， ∵函数解析式为， 将点代入得：， 解得：或， ∵点在对称轴的右边， ∴， ∴，即； ∴可以看作抛物线在直线的下方， ∴由以上函数图象可知：或； （3）解：①点在直线上运动，其中，，，， ∴， 当或时，， ∵，对称轴， ∴当时，随的增大而增大， ∴时，随的增大而增大； 当时，， ∵，抛物线开口向下，对称轴为； ∴当时，随的增大而增大， ∴时，随的增大而增大； 综上所述：当随的增大而增大时，或． ②∵ ∴当时，，即， 此时，， 所以，方程有两个不相等的实数根，即点E有2个点； 当时，， ∴或， 解得，或， 解得，， 所以，点E有3个点； 当时，点有无数个点；当时，点有无数个点． 综上，当，点有2个点；当时，点有4个点；当时，点有3个点，时，点有2个点 4．一个二次函数的图象经过，，三点．求：这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．设一般式，再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 根据题意得：， 解得：， 所以抛物线的解析式为． 5．抛物线（a，b，c是常数，）． (1)若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式； (2)若，，点（）在该抛物线上，求证： 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质； （1）由已知可知，图象过，即可判断图象不过点C，再根据待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）把代入解析式可得，再把代入可得， 再根据可得，进而可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴图象过， ∴图象不过点C， 将点，代入抛物线，得， 解得， ∴； （2）证明：当时，， ∵， ， ， ∵， ， ， ， ∴． 典例精讲2 题型2 顶点式求二次函数解析式 【例2】．已知抛物线的顶点坐标，且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线过点，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由抛物线顶点为，故可设抛物线的解析式为，又抛物线过，从而可求出的值，进而可以得解； （2）依据题意，由（1），又抛物线过点，，从而求出的值，代入代数式进而得到答案． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标， 可设抛物线的解析式为． 又∵抛物线过， ． ． 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）中求得的解析式， 抛物线过点，， ， ． 变式训练2 1．已知抛物线的顶点是，且抛物线过点． (1)求抛物线的表达式． (2)将抛物线向右平移m个单位长度，得到一个新抛物线，使得新抛物线上，当时，y随x的增大而减小；当时 ，y随x的增大而增大．求m的取值范围． (3)点P是抛物线上任意一点，其横坐标为n， 设抛物线上点P左侧的部分为图象G（含点P）．若图象G的最低点的纵坐标为，直接写出n的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）写出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据平移方式确定新的解析式，根据增减性确定m的取值范围，即可； （3）分两种情况，根据二次函数的增减性，确定最值，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为，把代入得， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为． （2）解：抛物线向右平移个单位长度后，解析式为， ∴新的抛物线的对称轴为， ∵当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴，解得． （3）解：当时，图象的最低点为顶点，纵坐标为， 则，解得：； 当时，把代入得， 则， ∴， ∴，解得或（舍去）， ∴或． 2．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标是，并且经过点． (1)求抛物线表示的二次函数的解析式； (2)已知点在抛物线上，，且与均为整数，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数的解析式，等知识，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为顶点式，把点的坐标代入即可求解； （2）由点A在抛物线上，得；变形为，根据与均为整数，得，即可求得点A的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把点的坐标代入得：， 解得：    ， ∴； （2）解：∵点A在抛物线上， ∴， 即； ∵ ； 由于K，m都为整数，则， ∴或， 此时； 综上，点A的坐标为或． 3．已知是关于的二次函数，满足下表 … … … … 根据上表数据，完成下列问题： (1)直接写出此图象对称轴表达式 ； (2)写出此二次函数顶点坐标是 ； (3)求此二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据表中数据即可求解； （）根据（）所得对称轴方程及表中数据即可求解； （）利用抛物线的顶点式及待定系数法解答即可； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由表可知，当和时，， ∴二次函数图象的对称轴为直线， 故答案为：； （2）解：∵二次函数图象的对称轴为直线，当时， ∴二次函数图象的顶点坐标为， 故答案为：； （3）解：设二次函数解析式为，把代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为． 4．如图，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，点在抛物线上，点的纵坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，交轴于点． (1)求的值，并写出和的数量关系； (2)若的面积是的面积的倍，求抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握待定系数法，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）根据抛物线经过点，可得的值，根据对称轴公式可得和的数量关系； （2）根据点的纵坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，可得点坐标，结合的面积是的面积的倍，可得抛物线顶点坐标，设抛物线的顶点式，把点坐标代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点， ， 对称轴为直线， ， 即； （2）解：点的纵坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点， ， ， ， 的面积是的面积的倍，顶点为，对称轴为直线， 在抛物线对称轴上的高为，即， 设抛物线的解析式为， 又抛物线经过点， ， 即， 抛物线的解析式为． 5．若抛物线的顶点坐标为，图像与轴的交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当取何值时，抛物线中随增大而增大． 【答案】(1) (2)当时，随增大而增大 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； （1）根据抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，将代入求解即可； （2）根据二次函数的性质，即可求解； 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为； （2）解：当时，随增大而增大． 典例精讲 3 题型3交点式求二次函数解析式 【例3】．已知二次函数与自变量的部分对应值如下表： 0 1 5 0 (1)______． (2)求该二次函数的表达式； (3)当时，的取值范围是______． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． （1）利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，所以点和关于直线对称，从而确定的值； （2）设交点式，然后把代入求出即可；即； （2）先计算出时，；时，，加上时，有最小值，所以当时，的取值范围为． 【详解】（1）解：时，；时，， 抛物线的对称轴为直线， 点和关于直线对称， ； 故答案为：0； （2）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即； （3）解：时，；时，， 而时，有最小值， 当时，的取值范围为． 故答案为：． 变式训练3 1．已知二次函数． (1)求该二次函数图象的顶点坐标． (2)若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点，求该二次函数的表达式． (3)已知，和是该二次函数图象上任意两点，若对，，都满足，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴的计算，二次函数平移的性质，函数增减性式关键． （1）根据解析式得到对称轴直线为，再代入计算函数值即可求解； （2）由题意得平移后的解析式为，将代入，运用待定系数法即可得到解析式； （3）根据题意得到，结合题意得到，，所以原式，可得，结合二次函数顶点坐标即可求解． 【详解】（1）解：对称轴为直线， 当时，， ∴顶点坐标为； （2）解：由题意得平移后的解析式为，将代入， ∴， ∴， ∴二次函数表达式为； （3）证明：二次函数化为一般式得， ∴， ∵和是该二次函数图象上任意两点， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴原式， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∵二次函数对称轴直线为， ∴当时，， ∴． 2．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 2 … y … 8 0 0 … (1)根据以上表格填空：抛物线经过点（3， ），在对称轴右侧，y随x的增大而 ； (2)求抛物线的解析式． 【答案】(1)8，增大 (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等； （1）抛物线与x轴的交点坐标是和，可得抛物线的对称轴为，由函数的对称性可得及时的函数值相等，故由对应的函数值可得出所对应的函数值，从而得出正确答案；由表格中y值的变化规律及找出的对称轴，得到抛物线的开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，从而求解； （2）由第一问得出抛物线与x轴的两交点坐标和，与y轴的交点坐标代入即可求出． 【详解】（1）解：由表格可知，当时或， 所以抛物线与x轴的交点坐标是和，抛物线的对称轴为直线， 所以和对应的函数值相等， 所以当时，． 所以抛物线经过点． 由表格可知，y随x的增大先减小再增大， 所以在对称轴右侧，y随x的增大而增大． （2）解：抛物线与x轴的交点坐标是和， 所以设抛物线， 把代入， 得， 解得， 所以抛物线的解析式为，即． 3．已知抛物线，经过，，三点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)当为何值时，函数随的增大而增大？ 【答案】(1) (2)当时，函数随的增大而增大 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数，二次函数的图象和性质，正确求得二次函数的解析式是解题的关键． （1）由于已知抛物线与轴的交点坐标，则可设交点式，然后把代入求出即可； （2）根据二次函数的性质求解． 【详解】（1） 解：由于抛物线经过，， 则可设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为； （2）解：对称轴为直线， 由于，则二次函数开口向下， 当时，函数随的增大而增大． 4．在平面直角坐标系中，抛物线 过点 (1)请用含 的代数式表示 ． (2)若该抛物线关于 轴对称后的图象经过点，求该抛物线的函数表达式． (3)当 时，对于每一个 的值， 始终成立，试求 的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数图像的性质， （1）将两个点的坐标代入关系式，整理可得答案； （2）先求出对称前该抛物线经过点，再设抛物线的关系式为，然后将点代入可得答案； （3）由（1）可得，进而得出 ，接下来求出抛物线的对称轴，再分两种情况：当 时，当 时，随的增大而增大，再将时代入关系式，可得答案；当时，当时，随的增大而减小，将代入关系式，可得答案. 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得， ∴； （2）解：该抛物线关于y轴对称后的图象经过，则对称前该抛物线经过点． 设 ， 将代入，得 ， 解得, 该抛物线的函数表达式为； （3）解：由（1），得， ∴． 由，得，记作 ， 抛物线的对称轴为直线 . 当 时，如图 1，当 时，随的增大而增大． 当时，，则 成立， 即 ， 解得， 所以． 当时，如图2，当时，随的增大而减小， 当时，，则成立， 即 恒成立． 所以或时，始终成立．          5．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称.       图1                 图2 (1)求线段的长； (2)当时，求的取值范围； (3)如图2，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值. 【答案】(1) (2)当时， (3)见解析 【分析】本题考查二次函数图象得性质．熟练掌握二次函数的对称性，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据对称性求出点B的坐标，即可求出的长； （2）由A、B的坐标求出抛物线解析式，求出顶点，可得y的取值范围； （3）分别过、作直线的垂线，垂直为、，根据为等腰直角三角形，可得，得到，，得根据，即得． 【详解】（1）抛物线与轴交于、两点，且对称轴为直线， ； （2）∵抛物线与轴交于，两点， ． ∴． ． ． 当时，． ∵当时，， 当时，． （3）分别过、作直线的垂线，垂直为、． 则，． ． 又为等腰直角三角形， ，． ． ． ． ，． ，， ，． ． ∵，， ∴． ． ． ． 典例精讲4 题型4 选择适当方法求二次函数解析式 【例4】．已知抛物线交轴于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标． (2)如图，是抛物线上位于直线上方的动点，过点作轴的平行线，交直线于点，当的长度最大时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为 (2) 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式；（2）中用参数t表示抛物线上的点P、直线上点的坐标，再用t表示出的长是解题关键． （1）将点，坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论； （2）先求出直线的解析式，设出点坐标，表示出点坐标，建立，利用二次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：将点，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为． ， 抛物线的解析式为，顶点坐标为； （2）解：令，得， 点． 设直线的函数解析式为． 把点，代入，得， 解得， 直线的函数解析式为． 设点，则点， ． ， 当时，的长度最大， 此时点的坐标为． 变式训练4 1．已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． （1）设交点式，然后把C点坐标代入求出a，从而得到抛物线解析式； （2）直接根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：由题意得，设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 即； （2）解：∵， ∴， ∴的面积． 2．已知抛物线． (1)求这条拋物线的对称轴； (2)若抛物线的顶点在x轴上，求其表达式； (3)设点，在抛物线上，若，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)；或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把解析式化成顶点式，根据顶点式求得对称轴； （2）根据顶点式可得顶点坐标，根据顶点在x轴上得到关于a的方程，解方程求得a的值，即可得出结论； （3）根据二次函数的性质，分两种情况即可求出m的范围． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线． （2）解：∵， ∴抛物线顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在x轴上， ∴， ∴或， ①当时，； ②当时，． （3）解：Q关于对称轴的对称点为， ①当时，∵，∴； ②当时，∵，∴或． 3．已知抛物线图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … (1)求此抛物线的解析式； (2)画出函数图象，结合图象直接写出当时，y的范围． 【答案】(1)， (2)． 【分析】本题考查了待定系数求二次函数解析式，二次函数的图象性质等知识点，解决此题关键是能根据表格里的数据得到对称轴． （1）根据表格里的数据得到对称轴，可设抛物线解析式，再找一个组值代入即可； （2）根据表格中的数据，在平面直角坐标系里描出点，用平滑的曲线连接即可；根据图象的性质，即可得到时，y的范围． 【详解】（1）解：由表格可知对称轴为，所以可设抛物线的解析式为， ∵时，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：函数图象如图所示 由（1）可知，对称轴为， 所以令时，， 当时， ∴能取到最小值， 即． 4．如图，抛物线过点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)设P是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点P的坐标； (3)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)的最大面积为，此时点P的坐标为 (3) 【分析】本题考查了待定系数法，抛物线的最值，等腰直角三角形性质，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键． （1）利用待定系数法可求解析式； （2）由待定系数法求出直线的解析式，过点P作y轴的平行线，交于Q，设，则，则， ，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）连接，过点M作于点N，证得是等腰直角三角形，可得，从而得到，当点A，M，N三点共线时，取得最小值，的最小值为的长，再由，解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为：， 将，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， 如图，过点P作y轴的平行线，交于Q， 设，则，则， ∴ ， 即当时，的面积最大，最大为， 即的最大面积为，此时点P的坐标为； （3）解：如图，连接，过点M作于点N， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即当点A，M，N三点共线时，取得最小值，的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 5．已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为直线l与x轴相交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A、B．设点P的横坐标为m． ①当四边形为正方形时，求m的值； ②根据①的结果，直接写出．时，m的取值范围． 【答案】(1)； (2)①m的值为1或0；②时，m的取值范围为或． 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点，解决本题的关键是结合二次函数的图象得到的取值范围． （1）根据抛物线对称轴求出的值，再根据抛物线与轴的交点求出的值，从而求出二次函数解析式； （2）①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，轴，，点的横坐标为，可得，，．根据正方形的性质列出方程求解即可； ②根据①可知得当或时，，然后结合抛物线即可解决问题． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴的交点坐标为， ， 抛物线的解析式为； （2）解：①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，轴，，点的横坐标为， ， ，， 当四边形为正方形时，， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 或者， 解得，（不符合题意，舍去）， 的值为1或0； ②根据①可知：当或时，， 当时，， ， 当或时，， 当时，的取值范围为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$