42 寻找不变性法-初中数学思想方法导引课

寻找不变性法 一、起源探究 在数学的发展历程中，寻找不变性的思想贯穿始终。古代数学家在研究几何图形的变换时，就发现图形在平移、旋转、对称等变换过程中，存在一些不变的性质，如边长、角度、面积等；在代数运算里，等式的基本性质也是一种不变性的体现。随着数学知识体系的不断丰富，数学家们对这种不变性的认识愈发深刻，逐渐将寻找不变性发展为一种系统的解题方法。从古希腊对几何图形的深入研究，到近代数学对抽象代数结构的探索，寻找不变性法在不同数学领域不断完善，最终成为初中数学学习中解决各类问题的重要手段。 二、核心数学思想 “寻找不变性法”的核心数学思想是在复杂的数学问题或变化的数学情境中，通过敏锐观察和深入分析，挖掘出其中始终保持不变的要素，如数量关系、图形性质、运算规律等。利用这些不变性，将复杂多变的问题转化为相对稳定、易于解决的问题，从而找到解题的关键线索。它体现了透过现象看本质的思维方式，以及从变化中把握规律的数学智慧，是化繁为简、化难为易的有效策略。 三、解决的问题 ① 几何图形变换问题：在图形的平移、旋转、翻折等变换中，通过寻找角度、边长、面积、周长等不变量，求解图形的相关参数，证明图形的性质或关系。 ② 函数问题：分析函数在不同自变量取值下的变化趋势时，寻找函数的不变性质，如函数的对称性、周期性、特殊点的函数值等，进而研究函数的图像与性质，解决函数方程、不等式等问题。 ③ 实际应用问题：在行程问题、工程问题、浓度问题等实际场景中，找出其中不变的量，如速度、工作总量、溶质质量等，建立数学模型，解决实际问题。 ④ 规律探索问题：在寻找数列规律、图形规律等题目中，通过观察数据或图形的变化，发现其中不变的规律或模式，从而推导出一般性的结论。 四、方法应用示例（结合中考题型） 例题1 几何图形旋转中的不变性 题目：如图，在等边中，点是边上一点，将绕点逆时针旋转得到。 （1）指出旋转过程中的不变量； 解题步骤： ① 寻找不变量： 因为绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质，旋转前后图形全等，所以不变量有：对应线段相等，即，，；对应角相等，即，，；旋转角也保持不变。 例题2 函数中的不变性 题目：已知一次函数的图像经过点和，且该函数图像与轴的交点为，与轴的交点为，求的面积。 解题步骤： ① 求出函数表达式： 将点和代入中，得到方程组，两式相加消去可得，解得；把代入，得，所以函数表达式为。 在这个过程中，一次函数的表达式形式以及两点代入求参数的方法是不变的规律。 ② 求出、两点坐标： 当时，，所以；当时，，解得，所以。 ③ 计算的面积： 根据三角形面积公式（为底，为高），在中，，，所以。 例题3 行程问题中的不变性 题目：甲、乙两人分别从、两地同时出发，相向而行，甲的速度是千米/小时，乙的速度是千米/小时。两人相遇后，甲又走了小时到达地，求、两地的距离。 解题步骤： ① 寻找不变量： 在整个行程过程中，甲、乙两人的速度始终保持不变，且两人从出发到相遇以及相遇后继续行走的过程中，路程与速度、时间的关系（路程 = 速度×时间）不变。 ② 求出相遇后甲走的路程： 已知甲相遇后又走了小时到达地，甲的速度是千米/小时，根据路程 = 速度×时间，可得相遇后甲走的路程为千米，这个路程也就是相遇前乙走的路程。 ③ 求出相遇时间： 因为乙的速度是千米/小时，根据时间 = 路程÷速度，可得相遇时间为小时。 ④ 求出、两地的距离： 两人的速度和为千米/小时，相遇时间是小时，根据路程 = 速度×时间，可得、两地的距离为千米。 五、练习题 ① 如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处。已知，，求的长。 ② 已知反比例函数的图像经过点，若点也在该函数图像上，求的值。 ③ 一个容器内装有一定量的盐水，盐的质量不变。若向容器中加入克水，盐水浓度变为；若再加入克水，盐水浓度变为，求原来盐水的质量和盐的质量。 ④ 观察下列一组数：，，，，，，根据这组数的规律，写出第个数。 ⑤ 甲、乙两车分别从、两地同时出发，相向而行，甲车速度为千米/小时，乙车速度为千米/小时。两车相遇后，甲车又行驶了小时到达地，求、两地的距离。 【答案】 ① 解：由折叠可知，，。在中，根据勾股定理可得，所以。设，则，在中，根据勾股定理，即，解得，所以的长为。 ② 解：因为反比例函数的图像经过点，所以，函数表达式为。把代入，得。 ③ 解：设原来盐水的质量为克，盐的质量为克。根据浓度公式可得，即，将第一个式子代入第二个式子可得，解得，把代入，得。所以原来盐水的质量是克，盐的质量是克。 ④ 解：观察这组数，分子依次是，，，，，与序号相同；分母比分子大；符号是正负交替，当为奇数时为正，为偶数时为负。所以第个数为。 ⑤ 解：相遇后甲车行驶的路程为千米，这个路程就是相遇前乙车行驶的路程。根据时间 = 路程÷速度，可得相遇时间为小时。两车速度和为千米/小时，根据路程 = 速度×时间，可得、两地的距离为千米。 六、学习总结 寻找不变性法是初中数学解题的重要策略，使用时需注意： ① 培养敏锐的观察力：在面对数学问题时，要全面、细致地观察题目条件和图形特征，善于发现隐藏在变化中的不变量。对于几何图形，关注图形变换前后的边、角、面积等要素；对于函数和实际问题，留意数量关系、运算规律等方面的不变性。 ② 深入理解数学概念和性质：扎实的数学基础是寻找不变性的关键。只有深刻理解数学概念、定理和公式，才能准确判断哪些是不变的性质和关系。例如，熟悉函数的基本性质、几何图形的变换性质等，有助于快速找到解题的切入点。 ③ 灵活运用不变性：找到不变量后，要根据问题的具体要求，合理运用不变性建立数学模型或推导结论。可以结合其他数学方法，如方程法、数形结合法等，将不变性与已知条件相结合，逐步解决问题。 学科网（北京）股份有限公司 $