36 平移法-初中数学思想方法导引课

平移法 一、起源探究 平移法的思想雏形可追溯到古代人类的生产生活和建筑实践 。在建造房屋、绘制图案等活动中，人们无意识地运用到了图形平移的概念，通过重复、移动简单图形来构成复杂图案或实现建筑结构的对称与规整。随着数学学科的发展，古希腊、古埃及等地区的数学家在研究几何图形时，开始关注图形的位置变换关系，逐渐对平移这种图形变换方式有了更深入的认识。到了近现代，在数学教育体系中，平移法作为一种重要的几何变换方法被引入初中数学，帮助学生理解图形的性质和空间关系，解决各类几何问题。 二、核心数学思想 “平移法”的核心数学思想是在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，通过这种图形变换，不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，从而把分散的、不规则的图形或线段集中起来，使复杂的几何问题转化为简单、规则的问题，便于发现图形之间的数量关系和位置关系，进而求解问题。它体现了转化与化归思想，以及数形结合思想，通过直观的图形变换，将几何问题变得更易于分析和处理。 三、解决的问题 ① 求图形的周长和面积：对于不规则图形，通过平移部分线段或图形，将其转化为规则图形，从而方便计算周长和面积。 ② 证明线段相等或平行：利用平移后对应线段相等且平行的性质，证明几何图形中线段的关系。 ③ 分析图形的运动轨迹：在涉及图形运动的问题中，通过平移法确定图形在运动过程中的位置和形状变化，解决与运动相关的问题。 ④ 构建几何模型：帮助学生构建几何模型，理解几何概念和定理，如平行四边形的性质推导等。 四、方法应用示例（结合中考题型） 例题1 用平移法求不规则图形的周长 题目：如图（想象图形：一个由横向和纵向线段组成的不规则多边形，类似锯齿状），求该图形的周长，已知横向线段和纵向线段的长度和分别为10cm和8cm。 解题步骤： ① 分析平移思路： 将图形中的横向线段向上或向下平移，纵向线段向左或向右平移。 ② 平移操作： 把所有横向线段平移到最上方和最下方，所有纵向线段平移到最左边和最右边。 转化为规则图形： ③ 经过平移后，原不规则图形的周长就转化为一个长为10cm，宽为8cm的长方形的周长。 ④ 计算周长： 根据长方形周长公式长宽，可得该图形周长为。 例题2 平移法求解图形运动问题 题目：如图（想象图形：在平面直角坐标系中，有一个三角形ABC，A(1,1)，B(3,1)，C(2,3)，将三角形ABC沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴正方向平移3个单位，求平移后三角形ABC的顶点坐标），在平面直角坐标系中，已知三角形ABC的顶点坐标，求平移后三角形的顶点坐标。 解题步骤： ① 明确平移规则： 沿x轴正方向平移2个单位，横坐标加2；沿y轴正方向平移3个单位，纵坐标加3。 ② 计算顶点坐标： 点A(1,1)平移后，A(1 + 2, 1 + 3)，即A(3,4)； 点B(3,1)平移后，B(3 + 2, 1 + 3)，即B(5,4)； 点C(2,3)平移后，C(2 + 2, 3 + 3)，即C(4,6)。 五、练习题 ① 如图（想象图形：一个类似阶梯状的图形，由水平和竖直的线段组成，水平线段长度和为12，竖直线段长度和为8），求该图形的周长。 ② 如图（想象图形：在平行四边形ABCD中，E是AB上一点，将线段DE沿DA方向平移至CF，连接EF，求证：四边形DEFC是平行四边形），在平行四边形ABCD中，E是AB上一点，将线段DE沿DA方向平移至CF，连接EF，求证：四边形DEFC是平行四边形。 ③ 在平面直角坐标系中，点P(-2,3)，将点P先沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移4个单位，求平移后点P的坐标。 ④ 如图（想象图形：有两个直角梯形，一个在左边，一个在右边，通过平移左边的梯形，使其与右边梯形部分重合，已知两个梯形的上底、下底和高的长度，求重合部分的面积），求两个梯形平移重合部分的面积。 ⑤ 如图（想象图形：在五边形ABCDE中，AB∥DE，连接AD，将线段AB沿AD方向平移至DF，连接EF，若∠E = 120°，求∠DFE的度数），在五边形ABCDE中，AB∥DE，连接AD，将线段AB沿AD方向平移至DF，连接EF，求∠DFE的度数。 【答案】 ① 解：将水平线段向上或向下平移，竖直线段向左或向右平移，可将原图形周长转化为一个长为12，宽为8的长方形的周长。根据长方形周长公式，周长为。 ② 证明：因为线段DE沿DA方向平移至CF，所以DE = CF且DE∥CF。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形DEFC是平行四边形。 ③ 解：点P(-2,3)沿x轴负方向平移3个单位，横坐标变为；再沿y轴正方向平移4个单位，纵坐标变为。所以平移后点P的坐标为(-5,7)。 ④ 解：（根据具体梯形的上底、下底和高的长度，通过平移确定重合部分图形的形状，如长方形、梯形等，再根据相应图形面积公式计算，此处假设重合部分为梯形，上底为a，下底为b，高为h）根据梯形面积公式，计算出重合部分面积（代入具体数值计算）。 ⑤ 解：因为AB沿AD方向平移至DF，所以AB = DF且AB∥DF，又因为AB∥DE，所以DF∥DE。根据两直线平行，同旁内角互补，可得，已知，所以。 六、学习总结 平移法是初中数学几何学习中重要的解题方法，使用时需注意以下要点： ① 准确把握平移性质：牢记平移不改变图形的形状、大小，只改变位置，平移前后对应线段平行且相等，对应角相等，利用这些性质分析图形变化后的关系。 ② 合理选择平移对象：在解决问题时，要根据题目条件和所求目标，选择合适的线段、图形进行平移，通常将分散的元素集中，将不规则图形转化为规则图形。 ③ 结合其他知识：平移法常与平行四边形、三角形等几何图形的性质，以及平面直角坐标系的知识结合使用，需要综合运用多种知识解题。 ④ 注重图形分析：通过画图辅助理解平移过程，直观地展示图形的变化，有助于发现图形之间的内在联系，找到解题思路。 学科网（北京）股份有限公司 $