17 构造法-初中数学思想方法导引课

构造法 一、起源探究 在数学发展的历史长河中，当数学家们面临一些常规方法难以解决的问题时，开始尝试通过构建新的数学对象或结构来寻找解题思路，这便是构造法的雏形 。例如，古希腊数学家在证明素数有无穷多个时，通过构造一个新的数，巧妙地完成了证明；中国古代数学家在解决几何问题时，也常常运用构造辅助线等方式。随着数学知识体系的不断完善，构造法逐渐成为一种重要的数学方法，广泛应用于代数、几何等多个领域。在初中数学教学中，构造法有助于培养学生的创新思维和解决复杂问题的能力。 二、核心数学思想 “构造法”的核心数学思想是根据问题的条件和结论，通过观察、分析和联想，构造出恰当的数学模型、图形、函数、方程等新的数学对象或结构，将原问题转化为一个与之相关但更易解决的新问题，从而实现问题的求解，体现了转化与化归的数学思想，以及创造性思维。构造的过程需要对数学知识有深入的理解和灵活的运用，通过创造新的数学元素，搭建起已知与未知之间的桥梁。 三、解决的问题 ① 代数问题：在解方程、证明等式或不等式、求代数式的值等问题中，通过构造方程、函数、数列等，简化问题求解过程。 ② 几何问题：解决几何图形的证明、计算等问题时，构造辅助线、辅助图形，利用图形的性质找到解题突破口。 ③ 实际应用问题：将实际问题转化为数学问题后，构造合适的数学模型，如方程模型、函数模型等，进行求解。 四、方法应用示例（结合中考题型） 例题1 代数中构造方程求解 题目：已知，求的值。 解题步骤： ① 分析题目： 由，因为（若，方程不成立），两边同时除以，得到，即。 ② 构造完全平方公式： 对进行展开，。 ③ 计算结果： 已知，将其代入上式可得，所以。 例题2 几何中构造辅助线证明 题目：如图，在四边形中，，，，求证：。 解题步骤： ① 分析题目： 要证明，考虑通过构造全等三角形将、转化到一条线段上。 ② 构造辅助线： 延长到点，使，连接。 ③ 证明全等： 因为，，所以是等边三角形，。又因为，，所以。在和中，，所以，则，。 ④ 得出结论： 因为，且，所以是等边三角形，所以。 例题3 构造函数解决实际问题 题目：某商店销售一种商品，若每件售价元，每天可销售件。经市场调查发现，每件商品每降价元，每天可多销售件。设每件商品降价元，每天的利润为元，求与之间的函数关系式，并求出当利润最大时的值。 解题步骤： ① 分析题目： 根据利润 = 每件利润×销售量，构造利润关于降价的函数。 ② 构造函数： 每件商品的利润为成本，这里假设成本为元（题目未给，自行假设以便计算），则每件利润为元；每天的销售量为件。所以。 ③ 求解函数： 展开函数，这是一个二次函数，对于二次函数（），当时，函数取得最值。在中，，，所以时，利润最大。 五、练习题 ① 已知，求的值。 ② 如图，在中，，是的平分线，求证：。（提示：构造辅助线） ③ 某工厂生产一批产品，固定成本为元，每生产一件产品成本增加元，已知总收益与年产量的关系是，问年产量为多少时，总利润最大？（构造利润函数求解） ④ 若、、、均为正数，且，，求的值。（提示：构造向量或三角函数） ⑤ 证明：对于任意实数，。（构造完全平方形式证明） 【答案】 ① 解：因为，两边平方得，即，所以。 再对两边平方得，即，所以。 ② 证明：在上截取，连接。 因为是的平分线，所以。 在和中，，所以，则，。 又因为，，所以，则，所以。 ③ 解：设总利润为元。 当时，。 对于二次函数，，，当时，有最大值。 当时，，随增大而减小，所以。 所以年产量为件时，总利润最大。 ④ 解：构造向量，。 因为，所以，又因为，即，所以。 不妨设，。 则。 ⑤ 证明：对进行变形，。 因为任何实数的平方都大于等于，即，所以，即。 六、学习总结 构造法是初中数学中“从无到有”的解题艺术，其核心在于通过创造性思维搭建问题与知识的桥梁。掌握这一方法不仅能有效应对中考综合题，更能培养“主动创造工具”的数学思维，为高中学习解析几何、数学建模等内容奠定基础。通过系统训练，学生可逐步从“模仿构造”进阶到“灵活创造”，真正体会数学思维的开放性与创造性。 学科网（北京）股份有限公司 $