13 分析法-初中数学思想方法导引课

分析法 一、起源探究 分析法的思想雏形可追溯到古代数学的发展过程中。古希腊数学家在证明几何定理时，就已经开始运用类似从结论出发倒推条件的思维方式 。例如，欧几里得在《几何原本》中，部分命题的证明思路就暗含了分析法的逻辑。随着数学知识体系的不断丰富和完善，这种从结论往条件推导的思维方法逐渐被系统总结和提炼，形成了较为成熟的“分析法”。在初中数学教学中，分析法成为培养学生逻辑思维能力和问题解决能力的重要方法，帮助学生学会有条理地分析问题，找到解题的关键路径。 二、核心数学思想 “分析法”的核心数学思想是从问题的结论出发，逐步追溯使结论成立的充分条件，即通过不断地问“要证明这个结论成立，需要满足什么条件”，将复杂的数学问题分解为一系列相互关联的子问题，直到追溯到已知条件或已经被证明成立的定理、公理等。它是一种执果索因的思维方法，强调从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，体现了数学中逆向思维和逻辑推理的过程。通过分析法，能够将模糊的解题思路清晰化，找到问题的突破口，从而有效解决数学问题。 三、解决的问题 ① 几何证明问题：在几何图形的证明题中，通过分析法可以从要证明的结论出发，寻找证明所需的条件，如证明线段相等、角相等、三角形全等、四边形的性质等问题。 ② 代数方程与不等式求解：在解方程或不等式时，分析法可用于分析如何变形等式或不等式，找到求解的步骤和方法，例如求解一元二次方程、分式方程、一元一次不等式等。 ③ 函数综合问题：对于函数的性质探究、函数解析式求解以及函数与几何图形结合的综合问题，利用分析法从问题的目标出发，分析需要先确定的函数参数、变量关系等，进而解决问题。 ④ 实际应用问题：在解决实际生活中的数学问题，如行程问题、工程问题、利润问题等时，通过分析法将实际问题转化为数学模型，从所求的结果分析需要的条件，从而建立方程或不等式求解。 四、方法应用示例（结合中考题型） 例题1 几何证明问题 题目：如图，在中，，是的中点，求证：。 解题步骤： ① 从结论出发分析： 要证明，根据垂直的定义，就是要证明。 ② 继续追溯条件： 要证明，可以考虑证明和全等。因为全等三角形的对应角相等，如果，且（平角定义），那么就可以得出。 ③ 寻找全等条件： 已知（题目条件），是的中点，所以，又因为是公共边，根据“边边边”（SSS）全等判定定理，可以证明。 例题2 代数方程求解问题 题目：解方程。 解题步骤： ① 从求解方程的结论出发： 要得到方程的解，需要先消除方程中的分母。 ② 分析消除分母的方法： 根据等式的性质，给方程两边同时乘以分母和的最小公倍数，得到，即。 ③ 继续分析化简方程： 要进一步求解，需要去括号，得到。 ④ 接着分析合并同类项： 将含有的项和常数项分别合并，得到。 ⑤ 最后分析求解： 通过移项可得，即，两边同时乘以，解得。 例题3 函数综合问题 题目：已知二次函数的图象经过点，，且对称轴为直线，求该二次函数的解析式。 解题步骤： ① 从求函数解析式的结论出发： 要求二次函数的解析式，需要确定、、的值。 ② 分析利用已知条件确定参数： 因为函数图象经过点，将其代入函数式可得。 又因为函数图象经过点，代入可得。 已知对称轴为直线，根据对称轴公式，可得，即。 ③ 将和代入求解： 得到，即，解得。 ④ 求出的值： 把代入，可得。 所以二次函数的解析式为。 五、练习题 ① 如图，在平行四边形中，、分别是、的中点，求证：四边形是平行四边形。 ② 解方程。 ③ 已知一次函数的图象经过点和，求该一次函数的解析式。 ④ 如图，在中，，，是上一点，且，求的度数。 ⑤ 某商店销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商店平均每天可多售出件。若商店每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】 ① 证明：要证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定定理，可证明一组对边平行且相等。 因为四边形是平行四边形，所以，。 又因为、分别是、的中点，所以，，则，且。 所以四边形是平行四边形。 ② 解：要解方程，先给方程两边同时乘以消除分母，得到。 去括号得。 合并同类项得。 移项得，即，解得。 ③ 解：要确定一次函数的解析式，需要求出和的值。 因为函数图象经过点和，将点代入函数式可得方程组。 用第一个方程减去第二个方程消去，可得，解得。 把代入，得，解得。 所以一次函数的解析式为。 ④ 解：要求的度数，因为，，所以。 又因为，所以。 根据三角形内角和为，在中，，即。 移项可得，解得。 ⑤ 解：设每件衬衫应降价元。 要使商店每天盈利元，根据“总盈利 = 每件盈利×销售量”，原来每件盈利元，降价元后每件盈利元；原来每天销售件，降价元后每天可销售件。 则可列方程。 展开括号得。 整理得。 因式分解得。 解得，。 因为要尽快减少库存，所以越大越好，故取。 即每件衬衫应降价元。 六、学习总结 ① 明确目标：用符号或文字清晰表述待证结论或待求问题（如“需证：AB=CD” “需求：x的取值范围”）。 ② 逆向拆解：通过“要证…，只需证…”的逻辑链，将结论分解为若干子条件（如证明全等→找对应边/角相等）。 ③ 对接已知：检查子条件是否可由已知定理、定义或题目条件推出，若不能则继续拆解，直至形成完整逻辑链。 分析法是连接“问题”与“已知”的桥梁，掌握这一方法能显著提升学生的问题拆解能力和逻辑推理能力。通过持续练习，学生不仅能在中考中高效解决复杂问题，更能形成“逆推—验证—重构”的数学思维模式，为高中数学和科学学习奠定坚实基础。 学科网（北京）股份有限公司 $