09 方程思想-初中数学思想方法导引课

方程思想 一、起源探究 方程思想的起源可追溯到古代文明时期。古埃及和古巴比伦的数学家们在解决实际问题时，就已经开始使用类似方程的方法来处理数量关系。例如，古巴比伦人用泥板记录数学问题，其中就包含了求解一次方程和二次方程的内容。在古代中国，《九章算术》中也记载了大量用方程解决实际问题的案例，书中的“方程”章专门介绍了联立一次方程组的解法。随着数学的不断发展，经过众多数学家如丢番图、韦达等的研究和完善，方程的理论和方法逐渐系统化、科学化，方程思想也成为了数学中极为重要的思想方法，在初中数学教学和学习中占据着核心地位 。 二、核心数学思想 方程思想的核心数学思想是通过分析问题中的数量关系，将实际问题或数学问题中的未知量用字母表示，然后根据已知条件建立起含有未知数的等式（即方程或方程组），再通过求解方程或方程组来得到未知量的值，从而解决问题，体现了数学中从实际问题抽象为数学模型，再通过数学运算求解问题的逻辑思维过程。它将复杂的问题转化为数学语言，利用方程的性质和求解方法找到答案，实现了从已知到未知的桥梁搭建，是解决数学问题以及实际应用问题的重要工具。 三、解决的问题 ① 实际应用问题：在行程问题、工程问题、销售问题、浓度问题等各类实际场景中，通过找出其中的等量关系，建立方程或方程组来求解未知量，如速度、时间、工作量、价格、浓度等。 ② 几何计算问题：在几何图形中，当涉及边长、角度、面积、体积等未知量时，利用几何图形的性质和定理，结合已知条件建立方程求解，例如根据勾股定理建立方程求直角三角形的边长，根据相似三角形的性质建立方程求线段长度比例等。 ③ 函数相关问题：在一次函数、反比例函数、二次函数中，通过已知点的坐标或函数的其他性质，建立方程求解函数解析式中的参数，或者利用函数与方程的关系，解决函数图象的交点问题、最值问题等。 ④ 数论问题：在整数的运算和性质研究中，利用方程思想求解满足特定条件的整数解，如求不定方程的整数解等。 四、方法应用示例（结合中考题型） 例题1 行程问题 题目：甲、乙两人同时从相距千米的、两地相向而行，小时后相遇。已知甲的速度比乙的速度每小时快千米，求甲、乙两人的速度。 解题步骤： ① 分析问题，设未知数： 设乙的速度为千米/小时，因为甲的速度比乙每小时快千米，所以甲的速度为千米/小时。 ② 找出等量关系，建立方程： 根据“路程 = 速度×时间”以及两人相向而行总路程为千米，可得到等量关系：甲小时走的路程 + 乙小时走的路程 = 千米，即。 ③ 解方程： 五、练习题 ① 一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成。两人合作，需要多少天完成？ ② 一个矩形的周长是厘米，长比宽多厘米，求这个矩形的长和宽。 ③ 已知一次函数的图象经过点和，求该一次函数的解析式。 ④ 某商店将某种商品按进价提高后，打出“九折优惠酬宾，外送元出租车费”的广告，结果每件商品仍获利元，那么每件商品的进价是多少元？ ⑤ 在一个等腰三角形中，底边长为，腰长比底边的倍少，周长为，求该等腰三角形的三边长。 【答案】 ① 解：设两人合作需要天完成。 把这项工程的工作量看作单位“”，甲单独做天完成，则甲每天的工作效率为；乙单独做天完成，则乙每天的工作效率为。 根据“工作总量 = 工作时间×工作效率之和”，可列方程： 答：两人合作需要天完成。 ② 解：设矩形的宽为厘米，则长为厘米。 根据矩形周长公式“周长 = 2×（长 + 宽）”，可列方程： 长为（厘米） 答：这个矩形的长是厘米，宽是厘米。 ③ 解：把点和代入，得到方程组 两式相减可得：，解得 把代入，得，解得 所以一次函数的解析式为 答：该一次函数的解析式为。 ④ 解：设每件商品的进价是元。 商品按进价提高后的售价为元，打九折后的价格为元，再减去外送的元出租车费，此时的售价为元。 已知每件商品仍获利元，根据“售价 - 进价 = 利润”，可列方程： 答：每件商品的进价是元。 ⑤ 解：已知底边长为，腰长比底边的倍少，则腰长为。 根据等腰三角形周长公式“周长 = 底边长 + 2×腰长”，可列方程： 腰长为 答：该等腰三角形的三边长分别为，，。 六、学习总结 ① 强化等量关系训练：熟练掌握常见问题的基本公式（如行程、工程、几何面积）； ② 掌握多元方程解法：对于多未知量问题，学会列方程组或用消元法简化； ③ 几何代数化思维：遇到几何问题时，主动寻找可转化为方程的几何条件（如折叠后边长相等、相似三角形比例）； ④ 分类练习：针对一元一次方程、分式方程、一元二次方程、方程组进行专项训练，总结解题模式。 方程思想是初中数学的重要基石，不仅是中考高频考点（约占试卷分值15%-20%），更是高中数学、物理等学科的基础。通过系统训练，学生能逐步形成“用方程描述世界”的思维习惯，提升数学建模与问题解决能力，为后续学习奠定坚实基础。 学科网（北京）股份有限公司 $