07 动静互助法-初中数学思想方法导引课

动静互助法 一、起源探究 “动静互助法”并没有确切的由谁发现的记载 。它是在数学教学与实践不断发展的过程中，逐渐被提炼出来的一种解题思维策略。随着数学教育对学生思维能力培养要求的提高，教育工作者和学习者在探索如何更好地解决复杂数学问题时，发现将动态变化的观点与静态的数学模型、性质相结合，能够更有效地分析问题、找到解题思路，从而逐步形成了这种方法。它强调在解决数学问题时，灵活运用动态与静态的视角，相互补充、相互促进，以突破思维局限，找到解决问题的关键。 二、核心数学思想 “动静互助法”的核心数学思想是在解决数学问题时，将动态变化的过程与静态的数学性质、模型相结合，通过动态分析把握问题的变化规律，利用静态性质确定解题的稳定依据，实现动中有静、静中有动，相互辅助，从而找到解决问题的有效方法，体现了运动变化与相对静止的辩证统一思想。在初中数学中，许多问题都包含着动态变化的元素，如几何图形的运动、函数的变化等，同时也存在着不变的数学性质和规律。通过“动静互助法”，可以将动态的情境转化为静态的关系进行分析，或者从静态的条件中挖掘出动态的变化趋势，使复杂的问题变得更加清晰、易于解决。 三、解决的问题 ① 几何图形的动态问题：如图形的平移、旋转、翻折等运动过程中，求解线段长度、角度大小、图形面积等问题，通过动态分析图形的变化过程，结合静态的几何性质（如全等、相似、勾股定理等）进行求解。 ② 函数的动态变化问题：在函数图象的移动、自变量的变化过程中，分析函数的性质（如增减性、最值等），以及函数与其他数学元素之间的关系，利用函数的静态表达式和动态变化趋势解决问题。 ③ 实际应用中的动态问题：在行程问题、工程问题、利润问题等实际问题中，当涉及到数量的动态变化时，通过建立静态的数学模型，结合动态的变化过程，找到问题的解决方案。 四、方法应用示例（结合中考题型） 例题1 几何图形的旋转问题 题目：如图，在正方形中，是边上一点，将绕点逆时针旋转得到。已知，，求的长。 解题步骤： ① 动态分析： 绕点逆时针旋转得到，这一动态过程中，我们可以知道，，。 ② 静态计算： 在中，根据勾股定理，因为，且，在等腰直角中，根据等腰直角三角形的性质，。 例题2 函数图象的平移问题 题目：已知一次函数的图象向上平移个单位后得到新的函数图象，求新函数的表达式。 解题步骤： ① 动态分析： 函数图象向上平移个单位，这是一个动态过程。在这个过程中，函数图象上每个点的横坐标不变，纵坐标都增加。 ② 静态求解： 设新函数图象上任意一点的坐标为，则它是由原函数图象上的点平移得到的，把代入原函数表达式，整理可得新函数表达式为。 例题3 行程中的动态问题 题目：甲、乙两人同时从地出发前往地，甲的速度是千米/小时，乙的速度是千米/小时。甲到达地后立即返回，在距离地千米处与乙相遇，求、两地的距离。 解题步骤： ① 动态分析： 甲、乙两人从出发到相遇的过程是动态的。在这个过程中，两人行走的时间相同，甲比乙多走了千米（因为甲到达地后又往回走了千米与乙相遇）。 ② 静态建模： 设、两地的距离为千米，根据时间 = 路程÷速度，两人行走时间相同可列方程：。 ③ 求解方程： 交叉相乘得，即，移项可得，解得。 五、练习题 ① 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，求线段的长。 ② 已知二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，求平移后函数的表达式。 ③ 甲、乙两车分别从、两地同时出发相向而行，甲车速度为千米/小时，乙车速度为千米/小时。两车相遇后继续行驶，甲车到达地后立即返回，在距离地千米处与乙车再次相遇，求、两地的距离。 ④ 如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，求的长。 ⑤ 一次函数的图象绕原点旋转后，求所得新函数的表达式。 【答案】 ① 解：动态分析：绕点顺时针旋转得到，则，。 静态计算：在中，根据勾股定理。 在中，根据余弦定理，即，所以。 ② 解：动态分析：二次函数图象向左平移个单位，再向下平移个单位。 静态求解：原函数，向左平移个单位后为，再向下平移个单位后为。 ③ 解：动态分析：从出发到第二次相遇，两车行驶的路程和是倍的、两地距离，且甲车比乙车多行驶了千米。 静态建模：设、两地的距离为千米，根据时间相同可列方程：。 求解方程：交叉相乘得，即，移项可得，解得千米。 ④ 解：动态分析：沿折叠，点落在点处，为直角三角形分三种情况讨论。 情况一：当时，，所以是等腰直角三角形，。 情况二：当时，设，则，，，。 在中，，在中，根据勾股定理，即，解得（舍去）。 - 情况三：当\(\angle B'CE = 90°\)时，\(B'\)在\(CD\)上，设\(BE = x\)，则\(B'E = x\)，\(EC = 6 - x\)，\(DE = 4\)，\(B'D = 4 - x\)，在\(Rt\triangle B'CE\)中，根据勾股定理\(x^{2} = (6 - x)^{2} + 4^{2}\)，即\(x^{2} = 36 - 12x + x^{2} + 16\)，解得\(x = \frac{13}{3}\)。 综上，的长为或。 ⑤ 解：动态分析：一次函数图象绕原点旋转，函数图象上点的横、纵坐标都变为原来的相反数。 静态求解：设旋转后函数图象上一点，则其旋转前对应点为，把代入原函数，整理可得新函数表达式为。 六、学习总结 ① 捕捉不变量：在动态问题中寻找定值（如长度、角度、面积）、定关系（如平行、垂直、相似），作为静态分析的基础； ② 构造静态模型：将动点轨迹转化为圆、直线等静态图形，利用几何定理（如勾股定理、圆周角定理）求解； ③ 动态验证静态：通过特殊位置（如起点、终点、中点）验证动态过程中的结论，确保逻辑严密性。 学科网（北京）股份有限公司 $