精品解析：2026届四川省仁寿第一中学校南校区高三模拟预测数学试题

2026届高三模拟预测 数学试题 本试卷19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常见数集，结合交集运算，可得答案. 【详解】因为集合是所有非正整数组成的集合，所以． 故选：D. 2. 若复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的共轭复数的概念和复数虚部的概念即可解答. 【详解】，其虚部为. 故选：D. 3. 已知是上的偶函数，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举出反例得到充分性不成立，结合偶函数的性质得到必要性成立，即可判断 【详解】充分性：已知是上的偶函数，则， 当时，此时不一定等于0， 例如为偶函数，，但， 充分性不成立； 必要性：若，则， 因为是上的偶函数，所以，必要性成立； 故选：B. 4. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 5. 在等比数列中，是函数的两个零点，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理结合等比中项可求. 【详解】因为是函数的两个零点， 所以是方程的两个根，则，， 所以都为负数，又因为是等比数列，, 所以，则， 故选：B 6. 甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（ ） A. 36种 B. 42种 C. 54种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】按照B项工作安排的人数分为两类，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解即可. 【详解】安排B项工作的人数分为两类， 第一类，B项工作仅安排1人，因为甲不参加B项工作，乙必须参加D项工作， 从甲、乙以外的3人中选一人参加B项工作有种方法， 再安排A，C，D项工作，若D项工作安排两人，则有种方法， 若D项工作安排一人，则有种方法， 所以B项工作仅安排1人共种方法， 第二类，B项工作安排2人，有种方法， 由分类加法计数原理，得共有种方法. 故选：B. 7. 若直线l与曲线和都相切，则l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线在曲线上的切点为，则， 函数的导数为，则直线的斜率， 设直线的方程为，即， 由于直线与圆相切，则， 两边平方并整理得，解得，（舍）， 则直线的方程为，即. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 8. 已知函数在区间，上都单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设的零点为，且，讨论区间范围写出的分段函数形式，讨论参数结合各区间的函数性质判断单调性，根据已知区间的单调性求参数范围即可. 【详解】设，其判别式， ∴函数一定有两个零点，设的两个零点为，且， 由，得，， ∴， ①当时，在上单调递减或为常函数，从而在不可能单调递增，故； ②当时，，故，则， ∵在上单调递增， ∴在上也单调递增，，， 由在和上都单调递增，且函数的图象是连续的， ∴在上单调递增，欲使在上单调递增，只需，得， 综上：实数的范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：先研究绝对值部分的零点，进而写出的分段函数表达式，再讨论参数a，根据函数性质及已知区间单调性求参数的范围. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据，，，是公差为2的等差数列，若去掉首末两项，则（ ） A. 平均数变大 B. 中位数没变 C. 方差变小 D. 极差变小 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，由平均数，中位数以及方差的计算公式，逐一检验，即可得到结果. 【详解】对于A，原数据的平均数，去掉首末两项后的平均数， 即平均数不变，A项错误； 对于B，原数据的中位数为，去掉首末两项后的中位数为， 即中位数不变，B项正确； 对于C，原数据的方差， 去掉首末两项后的方差， 即方差变小，C项正确； 对于D，原数据的极差，去掉首末两项后的极差， 即极差变小，D项正确. 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为2 C. D. 的最小值为2 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式的性质及基本不等式，以此判断选项即可. 【详解】对于A，若，则，A正确; 对于B，或，因为不知道和的大小关系，B错误； 对于C，若，则，而 ，但是与的大小不能确定，故C错误； 对于D，，当且仅当，即取等号，D正确. 故选：AD 11. 已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由题设结合奇偶性和对称性性质、求导运算依次求出是奇函数、、函数和是周期为6的函数和即可依次分析判断ABC，由题设依次求出即可判断D. 【详解】由题得，所以即， 所以是奇函数，故， 又由得函数关于点对称，， 所以，故， 所以 ，即函数是周期为6的函数， 所以也是周期为6的函数，即， 由求导得即， 所以， 对于A，，故A正确； 对于B，由无法确定的值，故B错误； 对于C，由上也是周期为6的函数，即，C正确； 对于D，由得， 且即，且即， 且即， 所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是求出函数和是周期为6的函数. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】应用配凑法得出解析式. 【详解】因为，所以． 故答案为：. 13. 在等差数列中，，其前项和为，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得是以为首项，为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式即可得到结果. 【详解】设等差数列的前项和为，则，所以是等差数列． 因为，所以的公差为，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 14. 在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解. 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，集合. （1）若，求和； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）依据题意并结合补集的定义求解集合即可. （2）将给定条件转化为子集问题，分类讨论参数范围求解即可. 【小问1详解】 当时，， 令，解得， 所以，故或. 【小问2详解】 由得到， （i）当时，， 因为，所以，解得. （ii）当时， 因为，所以，解得. （iii）当时， 因为，所以，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 16. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 【答案】（1）； （2）分布列： 0 1 2 3 期望为，方差为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求解. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望的方差. 【小问1详解】 设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，， 因此， 所以智能客服的回答被采纳的概率为. 【小问2详解】 依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望；. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1）； （2） 在上是增函数， 证明：设是上任意两个实数且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； （3）． 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义求解； （2）根据单调性的定义证明； （3）由奇偶性变形，再由单调性求解． 【小问1详解】 由题意，即， 又，解得， 所以，经检验符合题意； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由得， 又是奇函数，所以， 因为在上是增函数，所以，解得． 18. 如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BEF； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点， 于是，即，则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. （2） 法一：由（1）可知，则，得， 因此，则，有， 又，平面， 则有平面，又平面，所以平面平面. 法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 在中，， 在中，， 设，所以由可得：， 可得：，所以， 则，所以，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， ， 所以平面平面BEF； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答. （2）法一：由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以由求出点坐标，再求出平面与平面BEF的法向量，由即可证明； （3）法一：由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 法一：过点作交于点，设， 由，得，且， 又由（2）知，，则为二面角的平面角， 因为分别为的中点，因此为的重心， 即有，又，即有， ，解得，同理得， 于是，即有，则， 从而，， 在中，， 于是，， 所以二面角的正弦值为. 法二：平面的法向量为， 平面的法向量为， 所以， 因为，所以， 故二面角的正弦值为. 19. 已知动点到点的距离等于它到直线的距离，记动点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）为坐标原点，过点且斜率存在的直线与相交于两点，直线与直线相交于点，过点且与相切的直线交轴于点． （i）证明：直线； （ii）满足四边形的面积为12的直线共有多少条？说明理由． 【答案】（1） （2）（i）证明：由题可知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为，则直线的斜率为， 设直线与相交于两点，不妨设， 由得，，则， 由得，，则点处的斜率为， 则点处的切线方程为， 令，得，即点， 直线的方程为，令，得，即， 所以直线的斜率， 所以，即直线． （ii）连接， 由（i）得，，所以， 又因为，所以轴，即四边形为平行四边形， 由得， ， 若四边形的面积为12，则， 整理得， 令，则， 设，则， 所以在单调递增，又， 所以存在，使得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以有2个零点，即有2个根， 其中时，直线AB的斜率不存在，舍去，另一根属于； 由对称性可得，交换AB点的位置也符合题意，所以四边形的面积为12的直线共有2条． 【解析】 【分析】（1）由抛物线得定义即可求解； （2）（i）由题可知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为，设直线与相交于两点，不妨设，由直线方程与抛物线方程联立，求得，求出直线的斜率，即可证明；（ii）由（i）得出四边形为平行四边形，根据四边形的面积为12列出关于的方程，根据导数判断方程解的个数即可． 【小问1详解】 由抛物线的定义得动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以，即． 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三模拟预测 数学试题 本试卷19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. 3 D. 3. 已知是上的偶函数，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 5. 在等比数列中，是函数的两个零点，则（ ） A. B. C. 5 D. 6. 甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（ ） A. 36种 B. 42种 C. 54种 D. 72种 7. 若直线l与曲线和都相切，则l的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间，上都单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据，，，是公差为2的等差数列，若去掉首末两项，则（ ） A. 平均数变大 B. 中位数没变 C. 方差变小 D. 极差变小 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为2 C. D. 的最小值为2 11. 已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 13. 在等差数列中，，其前项和为，若，则________. 14. 在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，集合. （1）若，求和； （2）若，求实数的取值范围. 16. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式：. 18. 如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BEF； （3）求二面角的正弦值. 19. 已知动点到点的距离等于它到直线的距离，记动点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）为坐标原点，过点且斜率存在的直线与相交于两点，直线与直线相交于点，过点且与相切的直线交轴于点． （i）证明：直线； （ii）满足四边形的面积为12的直线共有多少条？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $