4.3一次函数的图像讲义2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

一次函数的图像 学习目标 1. 理解一次函数图像是一条直线，掌握用两点法画一次函数图像的方法。 2. 能结合一次函数的图像，分析并掌握一次函数的性质，如增减性等。 3. 通过观察一次函数的图像，学会利用图像解决与一次函数相关的实际问题，如求函数值、自变量的值等。 知识点讲解 一、一次函数图像的形状 一次函数（(k)，(b)为常数，(k≠0)）的图像是一条直线，所以一次函数的图像也称为直线。 二、画一次函数图像的方法——两点法 1. 因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图像时，只要确定两个点，再过这两个点画直线就可以了。 2. 通常选取直线与坐标轴的交点来画直线。 · 对于，令，可得，则直线与(y)轴的交点坐标为((0,b))。 · 令，可得，解关于(x)的方程得，则直线与(x)轴的交点坐标为。 三、一次函数的性质 1. 当(k＞0)时，直线从左到右上升，(y)随(x)的增大而增大。 2. 当(k＜0)时，直线从左到右下降，(y)随(x)的增大而减小。 例题解析 例 1 已知一次函数。 1. 画出该函数的图像。 2. 求当时，(y)的值。 3. 求当时，(x)的值。 解析： 1. 画函数图像： · 令，则(y = 2×0 - 1 = -1)，所以与(y)轴交点为。 · 令，则，，解得，所以与(x)轴交点为。 · 过点和画直线，即得的图像。 2. 当时，(y = 2×3 - 1 = 6 - 1 = 5)。 3. 当时，，，，解得。 例 2 一次函数，求该函数图像与坐标轴围成的三角形面积。 解析： 1. 求与(y)轴交点：令，则(y = -3×0 + 6 = 6)，交点坐标为((0,6))。 2. 求与(x)轴交点：令，则，，解得，交点坐标为((2,0))。 3. 所以与坐标轴围成的三角形以(y)轴上的截距(6)为高，(x)轴上的截距(2)为底。 根据三角形面积公式，可得。 例 3 已知一次函数的图像经过点((1,3))和。 1. 求这个一次函数的表达式。 2. 判断点是否在该函数图像上。 解析： 1. 把点((1,3))和代入，可得方程组。 · 用第一个方程减去第二个方程，得： ，解得。 · 把代入，得，解得。 所以一次函数表达式为。 2. 把代入，得(y = 2×(- 1)+1 = - 2 + 1 = - 1)。 因为当时，，所以点在该函数图像上。 例 4 已知一次函数，当(x)增大时，(y)的值减小，求(m)的取值范围。 解析： 因为当(x)增大时，(y)的值减小，根据一次函数性质可知(k＜0)。 在中，，所以(m - 2＜0)，(m＜2)。 巩固练习 一、选择题 1. 一次函数的图像与(y)轴的交点坐标是（ ） A. (0,2) B. (2,0) C. D. 2. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 函数值随自变量的增大而增大 B. 函数图像与(y)轴的交点坐标是((0,1)) C. 函数图像经过第一、二、三象限 D. 函数图像与(x)轴的交点坐标是 3. 已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（ ） A. (y_1＞y_2＞y_3) B. (y_1＜y_2＜y_3) C. . (y_3＜y_1＜y_2) 二、填空题 1. 一次函数与(x)轴的交点坐标是 （ ）。 2. 直线与(y)轴的交点坐标为（ ） ，与(x)轴的交点坐标为 （ ）。 3. 一次函数，当，且图像过点((0,4))时，（ ） ，函数表达式为（ ） 。 三、解答题 1. 已知一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为(24)，求(m)的值。 2. 已知一次函数的图像经过点，且与正比例函数的图像相交于点((2,a))。 · 求(a)的值。 · 求(k)，(b)的值。 3. 已知一次函数，若函数值(y)随(x)的增大而增大，且图像与(y)轴负半轴相交，求(m)的取值范围。 巩固练习答案 一、选择题 1. 答案：A 解析：在中，令，则，所以与(y)轴交点坐标是((0,2))，选 A。 2. 答案：D 解析： · A选项：因为(k = 3＞0)，所以函数值随自变量增大而增大，A 正确。 · B选项：令，(y = 3×0 + 1 = 1)，与(y)轴交点((0,1))，B 正确。 · C选项：(k = 3＞0)，(b = 1＞0)，函数图像经过第一、二、三象限，C 正确。 · D选项：令，，，，与(x)轴交点，D 错误。选 D。 3. 答案：A 解析：在中，(k = -3＜0)，(y)随(x)增大而减小。 因为(-2＜ - 1＜1)，所以(y_1＞y_2＞y_3)，选 A。 二、填空题 1. 答案： 解析：令，，，解得，与(x)轴交点。 2. 答案：((0,5))； 解析： · 令，(y = -2×0 + 5 = 5)，与(y)轴交点((0,5))。 · 令，，，，与(x)轴交点。 3. 答案：(4)； 解析：把，点((0,4))代入，得(4 = -2×0 + b)，解得，函数表达式。 三、解答题 1. 答案： 解析： 在中， 令，，与(y)轴交点((0,m))； 令，，，，与(x)轴交点。 因为与坐标轴围成三角形面积为(24)，根据三角形面积公式， 即，，，，解得。 2. 答案： · · ， 解析： · 因为点((2,a))在上，把代入，得，所以。 · 把和((2,1))代入，得。 用第二个方程减去第一个方程，得，，，解得。 把代入，得，解得。 3. 答案：(＜m＜2) 解析： 因为函数值(y)随(x)的增大而增大，所以(2m - 1＞0)，(2m＞1)，解得(m＞）。 又因为图像与(y)轴负半轴相交，所以(m - 2＜0)，解得(m＜2)。 综上，(＜m＜2)。 学科网（北京）股份有限公司 $ 一次函数的图像 学习目标 1. 理解一次函数图像是一条直线，掌握用两点法画一次函数图像的方法。 2. 能结合一次函数的图像，分析并掌握一次函数的性质，如增减性等。 3. 通过观察一次函数的图像，学会利用图像解决与一次函数相关的实际问题，如求函数值、自变量的值等。 知识点讲解 一、一次函数图像的形状 一次函数（(k)，(b)为常数，(k≠0)）的图像是一条直线，所以一次函数的图像也称为直线。 二、画一次函数图像的方法——两点法 1. 因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图像时，只要确定两个点，再过这两个点画直线就可以了。 2. 通常选取直线与坐标轴的交点来画直线。 · 对于，令，可得，则直线与(y)轴的交点坐标为((0,b))。 · 令，可得，解关于(x)的方程得，则直线与(x)轴的交点坐标为。 三、一次函数的性质 1. 当(k＞0)时，直线从左到右上升，(y)随(x)的增大而增大。 2. 当(k＜0)时，直线从左到右下降，(y)随(x)的增大而减小。 例题解析 例 1 已知一次函数。 1. 画出该函数的图像。 2. 求当时，(y)的值。 3. 求当时，(x)的值。 例 2 一次函数，求该函数图像与坐标轴围成的三角形面积。 例 3 已知一次函数的图像经过点((1,3))和。 1. 求这个一次函数的表达式。 例 4 已知一次函数，当(x)增大时，(y)的值减小，求(m)的取值范围。 巩固练习 一、选择题 1. 一次函数的图像与(y)轴的交点坐标是（ ） A. (0,2) B. (2,0) C. D. 2. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 函数值随自变量的增大而增大 B. 函数图像与(y)轴的交点坐标是((0,1)) C. 函数图像经过第一、二、三象限 D. 函数图像与(x)轴的交点坐标是 3. 已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（ ） A. (y_1＞y_2＞y_3) B. (y_1＜y_2＜y_3) C. . (y_3＜y_1＜y_2) 二、填空题 1. 一次函数与(x)轴的交点坐标是 （ ）。 2. 直线与(y)轴的交点坐标为（ ） ，与(x)轴的交点坐标为 （ ）。 3. 一次函数，当，且图像过点((0,4))时，（ ） ，函数表达式为（ ） 。 三、解答题 1. 已知一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为(24)，求(m)的值。 2. 已知一次函数的图像经过点，且与正比例函数的图像相交于点((2,a))。 · 求(a)的值。 · 求(k)，(b)的值。 3. 已知一次函数，若函数值(y)随(x)的增大而增大，且图像与(y)轴负半轴相交，求(m)的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $