专题3.5 从函数观念看一元二次方程和一元二次不等式（第二课时）（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

专题3.5 从函数观念看一元二次方程和一元二次不等式 （第二课时） 教学目标 1. 复习巩固含参一元二次不等式的解法． 2. 进一步理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系 3.掌握利用一元二次不等式解决含参数、恒成立问题的方法． 教学重难点 1.重点 利用一元二次不等式解决含参数、恒成立问题的方法； 2.难点 有关参数的分类讨论. 知识点01 一元二次不等式的解法 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1）当时，二次函数图象开口向上． （2）①若，解集为． ②若，解集为． ③若，解集为． （2） 当时，二次函数图象开口向下． ①若，解集为 ②若，解集为 【即学即练】 1．不等式的解集是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为不等式的解集是， 所以，和是方程的根， 所以，即，，则． 故选：D． 2．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式的解集为，则是方程的两个根，且， 于是，解得，则不等式为， 解得或，所以不等式的解集为或. 故选：D 知识点02 一元二次不等式恒成立问题 1.一元二次不等式恒成立问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法 (1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数. ①若ax2+bx+c>0恒成立，则有a>0，且△<0；若ax2+bx+c<0恒成立，则有a<0，且△<0. ②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法). 3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解. 4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略 不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： (1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立a>f(x)max； 若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解a>f(x)min； 若对任意x∈[m,n]，a>f(x)无解a≤f(x)min. (2)对任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立a<f(x)min； 若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解a<f(x)max； 若对任意x∈[m,n]，a<f(x)无解a≥f(x)max. 【即学即练】 1．对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，由得：，（当且仅当，即时取等号），，解得：，即的取值范围为. 故选：D. 2．若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵不等式的解集为R，当a-2＝0，即a＝2时，不等式为3>0恒成立， 故a＝2符合题意； 当a﹣2≠0，即a≠2时，不等式的解集为R， 则，解得， 综合①②可得，实数a的取值范围是． 故选：B． 知识点03 一元二次不等式有解问题 常见不等式有解问题的函数处理策略 不等式有解问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： (1)若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解a>f(x)min； (2)若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解a<f(x)max； 【即学即练】 1．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，，即 ，故问题转化为在上有解， 设，则，，对于 ，当且仅当时取等号， 则，故 ， 故选：A 2．已知关于的不等式，若不等式对有解，求的取值范围. 【答案】 【解析】若不等式对有解， 等价于时，有解. 令， 当时，即，此时显然在有解； 当时，时，结合一元二次函数图象，显然有解； 当时，对称轴为，， 时，有解， 结合一元二次函数图象，易得：或， 解得或（无解）， 又∵， ; 综上所述，的取值范围为. 题型01 由一元二次不等式的解集求参数 【典例1】若不等式的解集为，则 . 【答案】 【分析】由题可得对称轴在之间，最小值大于，且的两个根为，列出相应不等式，找到关于的范围，再根据韦达定理解出的值，计算即可. 【解析】因为不等式的解集为， 而开口向上，所以有， 且最小值大于，即，解得， 且的两个根为， 所以，解得或， 当时，不符合，故舍去， 所以，所以. 故答案为：. 1、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为． 3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推． 4、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 【变式1】若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】利用三个二次的关系推得方程有两根为和4，由韦达定理求出，代入所求不等式，求解即得. 【解析】由题意，方程有两根为和4， 故由韦达定理，，解得， 则不等式即，解得或. 故选：D. 【变式2】已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用韦达定理得到，再代入利用基本不等式计算可得. 【解析】因为关于的不等式的解集为， 所以， 所以 ，当且仅当，即时取等号. 故选：B 【变式3】设a，b，c为实数，不等式的解集是或，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，1和3为方程的两根，且， 所以，即，， 所以. 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 【变式4】已知均为实数，若存在使得关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，例如，则不等式的解集为，符合题意； 当时，由题意可知：二次函数的对称轴为，开口向上， 所以时，，时，，时，， 联立解得：； 当时，由题意可知：二次函数的对称轴为，开口向下， 所以时，，时，，时，， 联立解得：； 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 题型02 一元二次函数图像的分析与判断 【典例1】已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是 . 【答案】 【解析】根据函数的图像可知： ，即， 不等式可化为， 即， 解得或， 所以不等式的解集是. 故答案为： 【变式1】不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【解析】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，对称轴为，与轴交点纵坐标为 故选：B. 【变式2】不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】首先根据一元二次不等式与对应方程的关系，求解的关系，再代入函数，即可分析函数的图象. 【解析】因为的解集为，所以方程的两根分别为和，且，则，， 故函数的图象开口向下，且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合. 故选：A. 【变式3】（多选）抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C．若方程有两个根，且；则 D．若方程有四个根，则这四个根的和为4 【答案】BCD 【解析】由的顶点坐标为，则，则， 由抛物线图象开口向下，所以，所以，所以A错误； ，所以B正确； 令，则的两根为，且开口向下， 因为方程有两个根，且， 所以与的两交点为，所以，所以C错误； ，其对称轴为， 因为方程有四个根，分别为， 根据对称性知，所以这四个根的和为4，所以D正确. 故选：BCD 题型03 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【典例1】无论取何值时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，再解不等式即可得答案. 【解析】因为无论取何值时，不等式恒成立， 所以，，解得， 所以，的取值范围是 故选：D. 【变式1】已知关于x的不等式对一切实数都成立，则满足条件的实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据二次项系数是否为0分类：二次项系数为0时，代入成立；二次项系数不为0 时，根据二次函数的性质，可知开口向下，判别式为负，即可得实数的取值范围. 【解析】当时，得，显然成立； 当时，由对一切实数都成立，得， 解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 【变式2】“”是“，成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由不等式恒成立，可求得，即可得出答案. 【解析】因为，成立，则，即. 所以，“”是“，成立”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3】对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照，，分类讨论不等式恒成立时的取值范围即可. 【解析】由题得恒成立， 当时，二次函数开口向上， 显然不能恒成立； 当时，得，故不能恒成立； 当时，要使， 则或（舍）. 综上所述，. 故选：B. 【变式4】已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，分析可得原题意等价于对一切，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算. 【解析】∵，，则， ∴， 又∵，且， 可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立， ∵的开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 故实数的取值范围是. 故选：C. 【变式5】设 (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据不等式的解集结合韦达定理求参； （2）不等式恒成立，分和两种情况求解即可. 【解析】（1）由题意，不等式的解集是， ∴，1是关于x的方程的两实数根，且， 则，解得； （2）由对一切实数x恒成立， 即对一切实数x恒成立， 当时，，不满足题意， 当时，则满足，解得 综上所述，实数m的取值范围是 题型04 一元二次不等式在某区间上恒成立问题 【典例1】若对任意的恒成立，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答. 【解析】，而当时，，当且仅当，即时取等号， 则，所以m的取值范围是. 故选：C. 【变式1】若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用参变分离法将不等式化成，只需求函数在上的最小值即得参数m的取值范围. 【解析】由不等式对任意都成立，可得不等式对任意都成立， 因，，则得， 故得，即实数m的取值范围为. 故答案为：. 【变式2】若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为“，使”是假命题， 所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立， 又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 题型05 给定参数范围的不等式恒成立问题 【典例1】已知，不等式恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】更换主元，根据一次函数性质列不等式组求解可得. 【解析】令， 当时，，不满足题意； 当时，由一次函数性质可知，， 解得或. 故选：C. 【变式1】若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得：命题“”为真命题，根据恒成立问题结合一次函数运算求解. 【解析】由题意可得：命题“”为真命题， 即对恒成立， 则，解得或， 即实数的取值范围为. 故选：C. 【变式2】当时，恒成立，则实数的取值范围是____________ 【答案】 【分析】将不等式整理成关于的一次函数，利用一次函数性质解不等式即可求得结果. 【解析】根据题意可将不等式整理成关于的一次函数， 由一次函数性质可知，即； 解得，综合可得； 故答案为： 题型06 一元二次不等式有解问题 【典例1】已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，由可得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立，故. 故选：B 【变式1】若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知原题意等价于，使得成立，令，利用基本不等式结合存在性问题分析求解. 【解析】因为，即， 又因为，则，可得， 原题意等价于，使得成立， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的范围是. 故选：B. 【变式2】已知命题，为真命题，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】由题意得：当时，，不符题意； 当时，的对称轴为， 所以只需，解得； 当时，表示开口向下的抛物线，满足题意. 综上所述，的取值范围为. 【变式3】已知函数. (1)若关于的不等式有解，求的取值范围； (2)求的取值范围，使得总有实数解. 【答案】(1)或；(2)或. 【解析】（1）若，则，不满足题意； 若，则必有解； 若，解得， 故的取值范围为或； （2）①若，则，不满足题意； ②由，由知总有实数解， 即，则或， 由于，则或， 综上，或. 【变式4】已知不等式的解集为，若关于的不等式的解集非空，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】解不等式可得，，分析可知的解集非空，求解即可. 【解析】由于，故不等式的解集为，所以. 这表明条件等价于关于的不等式的解集非空. 假设，则对任意都有，所以的解集为空，不满足条件，故一定有. 而当时，对有，所以不等式的解集包含，一定非空，满足条件. 所以的最小值是. 故答案为：. 题型04 不等式综合以及与其他章节的融合 【典例1】已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式（其中）. 【答案】(1),；(2)答案见解析. 【分析】（1）分离参数a，转化为函数最值问题求解； （2）分类讨论求解即可． 【解析】（1）不等式即为：， 当,时，可变形为：， 即, 又，当且仅当，即时，等号成立， ，即， 实数的取值范围是：,． （2）不等式， 即， 等价于， 即， 当时， 当时，因为，解不等式得：； 当时，因为，不等式的解集为； 当时，因为，解不等式得：； 综上所述，不等式的解集为： 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 【变式1】已知函数. (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，讨论、，结合二次函数的性质列不等式求参数范围； （2）由题设有，应用分类讨论求对应解集. 【解析】（1）由题意，对一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是. （2）不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为. 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或. 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或 【变式2】已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）因为集合， 由命题“”是假命题，可得命题“”是真命题， 即在上恒成立， 因为函数，当时，取得最大值，最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. （2）因为恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，不等式等价于恒成立，符合题意； 当时，等价于恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 【变式3】已知命题，，命题，． (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p，q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）因为，，可得在有解，所以， 令，由对勾函数可知函数在单调递减，在上单调递增， 又，，所以， 所以命题p为真命题时，实数m的取值范围为； （2）若，，则，解得． 所以q为真命题时，实数m的取值范围为； 当命题p为真命题，q为假命题时，m应满足，所以， 当命题p为假命题，q为真命题时，m应满足，所以， 综上所述：命题p，q有且仅有一个为真命题，实数m的取值范围为． 【变式4】已知关于的不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若不等式对有解，求的取值范围. 【答案】(1)不存在；(2)；（3）. 【分析】将转化为， （1）讨论和时的情况； （2），显然该函数单调，所以只需即可. （3）讨论当时，当时，当时，如何对有解，其中，，均为一元二次不等式，结合一元二次函数图象求解即可. 【解析】（1）原不等式等价于， 当时，，即，不恒成立； 当时，若不等式对于任意实数恒成立， 则且，无解； 综上，不存在实数，使不等式恒成立. （2）设， 当时，恒成立， 当且仅当，即， 解得即， 所以的取值范围是. （3）若不等式对有解， 等价于时，有解. 令， 当时，即，此时显然在有解； 当时，时，结合一元二次函数图象，显然有解； 当时，对称轴为，， 时，有解， 结合一元二次函数图象，易得：或， 解得或（无解）， 又∵， ; 综上所述，的取值范围为. 1．若不等式的解集是，则的值为（    ） A．-10 B．-14 C．10 D．14 【答案】B 【解析】由题意，和是方程的两个根， 由韦达定理得：且，解得：，， 所以. 故选：B 2．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【解析】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 3．不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【解析】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，对称轴为，与轴交点纵坐标为 故选：B. 4．下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 【答案】D 【分析】讨论的取值，结合一元二次不等式恒成立可得的范围，选项A正确；利用分离参数的方法可得选项B正确；利用分离参数的方法得到关于的不等式，恒成立问题转化为小于（或小于等于）函数的最小值，结合基本不等式可得选项C正确，选项D错误. 【解析】A.当时，恒成立， 当时，，解得， 综上得，k的取值范围是，选项A正确. B．由得， 由得，，在上恒成立，故，即实数k的取值范围是，选项B正确. C.由题意得，恒成立，即， 由（当且仅当时取等号）可知， 故实数a的取值范围是，选项C正确. D. 由题意得，，即， 由（当且仅当时取等号）可知， 故实数a的取值范围是，选项D错误. 故选：D. 5．若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式化为，即， 当时，不等式化为，得，有无数个整数解，不符合题意； 当时，由关于x的不等式只有一个整数解，可知， 不等式的解为，由题意，，解得； 当时，不等式的解为或，有无数个整数解，不符合题意． 综上，实数a的取值范围是. 故选：C 6．若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】依据题意先将问题等价转化成在上恒成立，接着将恒成立问题转化成最值问题，再结合基本不等式即可求解. 【解析】，使得成立是真命题， 所以,恒成立. 所以在上恒成立， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 7．（多选）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】ABD 【分析】首先当，不等式为恒成立，故满足题意；其次，问题变为了一元二次不等式恒成立问题，则当且仅当，解不等式组即可. 【解析】当时，不等式为恒成立，故满足题意； 当时，要满足， 而， 所以解得； 综上，实数a的取值范围是； 所以对比选项得，实数a可能是，0，1. 故选：ABD. 8．（多选）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（    ） A． B． C． D．2 【答案】CD 【解析】当时，不等式化为，则解集中有无数个整数. 当时，不等式的解集中有无数个正整数，故A错误； 所以，，，所以 所以不等式的解集为：， 根据0一定属于此集合， 则由不等式的解集中恰有3个正整数， 则这3个整数中一定为：， 则，解得 故可取和2，故C,D正确，AB错误； 故选：CD. 9．（多选）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．若关于的不等式的解集是或，则 B．若集合有且仅有两个子集，则的最大值为 C．若，则的最大值为 D．若，且关于x的不等式的解集中有且仅有三个正整数，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A选项，根据一元二次不等式解集与方程根的关系来确定参数的值，再验证等式. 对于B选项，运用集合有且仅有两个子集，得到方程有一个根，借助根的判别式，得到，关系式，化简式子，再求最值即可. 对于C选项，先根据已知条件得到与的关系，再利用换元数学方法，结合基本不等式求式子的最大值. 对于D选项，根据不等式的解集以及已知条件确定的取值范围. 【解析】对于A选项，因为关于的不等式的解集是或， 则和是两根. 由韦达定理， ， 解得，. 则，所以A选项正确. 对于B选项，运用集合有且仅有两个子集，则方程有一个根，所以判别式，即，可得. 把代入得： 所以当时，取得最大值.所以B选项错误. 对于C选项，若，则，即. 令，则. 所以. 令，则. 对求最大值，. 根据均值不等式，当且仅当时取等号. 所以，所以C选项正确.   对于D选项，当时，. 因为不等式的解集中有且仅有三个正整数，令， 则的解集中有且仅有三个正整数,所以,的解集为, 所以的解集中有且仅有三个正整数，，， 则，解得，所以D选项正确. 故选：ACD. 10．若，，则a的一个可取的正整数值为 . 【答案】1（也可取2，3） 【分析】由判别式大于0求解. 【解析】由题意，解得， 的正整数值为1或2或3， 故答案为：1（也可取2，3） 11．若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求得的最大值，由此列不等式来求得的取值范围. 【解析】，所以当或时， 取得最大值为， 由于关于的不等式在区间内有解， 所以，解得. 故答案为： 12．已知二次函数（，为实数）,若函数图象过点，对，恒成立，则实数的取值范围　　. 【答案】 【分析】（由对恒成立，结合一次函数的性质求出答案即可. 【解析】由（1）知，， 由，得，即， 依题意，对恒成立， 令， 则对，恒成立，于是， 解得， 所以实数的取值范围是． 13．已知关于的不等式的解集为或. (1)求，的值； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，利用韦达定理可列出方程组，即得； （2）利用基本不等式求得的最小值，根据恒成立可得，即得. 【解析】（1）因为不等式的解集为或， 所以1和是方程的两个实数根，且， 所以，解得， 即，. （2）由（1）知，于是有， 故， 当且仅当，结合，即时，等号成立， 依题意有，即， 得，即， 所以的取值范围为. 14．已知函数，其中． (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若，对任意，都有成立，且存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)1；(2) 【分析】（1）根据不等式的解集列方程，求得，进而求得. （2）根据一元二次不等式恒成立、能成立列不等式，由此求得的取值范围. 【解析】（1）依题意，不等式的解集是， 所以，所以. （2）若，则， 由于对任意，都有成立，所以， 解得①， 依题意，存在，使得成立， 即存在，使得成立， 所以， 解得或②， 由①②得的取值范围是. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.5 从函数观念看一元二次方程和一元二次不等式 （第二课时） 教学目标 1. 复习巩固含参一元二次不等式的解法． 2. 进一步理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系 3.掌握利用一元二次不等式解决含参数、恒成立问题的方法． 教学重难点 1.重点 利用一元二次不等式解决含参数、恒成立问题的方法； 2.难点 有关参数的分类讨论. 知识点01 一元二次不等式的解法 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1）当时，二次函数图象开口向上． （2）①若，解集为． ②若，解集为． ③若，解集为． （2） 当时，二次函数图象开口向下． ①若，解集为 ②若，解集为 【即学即练】 1．不等式的解集是，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 知识点02 一元二次不等式恒成立问题 1.一元二次不等式恒成立问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法 (1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数. ①若ax2+bx+c>0恒成立，则有a>0，且△<0；若ax2+bx+c<0恒成立，则有a<0，且△<0. ②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法). 3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解. 4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略 不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： (1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立a>f(x)max； 若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解a>f(x)min； 若对任意x∈[m,n]，a>f(x)无解a≤f(x)min. (2)对任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立a<f(x)min； 若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解a<f(x)max； 若对任意x∈[m,n]，a<f(x)无解a≥f(x)max. 【即学即练】 1．对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点03 一元二次不等式有解问题 常见不等式有解问题的函数处理策略 不等式有解问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： (1)若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解a>f(x)min； (2)若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解a<f(x)max； 【即学即练】 1．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于的不等式，若不等式对有解，求的取值范围. 题型01 由一元二次不等式的解集求参数 【典例1】若不等式的解集为，则 . 1、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为． 3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推． 4、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 【变式1】若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2】已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式3】设a，b，c为实数，不等式的解集是或，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知均为实数，若存在使得关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 . 题型02 一元二次函数图像的分析与判断 【典例1】已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是 . 【变式1】不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．     B．   C．   D．   【变式2】不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式3】（多选）抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C．若方程有两个根，且；则 D．若方程有四个根，则这四个根的和为4 题型03 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【典例1】无论取何值时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知关于x的不等式对一切实数都成立，则满足条件的实数的取值范围为 . 【变式2】“”是“，成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5】设 (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 题型04 一元二次不等式在某区间上恒成立问题 【典例1】若对任意的恒成立，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为 ． 【变式2】若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 题型05 给定参数范围的不等式恒成立问题 【典例1】已知，不等式恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】当时，恒成立，则实数的取值范围是____________ 题型06 一元二次不等式有解问题 【典例1】已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知命题，为真命题，求实数的取值范围. 【变式3】已知函数. (1)若关于的不等式有解，求的取值范围； (2)求的取值范围，使得总有实数解. 【变式4】已知不等式的解集为，若关于的不等式的解集非空，则的最小值是 ． 题型04 不等式综合以及与其他章节的融合 【典例1】已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式（其中）. 【变式1】已知函数. (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【变式2】已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【变式3】已知命题，，命题，． (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p，q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围． 【变式4】已知关于的不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若不等式对有解，求的取值范围. 1．若不等式的解集是，则的值为（    ） A．-10 B．-14 C．10 D．14 2．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．     B．   C．   D．   4．下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 5．若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 7．（多选）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（    ） A． B．0 C． D．1 8．（多选）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（    ） A． B． C． D．2 9．（多选）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．若关于的不等式的解集是或，则 B．若集合有且仅有两个子集，则的最大值为 C．若，则的最大值为 D．若，且关于x的不等式的解集中有且仅有三个正整数，则实数的取值范围是 10．若，，则a的一个可取的正整数值为 . 11．若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是 . 12．已知二次函数（，为实数）,若函数图象过点，对，恒成立，则实数的取值范围　　. 13．已知关于的不等式的解集为或. (1)求，的值； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 14．已知函数，其中． (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若，对任意，都有成立，且存在，使得成立，求实数a的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$