专题3.1 不等式的基本性质（八大题型精练）-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

专题3.1 不等式的基本性质 题型1 不等式的性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向 可加性 同向同正 可乘性 可乘方性 1．（25-26高一上·江西上饶·阶段练习）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可. 【详解】对A，因为，所以两边同时加3得，故A错误； 对B，因为，所以两边同时减2得，故B错误； 对C，因为，所以两边同时乘得，故C错误； 对D，因为，所以两边同时乘2得，故D正确. 故选：D． 2．（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】ACD可举出反例；B选项，利用不等式性质可得. 【详解】A选项，当且时，有，A错误； B选项，因为，所以，所以，不等式两边同除以得，，B正确； C选项，取，显然，C错误； D选项，当时，，D错误， 故选：B． 3．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）（多选题）已知均为实数，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若， 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】结合不等式的性质逐项分析即可. 【详解】选项A，若，则，，即，选项A正确； 选项B，若，，则，，，即，选项B正确； 选项C，若，，取，，，，则，，，选项C错误； 选项D，若，，则，选项D错误. 故选：AB. 4．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（多选题）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质可判断AB，取特例可判断C，作差比较可判断D. 【详解】因为，所以，所以，故A正确； 因为 ，所以两边同乘以正数可得，故B正确； 取，则满足，但，故C错误； 因为， 由可得，所以， 即，所以，故D正确. 故选：ABD 题型2 由已知条件判断所给不等式是否正确 1．（25-26高三上·河南·阶段练习）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】由题意可知，可判断C；举反例判断AB；举反例判断D. 【详解】因为，且，所以，则，故C正确； 当时满足条件，但不符合A、B，故A、B错误； 当时满足条件，但不符合D，故D错误； 故选：C 2．（25-26高一上·陕西·开学考试）若，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据各选项中的取值范围，得出的取值范围，再判断是否满足即可. 【详解】A选项：当时，，则，不可能大于2，A错误； B选项：当时，，则，不可能大于2，B错误； C选项：当时，，则，不可能大于2，C错误； D选项：当时，取，则，存在满足的情况，D正确. 故选：D 3．（25-26高三上·贵州六盘水·阶段练习）（多选题）如果满足，且，那么下列选项成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据已知条件，可知，再结合不等式性质，逐项判断即可. 【详解】依题意，满足，且，所以， 对于A选项，因为，，所以，故A选项正确； 对于B选项，当时，，故B选项错误； 对于C选项，因为，所以，又，所以，故C选项正确； 对于D选项，因为，所以，又，所以，故D选项正确． 故选：ACD 4．（24-25高三下·山西·阶段练习）（多选题）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用不等式性质推理，结合特殊值法验证，逐个判断正误即可. 【详解】因为，，故，所以，故A正确； 不妨取，，则，故B错误； 因为，，所以，即，即，故C正确； 不妨取，，则，故D错误． 故选：AC. 题型3 由不等式的性质比较数（式）的大小 1．（25-26高一上·云南玉溪·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】将a、b平方后比较与1的大小关系即可得到答案． 【详解】∵，∴． ∵，∴， 故． 故选：A． 2．（25-26高一上·河北·阶段练习）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】整理得，，，进而比较大小即可. 【详解】由， ， ， 而， 则，即. 故选：D. 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据已知及不等式性质判断大小关系即可. 【详解】因为，所以且，所以． 故选：D 4．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质，即可逐一求解. 【详解】由同向不等式的可加性，知A正确； 取，，，，满足，但，故B错误； 因为，所以，因为，所以，故，即， 所以，所以，故C正确； ，因为， 所以，但的符号不确定，故D错误． 故选：AC． 5．（24-25高一下·贵州黔东南·期中）比较大小： （填“<”或“>”）. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】平方计算判断大小. 【详解】因为，，所以，所以. 故答案为：<. 题型4 作差法比较数（式）的大小 关系 方法 做差法-与0比较 1、作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 2、作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法 1．（25-26高一上·云南普洱·阶段练习）若，则与的大小关系是（    ）. A． B． C． D．随值变化而变化 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法比较大小. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】应用作差法比较大小即可. 【详解】由，所以. 故选：C 3．（25-26高一上·河北·阶段练习）比较大小： ．（填“>”或“<”） 【答案】> 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】通过作差法，将两式相减后分析其符号即可. 【详解】 令函数，其图象为开口向上的抛物线， 故对所有实数成立. 因此， 所以 故答案为：>. 4．（25-26高一上·山西太原·阶段练习）已知，，则与的大小关系为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法判断大小即可. 【详解】， 因为，， 所以，， 所以， 所以. 故答案为： 5． （用不等号“”或“”填空） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】应用作差法比较大小即可. 【详解】， 所以. 故答案为： 题型5 作商法比较数（式）的大小 关系 方法 做商法-与1比较 或 或 1、作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 2、作商法要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式 1．设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】作商法比较代数式的大小 【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题. 2．（2025高二下·全国·专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】作商法比较代数式的大小 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 3．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】作商法比较代数式的大小 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 4．（2025高二上·全国·专题练习）已知且，，，则与的大小关系为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】作商法比较代数式的大小、作差法比较代数式的大小、比较对数式的大小 【分析】当时， 当0＜a＜1时，a3+1a2+1，由此能求出结果． 【详解】． 当时，，所以，则； 当时，，所以，则． 综上可知，当且时，，即． 【点睛】本题考查两数大小的比较，是基础题，解题时要注意对数性质的合理运用． 题型6 由不等式的性质证明不等式 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，证明：． 【答案】证明见解析 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质证明不等式、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】应用不等式的性质得，利用同正相乘符号不变，即可证. 【详解】因为，所以， 所以，即， 因为，所以． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）比较和的大小； （2）已知，，证明： 【答案】（1）；（2）证明见解析 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质证明不等式、作差法比较代数式的大小 【分析】（1）展开后作差比较大小； （2）根据不等式的性质先证明，然后证明，最后再证明. 【详解】（1）因为， 所以. （2）证明：因为，所以，， 于是，即， 由，得. 3．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质证明不等式、利用不等式求值或取值范围 【分析】（1）根据条件，利用不等式的性质，即可求解； （2）通过作差，得到，再根据条件，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以， 当，时，则，，此时， 当，时，则，此时，得到， 当，时，则，此时，得到， 当，时，， 又当或时，， 综上，. （2）因为， 又，，则，， 所以，得到. 4．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质证明不等式、作差法比较代数式的大小 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 题型7 利用不等式求值或取值范围 在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系． 1．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】由求出参数，再由不等式的性质求范围. 【详解】设， 所以，解得，所以， 所以，所以的取值范围为. 故选：B 2．（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】令，得到，求得，得到，即可求解. 【详解】令，联立方程组，解得 ， 则， 因为，可得， 所以，所以，即. 故选：B. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】已知的范围求的最小值，用待定系数法或换元法求解. 【详解】法一：设 故且，所以，故， 由于，则， 所以， 整理得，故最小值为， 此时由，可得； 法二：设，则，所以， 由于，所以，故， 即，故最小值为，同法可得． 故选：B 4．（25-26高一上·湖北·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围是(_________)． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】利用不等式的性质先求出的范围，再求的范围，即得答案. 【详解】由，可得， 则，所以的取值范围是. 故答案为：. 5．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以， 又，两不等式式相加可得， 则的取值范围为. 故答案为：. 6．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，，则的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】先设出，求出，，再结合不等式的性质解出即可； 【详解】令，则解得， 故，由，得， 又，故，即． 故答案为： 题型8 糖水不等式 糖水不等式：若，，则一定有，或者． 1．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即. 【详解】这一事实表示为一个不等式为． 证明：， 又，， ，即， 即. 故选： 2．若，则，，，按由小到大的顺序排列为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】根据不等式的性质，利用怍差法求解. 【详解】， 因为， 所以， 所以， ， 因为， 所以， 所以， ， 因为， 所以， 所以， 所以。 故选：A 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 3．（24-25高一上·福建莆田·期末）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据给定的信息，利用不等式的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，，则，B错误. 对于C，由，得，C正确； 对于D，，D错误； 故选：C 4．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据题意可知：在糖水中加入糖后，糖水浓度变大了，所以糖水变甜了. 【详解】原糖水的浓度为，加入糖后糖水的浓度为，加入糖后糖水浓度变大了， 所以. 故选：D 5．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），下列不等式中表示糖水变甜的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】作差法比较代数式的大小 【解析】根据生活常识可知，糖水变甜即代表糖水中糖的浓度变大，即可解出． 【详解】因为糖水变甜即代表糖水中糖的浓度变大，，所以． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于容易题． 一、单选题 1．（25-26高一上·河南郑州·阶段练习）下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】对于A，取，可得，由此判断A，对于B，先求的范围，利用不等式的可加性求的范围，判断B，对于C，由不等式性质可得，利用不等式的性质证明，判断C，对于D，先证明，由此证明，判断D. 【详解】对于A，取，由，可得，A错误， 对于B，因为，故，又， 所以，B正确， 对于C，因为，所以， 所以，又， 所以，C正确， 对于D，因为， 所以， 所以，D正确， 故选：A. 2．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】A选项，；BC选项，利用不等式的性质可得；D选项，作差法比较大小. 【详解】A选项，因为，所以，A错误； BC选项，因为，所以，， 所以，，BC错误； D选项，，故，D正确. 故选：D 3．（2025高三·全国·专题练习）若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法即可求解. 【详解】由题意有， 因为，所以，， 所以，即． 故选：A． 4．（25-26高一上·吉林四平·阶段练习）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据不等式的性质求的取值范围. 【详解】由； 又， 两式相加得：， 即. 故选：C 5．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，下面能符合这一事实的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】下列不等式中表示糖水变甜即糖的浓度增大，利用溶液的浓度计算公式即可得出结论． 【详解】解：依题意糖水变甜即糖的浓度增大，因此正确． 故选：． 6．（25-26高一上·全国·课后作业）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据题意分析加糖前后糖水浓度的变化即可求解. 【详解】加入克糖后糖水变甜了，即糖水的浓度增加了. 加糖之前，糖水的浓度为；加糖之后，糖水的浓度为，所以. 故选：A. 二、多选题 7．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）（多选题）如果，则下列选项不正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据特殊值以及不等式的性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，如，则，所以A选项不正确. B选项，若，所以，则，所以B选项正确. C选项，若，根据不等式的性质可知，所以C选项正确. D选项，若，如，此时，所以D选项不正确. 故选：AD 三、填空题 8．（23-24高三上·河南·开学考试）已知：，则大小关系是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据给定条件，利用作差法结合不等式性判断作答. 【详解】由，得，因此， 显然，则， 所以大小关系是. 故答案为： 9．（25-26高一上·河南郑州·阶段练习）已知，求的取值范围 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】先将表示成关于与的表达式，再利用不等式的性质即可求得答案. 【详解】设，则， 解得，则， 因， 则， 故， 即的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 10．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：． 【答案】（1） ；（2）证明见解析 ． 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质证明不等式、作差法比较代数式的大小 【分析】（1）利用比较法，作差即可判断大小： （2）结合不等式性质即可证明． 【详解】解：（1） . （2）证明：因为，可得， 则，又，可得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 不等式的基本性质 题型1 不等式的性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向 可加性 同向同正 可乘性 可乘方性 1．（25-26高一上·江西上饶·阶段练习）若，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 3．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）（多选题）已知均为实数，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若， 4．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（多选题）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型2 由已知条件判断所给不等式是否正确 1．（25-26高三上·河南·阶段练习）若，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·陕西·开学考试）若，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·贵州六盘水·阶段练习）（多选题）如果满足，且，那么下列选项成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·山西·阶段练习）（多选题）设，，则（    ） A． B． C． D． 题型3 由不等式的性质比较数（式）的大小 1．（25-26高一上·云南玉溪·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北·阶段练习）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·贵州黔东南·期中）比较大小： （填“<”或“>”）. 题型4 作差法比较数（式）的大小 关系 方法 做差法-与0比较 1、作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 2、作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法 1．（25-26高一上·云南普洱·阶段练习）若，则与的大小关系是（    ）. A． B． C． D．随值变化而变化 2．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 3．（25-26高一上·河北·阶段练习）比较大小： ．（填“>”或“<”） 4．（25-26高一上·山西太原·阶段练习）已知，，则与的大小关系为 . 5． （用不等号“”或“”填空） 题型5 作商法比较数（式）的大小 关系 方法 做商法-与1比较 或 或 1、作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 2、作商法要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式 1．设，，则（    ）． A． B． C． D． 2．（2025高二下·全国·专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 3．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 4．（2025高二上·全国·专题练习）已知且，，，则与的大小关系为 ． 题型6 由不等式的性质证明不等式 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，证明：． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）比较和的大小； （2）已知，，证明： 3．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 4．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：． 题型7 利用不等式求值或取值范围 在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系． 1．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖北·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围是(_________)． 5．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）已知，，则的取值范围为 . 6．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，，则的取值范围为 ． 题型8 糖水不等式 糖水不等式：若，，则一定有，或者． 1．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 2．若，则，，，按由小到大的顺序排列为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建莆田·期末）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（    ） A． B． C． D． 5．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），下列不等式中表示糖水变甜的是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（25-26高一上·河南郑州·阶段练习）下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 2．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·吉林四平·阶段练习）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，下面能符合这一事实的不等式为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·课后作业）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）（多选题）如果，则下列选项不正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 8．（23-24高三上·河南·开学考试）已知：，则大小关系是 ． 9．（25-26高一上·河南郑州·阶段练习）已知，求的取值范围 . 四、解答题 10．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $