22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质讲义2025-2026学年人教版（2012）九年级上册

本初中数学讲义聚焦二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质，系统梳理顶点式与一般式互化，五点定形法作图，图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性及最值，以及a、b、c和判别式的符号关系，构建完整知识支架。 该资料以知识转化与应用为主线，通过配方训练培养推理意识，五点定形法发展几何直观，典型例题与分层练习提升运算能力和应用意识。课中辅助教师高效教学，课后助力学生回顾强化，通过多样化习题查漏补缺。

二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质讲义 2025-2026学年人教版九年级上册 【知识梳理】 知识点一：顶点式化成一般式 　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 知识点二：一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 知识点三：二次函数的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 知识点四：二次函数图象与性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 知识五.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 知识点六：求二次函数的最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，． 要点诠释： 如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况． 【典型例题与巩固练习】 类型一：一般式化成顶点式 【典型例题】 例1．将二次函数化成的形式，则变化后正确的是（   ） A． B． C． D． 【巩固训练】 1．将二次函数化为的形式，结果为（     ） A． B． C． D． 2．用配方法将二次函数化为的形式为（　　） A． B． C． D． 3.把二次函数y=x2+2x-4配方成顶点式为（       ） A．y=（x-1）2-5 B．y=（x+1）2-5 C．y=（x+2）2-4 D．y=（x-3）2+5 类型二：二次函数图象与性质 【典型例题】 例2．对于抛物线y＝﹣x2+x﹣4，下列说法正确的是（    ） A．y随x的增大而减少 B．当x＝2时，y有最大值﹣3 C．顶点坐标为(﹣2，﹣7) D．抛物线与x轴有两个交点 【巩固训练】 1．若点，是二次函数图象上的两点，则此二次函数的对称轴是（ ） A.直线x=-1 B.直线 C.直线x=1 D.直线 2．若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2＋4x﹣1的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 3．已知二次函数中的满足下表： x 0 1 2 4 0 0 根据表中信息， 下列判断不正确的是（　　） A．开口向上 B．当时， C．图象的对称轴是直线 D．函数最小值是 类型三：二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 【典型例题】 例3．如图，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，则下列四个结论：①；②；③时，；④.其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【巩固训练】 1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论不正确的是（　　） A．abc＞0 B．4a﹣2b+c＞0 C．3b+2c＜0 D．m（am+b）+b＜a（m是任意实数） 2．已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论： ①；②；③；④， 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，的对称轴为，给出下列结论①；②；③；④为任意实数）．其中正确的序号是 ．          类型四：求二次函数的最大（小）值 【典型例题】 例4．已知关于x的二次函数，当时，y在时取得最大值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固训练】 1．二次函数，当时，y的取值范围为　　 A． B． C． D． 2．当时，二次函数的最小值为8，则的值为（    ） A．或5 B．5或8 C．或8 D．0或5 3．已知二次函数，当时，其最小值为，最大值为3，则的最大值是 ． 【综合训练】 1．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ） A．y=（x+1）2+4 B．y=（x﹣1）2+4 C．y=（x+1）2+2 D．y=（x﹣1）2+2 2．若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数 （m为常数），当 时，函数值y的最小值为 ，则m的值为（　　） A． B． C． D． 4．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 5．关于的抛物线经过原点，则 ． 6．抛物线的对称轴是直线 ． 7．将函数的图象先向右平移2个单位再向上平移3个单位后得解析式为，则等于 ． 8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c=0；④a+b+c＞0.其中正确的是　 　. 【答案】 二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质讲义 2025-2026学年人教版九年级上册 【知识梳理】 知识点一：顶点式化成一般式 　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 知识点二：一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 知识点三：二次函数的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 知识点四：二次函数图象与性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 知识五.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 知识点六：求二次函数的最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，． 要点诠释： 如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况． 【典型例题与巩固练习】 类型一：一般式化成顶点式 【典型例题】 例1．将二次函数化成的形式，则变化后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【巩固训练】 1．将二次函数化为的形式，结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 2．用配方法将二次函数化为的形式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 3.把二次函数y=x2+2x-4配方成顶点式为（       ） A．y=（x-1）2-5 B．y=（x+1）2-5 C．y=（x+2）2-4 D．y=（x-3）2+5 【答案】B 类型二：二次函数图象与性质 【典型例题】 例2．对于抛物线y＝﹣x2+x﹣4，下列说法正确的是（    ） A．y随x的增大而减少 B．当x＝2时，y有最大值﹣3 C．顶点坐标为(﹣2，﹣7) D．抛物线与x轴有两个交点 【答案】B 【巩固训练】 1．若点，是二次函数图象上的两点，则此二次函数的对称轴是（ ） A.直线x=-1 B.直线 C.直线x=1 D.直线 【答案】C 2．若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2＋4x﹣1的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 【答案】B 3．已知二次函数中的满足下表： x 0 1 2 4 0 0 根据表中信息， 下列判断不正确的是（　　） A．开口向上 B．当时， C．图象的对称轴是直线 D．函数最小值是 【答案】D 类型三：二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 【典型例题】 例3．如图，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，则下列四个结论：①；②；③时，；④.其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】A 【巩固训练】 1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论不正确的是（　　） A．abc＞0 B．4a﹣2b+c＞0 C．3b+2c＜0 D．m（am+b）+b＜a（m是任意实数） 【答案】D 2．已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论： ①；②；③；④， 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 3．如图，的对称轴为，给出下列结论①；②；③；④为任意实数）．其中正确的序号是 ．          【答案】①②/②① 类型四：求二次函数的最大（小）值 【典型例题】 例4．已知关于x的二次函数，当时，y在时取得最大值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【巩固训练】 1．二次函数，当时，y的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】D 2．当时，二次函数的最小值为8，则的值为（    ） A．或5 B．5或8 C．或8 D．0或5 【答案】C 3．已知二次函数，当时，其最小值为，最大值为3，则的最大值是 ． 【答案】4 【综合训练】 1．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ） A．y=（x+1）2+4 B．y=（x﹣1）2+4 C．y=（x+1）2+2 D．y=（x﹣1）2+2 【答案】D 2．若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3．已知二次函数 （m为常数），当 时，函数值y的最小值为 ，则m的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 4．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 5．关于的抛物线经过原点，则 ． 【答案】 6．抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】． 7．将函数的图象先向右平移2个单位再向上平移3个单位后得解析式为，则等于 ． 【答案】22 8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c=0；④a+b+c＞0.其中正确的是　 　. 【答案】①④ 学科网（北京）股份有限公司 $