22.1二次函数的图象和性质（一）讲义2025-2026学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数的概念及y=ax²、y=ax²+c的图象与性质，从一般形式y=ax²+bx+c（a≠0）出发，梳理b=0或c=0时的特殊形式，通过表格对比不同a值下的开口方向、顶点坐标等性质，构建从概念到图象平移（上加下减）的学习支架。 资料以考点为纲设计典型例题与巩固训练，通过表格对比培养几何直观（数学眼光），借助概念辨析题发展抽象能力（数学思维），课中助力教师分层教学，课后学生可通过练习强化理解，有效弥补知识盲点。

二次函数的图象与性质（一）讲义2025-2026学年 人教版九年级上册 【知识梳理】 知识点一：二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数. 　　若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2. 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式. 知识点二：二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 知识点三：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质 函数 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 y轴 y轴 函数变化 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大. 最大（小）值 当时， 当时， 知识点四：二次函数与之间的关系；（上加下减）. 的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象. 【典型例题与巩固练习】 考点一：二次函数的概念 【典型例题】 例1.下列函数中，是关于x的二次函数的是________(填序号)． (1)y＝-3x2；(2)；(3)y＝3x2-4-x3；(4)； (5)y＝ax2+3x+6；(6)． 【巩固训练】 1.下列函数一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2.下列函数中， 属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 【典型例题】 例2.如果函数是二次函数，求m的值． 【巩固训练】 1.函数是二次函数，则m的值为（    ） A．1或 B．1 C．或3 D．3 2．若函数是y关于x的二次函数时，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 3.如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是 ． 考点二：二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质 【典型例题】 例3．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝a1x2，②y＝a2x2，③y＝a3x2的图象，比较a1，a2，a3的大小是 ． 【巩固训练】 1．抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（　　） A．y=x2 B．y=﹣3x2 C．y=﹣x2 D．y=2x2 2.二次函数与的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则 ． 3.不计算比较大小：函数的图象左侧上有两点A（a，15），B（b，0.5），则a b． 考点三：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质 【典型例题】 例4．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题． (1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线； (2)抛物线，开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________； (3)抛物线，当x________时，随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________． 【巩固训练】 1.下列关于二次函数的图像与性质的描述，正确的是(    ) A．该函数图像经过原点 B．该函数图像在对称轴右侧部分是上升的 C．该函数图像的开口向下 D．该函数图像可由函数的图像平移得到 2.抛物线的开口方向是（    ） A．向下 B．向上 C．向左 D．向右 3.二次函数的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【综合训练】 1．下列函数：①; ②; ③; ④,是二次函数的有:( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在平面直角坐标系中，抛物线y=2x2的开口方向是（　　） A．向上 B．向下 C．向左 D． 向右 3．抛物线y＝x2﹣3的顶点坐标、对称轴是（　　） A．（0，3），x＝3 B．（0，﹣3），x＝0 C．（3，0），x＝3 D．（3，0），x＝0 4.二次函数y＝﹣x2﹣4的图象经过的象限为（　　） A．第一象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第三象限、第四象限D．第一象限、第三象限、第四象限 5．下列关于二次函数，下列说法正确的是（    ）． A．它的开口方向向下 B．它的顶点坐标是 C．当时，随的增大而增大 D．当时，有最小值是3 6．二次函数y=3x﹣5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为________． 7．已知y＝+3是x的二次函数，则m＝_____． 8.已知抛物线经过          三点，则、、的大小关系是______；（用“<”连接） 【答案】 二次函数的图象与性质（一）讲义2025-2026学年 人教版九年级上册 【知识梳理】 知识点一：二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数. 　　若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2. 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式. 知识点二：二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 知识点三：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质 函数 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 y轴 y轴 函数变化 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大. 最大（小）值 当时， 当时， 知识点四：二次函数与之间的关系；（上加下减）. 的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象. 【典型例题与巩固练习】 考点一：二次函数的概念 【典型例题】 例1.下列函数中，是关于x的二次函数的是________(填序号)． (1)y＝-3x2；(2)；(3)y＝3x2-4-x3；(4)； (5)y＝ax2+3x+6；(6)． 【答案】(1)、(4)； 【巩固训练】 1.下列函数一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 2.下列函数中， 属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3．二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 【答案】A 【典型例题】 例2.如果函数是二次函数，求m的值． 【答案】 根据题意，得 解得m＝0． 【巩固训练】 1.函数是二次函数，则m的值为（    ） A．1或 B．1 C．或3 D．3 【答案】D 2．若函数是y关于x的二次函数时，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 3.如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是 ． 【答案】 考点二：二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质 【典型例题】 例3．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝a1x2，②y＝a2x2，③y＝a3x2的图象，比较a1，a2，a3的大小是 ． 【答案】a1＞a2＞a3 【巩固训练】 1．抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（　　） A．y=x2 B．y=﹣3x2 C．y=﹣x2 D．y=2x2 【答案】A 2.二次函数与的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则 ． 【答案】2； 3.不计算比较大小：函数的图象左侧上有两点A（a，15），B（b，0.5），则a b． 【答案】＜. 考点三：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质 【典型例题】 例4．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题． (1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线； (2)抛物线，开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________； (3)抛物线，当x________时，随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________． 【答案】 (1)下； l ； (2)向下； y轴； (0，1)； (3)＞0； ＝0； 大； 大 ； 1. 【巩固训练】 1.下列关于二次函数的图像与性质的描述，正确的是(    ) A．该函数图像经过原点 B．该函数图像在对称轴右侧部分是上升的 C．该函数图像的开口向下 D．该函数图像可由函数的图像平移得到 【答案】C 2.抛物线的开口方向是（    ） A．向下 B．向上 C．向左 D．向右 【答案】A 3.二次函数的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【综合训练】 1．下列函数：①; ②; ③; ④,是二次函数的有:( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 2．在平面直角坐标系中，抛物线y=2x2的开口方向是（　　） A．向上 B．向下 C．向左 D． 向右 【答案】A 3．抛物线y＝x2﹣3的顶点坐标、对称轴是（　　） A．（0，3），x＝3 B．（0，﹣3），x＝0 C．（3，0），x＝3 D．（3，0），x＝0 【答案】B 4.二次函数y＝﹣x2﹣4的图象经过的象限为（　　） A．第一象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第三象限、第四象限D．第一象限、第三象限、第四象限 【答案】C 5．下列关于二次函数，下列说法正确的是（    ）． A．它的开口方向向下 B．它的顶点坐标是 C．当时，随的增大而增大 D．当时，有最小值是3 【答案】D 6．二次函数y=3x﹣5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为________． 【答案】﹣5、3、 7．已知y＝+3是x的二次函数，则m＝_____． 【答案】-1 8.已知抛物线经过          三点，则、、的大小关系是______；（用“<”连接） 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $