2.3二次根式讲义2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

二次根式 学习目标 1.理解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由。 2.掌握二次根式的性质，并能运用这些性质进行化简和计算。 3.学会二次根式的加、减、乘、除运算，能够熟练地将二次根式化简为最简二次根式。 4.通过对二次根式的学习，培养逻辑思维能力和运算能力，提高解决实际问题的能力。 知识点讲解 (一)二次根式的定义 一般地，我们把形如√(a≥0)的式子叫做二次根式，√"称为二次根号，a叫做被开方数。 例如：√4,25，佳≥0)等都是二次根式。 (二)二次根式的性质 1.(同=a≥) 例如：（⑤2=5√2=日 例如：当a=3时，2=3：当a=-3时， -3=-=3 (三)二次根式的乘除 1.二次根式的乘法法则：V6=b(a≥0，b≥0) 例如：55=3×5=15 2.二次根式的除法法则： =la≥0，b>0) :要-厚=4=2 (四)最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 1.被开方数不含分母； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 例如：√5,3x(x)不含能开得尽方的因数或因式)是最简二次根式；而停，√不 是最简二次根式，V后被开方数含分母，V⑧=V4×2=22,被开方数8)含能开得尽 方的因数(4)。 (五)二次根式的加减 1.先将二次根式化为最简二次根式； 2.再将被开方数相同的二次根式进行合并。 例如：V§+V18=2V2+3V2=2+3V5=52 例题解析 (一)二次根式的定义 例1：下列各式中，一定是二次根式的是() A(N-2 B.(2a C.(Va2+1) D.a-1 (二)二次根式的性质 例2：计算3--5 (三)二次根式的乘除 例3：计算V18÷V2×V3 (四)最简二次根式与二次根式的加减 例4：先化简，再求值：(《48-V7万÷V3+V悟×V6。 巩固练习 (一)选择题 1.下列式子中，是二次根式的是() A(N-7 B.(W7 c D.(⑤ 2若x-3=3-x,则的取值范围是() A.x≤3 B.(X<3) c.(x≥3 D.(x>3) 3.计算2×V6的结果是() A. (2w B 32 26 D.VB) 4.化简V的结果是() A. () B ⑨) C (2 D.22 (二) 填空题 1.当(x) 时，二次根式V区-5有意义。 2.计算Vx-5= ------ 3.化简V27=---- (三)解答题 1.计算：V12+V27-√48 2.计算：V24÷V3-V停×√12+48二次根式 学习目标 1.理解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由。 2.掌握二次根式的性质，并能运用这些性质进行化简和计算。 3.学会二次根式的加、减、乘、除运算，能够熟练地将二次根式化简为最简二次根式。 4.通过对二次根式的学习，培养逻辑思维能力和运算能力，提高解决实际问题的能力。 知识点讲解 (一)二次根式的定义 一般地，我们把形如√(a≥0)的式子叫做二次根式，√"称为二次根号，a叫做被开方数。 例如：√4,25，佳≥0)等都是二次根式。 (二)二次根式的性质 1.(同=a≥) 例如：（⑤2=5√2=日 例如：当a=3时，2=3：当a=-3时， -3=-=3 (三)二次根式的乘除 1.二次根式的乘法法则：V6=b(a≥0，b≥0) 例如：55=3×5=15 2.二次根式的除法法则： =la≥0，b>0) :要-厚=4=2 (四)最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 1.被开方数不含分母； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 例如：√5,3x(x)不含能开得尽方的因数或因式)是最简二次根式；而停，√不 是最简二次根式，V后被开方数含分母，V⑧=V4×2=22,被开方数8)含能开得尽 方的因数(4)。 (五)二次根式的加减 1.先将二次根式化为最简二次根式： 2.再将被开方数相同的二次根式进行合并。 例如：V§+V18=2V2+32=2+3V5=5V2 例题解析 (一)二次根式的定义 例1：下列各式中，一定是二次根式的是() A(N-2 B.(2a c.(Va2+1 D.(Va-1 答案：C 解析：选项A,因为-2<0，不满足二次根式被开方数a≥0的条件，所以√一2不是二次根式： 选项B,2a是三次根式，不是二次根式：选项C,因为a2≥0，所以a2+1≥1>0，满足二 次根式的定义，√a2+1是二次根式；选项D,当(a<1)时，(a-1<0),不满足二次根式被开方 数a≥0的条件，所以√a-1不一定是二次根式。 (二)二次根式的性质 例2：计算同°-【-5 解： w阿-V-5 === 3--5 3-5 -2 (三)二次根式的乘除 例3：计算V18÷2×及 解： V8÷V2×V3 厚×5 5x5 3×V5 35 (四)最简二次根式与二次根式的加减 例4：先化简，再求值： (48-73÷3+V月×6。 解： (V48-75)÷5+悟×后 =（W16×3-V25×3÷V5+×6 = (45-53÷5+5 (-同÷5+5 = -1+5 巩固练习 (一)选择题 1.下列式子中，是二次根式的是() A(N-7 B.(7 c() D.⑤ 2x- =3一x,则x的取值范围是() A.x≤3 B.(x<3) c.x≥3) D.(x>3) 3.计算2×V6的结果是() A. (2 B 3② C (2W6 . 4.化简√号的结果是() A. () B ) (2 D.22 (二)填空题 1.当(x) 时，二次根式V公一5有意义。 2.计算V8-5 3.化简V27= (三)解答题 1.计算：2+27-48 2.计算：V24÷5-V度×V2+V48 巩固练习答案 (一)选择题 1.答案：D 解析：选项A,(7<0),不满足二次根式被开方数a≥0，不是二次根式；选项B,万 是三次根式，不是二次根式；选项C,当(x<0)时，V公无意义，不一定是二次根式：选 项D,(15>0),V15是二次根式。 2.答案：A 解析：因为x-3=收-3=3-X,限据√区=，所以x-3≤0，即x≤3 3.答案：A 解析：V2×V6=2×6=V12=V4×3=23。 4.答案：B 解断：--方=器-导。 (二)填空题 1.答案：25 解析：要使二次根式V区-5有意义，则x-5≥0，解得x≥5。 2.答案：5 解析：限据(Va=(a≥0，所以⑤=5。 3.答案：3V3 解析：V27=⑨×3=V5×V5=35。 +9-2 = 师+9趴-？×叭 师+9-旷 e×9小+I×卧-显 8外+小×卧-外÷ 湖乙 -+z) 中-8+？ ×9-8×6+8×= 8卧-L卧+T价 揭T 鼎搏（三)