专题05 圆锥曲线的综合应用（期中真题汇编，江西专用）高二数学上学期北师大版

学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题05圆锥曲线的综合应用 ☆3大高频考点概览 考点01直线与圆锥曲线的综合 考点02圆锥曲线的最值和范围问题 考点03圆锥曲线的定点和定值问题 考点01 直线与圆锥曲线的综合 1.(24-25高二上江西南昌第三中学·期中)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线！ 与C交于A,B两点，|AB|=8. (1)求1的方程： (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程. 2.(24-25高二上·江西南昌第一中学期中)求符合下列要求的曲线的标准方程： ①)已知椭圆的焦点在x轴，且长轴长为12，离心率为 ②)已知双曲线以椭圆式 * 85 =1长轴的端点为焦点，且经过点(3,10)： 32 3.(24-25高二上江西赣州十八县(、区)二十四校·期中)已知曲线C:mx+ny2=1经过点P .1 (1)若C经过点Q3,0,求C的离心率： (2)若C表示焦点在y轴上的椭圆，求m的取值范围. 42425有三上红西宜春第-中学期中已知流C若+片=1o>b>0的有您点下与0物袋广=4的 焦点重合，且椭圆的离心率为，3 (1)求椭圆C的方程： (2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M,N两点，MN=8,求直线方程. 1/10 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 2425高西宜春学期肥吧知椭圆g:×+等1Q>b>0的个顶点为A2.0”离心多 为2直线y=kX-1与箱圆C交于不同的两点M,N 2 (1)求椭圆C的方程： (2)当k=1时，求△AMN的面积. 6425商三士江清碳新横南年简大学附区中学期丰但知双量线C菩-若-1Q>0,b>0的商心率为 V7 2， 焦点到渐近线的距离为3， (1)求双曲线C的标准方程： (2)若O为坐标原点，直线：X-y+2=0交双曲线C于A,B两点，求△OAB的面积. 7.(24-25高二上江西赣州赣南师范大学附属中学·期中)己知F为抛物线C:x2=2pyp>0)的焦点，且C 上一点m,3到点F的距离为4. (1)求C的方程： (2)若斜率为2的直线1与C交于A,B两点，且AF+BF=24,求1的方程. 8.24-25高二上江西南昌第一中学期中)已知抛物线X=2py(p>0)的 0的焦点为p过圆x2+y-1=1的 圆心的直线交抛物线与圆分别为A、C、D、B(从左到右)· VA 0 (1)若抛物线的焦点与圆心重合，求抛物线的方程： (2)若抛物线和圆只有一个公共点，求p的取值范围 (3)在(1)的条件下，△AOC,△BOC的面积满足：S△Aoc=4S△BOD,求弦AB的长. 人4.25高西乐平中学期中已知圆影+1a>b>0阿分别E0,-5以0，山 2/10 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 点A1、A2分别为椭圆的长轴端点，点B为椭圆的短轴端点，且3a=4b2. (1)求椭圆的方程： (2)设点P在这个椭圆上，且PF-PF2=1,求PF的长. DQ425商二七江西为B果雀笔第中学期已知双线C:苔芳-1o>0,b>0备鞋长为2 且离心率为 3 3 (1)求C的方程和焦点坐标： (2)设C的右焦点为F,过F的直线交C于A,B两点，若AB中点的横坐标为3，求AB. 11.(24-25高二上·江西鹰潭余江区第一中学期中)已知抛物线C:y=2pxp>0上的点P1,m到其焦点F 的距离为2. (1)求C的方程及焦点F的坐标， (2)过点2,0的直线交抛物线于A,B两点，且△OAB的面积为8，求直线的方程. 12.2425商二上江西南昌新民外语学校期中)已知椭圆C:式+之 a+=1(a>b>0)的长轴长为6，离心率 2 e= 31 (1)求椭圆C的标准方程： (2)若直线y=x+m与椭圆C相交于A,B两点，且6ABV:152 ,求实数m的值. 目目 考点02 圆维曲线的最值和范围问题 有上南昌中已知题C名+a>6>0的左，有集点为P,离心勇 2过F,F分别作直线l,交C于MN和n,Q,已知△PF,Q的周长为8 3/10 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线L1与l2平行，顺次连接构成四边形PQNM,求四边形PQNM面积的取值范围. 2.(24-25高二上·江西部分学校·期中)已知直线l:y=x-m(m∈R)与抛物线C:x=2py(p>0)交于M, N两点，且线段MN的中点P的横坐标为1. (I)试确定p的值： 2)若直线与椭圆式十 53 5+=1b>0有公共点，且抛物线C的准线与此椭圆的一个交点是0 4,yo, 求m的取值范围. .2425高二上江西部分学校期中)已知双曲线二=1b>0)的左、右焦点分别为F,F,点P为 4b2 右支上一点，且直线PF2与X轴垂直. (1)证明：PF1+PF2=b+4: (2)若∠F1PF2的角平分线恰好过点D(1,0),求△PF1F2的面积 4.(24-25高二上·江西部分学校期中)法国数学家蒙日在研究椭圆时发现：椭圆上任意两条互相垂直的切线 的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.这个圆称为该椭圆的蒙日圆，此结论一般称为蒙日圆定理. 0)求椭圆B:父+兰-1的蒙日圆方程： 32 ②)对于椭圆C:X+1a>b≥0，O是椭圆C的中心，点Pxo,Vo是椭圆C的蒙日圆上一点，PM, PN分别切椭圆C于点M,N,且切点弦MN所在的直线方程是 Xox,yoy 2+6=1 (i)证明：OP平分切点弦MN; 4/10 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (ii)若延长PM,PN,分别交椭圆C的蒙日圆于点S,T,证明：MN‖ST. 1 5.(24-25高二上·江西赣州赣南师范大学附属中学·期中)己知椭圆C:一， +y=1a>b>0的离心率为 右顶点Q与C的上，下项点所围成的三角形面积为2V3. (1)求C的方程. (②不过点Q的动直线与C交于A。B两点，直线QA与QB的斜率之积恒为子， ()证明：直线过定点： (i)求△QAB面积的最大值. 6045商三上红丙临别第-中学中已英直线y=-K41与相西若+片=1ob>0)相交于A,B两点 若候圆的离心幸为。失距为2，求袋段AB的K代 (2)若OA⊥OB(其中O为坐标原点)，当椭圆的离心率e∈ 13 3’2 时，求椭圆的长轴长的最大值. 7.2425高二上江西景德镇一中期中)设椭圆C:X十 令+Ia>b>O的左石焦点分别为F'F2:A,B 是该椭圆C的右顶点和上顶点，且AB=5,若该椭圆的离心率为 3 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线I与椭圆C交于P,Q两点，且与x轴交于点D(xD>a).若直线PF2与直线QF,的倾斜角互补，求 △PQF2的面积的最大值， 82425商二上红西商后第九学期门已加双商战E:号卡=10>0，b>0)的、有货点分别 为F1,F2,离心率为2，P是E的右支上一点，且PF1⊥PF2,△PF1F的面积为3. (1)求E的方程； (2)若E的左、右顶点分别为A,B,过点F的直线1与E的右支交于M,N两点，直线AM和BN的斜率分 别即为水w利秋kN,求k2w+号的最小值。 2 5/10 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 9.(24-25高二上·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)给定椭圆C: 父+=1a>b>0,称圆心在原点 O,半径是ā+b的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为F√2,0，其短轴的一个端点到点 F的距离为3. (1)求椭圆C和其“准圆”的方程： (2)若点A,B是椭圆C的“准圆”与x轴的两交点，P是椭圆C上的一个动点，求A卫·B2的取值范围. 10.(24-25高二上江西临川第一中学·期中)若抛物线C:y2=2px(p>0)上的点P与点Q(4,1)关于直线 4x-2y-9=0对称，F是抛物线的焦点. (1)求p的值： (2)若点K是抛物线上使得KQ+KF取得最小值的点，A,B是抛物线上不同于点K的两点，且有 KA·KB=0,求证：直线AB恒过定点， 11.(24-25高二上·江西南昌县莲塘第一中学·期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上一 点P横坐标为3，且点P到焦点F的距离为5. (1)求抛物线C的方程： (2)过点(2,0)作直线交抛物线于点A,B,求△ABO面积的最小值（其中O为坐标原点）· 目目 考点03 圆锥曲线的定点问题 1.24-25高二上江西宜春第一中学期中)已知椭圆C:x口+y巴 a☐2'b☐2 =1a>b>0的左、右焦点分别为F1, F2,左顶点为A,离心率为2， 短轴长为2V3, (1)求椭圆C的标准方程： (2)不垂直于坐标轴的直线l交椭圆于M,N两点，M,N与A不重合，直线AM与AN的斜率之积为 3 28 证明：直线过定点， Q2+6=1a>b>0经过点 2.2425高二上江西镀州十八县（、区)三十四校期中)已知椭圆c:号+之 6/10 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 且右焦点F为3,0 (1)求C的方程： (2)若直线x=y+1m≠0与C交于点A,B,点B关于x轴的对称点为B,判断直线AB是否过定点，若过 定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由 3.(24-25高二上·江西南昌第三中学期中)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为-25,0，离心率 为5. ()求C的方程： (2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点-4,0的直线与C的左支交于M,N两点，M在第二象限，直 线MA与NA2交于点P.证明：点P在定直线上 4.(24-25高二上·江西景德镇乐平私立洪马中学·期中)已知双曲线C的渐近线方程为y=±- 3 x,且过点 P(3,V2). ()求C的方程： (2)设Q(1,0),直线x=t(t∈R)不经过P点且与C相交于A,B两点，若直线BQ与C交于另一点D,求证： 直线AD过定点. 5.(24-25高二上·江西景德镇乐平私立洪马中学·期中)已知以F1,0为焦点的抛物线C1的顶点为原点，点P 是抛物线C1的准线上任意一点，过点P作抛物线C1的两条切线PA、PB,其中A、B为切点，设直线PA、 PB的斜率分别为k1、k2: (1)若点P的纵坐标为1，计算k1·k2的值： (2)求证：直线AB过定点，并求出这个定点的坐标 目目 考点04 圆锥曲线的定值问题 7/10 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 1.(24-25高二上江西宜春丰城中学期中)己知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F2,0, (1)求抛物线的标准方程： (2)抛物线C在x轴上方一点A的横坐标为2，过点A作两条倾斜角互补的直线，与曲线C的另一个交点分别 为B,C,求证：直线BC的斜率为定值. 2,2425高二上江西宜春第一中学期申如图，已知椭圆CX+y=1和抛物线C2:X=2pyP>0,C 的焦点F是C1的上顶点，过F的直线交C2于M、N两点，连接NO、MO并延长之，分别交C1于A、B两 点，连接AB,设△OMN、△OAB的面积分别为S△oMN、SAOAB· (1)求p的值： (2)求OM·ON的值； 6)求气0心的取值范围， SAOAB 3.2425高=上江西南昌第-中学期中如图，已知圈c爷兰=1，点P(3,1小斜率为的直线 124 与椭圆C相交于异于点P的M,N两点，且直线PM,PN均不与x轴垂直. 8/10 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A (1)若MN=10,求MN的方程； (2)记直线PM的斜率为k,直线PN的斜率为k2,证明：kk2为定值， 4.2425高二上江西南昌第十九中学期中)设F1,F,为椭圆C:Y+少 =1a>b>0的左、右焦点，点 A3,在椭圆C上，点A关于原点的对称点为B,四边形AF,BF,的面积为3， (1)求椭圆C的方程； 1 1 ②若过F,的直线交椭图C于M,N两点，求证：F,MF,N为定值 5.(24-25高二上江西南昌第十九中学·期中)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,若△ABC的三个顶点都在 抛物线E上，且满足FA+FB+FC=0,则称该三角形为“核心三角形”. (1)设“核心三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为2，求直线AB的方程； (2)已知△ABC是“核心三角形”，证明：△ABC三个顶点的横坐标都小于2. 242高上训西银会区第学期吧知将园C各+0>6>0的左右顶点分器 A,B,R是椭圆C上异于AB的动点，满足k:ks=-子当R为上顶点时，△ABR的面积为8. (1)求椭圆C的标准方程： (2)过点M-6,-2的直线与椭圆C交于不同的两点D,E(D,E与A、B不重合)，直线AD,AE分别与直 线x=-6交于P,Q两点，求MP:MQ的值 。225高上两德乐滨马中学期中尼知精网C名+红Q>6>0经过点0，服： 9/10 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 离心率为2 左右焦点分别为F1-c,0,F2(c,0) (1)求椭圆C的方程： 3 (2)P,N是C上异于M的两点，若直线PM与直线PN的斜率之积为，证明：M,N两点的横坐标之 和为常数. 10/10 专题05 圆锥曲线的综合应用 3大高频考点概览 考点01 直线与圆锥曲线的综合 考点02 圆锥曲线的最值和范围问题 考点03 圆锥曲线的定点和定值问题 地 城 考点01 直线与圆锥曲线的综合 1．(24-25高二上·江西南昌第三中学·期中)设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 【详解】（1）［方法一］：【通性通法】焦点弦的弦长公式的应用 由题意得，设直线l的方程为． 设，由得． ，故． 所以． 由题设知，解得（舍去）或．因此l的方程为． ［方法二］：弦长公式的应用 由题意得，设直线l的方程为． 设，则由得． ，由，解得（舍去）或．因此直线l的方程为． ［方法三］：【最优解】焦点弦的弦长公式的应用 设直线l的倾斜角为，则焦点弦，解得，即．因为斜率，所以． 而抛物线焦点为，故直线l的方程为． ［方法四］：直线参数方程中的弦长公式应用 由题意知，可设直线l的参数方程为（t为参数）． 代入整理得． 设两根为，则． 由，解得． 因为，所以，因此直线l的参数方程为 故直线l的普通方程为． ［方法五］：【最优解】极坐标方程的应用 以点F为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，此时抛物线的极坐标方程为． 设，由题意得，解得，即． 所以直线l的方程为． （2）［方法一］：【最优解】利用圆的几何性质求方程 由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为 ，即． 设所求圆的圆心坐标为，则 解得或， 因此所求圆的方程为或． ［方法二］：硬算求解 由题意可知，抛物线C的准线为，所求圆与准线相切． 设圆心为，则所求圆的半径为． 由得． 所以， 解得或， 所以，所求圆的方程为或． 【整体点评】（1）方法一：根据弦过焦点，选择焦点弦长公式运算，属于通性通法； 方法二：直接根据一般的弦长公式硬算，是解决弦长问题的一般解法； 方法三：根据弦过焦点，选择含直线倾斜角的焦点弦长公式，计算简单，属于最优解； 方法四：根据直线参数方程中的弦长公式，利用参数的几何意义运算； 方法五：根据抛物线的极坐标方程，利用极径的意义求解，计算简单，也是该题的最优解． （2）方法一：根据圆的几何性质确定圆心位置，再根据直线与圆的位置关系算出，是求圆的方程的最优解； 方法二：直接根据圆经过两点，硬算，思想简单，运算相对复杂． 2．(24-25高二上·江西南昌第一中学·期中)求符合下列要求的曲线的标准方程： (1)已知椭圆的焦点在轴，且长轴长为，离心率为； (2)已知双曲线以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点. 【详解】（1）由已知条件可设所求的椭圆标准方程为（其中） 则，∴， 且离心率为，∴ ∴ 故所求的椭圆的标准方程为 （2）由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且. 设双曲线的标准方程为， 则有，， 解得，. 故所求双曲线的标准方程为. 3．(24-25高二上·江西赣州十八县（、区）二十四校·期中)已知曲线经过点． (1)若经过点，求的离心率； (2)若表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围． 【详解】（1）因为点在上，所以，， 因为经过点，所以，， 代入得， 所以的标准方程为， ，，， 所以的离心率． （2）的方程可化为， 因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，即， 因为，所以， 解得，所以的取值范围是． 4．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期中)已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，，求直线方程． 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，所以椭圆中， 因为椭圆的离心率为，即， 所以，， 所以椭圆方程为 （2）当直线斜率不存在时，易知此时，不合题意； 所以直线斜率存在，设过抛物线焦点的直线方程为，如下图所： 联立得， 设，则， 根据焦点弦公式可得， 解得，， 所以直线方程为或 5．(24-25高二上·江西宜春丰城中学·期中)已知椭圆的一个顶点为，离心率为.直线与椭圆交于不同的两点，. (1)求椭圆的方程； (2)当时，求的面积. 【详解】（1）由题意得解得，. 所以椭圆C的方程为. （2）由得，， 设点，的坐标分别为，，则，. 所以， 又因为点到直线的距离， 所以的面积为.      6．(24-25高二上·江西赣州赣南师范大学附属中学·期中)已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若为坐标原点，直线交双曲线于两点，求的面积． 【详解】（1）由题意得：，令， 则， 又焦点到渐近线的距离为， 所以， 所以， 所以， 所以双曲线的标准方程为； （2）设，， 联立方程组，消去整理得， 则，，， 所以， 又原点到直线的距离， 所以． 7．(24-25高二上·江西赣州赣南师范大学附属中学·期中)已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4. (1)求C的方程； (2)若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程. 【详解】（1）C上一点到点F的距离为4, 由抛物线定义可得，，抛物线的方程为． （2）设直线，，设,,,， 将方程代入方程整理得，需满足， ， 故，解得， 当时，满足，故符合题意， 故直线方程为 8．(24-25高二上·江西南昌第一中学·期中)已知抛物线的焦点为，过圆的圆心的直线交抛物线与圆分别为（从左到右）.    (1)若抛物线的焦点与圆心重合，求抛物线的方程； (2)若抛物线和圆只有一个公共点，求的取值范围； (3)在（1）的条件下，的面积满足：，求弦的长. 【详解】（1）由可知圆心坐标为， 因为抛物线的焦点与圆心重合， 所以， 所以抛物线的方程. （2），消去并整理方程可得， 解得， 抛物线和圆恒有一个公共点，且恒成立， 所以令，解得. （3）设，直线的方程为，原点到直线的距离为， 由消去可得，其中， ， 所以， 则，① 因为 ，② 由①②解得 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是能利用抛物线的定义与已知组成方程组，求出. 9．(24-25高二上·江西乐平中学·期中)已知椭圆的焦点分别是、，点、分别为椭圆的长轴端点，点为椭圆的短轴端点，且. (1)求椭圆的方程； (2)设点在这个椭圆上，且，求的长. 【详解】（1）因为椭圆的焦点分别是、，所以， 又因为，即，联立可得， 所以椭圆的方程为； （2）因为点在这个椭圆上，所以，由小问（1）知， 所以，又，联立可得. 10．(24-25高二上·江西南昌县莲塘第一中学·期中)已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为． (1)求的方程和焦点坐标； (2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求． 【详解】（1）因为的离心率为，又的虚轴长为2，所以， 又， 联立解得，， 所以的方程为，左、右焦点坐标分别为． （2）由（1）知， 根据题意易得过的直线斜率存在， 设的直线方程为，如下图所示： 联立，化简得， 所以， 因为中点横坐标为3，所以， 解得，所以， 则， 则． 11．(24-25高二上·江西鹰潭余江区第一中学·期中)已知抛物线上的点到其焦点的距离为2． (1)求的方程及焦点的坐标． (2)过点的直线交抛物线于两点，且的面积为8，求直线的方程． 【详解】（1）由抛物线的定义可得：， 解得， 所以抛物线的方程为，其焦点坐标为. （2）由题意可设直线方程为，，， 由，得， 所以，，， 因为． 所以，得，故直线的方程为：. 12．(24-25高二上·江西南昌新民外语学校·期中)已知椭圆的长轴长为6，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于，两点，且，求实数的值． 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为6， 所以有， 又因为椭圆的离心率， 所以有， 所以该椭圆的标准方程为； （2）将直线方程与椭圆方程联立，得， 因为直线与椭圆相交于，两点， 所以有， 设， 则有， ， 即， 所以实数的值为 地 城 考点02 圆锥曲线的最值和范围问题 1．(24-25高二上·江西南昌第三中学·期中)已知椭圆的左、右焦点为，离心率为.过，分别作直线，交C于M，N和P，Q，已知的周长为8. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与平行，顺次连接构成四边形PQNM，求四边形PQNM面积的取值范围. 【详解】（1）∵的周长，∴，, 由离心率为得，从而， 所以椭圆C的标准方程为． （2）由对称性可知，四边形PQNM为平行四边形， 设PQ：，与椭圆方程联立得：. 设，，则，. 设点到直线的距离为d，则， 所以四边形PQNM面积为：. 设，则在单调递减， 所以S的取值范围为. 2．(24-25高二上·江西部分学校·期中)已知直线与抛物线交于，两点，且线段的中点的横坐标为1. (1)试确定的值； (2)若直线与椭圆有公共点，且抛物线的准线与此椭圆的一个交点是，求的取值范围. 【详解】（1）设，则， 由，得， 则，所以，解得. （2）由（1）知抛物线，准线方程为， 因为抛物线C的准线与椭圆的一个交点是， 所以，代入椭圆方程， 得，解得，所以椭圆方程为. 又直线l与椭圆有公共点，由， 得，， 解得，即实数m的取值范围为. 3．(24-25高二上·江西部分学校·期中)已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为右支上一点，且直线与轴垂直. (1)证明：； (2)若的角平分线恰好过点，求的面积. 【详解】（1）由题意知，将代入方程，得，即， 由双曲线的定义知，，所以， 所以，即证； （2），则，， 由（1）知，， 由双曲线定义可知：， 由角平分线性质定理可得：，即， 整理得，由解得， .    4．(24-25高二上·江西部分学校·期中)法国数学家蒙日在研究椭圆时发现：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.这个圆称为该椭圆的蒙日圆，此结论一般称为蒙日圆定理. (1)求椭圆的蒙日圆方程； (2)对于椭圆，是椭圆的中心，点是椭圆的蒙日圆上一点，，分别切椭圆于点，，且切点弦所在的直线方程是. （i）证明：平分切点弦； （ii）若延长，，分别交椭圆的蒙日圆于点，，证明：. 【详解】（1）考虑边与椭圆长轴和短轴分别平行的矩形知，其对角线之半就是蒙日圆的半径，即，因此椭圆的蒙日圆方程为. （2） （i）设点是切点弦的中点，，. 当，都存在时， 两个方程相减得，， 所以，即，.     （或：设所在的直线方程是，联立消去得，，，.所以点的坐标是.于是.） 而，所以，，，，三点共线， 平分切点弦.     当，有一个不存在时，显然成立. （ii）显然线段是蒙日圆的直径，经过原点，所以，. 于是，，因此，故. 【点睛】关键点点睛：（i）本题的解题关键在于利用点差法或韦达定理得到，然后结合的斜率得到，利用斜率相等证明三点共线，从而得到平分切点弦. 5．(24-25高二上·江西赣州赣南师范大学附属中学·期中)已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为． (1)求的方程． (2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为． （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最大值． 得，解得， 由三角形面积为，得，则，， 所以的方程是. （2）（i）由（1）知，点，设直线的方程为，设， 由消去x得：， 则， 直线与的斜率分别为，， 于是 ，整理得，解得或， 当时，直线过点，不符合题意，因此， 直线：恒过定点. （ii）由（i）知，， 则， 因此的面积 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为.    6．(24-25高二上·江西临川第一中学·期中)已知直线与椭圆相交于两点. (1)若椭圆的离心率为，焦距为，求线段的长； (2)若（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值. 【详解】（1），， ，，则， 椭圆的方为， 联立消去得：， 设，，则， ， （2）设，， ， ，即， 由，消去得， 由，整理得， 又，， ， 由，得：， ，整理得：， ，代入上式得， ， ，则， 则，， 则，故长轴长的最大值为. 7．(24-25高二上·江西景德镇一中·期中)设椭圆的左右焦点分别为是该椭圆C的右顶点和上顶点，且，若该椭圆的离心率为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线l与椭圆C交于两点，且与x轴交于点若直线与直线的倾斜角互补，求的面积的最大值. 【详解】（1）由题可得，， 所以     因为椭圆的离心率为所以，结合椭圆中可知，所以椭圆C的标准方程为 （2），设 因为直线与直线的倾斜角互补， 所以可知， 即， 化简得 设直线， 将代入上式， 整理可得 且由消元化简可得 ， 所以，代入上式 由， 解得 所以 因为点到直线PQ的距离， 且 所以 令，则 所以，. 当且仅当，时取等号. 所以的面积的最大值为 8．(24-25高二上·江西南昌第十九中学·期中)已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3． (1)求E的方程； (2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值． 【详解】（1）设双曲线的半焦距为()， ， 由题可知， ，即， 又， 故E的方程为. （2）如图，    由题可知，且直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 将方程和联立，得， ， ， ，, 直线与的右支有交点，， 当时，取得最小值，且最小值为. 9．(24-25高二上·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为． (1)求椭圆和其“准圆”的方程； (2)若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围． 【详解】（1）由题意知，且，可得， 故椭圆的方程为，其“准圆”方程为． （2）由题意，设，则有， 不妨设 ，，所以，， 所以，又，则， 所以的取值范围是．    10．(24-25高二上·江西临川第一中学·期中)若抛物线：()上的点与点(4，1)关于直线对称，是抛物线的焦点. （1）求的值； （2）若点是抛物线上使得取得最小值的点，，是抛物线上不同于点的两点，且有，求证：直线恒过定点. 【详解】解：（1）设，则线段的中点为. 依题意可得即 解得，所以. 由为抛物线上一点，得，. （2）由（1）得抛物线方程为， 将代入，得. 因为，所以点在抛物线内部. 过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，连接，则， 当且仅当，，三点共线时，取得最小值， 当时，，此时. 设直线的方程为， 联立方程，得消去得， ， 设，， 则，. 因为，所以. 又， ， 所以， 即，. 则，即， 代入线方程，得. 所以直线恒过定点. 11．(24-25高二上·江西南昌县莲塘第一中学·期中)已知抛物线的焦点为，抛物线上一点横坐标为，且点到焦点的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于点，求面积的最小值（其中为坐标原点）. 【详解】（1）由题意知，准线方程：， 由抛物线定义可知：点到焦点的距离即为点到准线的距离， 所以  ， 解得. 所以. （2）由（1） 知， 抛物线，直线过， 可设直线的方程为，，不妨设， 联立消得， 所以，， ∴， 当且仅当，即时取等号， ∴面积最小值为. 地 城 考点03 圆锥曲线的定点问题 1．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，离心率为，短轴长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，，与不重合，直线与的斜率之积为. 证明：直线过定点. 【详解】（1），解得， 椭圆的方程为. （2）方法一：设直线的方程为，代入得 ， 设， 得，    则， ， 即，解得或. 当时，此时，直线过定点， 而与不重合，不合题意. 当时，此时， 此时直线过定点，满足要求. 方法二：由题意，直线不经过点， 设直线的方程为①. 由方程得. ②. 由①②得， . 若是上的点，则斜率为， ， 的斜率，即，解得. 的方程为，即，故过定点. 2．(24-25高二上·江西赣州十八县（、区）二十四校·期中)已知椭圆经过点，且右焦点为． (1)求的方程； (2)若直线与交于点，，点关于轴的对称点为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由． 【详解】（1）由椭圆经过点，且右焦点为，可得， 解得，，故的方程为． （2） 设，，则， 将与联立得， ， ，， 所以，，， 直线方程为， 即，即， 整理得， 所以直线过定点． 3．(24-25高二上·江西南昌第三中学·期中)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. （2）由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则，    直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 4．(24-25高二上·江西景德镇乐平私立洪马中学·期中)已知双曲线C的渐近线方程为，且过点. (1)求C的方程； (2)设，直线不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线与C交于另一点D，求证：直线过定点. 【详解】（1）解：因为双曲线C的渐近线方程为， 则可设双曲线的方程为， 将点代入得，解得， 所以双曲线C的方程为； （2）解：显然直线的斜率不为零， 设直线为，， 联立，消整理得， 依题意得且，即且， ， 直线的方程为， 令， 得 . 所以直线过定点. 5．(24-25高二上·江西景德镇乐平私立洪马中学·期中)已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中A、B为切点，设直线、的斜率分别为、． (1)若点的纵坐标为1，计算的值； (2)求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标． 【详解】（1）抛物线方程为，所以其准线方程为， 点P是抛物线的准线上点，且纵坐标为1，所以过P作抛物线切线， 由题知斜率存在且不为0，设其斜率为，则切线方程为， 联立， ，其两根为，， 所以． （2）设点、， 下面证明抛物线在其上一点处的切线方程为， 联立可得， 即，即， 解得，所以，抛物线在其上一点处的切线方程为， 同理可知，抛物线在其上一点处的切线方程为， 将点的坐标代入切线、的方程可得，即， 所以，点A、B的坐标满足方程，所以，直线的方程为， 由可得，所以，直线过定点． 地 城 考点04 圆锥曲线的定值问题 1．(24-25高二上·江西宜春丰城中学·期中)已知抛物线：的焦点为.      (1)求抛物线的标准方程； (2)抛物线在轴上方一点的横坐标为，过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为，，求证：直线的斜率为定值． 【详解】（1）抛物线：的焦点为， ，解得， 故抛物线的标准方程为：； （2）点的横坐标为，即，解得， 故点的坐标为，设，， 由已知设：，即， 代入抛物线的方程得，即， 则，故， 所以， 即， 设：，即， 同理可得，则， 即 直线的斜率， 所以直线的斜率为定值． 2．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期中)如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设△OMN、的面积分别为、． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的取值范围. 【详解】（1）椭圆的上顶点坐标为， 则抛物线的焦点为，故. （2）若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个公共点，不符合题意， 所以直线的斜率存在，设直线的方程为，点、， 联立可得，恒成立，则， . （3）设直线、的斜率分别为、，其中，， 联立可得，解得， 点在第三象限，则， 点在第四象限，同理可得， 且    ， 当且仅当时，等号成立. 的取值范围为. 3．(24-25高二上·江西南昌第一中学·期中)如图，已知椭圆C:，点，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)若，求的方程； (2)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值. 【详解】（1）设直线的方程为，,，,， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． （2）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 4．(24-25高二上·江西南昌第十九中学·期中)设为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)若过的直线交椭圆于两点，求证：为定值. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为， 所以四边形为平行四边形，其面积设为，则 ，所以， 所以， 又， 解得， 所以椭圆的方程为. （2），当直线与轴重合时，的方程为， 此时不妨令，则； 当直线与轴不重合时，的方程可设为， 由，得， 设，则， 综上，为定值4.    【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据直线所过点的特征进行恰当选择直线方程. 5．(24-25高二上·江西南昌第十九中学·期中)已知抛物线的焦点为F，若的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”． (1)设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为2，求直线的方程； (2)已知是“核心三角形”，证明：三个顶点的横坐标都小于2． 【详解】（1）设直线的方程为，与联立得， 由得， 设，则， 所以， 由题意知， 因为， 所以， 所以，故 即点C的坐标为，代入抛物线E的方程得：，解得， 满足条件， 所以直线的方程为． （2）证明：设直线的方程为，与联立得， ，所以， 所以． 由（1）知，所以， 即点A的坐标为． 又点A在抛物线上，所以，所以， 又，所以，所以点A的横坐标， 同理可证，B，C两点的横坐标也小于2． 所以三个顶点的横坐标均小于2． 6．(24-25高二上·江西鹰潭余江区第一中学·期中)已知椭圆的左右顶点分别为是椭圆上异于的动点，满足，当为上顶点时，的面积为8. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点（与不重合），直线分别与直线交于两点，求的值. 【详解】（1）不妨设椭圆上顶点，此时， 因为的面积为8，所以，联立解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）依题意，直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为， 由消去并整理得， 设，则， 直线的方程为，令，得点的纵坐标， 则，同理得， 所以 .       7．(24-25高二上·江西景德镇乐平私立洪马中学·期中)已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，. （1）求椭圆的方程； （2）是上异于的两点，若直线与直线的斜率之积为，证明：两点的横坐标之和为常数. 【详解】（1）因为椭圆经过点，所以 又因为，所以 又，解得 所以椭圆的方程为 （2）设三点坐标分别为，，， 设直线斜率分别为，则直线方程为， 由方程组消去，得， 由根与系数关系可得 故， 同理可得，又， 故， 则，从而. 即两点的横坐标之和为常数. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $