专题03 圆的方程（期中真题汇编，江西专用）高二数学上学期北师大版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03圆的方程 ☆8大高频考点概览 考点01直线与圆的位置关系 考点02圆与圆的位置关系 考点03参数范围和最值问题 考点04圆的新定义问题 考点05圆性质的综合 考点06圆的弦长综合 考点07圆的最值问题 考点08圆的轨迹方程和新定义问题 目目 考点01 直线与圆的位置关系 1.(2425高二上江西南昌第三中学期中)若直线2x+y-2=0为圆x-)2+y2=1的一条对称轴，则 a=() A.吉 B.-克 C.1 D.-1 2.(24-25高二上江西南昌新民外语学校期中)圆(x-1)2+(y+3)2=10的圆心到直线x-y+2=0 的距离为() A.2 B.3V2 C.3 D.2 3.(24-25高二上江西德兴第六高级中学.期中)直线3x+4y-25=0与圆x2+y2=4的位置关系是() A.相交且直线过圆心 B.相交但直线不过圆心C.相切D.相离 4.(24-25高二上江西南昌第十九中学.期中)设a,b为实数，若直线ax+by=2与圆x2+y2=1相切，则 点P(a,b)与圆的位置关系() A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.不能确定 5.(24-25高二上江西景德镇乐平私立洪马中学期中)若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点， 且∠P0Q=120°（其中0为原点），则k的值为() A.-5或5B.5 C.-V2或V2 D.2 6.(24-25高二上江西景德镇乐平私立洪马中学期中)已知过点A2,0与圆：x2+y2-4y一1=0相切的 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 两条直线分别是l1l2,若l1,l2的夹角为，则tan《=() A.- 军 B,零 c.-⑤ D.15 7.(2425高二上江西景德镇一中期中)设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆 x-1)+y-1)-1相切，则m+n的取值范围是 A.[1-5,1+5] B.(-∞，1-5]U[1+5,+o∞) C.[2-2W2,2+2y2 D.（-0o,2-22]U[2+22,+0) 8.(24-25高二上江西景德镇乐平私立洪马中学期中)圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交 点，且过原点的圆的标准方程是 9.(24-25高二上江西南昌县莲塘第一中学期中)经过点P(2,一1)，且被圆C: x2+y2-6x-2y一15=0所截得的弦最短时的直线的方程为 目目 考点02 圆与圆的位置关系 1.(24-25高二上江西南昌第一中学期中)圆C1:(x+2)2+(y-2)2=4和圆 C2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系是() A.内切 B.相离 C.相交 D.外切 2.(24-25高二上江西南昌县莲塘第一中学期中)已知动圆C与圆C1:(x一3)+y2=4外切，与圆 C2:(x+3)2+y2=4内切，则动圆圆心C的轨迹方程为() A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.双曲线一支 3.(24-25高二上江西乐平中学期中)已知圆C1:(x+3)2+(y-5)2=1,圆C2:(x-6)2+(y-3)=4, M,N分别是圆CC2的动点，P为直线x-y-6=0上的动点，则PM+|PN的最小值为() A.6 B.10 C.13 D.16 4.(24-25高二上江西赣州十八县(、区)二十四校期中)若存在点P,使得圆C1:x2+y2=4与圆 C2:x2+y2-4x+2y+a=0关于点P对称，则a=() A.1 B.-1 C.2 D.-2 5.(24-25高二上江西赣州赣南师范大学附属中学·期中)设圆C1:x2+y2-2x+4y=4,圆 C2:x2+y2+6x-8y=0,则圆C1,C2的公切线有() A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(24-25高二上江西宜春第一中学期中)圆x2+y2+x-2y一20=0与圆x2+y2=25相交所得公共弦 长为 目目 考点03 圆的范围和最值问题 1.(2425高二上江西南昌第十九中学期中)若圆C:(x-1)2+(y-3)2=8上存在两个点到直线 1:x+y+m=0的距离为2，则实数m的取值范围是() A.-6<m<-2 B.-10<m<-2 C.-2<m<2或.-10<m<-6D.m<-6或m>-2 2.(24-25高二上江西宜春第一中学期中)已知点0是坐标原点，点Q是圆(x-3)+(y+4)2=1上的动点， 点P(t,-t-4),则当实数t变化时，PQ+|PO的最小值为() A.8 B.7 C.6 D.5 3.(24-25高二上江西赣州赣南师范大学附属中学期中)直线ax+by-1=0(a>0,b>0)等分圆 (x-1)+(y-2)2=4的周长，则特+的最小值为() A.9 B.4 C.6 D.18 目目 考点04 圆的方程综合 1. (多选题)已知圆0：x2+y2=4,则() A.圆0与直线mx+y-m-1=0必有两个交点 B.圆0上存在4个点到直线1：x-y+V2=0的距离都等于1 C.若圆0与圆x2+y2-6x-8y+m=0恰有三条公切线，则m=16 D.已知动点P在直线x十y-4=O上，过点P向圆O引两条切线，A,B为切点，则OPAB的最小值 为8 2.(24-25高二上江西南昌第一中学·期中)（多选题）己知直线1：kx-y+4-4k=0与圆 M:x2+y2-4x一4y+4=0,则下列说法中正确的是() A.直线1与圆M一定相交 B.若k=0,则直线！与圆M相切 C.当k=1时，直线1被圆M截得的弦最长 D.圆心M到直线的距离的最大值为2√2 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(24-25高二上江西南昌第三中学期中)（多选题）己知直线1：kx-y-k=0,圆 M:x2+y2+Dx+Ey+1=0的圆心坐标为(2,1)，则下列说法正确的是() A.直线1恒过点(1,0) B.D=-4,E=-2 C.直线！被圆M截得的最短弦长为2√3 D.当k=1时，圆M上存在无数对点关于直线对称 4.(24-25高二上江西乐平中学期中)（多选题）已知点P,Q是圆0：x2+y2=5上的两个动点，点A是直 线l:x十y-4=0上的一定点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是() A.(1,3) B.（2,2) C.(3,1) D.(4,0) 5.(24-25高二上·江西南昌县莲塘第一中学.期中)（多选题）圆01：x2+y2-2x=0和圆 02:x2+y2+4x-6y=0的交点为A,B,则() A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0 B.线段AB中垂线的方程为x+y-1=0 C.公共弦AB的长为号 D.两圆圆心距|0102=32 6.(24-25高二上江西宜春丰城中学期中)（多选题）若圆C1:2+y2-3x-3y+3=0与圆 C2:x2+y2-2x-2y=0的交点为A,B,则() A.线段AB的垂直平分线的方程为x一y=0 B.线段AB所在直线方程为x+y+3=0 C.线段AB的长为号 D.在过A,B两点的所有圆中，面积最小的圆是圆C1 目目 考点05 新定义和轨迹方程 1.(24-25高二上江西南昌第十九中学·期中)（多选题）在平面直角坐标系x0y中，动点P(x,y)的轨迹为 曲线C,且动点P(x,y)到两个定点F（一1,0)，F《1,0)的距离之积等于3.则下列结论正确的是() A.曲线C关于y轴对称 B.曲线C的方程为x2+y2+1=√4x2+9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.△F1PF2面积的最大值号 D.oP的取值范围为区，2] 2.(24-25高二上江西南昌第十九中学期中)（多选题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四 叶草曲线C:(x2+y2)3=xy2就是其中一种（如图）则下列结论正确的是() A.曲线C关于坐标原点对称 B.曲线C上的点到原点的最大距离为 C.四叶草曲线C所围的区域面积大于罗 D.四叶草曲线C恰好经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） 6.(24-25高二上江西南昌第一中学·期中)（多选题)曲线E是由方程x-1=√1-y2和 y-1=V1-x2共同构成，点P(x,y)为曲线E上一点，则下列结论正确的是() A.该曲线的图象关于y=x对称 B.曲线E围成的图形面积大于7 C.的最大值为2 D.若E与直线y=x+m有4个公共点，则m的取值范围是(-1-V2,-2)U(2,1+V2) 7.(24-25高二上江西宜春第一中学期中)（多选题）已知曲线C:x2+y2=2x|+2y|(x,y不同时为 零)，则() A.C上的点的到点3,3)的距离的最大值为5V2 B.C上的点的横坐标的取值范围是[1-V2,1+V2 C.C围成的图形的面积为4π+8 D.若C上有四个点到直线y=x+m的距离等于号，则-3<m<3 8.(24-25高二上江西部分学校期中)（多选题）已知0为坐标原点，日∈R,圆 C:(x-cos8)2+(y-sin8)2=1,则() 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.圆C恒过坐标原点O B.圆C与圆x2+y2=4内切 C.直线xcosa+ysina=0(&ER)与圆C相离 D.圆C的圆心在单位圆x2+y2=1上运动 9.(24-25高二上·江西宜春第一中学期中)己知动圆 c:(x-V2cos8+1)2+(y-V2sin8)2=2(日E[0,2m),则圆C在运动过程中所经过的区域的面 积为一；P为直线1：x+y=5上一点，过点P作圆C的两条切线，切点为A、B,当CP⊥1时， sin∠APB的取值范围为 目目 考点06 直线与圆的弦长问题 1.(24-25高二上·江西德兴第六高级中学期中)写出下列圆的标准方程： (①)圆心为C(-3,4),半径是5； (2)圆心为C(-8,3),且经过点M(-5,-3) 2.(24-25高二上·江西南昌第三中学期中已知过点A(0,1)且斜率为k的直线1与圆C:(x一2)2+0y一3)2= 1交于M,N两点. (1)求k的取值范围； (2)若0M.0N=12,其中O为坐标原点，求MM 3.(24-25高二上江西南昌县莲塘第一中学期中)已知以(2,1)为圆心的圆C,过直线x-2y+5=0上一 点P作圆C的切线，切线段PT(T为切点)长的最小值为2 (1)求圆C的标准方程； (2)若圆C与圆O:2+y2=4相交于A,B两点，求两个圆公共弦AB的长 4.(24-25高二上江西宜春丰城中学期中)在平面直角坐标系x0y中，圆C经过点A(1,0)和点B(-1,2), 且圆心在直线2x-y+2=0上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线x=ay+3被圆C截得弦长为2W3,求实数a的值 5.(24-25高二上江西南昌第一中学期中)已知圆C:x2+y2=4 (1)求过点P(2,1)且与圆C相切的直线方程： (2)已知直线x-y-m=0被圆C截得的弦长为2√2，求实数m的值 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(24-25高二上江西赣州十八县(、区)二十四校期中)已知点B(-2,一1)及圆 C:x2+y2+2x+6y=0. (1)若直线经过点B,C,求的方程： (2)若直线过点B且截圆C所得的弦长为6，求的方程. 7.(24-25高二上江西萍乡期中)已知F1(-2,0),F2(2,0),M是圆O:x2+y2=1上任意一点，F1关 于点M的对称点为N,线段FN的垂直平分线与直线FN相交于点T,记点T的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设E(t,0)(t>0)为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线1与曲线C交于G,H两点（异于E点）若 直线GE,HE的斜率之积为2，求证：直线1过定点 目目 考点07 与圆的最值综合 1.(24-25高二上江西南昌江西师范大学附属中学期中)已知圆0：x2+y2=4 (1)若线段AB端点B的坐标是(4,2)，端点A在圆0上运动，求线段AB的中点D的轨迹方程； (2)若EF,GH为圆0：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1,V②，求四边形EGFH的面积S的最大 值， 2.(24-25高二上·江西部分学校·期中)阿波罗尼斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他的姓 名命名的阿波罗尼斯圆，是指平面内到两定点的距离的比值为常数入（入>0，入≠1）的动点轨迹.已知 A(-2,0),B(4,0),动点P满足=支 (1)求动点P所在的阿波罗尼斯圆的方程； (2)若点Q(-3,5),求PQ的最小值和最大值 3.(24-25高二上江西景德镇乐平私立洪马中学期中)已知圆M过C(1,-1),D(-1,1)两点，且圆心M 在x+y-2=0上. (1)求圆M的方程； (2)设P是直线3x+4y叶8=0上的动点，PA,PB是圆M的两条切线，A,B为切点，求四边形PAMB面积 的最小值 目目 考点08 圆的轨迹方程和新定义问题 1.(24-25高二上江西德兴第六高级中学期中)如图，已知圆A:(x+1)2+y2=16,点B(1,0)是圆A内一 个定点，点P是圆上任意一点，线段BP的垂直平分线1和半径AP相交于点Q,当点P在圆上运动时，点 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Q的轨迹为曲线C B (1)求曲线C的方程； (2)设曲线C与x轴正半轴的交点为D,圆C1是以点D为圆心，OD长为半径的圆，倾斜角为的直线！与圆 C1相交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点O,求直线的方程 2.(2425高二上江西临川第一中学期中)已知圆C:(x-3)2+y-4)2=4,点P(5,1),点Q(-2-2) (1)过点P作圆C的切线1，求出1的方程； (2)设A为圆C上的动点，G为三角形APQ的重心，求动点G的轨迹方程 3.(24-25高二上江西赣州赣南师范大学附属中学·期中)已知圆C过A(4,1),B(0,1),M(2,3)三点，直线 1:y=x+2. (1)求圆C的方程： (2)求圆C关于直线1对称的圆C的方程： (3)若P为直线1上的动点，Q为圆C上的动点，O为坐标原点，求0P+PQ的最小值. 4.(24-25高二上江西乐平中学期中)已知圆C:x2+y2-tx-2y=0(t>0)分别与x轴、y轴交于点 P,Q(均异于坐标原点0)，过点E(1,0)作两条直线1,2，斜率分别为k1,k2,且k1=-京，直线1 与y轴交于点F,直线l2与圆C交于A,B两点. (1)若P(6,0),AB=6,求直线l2的方程； (2若原点0到直线PQ的距离为5，求△ABP面积的最小值。 5.(2425高二上江西景德镇一中期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，F为x轴正半轴上的一个动点.以 F为焦点、O为顶点作抛物线C:y2=2pxp>O).设P为第一象限内抛物线C上的一点，Q为x轴负半轴 上一点，设Q(-a,0),使得PQ为拋物线C的切线，且PQ=2.圆C1C2均与直线0P切于点P,且均 与x轴相切. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y个 C (1)试求出a,P之间的关系； (2)是否存在点F,使圆C1与C2的面积之和取到最小值.若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 专题03 圆的方程 8大高频考点概览 考点01 直线与圆的位置关系 考点02 圆与圆的位置关系 考点03 参数范围和最值问题 考点04 圆的新定义问题 考点05 圆性质的综合 考点06 圆的弦长综合 考点07 圆的最值问题 考点08 圆的轨迹方程和新定义问题 地 城 考点01 直线与圆的位置关系 1．(24-25高二上·江西南昌第三中学·期中)若直线为圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：C 2．(24-25高二上·江西南昌新民外语学校·期中)圆的圆心到直线的距离为（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【详解】圆的圆心为， 所以圆心到直线的距离为. 故选：B. 3．(24-25高二上·江西德兴第六高级中学·期中)直线与圆的位置关系是（） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径为， 到直线的距离， 所以直线与圆相离. 故选：D 4．(24-25高二上·江西南昌第十九中学·期中)设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 【答案】B 【详解】因与圆相切，则. 则到圆心的距离为，则在圆外. 故选：B 5．(24-25高二上·江西景德镇乐平私立洪马中学·期中)若直线与圆相交于 两点，且（其中为原点），则的值为（ ）. A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【详解】 取的中点为，连接，则. 因为，故，所以， 又直线的方程为：， 所以，故. 故选：A. 6．(24-25高二上·江西景德镇乐平私立洪马中学·期中)已知过点与圆：相切的两条直线分别是，若的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为M，N， ，则， 则，故， 故为钝角，则. 故选：D. 7．(24-25高二上·江西景德镇一中·期中)设，，若直线与圆相切，则的取值范围是． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：因为直线与圆相切,所以，即，所以，所以的取值范 围是． 考点：圆的简单性质；点到直线的距离公式；基本不等式． 点评：做本题的关键是灵活应用基本不等式，注意基本不等式应用的前提条件：一正二定三相等． 8．(24-25高二上·江西景德镇乐平私立洪马中学·期中)圆心为直线与直线的交点，且过原点的圆的标准方程是 ． 【答案】． 【详解】由，可得，即圆心为， 又圆过原点， 所以圆的半径， 故圆的标准方程为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，属于基础题. 9．(24-25高二上·江西南昌县莲塘第一中学·期中)经过点，且被圆：所截得的弦最短时的直线的方程为 ． 【答案】 【详解】根据题意，圆心为，当与直线垂直时，直线被圆所截得的弦最短， 此时，则直线的斜率，则直线的方程为， 变形可得. 故答案为： 地 城 考点02 圆与圆的位置关系 1．(24-25高二上·江西南昌第一中学·期中)圆和圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相离 C．相交 D．外切 【答案】C 【详解】易得圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 圆心距，, 所以，故两圆相交． 故选：C 2．(24-25高二上·江西南昌县莲塘第一中学·期中)已知动圆C与圆外切，与圆内切，则动圆圆心C的轨迹方程为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．双曲线一支 【答案】D 【详解】设动圆C的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为2， 由题意可得，或，所以或， 又因为，所以， 由知不合题意， 所以， 根据双曲线的定义知，可得点C的轨迹为以为焦点的靠近的一支. 故选：D. 3．(24-25高二上·江西乐平中学·期中)已知圆，圆，分别是圆的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B．10 C．13 D．16 【答案】B 【详解】的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 如图所示，的最小值为的最小值， 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 故，连接，则即为的最小值， 故的最小值为， 故的最小值为. 故选：B 4．(24-25高二上·江西赣州十八县（、区）二十四校·期中)若存在点，使得圆与圆关于点对称，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由题意，两圆半径相等， 所以，解得， 故选：A 5．(24-25高二上·江西赣州赣南师范大学附属中学·期中)设圆，圆，则圆，的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【详解】由题意，得圆，圆心，圆，圆心，∴，∴与相交，有2条公切线． 故选：B． 6．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期中)圆与圆相交所得公共弦长为 ． 【答案】 【详解】记圆，圆， 两个方程作差可得，， 所以两圆公共弦所在直线方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为：. 地 城 考点03 圆的范围和最值问题 1．(24-25高二上·江西南昌第十九中学·期中)若圆上存在两个点到直线的距离为，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．或. D．或 【答案】C 【详解】由两平行直线距离公式可知，与相距的直线为与. 又的圆心为，半径为，与相距. 则与中一条直线与圆相交，另一条与圆相离. 即一条直线到距离小于，另一条直线到距离大于. 则或或. 故选：C 2．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期中)已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【详解】点在直线：上， 圆心关于直线对称点， 圆：关于直线对称圆： 如图： 连接与圆交直线于点，连接交圆于， 此时最小，， 故选：C 3．(24-25高二上·江西赣州赣南师范大学附属中学·期中)直线等分圆的周长，则的最小值为（  ） A．9 B．4 C．6 D．18 【答案】A 【详解】由题意圆心坐标为，且圆心在直线上，所以，即， 所以，当且仅当，即时等号成立， 故选：A． 1．（多选题）已知圆，则（    ）地 城 考点04 圆的方程综合 A．圆与直线必有两个交点 B．圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C．若圆与圆恰有三条公切线，则 D．已知动点在直线上，过点向圆引两条切线，，为切点，则的最小值为8 【答案】ACD 【详解】对于A，将直线整理得， 由，解得，所以直线过定点， 因为，所以该定点在圆内，则圆与直线必有两个交点，故A正确；    对于B，圆的圆心到直线的距离为， 所以过圆心且与直线平行的直线与圆相交有两个点到直线的距离为1， 与直线平行且与圆相切，并且与直线在圆心同侧的直线到的距离为1， 所以只有三个点满足题意，故B错误； 对于C，将圆化成标准形式为， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以， 解得，故C正确； 对于D，连接，，，    因为，为切点，所以，， 所以，且当最小时，最小， 所以当与直线垂直时，， 又因为半径为2，所以，， 又，，所以垂直平分，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 2．(24-25高二上·江西南昌第一中学·期中)（多选题）已知直线与圆，则下列说法中正确的是（    ） A．直线与圆一定相交 B．若，则直线与圆相切 C．当时，直线被圆截得的弦最长 D．圆心到直线的距离的最大值为 【答案】BCD 【详解】，即，是以为圆心，以2为半径的圆， A.因为直线，直线l过，，则在圆外，所以直线l与圆M不一定相交，故A错误； B.若，则直线，直线l与圆M相切，故B正确； C.当时，直线l的方程为，过圆M的圆心，即直线l是直径所在直线，故C正确； D.由圆的性质可知当直线l与过点的直径垂直时，圆心到直线的距离的最大，此时最大值为.故D正确， 故选：BCD. 3．(24-25高二上·江西南昌第三中学·期中)（多选题）已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过点 B． C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在无数对点关于直线对称 【答案】ABD 【详解】直线，恒过点，所以A正确； 圆的圆心坐标为，，，所以B正确； 圆的圆心坐标为，圆的半径为2． 直线，恒过点，圆的圆心到定点的距离为：， 直线被圆截得的最短弦长为，所以C不正确； 当时，直线方程为：，经过圆的圆心，所以圆上存在无数对点关于直线对称，所以D正确． 故选：ABD． 4．(24-25高二上·江西乐平中学·期中)（多选题）已知点是圆上的两个动点，点是直线上的一定点，若的最大值为，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由圆心与直线的距离，即直线与圆相离， 所以直线上任意一定点与圆上两动点所成角最大，此时与圆相切， 若的最大值为，则为正方形，此时，令， 所以，可得或， 所以为或时满足题设. 故选：AC 5．(24-25高二上·江西南昌县莲塘第一中学·期中)（多选题）圆和圆的交点为，，则（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段中垂线的方程为 C．公共弦的长为 D．两圆圆心距 【答案】ABD 【详解】①，②，用①减去②即得到公共弦所在直线的方程为，故A正确； 把圆化为标准方程得，圆心为，半径为 ，把圆化为标准方程为，圆心为，，线段中垂线即为圆心与圆心两点构成的直线为，故B正确； 圆心到公共弦所在直线的距离为，故公共弦的长为，故C错误；   圆心到圆心的距离，故D正确.    故选：ABD. 6．(24-25高二上·江西宜春丰城中学·期中)（多选题）若圆与圆的交点为A，B，则（    ） A．线段AB的垂直平分线的方程为 B．线段AB所在直线方程为 C．线段AB的长为 D．在过A，B两点的所有圆中，面积最小的圆是圆 【答案】AD 【详解】A选项，， 圆心，半径为， ，圆心， 由对称性可知，线段AB的垂直平分线为直线， 即，即，A正确； B选项，与相减得 ，即线段AB的方程为，B错误； C选项，圆心到直线的距离为， 故，C错误； D选项，由C选项知，线段AB的长为，而圆的直径为， 故在过A，B两点的所有圆中，面积最小的圆是圆，D正确. 故选：AD 地 城 考点05 新定义和轨迹方程 1．(24-25高二上·江西南昌第十九中学·期中)（多选题）在平面直角坐标系中，动点的轨迹为曲线C，且动点到两个定点的距离之积等于3．则下列结论正确的是（    ） A．曲线C关于y轴对称 B．曲线C的方程为 C．面积的最大值 D．的取值范围为 【答案】ABD 【详解】对于B，依题意，，整理得， 因此曲线C的方程为，B正确； 对于A，方程中的换成方程不变，因此曲线C关于轴对称，A正确； 对于C，显然，则，解得：， 令，则，即， 的面积，C错误； 对于D，，因此的取值范围为，D正确. 故选：ABD 【点睛】结论点睛：曲线C的方程为，①如果，则曲线C关于y轴对称；②如果，则曲线C关于x轴对称；③如果，则曲线C关于原点对称. 2．(24-25高二上·江西南昌第十九中学·期中)（多选题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线就是其中一种（如图）.则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于坐标原点对称 B．曲线上的点到原点的最大距离为 C．四叶草曲线所围的区域面积大于 D．四叶草曲线恰好经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） 【答案】AB 【详解】对A：若点在上，则亦在上， 故曲线关于坐标原点对称，故A正确； 对B：若，，， 则，即，当且仅当时等号成立， 故曲线上的点到原点的最大距离为，故B正确； 对C：由B知，故曲线在圆内部， 圆的面积为， 故叶草曲线所围的区域面积不大于，故C错误； 对D：由B知，则，， 则当、为整数时，只有、，此时满足曲线， 故四叶草曲线只经过1个整点，故D错误. 故选：AB. 6．(24-25高二上·江西南昌第一中学·期中)（多选题）曲线是由方程和共同构成，点为曲线上一点，则下列结论正确的是（   ） A．该曲线的图象关于对称 B．曲线围成的图形面积大于7 C．的最大值为2 D．若与直线有4个公共点，则的取值范围是 【答案】ABD 【详解】由，，得或． 当时，，是圆心为，半径为1的半圆， 同理的其他部分，分别为圆心为半径为1的半圆，圆心为半径为1的半圆，圆心为半径为1的半圆； 作曲线的图象如下图， 图中虚线部分是边长为2的正方形，图象关于对称，故A正确； 对于B，图形的面积，故B正确； 对于C，的最大值为点与点连线斜率的最大值，设直线为，如图， 由图知当直线与圆心为，半径为1的半圆相切时，最大，所以，解得，故C错误； 对于D，当直线与相切时，此时或（舍去），有2个公共点； 当直线过点时，，此时直线与曲线有3个公共点， 由曲线的对称性，故要使曲线与直线有4个公共点，则或，故D正确． 故选：ABD 7．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期中)（多选题）已知曲线：（不同时为零），则（    ） A．上的点的到点的距离的最大值为 B．上的点的横坐标的取值范围是 C．围成的图形的面积为 D．若上有四个点到直线的距离等于，则 【答案】ACD 【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称， 当，时，曲线 可化为：，表示的图形为以为圆心，半径为的一个半圆， 其图象为： 对于A：坐标原点到的距离为，所以上的点的到点的距离的最大值为，正确； 对于B：由图象可知上的点的横坐标的取值范围是，故B错误； 对于C:第一象限围成的面积为， 故曲线围成的图形的面积为.C正确； 对于D: 连接第二象限和第四象限的圆心得到直线：，显然与垂直， 画出与两条直线， 由到的距离为，可知曲线上恰有三个点到直线的距离等于， 由到的距离为，可知曲线上恰有三个点到直线的距离等于， 所以结合图象可知：若上有四个点到直线的距离等于，则，故D正确. 故选：ACD 8．(24-25高二上·江西部分学校·期中)（多选题）已知为坐标原点，，圆，则（    ） A．圆恒过坐标原点 B．圆与圆内切 C．直线与圆相离 D．圆的圆心在单位圆上运动 【答案】ABD 【详解】对于A，满足，所以A对. 对于B，两圆的圆心距是1，，所以B对. 对于C，圆的圆心到直线的距离，所以C错. 对于D，圆的圆心的坐标满足方程.所以D对. 故选:ABD. 9．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期中)已知动圆，则圆在运动过程中所经过的区域的面积为 ；为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点为A、B，当时，的取值范围为 . 【答案】 【详解】动圆的圆心，半径， 令，则由得在以圆心，半径的圆上． 圆在运动过程中所经过的区域的面积相当于以圆心，半径为的圆的面积， 即； 到直线的距离， 由，则，即， ， 令，则，则， 由对勾函数在上单调递增，故， 有. 所以的取值范围为. 故答案为：；. 地 城 考点06 直线与圆的弦长问题 1．(24-25高二上·江西德兴第六高级中学·期中)写出下列圆的标准方程： (1)圆心为，半径是； (2)圆心为，且经过点. 【详解】（1）圆心在，半径长是， 故圆的标准方程为． （2）圆心在，且经过点， 故半径为， 故圆的标准方程为． 2．(24-25高二上·江西南昌第三中学·期中)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点． (1)求k的取值范围； (2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|. 【详解】（1）由题意可得，直线l的斜率存在， 设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0． 由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1． 故由，解得：． 故当，过点A（0，1）的直线与圆C：相交于M，N两点． （2）设M；N， 由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程， 可得， ∴， ∴， 由，解得 k=1， 故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2 考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算 3．(24-25高二上·江西南昌县莲塘第一中学·期中)已知以为圆心的圆，过直线上一点作圆的切线，切线段（为切点）长的最小值为. (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相交于，两点，求两个圆公共弦AB的长. 【详解】（1）因为圆心 到直线的距离， 设圆的半径为， 又过直线上一点作圆的切线，切线段（为切点）长的最小值为， 所以，则圆的标准方程为.    （2）圆：的圆心 ，半径， 圆的圆心为，半径， 所以，则，所以两圆相交， 则相交弦：， 则圆心 到 距离， 所以.    4．(24-25高二上·江西宜春丰城中学·期中)在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值. 【详解】（1）因为，的中点为，且直线的斜率， 则线段的垂直平分线所在直线的方程为， 联立方程，解得， 即圆心，， 所以，圆的方程为. （2）因为直线被曲线截得弦长为， 则圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式可得，解得. 5．(24-25高二上·江西南昌第一中学·期中)已知圆 (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)已知直线被圆截得的弦长为，求实数的值. 【详解】（1）当直线斜率存在时，设直线， 即， 圆心到直线的距离为， 解得， 此时直线方程为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切， 综上，所求直线方程为或. （2）记圆心到直线的距离为，则， 又弦长为，圆的半径为2，则， 解得，所以. 6．(24-25高二上·江西赣州十八县（、区）二十四校·期中)已知点及圆． (1)若直线经过点，，求的方程； (2)若直线过点且截圆所得的弦长为6，求的方程． 【详解】（1）由题意得，， 所以的斜率， 所以的方程为，即． （2）圆的标准方程为， 圆心，半径， 因为擮圆所得弦长为6， 所以点到的距离为， 当的斜率不存在时，的方程为，符合题意， 当的斜率存在时，设的方程为，即， 所以，解得，的方程为， 所以的方程为或． 7．(24-25高二上·江西萍乡·期中)已知，，M是圆O：上任意一点，关于点M的对称点为N，线段的垂直平分线与直线相交于点T，记点T的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设（）为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线l与曲线C交于G，H两点（异于E点）.若直线GE，HE的斜率之积为2，求证：直线l过定点. 【详解】（1）连接OM， 由题意可得，且M为的中点，又O为的中点， 所以，且|. 因为线段的中垂线与直线相交于点T， 所以， 所以， 由双曲线的定义知动点T的轨迹是以，为焦点的双曲线. 设其方程为（，），则，，， 故曲线C的方程为. （2）证明：由（1）知 依题意直线l的斜率存在， 设直线l的方程为，，， 由，得， ，由，得， 所以，. 则 ， 整理得， 即， 解得或， 当时，直线l的方程为， 直线l过定点； 当时，直线l的方程为， 直线l过定点，不合题意，舍去. 综上所述，直线l过定点. 地 城 考点07 与圆的最值综合 1．(24-25高二上·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)已知圆 (1)若线段端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程； (2)若为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积的最大值． 【详解】（1）设，中点，则，得， 代入圆中，化简得圆. （2）设圆心O到直线的距离分别为，则， 而，， ∴， 当且仅当，即时取等号， 所以四边形面积的最大值为5. 2．(24-25高二上·江西部分学校·期中)阿波罗尼斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他的姓名命名的阿波罗尼斯圆，是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点轨迹.已知，，动点满足. (1)求动点所在的阿波罗尼斯圆的方程； (2)若点，求的最小值和最大值. 【详解】（1）设动点，则就是， 即，整理得，. 故动点所在的阿波罗尼斯圆的方程为. （2）就是，其半径是4， 圆心是，.     显然在圆外，故的最小值是，最大值是. 3．(24-25高二上·江西景德镇乐平私立洪马中学·期中)已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上. （1）求圆M的方程； （2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值. 【详解】解：（1）设圆的方程为：， 根据题意得， 故所求圆M的方程为： ； （2）如图， 四边形的面积为，即 又，所以， 而，即. 因此要求的最小值，只需求的最小值即可， 的最小值即为点到直线的距离 所以， 四边形面积的最小值为. 地 城 考点08 圆的轨迹方程和新定义问题 1．(24-25高二上·江西德兴第六高级中学·期中)如图，已知圆：，点是圆A内一个定点，点P是圆上任意一点，线段BP的垂直平分线和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设曲线与轴正半轴的交点为，圆是以点为圆心，长为半径的圆，倾斜角为的直线与圆相交于两点，若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程. 【详解】（1）依题意可知， 所以点的轨迹是椭圆，， 所以曲线的方程为. （2）圆的方程为，即， 设直线的方程为，设， ，消去并化简得， ，即需满足①. . 由于：以为直径的圆经过坐标原点， 所以，， ，， 或. 和满足①， 所以直线的方程是或. 2．(24-25高二上·江西临川第一中学·期中)已知圆，点，点. (1)过点作圆的切线，求出的方程； (2)设为圆上的动点，为三角形的重心，求动点的轨迹方程. 【详解】（1）由题意知，圆心，半径， 当切线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，符合题意， 当切线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以，解得， 此时切线的方程为，即. 综述，切线的方程为或. （2）如图所示，    设，， 因为，，为的重心， 所以，即， 又因为点为圆上的动点，则， 所以，整理得. 即动点的轨迹方程为. 3．(24-25高二上·江西赣州赣南师范大学附属中学·期中)已知圆过三点，直线． (1)求圆的方程； (2)求圆关于直线对称的圆的方程； (3)若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值． 【详解】（1）设圆的方程为，代入， 则，解得， 所以圆的方程为； （2）设， 由对称关系可知，解得，所以， 又因为对称圆的半径不变， 所以的方程为； （3）因为， 由（2）可知关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当共线时取等号， 所以，即的最小值为. 4．(24-25高二上·江西乐平中学·期中)已知圆：（）分别与轴、轴交于点，（均异于坐标原点），过点作两条直线，，斜率分别为，，且，直线与轴交于点，直线与圆交于，两点． (1)若，，求直线的方程； (2)若原点到直线的距离为，求面积的最小值． 【详解】（1）将代人圆的方程，解得， 所以圆的方程为，即， 所以圆心坐标为，半径． 根据题意得，直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离．    因为，所以，解得（舍）或， 故直线的方程为． （2）令，，得，， 所以直线方程为，即． 由原点到直线的距离为，得，结合，解得， 故圆的方程为，圆心坐标为，半径． 根据题意得，的方程为（），则的方程为， 则点，所以． 又圆心到的距离为，所以，    所以 ，当且仅当时等号成立， 所以面积的最小值为． 【点睛】关键点点睛：第二问，设含斜率参数的直线方程，综合点线距离、几何法求圆的弦长得到三角形面积关于的表达式为关键. 5．(24-25高二上·江西景德镇一中·期中)如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上的一个动点．以为焦点、为顶点作抛物线．设为第一象限内抛物线上的一点，为轴负半轴上一点，设，使得为拋物线的切线，且．圆均与直线切于点，且均与轴相切．    (1)试求出之间的关系； (2)是否存在点，使圆与的面积之和取到最小值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由条件抛物线C：，点， 设，将其与抛物线C的方程联立，消去得．① 因为与抛物线C切于点P，所以，方程①的判别式为，解得． 进而，点．故． 由，则．②∴. （2）设的圆心分别为． 注意到，与圆切于点P．故． 设圆与轴分别切于，如图所示：    则分别为的角平分线，故，，, 易知，则， ． 结合式②有．③ 由三点共线得，化简可得．④ 令，于是，圆的面积之和． 根据题意，仅需考虑T取最小值的情形，根据③、④知 ． 令．由，，． 当且仅当时，上式等号成立．此时，． 结合式②得．故点． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $