拓展专题05 求圆锥曲线离心率的十五种技法15大考点66题（高效培优期中专项训练）高二数学上学期北师大版

拓展专题05 求圆锥曲线离心率的十五种技法 考点01 利用公式求离心率（共4小题） 4 考点02 利用勾股定理求离心率（共3小题） 6 考点03 构造齐次方程求离心率（共8小题） 8 考点04 利用“公式2”求离心率(共3小题) 14 考点05 利用“公式3”求离心率(共4小题) 15 考点06利用“公式5”求离心率（共4小题） 18 考点07 利用斜率乘积求离心率(共3小题) 21 考点08 利用余弦定理求离心率(共5小题) 23 考点09 构造不等式求离心率的范围或最值(共6小题) 26 考点10 以特殊三角形为载体的离心率计算（共4小题） 31 考点11 以特殊四边形为载体的离心率计算(共6小题) 34 考点12 以内切圆为载体的离心率计算(共5小题) 39 考点13 以外接圆为载体的离心率计算(共2小题) 42 考点14 以三角形四心为载体的离心率计算（共5小题） 44 考点15以几何体的截面为载体的离心率计算(共4小题) 49 【重要方法与结论】 一、求椭圆或双曲线的离心率的三种基本方法 （1）公式法：即利用相应的离心率计算公式（如定义式）直接求得离心率； （2）方程法：先得到关于的齐次方程，再通过作除法转化为关于e的方程求解. （3）不等式法：对于求离心率取值范围的问题，常寻找不等关系，从而构造关于的齐次不等式，再通过作除法进一步转化为关于e的不等式求解. 二、求解椭圆离心率的5个公式 公式1: 公式2: 变形 证明: 公式3:已知椭圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 证明:, 由正弦定理得: 由等比定理得:,即 . 公式 4: 以椭圆 两焦点 及椭圆上任一点 (除长轴两端点外) 为顶点 , 则 证明: 由正弦定理有. 公式5:点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则; 当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 3、 求解双曲线离心率的5个公式 公式1: 公式 证明: 公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 证明:, 由正弦定理得: 由等比定理得: 即。 公式4:以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率， 证明:由正弦定理,有 即 又 公式5:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时,. 四、求离心率的一个神奇公式——e次元公式 已知焦点在轴上的圆锥曲线，经过其焦点的直线交曲线C于两点，直线的倾斜角为 ，则曲线C的离心率e满足等式： ．为方便计算，一般让. 推广一：当 AB 直线的斜率为 k，则 推广二：抛物线中，， 推广三：当焦点在y轴时， . 考点01 利用公式求离心率（共4小题） 1．（2025高二上·河南郑州·期中）若双曲线的两个顶点三等分两焦点间的线段，则此双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】通过条件“两个顶点三等分两焦点间的线段”直接找到和的关系，利用离心率的定义求解． 【详解】由题意可知，，整理得，则． 故选：C． 2．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）若双曲线的渐近线方程是，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用双曲线的几何性质，求得，进而求得双曲线的离心率，得到答案. 【详解】因为双曲线的渐近线方程是， 可得，解得，则， 所以双曲线的离心率为. 故选：C. 3．（25-26高三上·四川泸州·开学考试）设椭圆的左顶点为A，右焦点为F，点P在直线上但不同于右顶点.连接FP交椭圆于点Q，且.连接QO（O为坐标原点）交椭圆于另一点且A，，P三点共线，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，设点，结合椭圆对称性求出点的坐标，再利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】设椭圆的半焦距为，则，设， 由，得，于是，， 而，则，由三点共线，得， 于是，解得，此时或符合题意， 所以椭圆的离心率为. 故选：B 4．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知椭圆，过的右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入焦点横坐标，可得到点坐标，代入条件即得答案. 【详解】将 代入椭圆方程得， 整理得， 由 ，得 ，代入上式， ， 因此，点 和 的坐标分别为 和 ， 弦长 为， 由已知 ，有， ， 离心率 ，其中 ，代入 ， 因此：. 故选：B    考点02 利用勾股定理求离心率（共3小题） 5．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且为直角.若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，则，则，在中，是直角，可得，再根据离心率的定义，即可求解. 【详解】由题意，设，则，由椭圆的定义，得， 因为是直角，所以在中，由勾股定理，得， 即，所以椭圆的离心率. 故选：B    6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，得，，，在中由勾股定理得，在中由勾股定理列方程可得答案. 【详解】 设，因为，所以， 由椭圆的定义可得，， 因为，在中由勾股定理得，解得 所以，， 在中由勾股定理得，从而可得. 故选：A 7．（25-26高三上·浙江·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，过作直线交双曲线的右半支于两点，满足，且面积是面积的两倍，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据面积比可确定，结合定义和勾股定理可构造方程求得，进而求得，由可求得结果. 【详解】 的面积是面积的两倍，， 设，则， 由双曲线定义知：，， ，， 即，解得：或（舍），，， ，即，， 双曲线的离心率. 考点03 构造齐次方程求离心率（共8小题） 8．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据通径的性质以及等边三角形的性质即可求解. 【详解】由于是等边三角形，故, 由于通径长，所以 ， 故，进而，故，即， 故， 故选：D 9．（2025·贵州·模拟预测）已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，上顶点为B，右顶点为A，到直线AB的距离为b，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意写出直线的方程，进而点到直线的距离化简并转化离心率的表达式，从而解方程可得结果. 【详解】设椭圆上顶点的坐标，右顶点的坐标，左焦点，    则直线的方程为，即， 由到直线AB的距离为b，得， 又，化简得，即， 所以，解得或（舍去）． 故椭圆E的离心率为. 故选：C 10．（25-26高三上·云南·阶段练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点，满足，且点到直线的距离为．则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义，结合等腰三角形的性质、椭圆的离心率公式进行求解即可. 【详解】因为点在椭圆上， 所以，又因为， 所以， 在等腰三角形中，，底边， 过作，垂足为， 由已知可知点到直线的距离为．所以有， 由勾股定理可知：， 而，化简得： （舍去），或， 即， 故选：A 11．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据平面向量数量积和线性运算的坐标表示可得建立方程组，解得，代入双曲线方程可得e的方程，解之即可求解. 【详解】如图，，设， 则, 由，得， 解得，又在双曲线上， 所以，即，整理得， 即，由解得. 故选：C 12．（24-25高三上·江苏南通·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为为的左支上一点，与的一条渐近线平行.若，则的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】由题意得，，由此建立方程即可求解. 【详解】 因为与的一条渐近线平行，根据双曲线的对称性，不妨设， 又因为，所以， 注意到， 所以，即， 整理得，因为， 所以，解得. 故选：C. 13．（2025·浙江嘉兴·一模）已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理列式，再结合离心率的计算公式，可求双曲线的离心率. 【详解】如图： 设椭圆：，双曲线：. 因为它们有相同的焦点，所以. 不妨设点在第一象限，且，， 因为点在椭圆上， 所以. 又， 所以. 又在双曲线上， 所以. 所以. 所以双曲线的离心率为：. 故选：A 14．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）双曲线的左、右焦点为，为双曲线上一点，且满足，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】由题意可得点坐标，然后利用特殊角的三角函数值和离心率定义即可求解. 【详解】设，由题意可得,代入双曲线方程， 得到， 因为，在中， ， 所以，即 即，解得. 15．（25-26高三上·河北保定·开学考试）已知为坐标原点，为双曲线的左焦点，过且斜率为的直线与在第二象限交于点，线段的中点为.若，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】记的右焦点为，连接,利用双曲线的性质求出的三边，代入余弦定理构造齐次式解出离心率即可. 【详解】记的右焦点为，连接, 因为线段的中点为为的中点，所以， 又因为是双曲线上一点，，所以， 由直线的斜率为，可得， 在中，由余弦定理可得， 即，整理得， 解得或（舍去），即的离心率为， 考点04 利用“公式2”求离心率(共3小题) 16．（24-25高二上·重庆·期末）已知，设双曲线和椭圆的离心率分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线和椭圆离心率求法可得，计算可得结果. 【详解】易知，， 由可得，解得； 所以. 故选：C 17．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知直线与焦点在轴上的双曲线的其中一条渐近线垂直，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直得到双曲线的一条渐近线斜率为，故，从而求出离心率. 【详解】直线的斜率为， 由两直线垂直可得双曲线的其中一条渐近线斜率， 即焦点在轴上的双曲线中， 故的离心率． 故选：D． 18．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】由题意可得，即可计算离心率. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为，由于一条渐近线过点， 可得，则. 考点05 利用“公式3”求离心率(共4小题) 19．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆定义和勾股定理即可求解. 【详解】如图 依题意，，，， 则，， 由椭圆定义可得，， 所以离心率. 故选：D. 20．已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直角中，由得到的等量关系，结合计算即可得到离心率. 【详解】由已知，得，则, 又在椭圆中通径的长度为，， 故, 即, 解得 故选：C 21．（24-25高二上·浙江·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若点在轴上方，可得其不符合题意，舍去，若点在轴下方，则有，再结合正弦定理及离心率定义计算即可得解. 【详解】由椭圆焦距为，故，故直线经过点， 若点在轴上方，有，即， 又，则， 此时，不符，故舍去； 若点在轴下方，有，即， 又，则， 则， 故 . 故选：C. 22．设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题设条件可知，由正弦定理可得，再由双曲线的定义可得，最后由离心率公式进行计算即可得解. 【详解】双曲线的焦点为，，则， 是等腰三角形，， ，， 由正弦定理即，解得， 双曲线过点，由双曲线的定义可得， 解得离心率， 故选：B. 考点06利用“公式5”求离心率（共4小题） 23．已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设双曲线的右准线为，过、分别作于，于，于，根据直线的斜率为，得到，再利用双曲线的第二定义得到，又，结合求解. 【详解】设双曲线的右准线为， 过、分别作于，于，于， 如图所示： 因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为， ∴，， 由双曲线的第二定义得：， 又∵， ∴， ∴ 故选：B 24．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为(    ) A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设出，，利用双曲线的第二定义，结合直线的斜率为，建立等式，即可求得双曲线的离心率. 【详解】设，则， 过A、B作双曲线右准线的垂线，垂足分别为D、C，过B作AD的垂线，垂足为E. 根据双曲线的第二定义可得，， ， 由直线的斜率为，可得在Rt△ABE中，∠ABE＝30°， ∴，， . 故选：A. 25．已知椭圆C：的离心率为，过左焦点F作一条斜率为的直线，与椭圆交于A，B两点，满足，则实数k的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，由得到A、B两点的纵坐标的关系，进而得到方程，求出实数k的值. 【详解】因为离心率，所以，设直线方程为：，则与椭圆联立得：，设，不妨令，由可得：，其中①，②，将代入①②可得：，，从而，解得：，因为，所以. 故选：B 26．过椭圆的左焦点F作直线交椭圆于两点，若，且直线倾斜角为，则椭圆的离心率 . 【答案】 【分析】作出准线与轴交点为，过准线的垂线，过作，垂足为，设，得到，结合直线的斜率，得到，结合椭圆的第二定义列出方程，即可求解. 【详解】作出准线与轴交点为，过准线的垂线，垂足分别为， 过作，垂足为， 设，因为，则， 又因为的倾斜角为，所以，则， 又由椭圆的第二定义，可得， 所以，解得，故椭圆的离心率为. 故答案为：. 考点07 利用斜率乘积求离心率(共3小题) 27．过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先设出直线AB的方程，并与双曲线的方程联立，利用设而不求的方法及条件得到关于的关系，进而求得双曲线的离心率 【详解】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令 由，整理得 则， 则，由，可得 则有，即，则双曲线的离心率 故选：D 28．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知曲线与y轴交于A，B两点，P是曲线C上异于A，B的点，若直线AP，BP斜率之积等于，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点的坐标，再利用斜率的坐标公式求出即可计算离心率. 【详解】依题意，，设点，则有，即， 由直线AP，BP斜率之积等于，得，即， 显然曲线是焦点在轴上的椭圆，， 所以C的离心率为. 故选：A 29．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知、分别是椭圆 的左右顶点，是椭圆上异于、的任意一点，直线与斜率之积 ，则此椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，可得出，利用斜率公式以及已知条件可得出的取值范围，再由可求得该椭圆离心率的取值范围. 【详解】设点，则，且，可得， 易知、， 所以， 所以，可得， 故. 故选：D. 考点08 利用余弦定理求离心率(共5小题) 30．（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据椭圆的定义可得，，结合勾股定理列方程可得，进而结合余弦定理可求得，进而求解即可. 【详解】因为，设，如图所示， 由椭圆的定义可知，，则， 同理，则， 因为，则， 则，化简可得， 则，则（舍去）或， 所以，所以为椭圆的上（或下）顶点， 又， 所以在中，，解得，即. 故选：A 31．（2025高三·全国·专题练习）已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，在中，通过椭圆的定义，余弦定理以及，得到关于，，，的等式，再通过基本不等式进行求解即可. 【详解】在中，设，，则，如图：    根据余弦定理，得，配方得：， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立，即，故，解得. 故选：D 32．（25-26高三上·天津·开学考试）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由点到线的距离公式可得，由勾股定理可得，从而得，在中，由余弦定理可得 ，则有，即可得，最后根据离心率公式计算即可. 【详解】由题意得，，双曲线的渐近线方程为， 如图，不妨设点在直线上， 即点在直线上， 则， 在直角中，， 所以， 故， 在中，， 所以， 所以， 故双曲线的离心率. 故选：C. 33．已知是双曲线的焦点，点是双曲线上的动点，若，，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据题设条件，利用余弦定理能够求出，再由双曲线定义可以推导出，从而求出该双曲线的离心率． 【详解】设，又，， 中，由余弦定理有， 即，解得， 则，， 由双曲线定义， 解得．∴双曲线的离心率． 故答案为：． 34．（24-25高二上·江苏淮安·期中）设双曲线E：的左、右焦点分别为、，点P是双曲线E上的一点，若，，则双曲线E的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由双曲线定义和，求出，由余弦定理得到，求出离心率. 【详解】由双曲线定义知， 又，所以， 又，由余弦定理得 ， 解得，故离心率为 故答案为： 考点09 构造不等式求离心率的范围或最值(共6小题) 35．（25-26高二上·云南昭通·开学考试）已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义算出，由焦点三角形三边关系列不等式求解. 【详解】由椭圆的定义得， 又，故， 由，得， 又椭圆的离心率，则. 故选：B 36．（24-25高二上·天津·期末）已知椭圆 （）的左焦点为，上顶点为A，在以点F为圆心，c为半径的圆上存在点M ，使得直线AM 的斜率为 则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为直线与圆有交点，建立关于的不等式，再根据，即可求离心率的范围. 【详解】如图， 直线的方程为，即，圆的方程为， 由题意知，直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切， 所以，即，解得：，所以， 又，所以离心率，又， 所以. 故选：A 37．（2025·湖南湘潭·一模）已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为圆上一点，得到的中点，求得，结合直线与圆有公共点，得到，求得，进而求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即， 且双曲线的渐近线方程为， 设为圆上一点，且圆心为，半径， 则的中点在其渐近线上，可得， 即，所以点在直线上， 因为圆心到直线的距离为， 因为圆上存在点满足条件，所以直线与圆有公共点， 所以，即，可得，可得，所以， 又因为双曲线的离心率，所以， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 38．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于、两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出双曲线焦点到渐近线的距离，得出的表达式，再根据题中不等关系得到、的齐次式，转化为关于离心率的不等式，进而得到离心率的范围. 【详解】焦点到渐近线即的距离， 所以， 因为，即， 所以.解得，即， 又因为双曲线中，所以. 故选：C 39．（24-25高二上·吉林·期中）如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆上点的坐标从而得到向量坐标，利用向量坐标表示数量积得到相应等量关系，再由点的变化范围得到相应不等式，进而求得取值范围. 【详解】 设， 因为， 又点为半椭圆上一点，所以， 所以 ， 因为存在， 所以， 即在上有解， 因为， 且， 所以在上有解， 即在上有解，所以 又因为， 所以， 即，解得， 故选：D 40．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，是双曲线的上支上的任意一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由切线长定理结合双曲线定义可得，结合条件可得，由此可得，再根据关系结合离心率定义求结论. 【详解】设该内切圆在，上的切点分别为， 由切线长定理可得，，， 又，， 所以，所以， 所以，故， 所以， 因为，所以， 故，又， 所以. 故答案为：.    考点10 以特殊三角形为载体的离心率计算（共4小题） 41．（25-26高三上·安徽蚌埠·阶段练习）已知是原点，是双曲线的右焦点，过双曲线的右顶点且垂直于轴的直线与双曲线一条渐近线交于点，以点为圆心的圆经过点，则双曲线的离心率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得为等边三角形，继而得到即可求解． 【详解】由已知，故， ∵以点为圆心的圆经过点， ∴，则为等边三角形， 故，，所以双曲线的离心率． 故选：B． 42．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，以及正三角形的性质求得也即椭圆的离心率. 【详解】如图所示不妨设椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的上顶点. 依题意可知，是正三角形. 因为在中，， 所以，即椭圆的离心率. 故选：A 43．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知是双曲线上的三点，且关于原点对称，若是等边三角形，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，设，可得点，再代入双曲线方程并整理求得，进而求出离心率范围. 【详解】由关于原点对称，且是等边三角形，得， 设，则，即点， 因此，整理得，由，得，则， 于是，解得，即，则的离心率， 所以的离心率的取值范围为. 故选：A 44．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，其中为左焦点，点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查椭圆和双曲线的性质，根据题意，将应用到的性质转化成数学符号，进行运算. 【详解】设双曲线的焦距为． 则依题意得，，，，． 由得于是，． 又，则． 设，由，． 由在区间上为减函数，得的值域为． 所以的取值范围为， 故选B． 考点11 以特殊四边形为载体的离心率计算(共6小题) 45．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得四边形是平行四边形，进而可求得，利用向量的数量积为，又由基本不等式可得，可得为等边三角形，进而可求离心率. 【详解】连接，，因为点、关于原点对称，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 又，所以， 当且仅当时取等号，又 所以为等边三角形，所以，所以椭圆的离以率为. 故选：C. 46．（2025·四川巴中·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右焦点分别为、，四边形为矩形，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的边角关系，结合椭圆的定义和性质，可直接求其离心率. 【详解】如图：    设，则，因为四边形为矩形，所以. 所以，. 所以. 故选：C 47．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据图形，取左焦点，证明为平行四边形，推得，由相似比，结合题设条件得到，即可求得离心率. 【详解】 如图，因直线与直线为坐标原点）的交点在双曲线上，则点与点关于原点对称， 设点为双曲线的左焦点，连接，因，则四边形为平行四边形， 故，易得， 则，化简得，故. 故选：B. 48．（24-25高二上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0， b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D．+1 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义（或方程）及对称性，结合菱形的性质，可得关系，进而得到双曲线的离心率. 【详解】如图，因为四边形OFMN为菱形，所以, 记双曲线的焦距为，右焦点为,则,且根据双曲线的对称性，点的横坐标为, 所以，所以,所以点的纵坐标为, 所以点在双曲线上，代入双曲线方程，得, 整理得：， 联立, 得：,化简得： 两边同除以,得：,解得：,. 因为双曲线的离心率大于1，所以. 方法二：如图，因为四边形OFMN为菱形，所以, 记双曲线的焦距为，右焦点为,则,根据双曲线的对称性，点的横坐标为, 所以，所以,所以点的纵坐标为, 所以,以, 由双曲线的定义，知,所以, 所以,双曲线C的离心率为. 故选：D. 49．如图所示，椭圆的左焦点为F，A、B两点在椭圆上，且四边形为菱形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆对称性可知y轴垂直平分线段，即有为等边三角形，即可得，代入椭圆方程计算即可得. 【详解】连接，设，因为轴，所以， 又因为，所以， 故y轴垂直平分线段，即为等边三角形， 且，可得， 将其代入，可得，又， 整理可得，即， 解得，可得（负值舍去）， 由椭圆的离心率，可得. 故选：B． 50．已知双曲线左、右焦点分别为、，、为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线方程得到渐近线方程，由得到，，再由得到，则，构造齐次式，解出离心率. 【详解】 由双曲线，易得双曲线的渐近线为或， 由题意，易得以为直径的圆的方程为， 设，，则，， 联立，解得或， ，， 又，轴， ，则， ，即， ． 故选：． 考点12 以内切圆为载体的离心率计算(共5小题) 51．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质确定焦点三角形的周长和面积，再应用等面积法得到齐次式，即可求离心率. 【详解】由题设，焦点三角形的周长为，面积为，又其内切圆半径为， 所以. 故选：A 52．已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内切圆的性质得出的周长为，再由椭圆的定义得的周长为，列出等式即可求解． 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，， 设的内切圆与，相切于点，如图所示， 则，， 所以， 所以的周长为， 由椭圆定义可得，， 所以，则， 故选：B．   . 53．（2025·贵州贵阳·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点C，若，则椭圆M的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要是椭圆的定义及三角形的内切圆，作图利用三角形内切圆的性质即得答案. 【详解】由题意，如图，P，D是内切圆与的切点， 因为左、右焦点分别为，上顶点为A，椭圆参数关系， 由，结合对称性、圆的切线性质， 令，且， 所以， 所以，可得，故， 故选：D． 54．（24-25高二上·湖北·期中）如图，焦点在x轴上的椭圆（）的左、右焦点分别为，，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与y轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为Q，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用椭圆的定义，结合圆的相切性质列式求出，进而求出椭圆的离心率. 【详解】令与圆相切的切点分别为， 由椭圆定义得，即， 由，得，即， 由对称性得，即，解得， 所以该椭圆的离心率为. 故选：A 55．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知 为坐标原点， ，为椭圆 的左、右焦点， ，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰三角形的内切圆圆心，过 作，垂足为， ，则椭圆的离心率为 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义及三角形内切圆的几何性质，以及三角形中位线的性质可得出. 【详解】在等腰中，. 分别延长与，交于点，因为点是三角形的内切圆圆心，所以为的平分线，如图： 又因，故与全等，所以为的中点且. 又因为为的中点，为三角形的中位线， 所以，得. 所以由椭圆的定义可得，得，所以离心率为. 故答案为： 考点13 以外接圆为载体的离心率计算(共2小题) 56．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知椭圆：的左焦点为，焦距为，圆：与椭圆有四个交点，其中点，分别在第一、四象限，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的对称性及定义结合离心率公式即可求解. 【详解】由于为等边三角形，由椭圆的对称性可得,所以, 由椭圆的定义可得,所以椭圆的离心率. 故选：C 57．设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理计算，根据余弦定理计算，根据等面积法列方程得出，的关系，从而可求出椭圆的离心率． 【详解】椭圆的焦点为，，， 根据正弦定理可得， ，． 设，，则， 由余弦定理得，， ， ， 又， ，即，故， 解得：或（舍． 故选：B． 考点14 以三角形四心为载体的离心率计算（共5小题） 58．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左焦点和下顶点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，确定,再结合列出等式即可求解. 【详解】 设为的中点，设两点坐标为，， 则，两式作差化简可得： 即，得，所以， 由恰好为的重心，则 即可得：， 解得： 所以，则，平方后得， 即， 解得：或，由条件，所以. 故选：D 59．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左焦点和下顶点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，确定,再结合列出等式即可求解. 【详解】 设为的中点，设两点坐标为，， 则，两式作差化简可得： 即，得，所以， 由恰好为的重心，则 即可得：， 解得： 所以，则，平方后得， 即， 解得：或，由条件，所以. 故选：D 60．已知椭圆：，，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为G，I是内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率 . 【答案】/0.5 【分析】设，求出重心的坐标，利用中面积等积法可求出的关系，即可得椭圆离心率. 【详解】设为的重心，点坐标为， ∵，∴IG∥x轴或 IG两点重合， ∴I的纵坐标为， 在中，， ， 又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标 即知内切圆半径， 内心I把分为三个底分别为的三边，高为内切圆半径的小三角形， ， 即，， ∴椭圆C的离心率 故答案为: 61．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，直线与C的右支交于A，B两点，P，Q分别为，的内心，若，则C的离心率为 . 【答案】 【分析】由已知和双曲线概念可得P、Q两点的横坐标为a，可得PQ的直线方程为，又直线AB的倾斜角为，可得，则得答案. 【详解】由题意，直线，则直线过， 如图，设内切圆与各边的切点为H，I，J， 则， 设，则，即P点的横坐标为a， 同理可得Q点的横坐标为a. 则PQ的直线方程为，又直线AB的倾斜角为， 因为，， ，， 所以 ， 又，则， 得，. 故答案为：. 62．（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知双曲线：，与斜率为1且不过原点的直线交于，两点，是双曲线上一点，且，与的重心分别是，，的外心记为，直线、、的斜率之积为，则该双曲线的离心率为 . 【答案】2 【分析】根据直线与双曲线的性质，得出二级结论斜率之积为定值，取，的中点，，得到，再由，，结合直线OP、OQ、OR的斜率之积为，求得，利用，即可求解. 【详解】若直线与双曲线，有两个交点，，设的中点为， 由，得，所以，所以，所以，所以，所以. 取，的中点，，连接，，易知的重心在中线上， 的重心在中线上，所以，， 又，所以，由，得，所以， 因为，且的外心为点，所以为线段的中点，所以，又，所以，所以，所以，所以. 考点15以几何体的截面为载体的离心率计算(共4小题) 63．（2025高三下·全国·专题练习）如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆柱的半径为，根据已知条件得到椭圆长轴和短轴与圆柱半径的关系式，通过构造齐次式求解椭圆的离心率即可. 【详解】设圆柱的底面半径为，由题意可知， 椭圆的短轴长为圆柱的直径，即，∴ 椭圆的长轴长为，即长半轴长为，∴， 所以半焦距， 故离心率． 故选：B. 64．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆（如图所示），若“切面”所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取过椭圆长轴与圆柱的轴在的截面，设圆柱的底面半径为，计算出椭圆的长轴长和短轴长，可取得的值，由此可求得椭圆的离心率. 【详解】取过椭圆长轴与圆柱的轴在的截面，如下图所示，设圆柱的底面半径为， 可知，截面为直角梯形，不妨设、为直角腰， 过点作，垂足为点，由题意可知，椭圆的短轴长为，则， “切面”所在平面与底面所成的角等于， 所以，，则，， 因此，该椭圆的离心率为. 故选：A. 65．（24-25高二上·北京顺义·期中）如图，过点P分别作平面，，截圆柱得到椭圆，，.其中，椭圆，所在的平面分别与上底面、下底面所成的锐二面角相等，设椭圆，，的离心率分别为，，，它们的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，，由此可确定，，的大小关系；或根据离心率的定义判断. 【详解】解法1：设椭圆，，的长轴长分别为，短轴长分别为，焦距分别为， 由题意得，， 则，，， 由，得，，故. 解法2：根据椭圆的圆扁程度确定离心率，离心率越大，椭圆越扁，离心率越小，椭圆越圆， 由此可得. 故选：C. 66．已知分别是双曲线的左、右焦点，过点作直线交于两点. 现将所在平面沿直线折成平面角为锐角的二面角，如图，翻折后两点的对应点分别为，且若，则的离心率为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析可知锐角二面角，利用双曲线的定义与性质结合余弦定理运算求解. 【详解】设双曲线的半焦距为， 由题意可得：， 则， 且，则锐角二面角， 在中，由余弦定理可得：， 在中，由余弦定理可得：， 因为，即， 可得，解得. 故选：C. 22 / 52 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题05 求圆锥曲线离心率的十五种技法 考点01 利用公式求离心率（共4小题） 4 考点02 利用勾股定理求离心率（共3小题） 5 考点03 构造齐次方程求离心率（共8小题） 5 考点04 利用“公式2”求离心率(共3小题) 6 考点05 利用“公式3”求离心率(共4小题) 7 考点06利用“公式5”求离心率（共4小题） 7 考点07 利用斜率乘积求离心率(共3小题) 8 考点08 利用余弦定理求离心率(共5小题) 8 考点09 构造不等式求离心率的范围或最值(共6小题) 9 考点10 以特殊三角形为载体的离心率计算（共4小题） 10 考点11 以特殊四边形为载体的离心率计算(共6小题) 11 考点12 以内切圆为载体的离心率计算(共5小题) 12 考点13 以外接圆为载体的离心率计算(共2小题) 13 考点14 以三角形四心为载体的离心率计算（共5小题） 13 考点15以几何体的截面为载体的离心率计算(共4小题) 14 【重要方法与结论】 一、求椭圆或双曲线的离心率的三种基本方法 （1）公式法：即利用相应的离心率计算公式（如定义式）直接求得离心率； （2）方程法：先得到关于的齐次方程，再通过作除法转化为关于e的方程求解. （3）不等式法：对于求离心率取值范围的问题，常寻找不等关系，从而构造关于的齐次不等式，再通过作除法进一步转化为关于e的不等式求解. 二、求解椭圆离心率的5个公式 公式1: 公式2: 变形 证明: 公式3:已知椭圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 证明:, 由正弦定理得: 由等比定理得:,即 . 公式 4: 以椭圆 两焦点 及椭圆上任一点 (除长轴两端点外) 为顶点 , 则 证明: 由正弦定理有. 公式5:点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则; 当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 三、求解双曲线离心率的5个公式 公式1: 公式 证明: 公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 证明:, 由正弦定理得: 由等比定理得: 即。 公式4:以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率， 证明:由正弦定理,有 即 又 公式5:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时,. 四、求离心率的一个神奇公式——e次元公式 已知焦点在轴上的圆锥曲线，经过其焦点的直线交曲线C于两点，直线的倾斜角为 ，则曲线C的离心率e满足等式： ．为方便计算，一般让. 推广一：当 AB 直线的斜率为 k，则 推广二：抛物线中，， 推广三：当焦点在y轴时， . 考点01 利用公式求离心率（共4小题） 1．（2025高二上·河南郑州·期中）若双曲线的两个顶点三等分两焦点间的线段，则此双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）若双曲线的渐近线方程是，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·四川泸州·开学考试）设椭圆的左顶点为A，右焦点为F，点P在直线上但不同于右顶点.连接FP交椭圆于点Q，且.连接QO（O为坐标原点）交椭圆于另一点且A，，P三点共线，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知椭圆，过的右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 考点02 利用勾股定理求离心率（共3小题） 5．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且为直角.若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·浙江·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，过作直线交双曲线的右半支于两点，满足，且面积是面积的两倍，则双曲线的离心率为 ． 考点03 构造齐次方程求离心率（共8小题） 8．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·贵州·模拟预测）已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，上顶点为B，右顶点为A，到直线AB的距离为b，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·云南·阶段练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点，满足，且点到直线的距离为．则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高三上·江苏南通·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为为的左支上一点，与的一条渐近线平行.若，则的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 13．（2025·浙江嘉兴·一模）已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）双曲线的左、右焦点为，为双曲线上一点，且满足，则双曲线的离心率为 ． 15．（25-26高三上·河北保定·开学考试）已知为坐标原点，为双曲线的左焦点，过且斜率为的直线与在第二象限交于点，线段的中点为.若，则的离心率为 . 考点04 利用“公式2”求离心率(共3小题) 16．（24-25高二上·重庆·期末）已知，设双曲线和椭圆的离心率分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知直线与焦点在轴上的双曲线的其中一条渐近线垂直，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为 . 考点05 利用“公式3”求离心率(共4小题) 19．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 20．已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高二上·浙江·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是（   ） A． B． C． D． 22．设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点06利用“公式5”求离心率（共4小题） 23．已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 24．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为(    ) A． B． C．2 D． 25．已知椭圆C：的离心率为，过左焦点F作一条斜率为的直线，与椭圆交于A，B两点，满足，则实数k的值为（    ） A．1 B． C． D．2 26．过椭圆的左焦点F作直线交椭圆于两点，若，且直线倾斜角为，则椭圆的离心率 . 考点07 利用斜率乘积求离心率(共3小题) 27．过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 28．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知曲线与y轴交于A，B两点，P是曲线C上异于A，B的点，若直线AP，BP斜率之积等于，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知、分别是椭圆 的左右顶点，是椭圆上异于、的任意一点，直线与斜率之积 ，则此椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点08 利用余弦定理求离心率(共5小题) 30．（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 31．（2025高三·全国·专题练习）已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高三上·天津·开学考试）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 33．已知是双曲线的焦点，点是双曲线上的动点，若，，则双曲线的离心率为 . 34．（24-25高二上·江苏淮安·期中）设双曲线E：的左、右焦点分别为、，点P是双曲线E上的一点，若，，则双曲线E的离心率为 ． 考点09 构造不等式求离心率的范围或最值(共6小题) 35．（25-26高二上·云南昭通·开学考试）已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 36．（24-25高二上·天津·期末）已知椭圆 （）的左焦点为，上顶点为A，在以点F为圆心，c为半径的圆上存在点M ，使得直线AM 的斜率为 则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 37．（2025·湖南湘潭·一模）已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于、两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高二上·吉林·期中）如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，是双曲线的上支上的任意一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 考点10 以特殊三角形为载体的离心率计算（共4小题） 41．（25-26高三上·安徽蚌埠·阶段练习）已知是原点，是双曲线的右焦点，过双曲线的右顶点且垂直于轴的直线与双曲线一条渐近线交于点，以点为圆心的圆经过点，则双曲线的离心率为（   ）． A． B． C． D． 42．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 43．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知是双曲线上的三点，且关于原点对称，若是等边三角形，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 44．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，其中为左焦点，点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点11 以特殊四边形为载体的离心率计算(共6小题) 45．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 46．（2025·四川巴中·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右焦点分别为、，四边形为矩形，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 47．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 48．（24-25高二上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0， b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D．+1 49．如图所示，椭圆的左焦点为F，A、B两点在椭圆上，且四边形为菱形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 50．已知双曲线左、右焦点分别为、，、为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点12 以内切圆为载体的离心率计算(共5小题) 51．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 52．已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 53．（2025·贵州贵阳·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点C，若，则椭圆M的离心率为（   ） A． B． C． D． 54．（24-25高二上·湖北·期中）如图，焦点在x轴上的椭圆（）的左、右焦点分别为，，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与y轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为Q，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 55．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知 为坐标原点， ，为椭圆 的左、右焦点， ，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰三角形的内切圆圆心，过 作，垂足为， ，则椭圆的离心率为 考点13 以外接圆为载体的离心率计算(共2小题) 56．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知椭圆：的左焦点为，焦距为，圆：与椭圆有四个交点，其中点，分别在第一、四象限，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 57．设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 考点14 以三角形四心为载体的离心率计算（共5小题） 58．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左焦点和下顶点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 59．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左焦点和下顶点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 60．已知椭圆：，，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为G，I是内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率 . 61．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，直线与C的右支交于A，B两点，P，Q分别为，的内心，若，则C的离心率为 . 62．（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知双曲线：，与斜率为1且不过原点的直线交于，两点，是双曲线上一点，且，与的重心分别是，，的外心记为，直线、、的斜率之积为，则该双曲线的离心率为 . 考点15以几何体的截面为载体的离心率计算(共4小题) 63．（2025高三下·全国·专题练习）如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 64．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆（如图所示），若“切面”所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 65．（24-25高二上·北京顺义·期中）如图，过点P分别作平面，，截圆柱得到椭圆，，.其中，椭圆，所在的平面分别与上底面、下底面所成的锐二面角相等，设椭圆，，的离心率分别为，，，它们的大小关系为（    ） A． B． C． D． 66．已知分别是双曲线的左、右焦点，过点作直线交于两点. 现将所在平面沿直线折成平面角为锐角的二面角，如图，翻折后两点的对应点分别为，且若，则的离心率为（    ）      A． B． C． D． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $